第四章图形的相似单元测试卷（培优卷·含答案）北师大版2025—2026学年九年级上册

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第四章图形的相似单元测试卷（培优卷）北师大版2025—2026学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组图形中一定是相似形的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个直角三角形 D．两个正方形
3．如图所示的两个四边形相似，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线、、被直线、所截，且，若，，则的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
5．已知中，D、E分别是边反向延长线上的点，下列各式中，能判断出的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，给出下列条件：①；②；③；④．其中不能够判定的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，则为（ ）
A． B． C． D．无法确定
8．如图，点是的重心，是边上一点，，连接，连接并延长分别交于点、，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知，且，则 ．
10．如图，正方形中，，分别在边，上，，相交于点，若，，则的值是 ．
11．如图，的边上有一点E，是的中线，的延长线与射线交于点D，且，则的值为 ．
12．如图，D是的边上一点，已知，，，若的面积为a，则的面积为 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图1所示，在正方形中，将绕着点逆时针旋转得到，，旋转角度为．当时，，分别交于点，．
(1)若正方形的边长为4，求的最小值；
(2)求证：；
14．已知，如图，，，，．
(1)求的长；
(2)如果，，试求的长．
15．如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请在第四象限画出关于原点O的位似要求新图形与原图形的位似比为．
(2)直接写出对应点的坐标是 ；和的面积比是 ．
(3)若连接，，则四边形的面积为 ．
16．如图，在中，点D、E、F分别在边上，，，
(1)求的长；
(2)如果点A到的距离为8，求四边形的面积．
17．如图，在中，，延长至点，使得，连接，过点作，交于点，连接交于点．
(1)求证：；
(2)过点作于点，若的面积为24，，求的长．
18．小刘在学习相似三角形的判定定理1“两角分别相等的两个三角形相似”时，发现当三角形为直角三角形时会产生丰富的比例关系．请你根据小刘的思路，完成下列问题．
【感知】如图1，在中，D，E分别是边上的点，且，易证．
【探究】如图2，在中，点D与点B重合，且．
（1）求证：；
（2）如图3，当时，则图中共有______组相似三角形，线段之间的数量关系为______；
【应用】
（3）如图4，在中，，作于点D，于点E，于点F．若，，求的值．
参考答案
一、选择题
1．D
2．D
3．B
4．B
5．A
6．A
7．B
8．D
二、填空题
9．
10．
11．
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：，
∴当时，即和重合时，取得最小值，即的长度
∵正方形的边长为4
∴
∴
∴
最小值；
（2）证明：由（1）得
同理可得：
14．【解】（1）解：，
，
，，，
，
，
解得：；
（2）解：如下图所示，过点作交于点，交于点，
，
四边形和四边形都是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
15．【解】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：由平面直角坐标系可得，
由题意可得，
，
的位似图形为，
，
，
故答案为：；；
（3）解：根据割补法可得四边形的面积为
．
16．【解】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由题可知，
，且相似比为，
，
同理可得，
．
17．【解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，，
，
，
，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．【解】解：（1）∵，
∴．
（2）共有3组相似三角形，线段的数量关系为，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴共有3组相似三角形，线段的数量关系为．
故答案为：3；；
（3）由（2）可知，，，
∴，
∴．
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