第六章反比例函数单元检测（培优卷·含答案）北师大版2025—2026学年九年级上册

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第六章反比例函数单元检测（培优卷）北师大版2025—2026学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列函数中y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限
C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大
3．已知点均在反比例函数的图像上，则，，从小到大的顺序为（ ）
A． B． C． D．
4．关于x的函数和在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，A为反比例函数 的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为B，C．若四边形的面积为6，则k的值为（ ）
A．3 B．-3 C．6 D．-6
6．如果函数是反比例函数，那么的值为（ ）
A．6 B． C．1 D．2或3
7．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，点P在上，轴于点A，交于点B，连接OB，OP，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
8．如图，为矩形（边分别在x，y轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与相交于点E，F，连接，若的面积是30，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于、两点，则 ．
10．如图，A、C分别是x轴、y轴上的点，双曲线与矩形的边、分别交于E、F，若，则的面积为 ．
11．在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是 ．
12．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则不等式的解集是 ．
三．解答题（共8小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点，点位于第一象限，且是反比例函数图像上一点，轴于点，交一次函数的图像于点，连接．
(1)________，________；
(2)当时，求的面积；
(3)当时，直接写出自变量的取值范围．
14．如图，将等腰直角三角形的一条直角边放在轴上，点，，斜边与反比例函数，交于点．
(1)求、的值；
(2)若在该反比例函数上有一点，过作轴的平行线，分别交于点．当时，求点的坐标．
15．已知一次函数的图象交轴于点，交反比例函数的图象于点、．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将一次函数的图象向下平移个单位长度所得的图象交轴于点，连接、，当时，求的值；
(3)在（2）的条件下，在轴是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
16．年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径米是其两腿迈出的步长之差厘米的反比例函数，其图象如下图所示．请根据图象中的信息解决下列问题：
(1)求与之间的函数表达式；
(2)当某人两腿迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米
(3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于米，直接写出其两腿迈出的步长之差最多是多少．
17．如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于点和点
(1)求反比例函数表达式和一次函数表达式；
(2)求的面积；
(3)直接写出时，的取值范围．
18．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图像经过点，两点．
(1)与的数量关系是　　　　　；
A． B． C． D．
(2)如图2，若点绕轴上的点顺时针旋转，恰好与点重合，求点的坐标及反比例函数的表达式；
(3)在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使得的值最小．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．C
2．C
3．A
4．A
5．D
6．C
7．A
8．B
二、填空题
9．
10．
11．
12．或
三、解答题
13．【解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点，
∴，，
解得，
故答案为：
（2）由（1）可知反比例函数为，一次函数为
当时，即点的横坐标为，
当时，，，
∴，
∴的面积；
（3）联立得到解得或，
∴反比例函数与一次函数的图像在第三象限交于点，
由图象可知，当时，直接写出自变量的取值范围为或．
14．【解】（1）解：∵等腰直角三角形的一条直角边放在轴上，点，，
∴，，
∴点，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
把点代入得：
，
∴点，
把点代入，得：；
（2）解：设点，则点，点，
∵，
∴，
解得：（舍去），
∴，
∴点的坐标为．
15．【解】（1）解：将代入，得：，
，
将代入，得：，
解得，
，
（2）解：联立得，
解得，，
将代入，得：，
，
令，得，
，
的图象向下平移个单位长度所得的图象的解析式为：，
令，得，
，
，，，
，，，
当时，，
，
，
解得；
（3）解：存在，点E的坐标为或．
如图，设平移后的一次函数图象与轴交于点，
由（2）知，
则，
∵，，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
当点在点左侧，时，
，
∵，
，
，
，
；
当点在点右侧，且在点左侧，时，如图，
，
，
，
，
；
当点在点右侧时，如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴以，，为顶点的三角形不与相似，
综上，点E的坐标为或．
16．【解】（1）解：设反比例函数解析式为，
由图象可知，反比例函数图象过点，
，
，
．
（2）解：当时，，
当某人迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米．
（3）解：大圆圈的半径不小于米，
，
即：，
，
某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于米时，迈出的步长之差最多是厘米．
17．【解】（1）解：将点代入反比例函数，得
，
解得，
∴反比例函数，
将点代入反比例函数，得
，
解得，
∴，
将点，分别代入一次函数，得
，
解得，
∴一次函数；
答：反比例函数表达式和一次函数表达式．
（2）令直线交x轴于点M，如图
将代入，得
，
解得，
∴，
∵，，
∴．
（3）由图像及，，可知，当或时，．
18．【解】（1）解：将点，分别代入，
得，．
∴．
∴．
故选：A．
（2）解：①由（1）得：，，
设，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，
则．
∴．
由旋转知，，，
∴．
∴．
∴．
∴．
即，
∴．
∴，．
∴．
∴．
∴反比例函数的表达式为．
（3）解：存在，，理由如下：
如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于点Q，
则．
∴．
∴的最小值等于的长．
由（2）知，，，
∴．
∴．
设直线的解析式为，
则．
解得．
∴．
当时，．
∴．
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