浙教版2025—2026学年九年级上册数学12月第三次月考模拟测试拔尖卷（含解析）

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浙教版2025—2026学年九年级上册数学12月第三次月考模拟测试拔尖卷（测试范围第一章二次函数到第四章相似三角形）
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分
1．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
3．下列命题正确的是（ ）
A．平分弦的直线必垂直于弦 B．平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧
C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D．垂直于弦的直线平分弦
4．一个袋中装有200个红球，1个白球，它们除颜色外都相同从中任意摸出一个球，则（　　）
A．必然是红球 B．很可能是红球
C．不可能是白球 D．很可能是白球
5．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，则得到的抛物线解析式是（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆心角为的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
8．在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是
A． B． C． D．
9．如图，在中，平分分别交，，延长线于点，，，记与的面积分别为，，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，所得拋物线的解析式为 ．
12．已知的直径为10，现内有两条弦，，则的度数为 ．
13．如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则 ．
14．一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是 ．
15．若二次函数的部分图像如图所示，对称轴为直线，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解 ．
16．如图，在中，，是高线，延长交的外接圆于点E，连接．若，圆的面积为，则的长是 ．
第II卷
浙教版2025—2026学年九年级上册数学12月第三次月考模拟测试拔尖卷（测试范围第一章二次函数到第四章相似三角形）
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中1个红球，2个白球．从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．求：
(1)摸出的2个球都是白球的概率．
(2)摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率．
18．若函数是二次函数．
(1)求的值；
(2)当时，求的值．
19．如图，中，为的直径，分别交于点D，E，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
20．某商店销售一批玩具，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商店决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件玩具每降价2元，商店平均每天可多售出3件．设每件玩具降价x元，每天的盈利为y元．
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)该商店为了尽快减少库存，且每天要盈利元，则每件玩具应降价多少元．
21．如图所示，把置于平面直角坐标系中，请你按下列要求分别画图：
(1)画出绕着原点O逆时针旋转得到的；
(2)在（1）的基础上求点C经过的路径长．
22．如图，在中，，以腰为直径画半圆O，分别交于点D，E．
(1)求证：；
(2)若，求阴影部分弓形的面积．
23．二次函数的图象经过点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．
求这个函数“倍值点”的坐标；
若是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差．
24．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．已知二次函数（为常数）
(1)若该函数经过点，求该函数表达式；
(2)在（1）的条件下，
①求出该图象上的“三倍点”坐标；
②当时，函数的最小值为，求的值；
(3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，结合图象，求出的取值范围．
25．如图1，在等腰中，，点O是的外心，作外接圆，延长，交于点D．
(1)连接，求证：；
(2)若，求度数；
(3)如图2，在的延长线上取点E，连接，若，，，求的长．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B B D C B C C C
二、填空题
11．
12．或
13．
14．
15．
16．
三、解答题
17．【解】（1）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中摸出的2个球都是白球的结果有4种，
∴摸出的2个球都是白球的概率为．
（2）解：由树状图可知，摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的结果有4种，
∴摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率为．
18．【解】（1）解：依题意有，
解得：，
∴k的值为；
（2）解：把代入函数解析式中得：，
当时，．
∴y的值为．
19．【解】（1）证明：∵为的直径，
∴，即，
又∵，
∴，
∵，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
连接，如图：
∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．【解】（1）解：由题意得：；
（2）解：当时，，
解得：；
∵该商店为了尽快减少库存，
∴．
答：每件玩具应降价元．
21．【详解】（1）如图：即为所求
（2）
点C经过的路径长为．
22．【解】（1）解：如图，连接，
为直径，
，
，
，
弧弧，
；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
，
，
，，
为等边三角形，
，
又，
为等边三角形，
，，，
．
23．【解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，解得：，
∴这个二次函数的解析式为；
（2）解：把代入得，，
整理得：，
解得：或，
∴这个函数“倍值点”的坐标为或；
∵是该二次函数图象上“倍值点”和之间的点，
∴，
由得，抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，取最小值，当时，取最大值，
∴的最大值与最小值的差为．
24．【详解】（1）解：把代入，
得，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）①设该函数图象上的“三倍点”坐标为，
把代入，
得，
整理得：，
解得，
∴“三倍点”坐标为；
②由()可知为，其中，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线，
当，即时，
∴当时，取得最小值，即，
解得或，
∵，
∴；
第二种情况：
当，即时，
∴当时，取得最小值，即，
解得或
∵，
∴；
综上，的值为或．
（3）解：由题意得，三倍点所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在的范围内，二次函数和至少有一个交点，
令，整理得，，
则，
解得；
把代入得，代入得，
∴，解得；
把代入得，代入得，
∴，解得；
综上，的取值范围为：．
25．【解】（1）解：连接，，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴；
（2）解：设，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
（3）解：如图，延长交于，
由（1）可得是的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴设，半径，则，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理得，
∴，
由（1）得，
∴，
解得（负值舍去），
∴．
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