2025-2026学年江苏省连云港市东海县九年级（上）期中数学试卷(含答案)

2025-2026学年江苏省连云港市东海县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程一定属于一元二次方程的是（　　）
A. x2-3xy+1=0 B. x2=2
C. D. 3x2+2x=3（x2-1）
2.已知方程x2-6x+4=■，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方变形为（x-3）2=7，则印刷不清楚的数字是（　　）
A. -2 B. 2 C. 6 D. 9
3.若关于x的一元二次方程ax2+6x+c=0有两个不相等的实数根，则a,c的值可以是（　　）
A. a=5，c=3 B. a=5，c=2 C. a=4，c=3 D. a=1，c=8
4.一组数据：2，3，3，5，若添加一个数据5，则不发生变化的统计量是（　　）
A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数
5.已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O的半径为3cm,线段OA=4cm,OB=3cm,则直线AB与⊙O的位置关系为（　　）
A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切
6.如图，在△ABC中，，I是△ABC的内心，连接BI、CI，则∠BIC的度数是（　　）
A. 110°
B. 120°
C. 130°
D. 140°
7.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽.另有一竹竿，也不知竹竿的长短.竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长.若设门的对角线长为x尺，则可列方程为（　　）
A. （x+2）2=（x-4）2+x2 B. （x+4）2=x2+（x-2）2
C. x2=（x-4）2+（x-2）2 D. （x+4）2=（x+2）2+x2
8.如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴，y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为3，点B的坐标是（5，0），则点D的坐标是（　　）
A.
B. （5，3）
C.
D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.若x=1是一元二次方程x2-3x+m=0的一个根，则m=______．
10.博物馆拟招聘一名优秀讲解员，张三的笔试、试讲、面试成绩分别为94分、90分、95分．综合成绩中笔试占50%、试讲占30%、面试占20%，那么张三最后的成绩为______分．
11.已知2，3，5，m，n五个数据的方差是2，那么4，5，7，m+2，n+2五个数据的方差是______.
12.如图，△ABC是⊙O内接三角形，D是中点，若∠DAC=25°，则∠B的度数为 °.
13.小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为12cm,圆锥的高为8cm,则根据测量数据推算，该圆锥模型的侧面积为 cm2.
14.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为 .
15.有一个正数m,m与1的和乘以m与1的差仍得m,则m的值为 .
16.我们知道方程x2+2x-3=0的解是x1=1，x2=-3，现给出另一个方程（2x-1）2+2（2x-1）-3=0，它的解是 .
17.如图，在△ABC中，AB=AC=10，点O在AC上，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，与BC相交于点E，若D是AB的中点，则点E到AB的距离为 .
18.点P是半圆上的一个动点，圆心为O，将沿着PB翻折，与直径AB交于点C，的中点为D.若已知，则当点P从点A运动到点B的过程中，点D的运动路径长为 .
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
19.已知关于x的一元二次方程x2-2（k-1）x+k2-1=0有两个不相等的实数根
（1）求实数k的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
四、解答题：本题共8小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题10分)
解下列方程：
（1）x2+2x-2=0；
（2）x（2x-5）=4x-10.
21.(本小题8分)
如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC∥OD．
（1）求证：．
（2）若的度数为58°，求∠AOD的度数．
22.(本小题12分)
在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的PH值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的PH值进行了整理、描述及分析.
【收集数据】
甲基地水体的pH值数据：7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8*.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26.
乙基地水体的pH值数据：7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8*.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21.
【整理数据】
7.00≤x＜7.30 7.30≤x＜7.60 7.60≤x＜7.90 7.90≤x＜8.20 8.20≤x≤8.50
甲 2 5 7 7 3
乙 4 2 9 a 2
【描述数据】
【分析数据】
平均数 众数 中位数 方差
甲 7.79 7.67 b 0.10
乙 7.78 c 7.79 0.13
根据以上信息解决下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）填空：b=______，c=______；
（3）请判断甲、乙哪个基地水体的pH值更稳定，并说明理由；
（4）已知两基地对水体pH值的日变化量（pH值最大值与最小值的差）要求为0.5-1，分别判断并说明该日两基地的pH值是否符合要求.
23.(本小题10分)
老舍先生作品《骆驼祥子》的主人翁是个以拉车为生的贫苦车夫.人力车涉及了很多复杂的机械设计，如图是人力车的侧面示意图，AB为车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD.
（1）小明猜想∠BDC=∠A，小明的猜想正确吗？请说明理由.
（2）若车架端点C到车轮与地面的接触点D之间的距离2.5米，BC的长为1.5米，求车轮的半径.
24.(本小题10分)
如图，以AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F.连接BD并延长交AC于点M.
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若AB=4，∠F=30°，求ME的长.
25.(本小题12分)
2025年暑期，我县遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死.小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种.其中小叶榕每棵450元，香樟每棵800元，经测算，购买两种树共需27750元.
（1）原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？
（2）实际购买时，物业管理公司与商家进行如下协商：每棵小叶榕和香樟均降价销售，两个树种下降的价格相同，但下降均不超过100元.两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵.物业管理公司实际购买的费用比原计划多5250元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？
26.(本小题12分)
定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根，若0＜x1＜x2，且，则称这个方程为“大半根方程”.比如：一元二次方程x2-4x+3=0的两根为x1=1，x2=3，因0＜1＜3，且，，所以一元二次方程x2-3x+2=0是“大半根方程”.请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断：下列方程中，是“大半根方程”的是______（只填写序号）；
①x2-4=0
②x2-13x+40=0
③2x2-7x+5=0
（2）若关于x的一元二次方程x2+（m-2）x-2m=0是“大半根方程”，求m的取值范围；
（3）已知关于x的方程x2+（2k+9）x+k2+9k+8=0，其中k＜-20.求证：该方程不可能是“大半根方程”.
27.(本小题14分)
【问题提出】
（1）小明在学习隐圆模型时，遇到这样的一个基础问题：如图1，AB=4，∠ACB=90°，请用尺规作图，作出点C的运动路径（不写作法，保留作图痕迹，标出必要的长度和角度）；
【变式应用】
（2）如图2，矩形ABCD中，AB=2，BC=3.点M为矩形内一点，且∠AMB≤45°，∠CMD≤150°，请在图中用阴影部分表示所有符合条件的点M形成的区域（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标出必要的长度和角度）；
（3）如图3，正方形ABCD的边长为2，点E在BC上，点F在CD上，BE=DF，连接AE，过点F作FP⊥AE，垂足为P，求BP的最小值；
【拓展探究】
（4）如图4，△ABC和△CDE都是等边三角形，AC=6，，将△CDE绕着点C逆时针旋转一周的过程中，直线AE、BD相交于点F.△ACF的面积是否存在最大值？若存在，直接写出最大值；若不存在，请说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】2
10.【答案】93
11.【答案】2
12.【答案】50
13.【答案】60π
14.【答案】3
15.【答案】
16.【答案】x1=1，x2=-1
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=4（k-1）2-4（k2-1）=-8（k-1）＞0，
解得k＜1．
（2）当x=0时，有k2-1=0，
解得k=±1．
∵k＜1，
∴k=-1．
∴0可能是方程的一个根．
当k=-1时，方程可能化为x2+4x=0．
解得x=0或x=-4．
∴方程另一个根是-4．
20.【答案】（1）， （2）x1=2，
21.【答案】解：（1）连接OC．∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO．
∵AC∥OD，
∴∠OAC=∠BOD．
∴∠DOC=∠ACO．
∴∠BOD=∠COD，
∴=．
（2）∵=，
∴==
∴∠BOD=∠BOC=（180°-58°）=61°．
∴∠AOD=58°+61°=119°
22.【答案】（1） 7.81;7.77 （3）甲的方差为0.10，乙的方差为0.13，0.10＜0.13，故甲基地水体的pH值更稳定 （4）该日两基地的pH值甲符合要求，乙不符合要求
23.【答案】（1）小明的猜想正确．
连接OD，
∵CD与⊙O相切，
∴OD⊥CD，
∴∠ODB+∠BDC=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠OBD=90°，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠A=∠BDC （2）
24.【答案】（1）连接OD，
∵AD平分∠CAB交⊙O于点D，
∴∠CAB=2∠BAD，
∵∠BOD=2∠BAD，
∴∠BOD=∠CAB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠ODF=∠AED=90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线 （2）ME的长是1
25.【答案】（1）原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵 （2）物业管理公司实际购买两种树共65棵
26.【答案】③ （2）m＜-4或-1＜m＜0 （3）解方程x2+（2k+9）x+k2+9k+8=0得：x1=-k-1，x2=-k-8，
∵k＜-20，
∴-k-1＞0，-k-8＞0．
易知-k-8＜-k-1，
设该方程为“大半根方程”，则必有，
解得：k＞-15．
这与k＜-20相矛盾．
所以该方程不可能是“大半根方程”
27.【答案】（1）作图如图所示，⊙O即为所求； （2）作图如图所示，图中阴影部分即为所求； （3）2-2 （4）△ACF的面积存在最大值为9+3
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