北师大版九年级下2.5二次函数与一元二次方程 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级下2.5二次函数与一元二次方程 同步练习（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 117.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-07 00:00:00 | ||
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文档简介
北师大版九年级下 2.5 二次函数与一元二次方程 同步练习
一．选择题（共10小题）
1．若二次函数y=kx2-2x-1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＞-1 B．k≤1且k≠0 C．k＜-1 D．k≥-1且k≠0
2．二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知方程ax2+bx+c=0的根是（ ）
A．x1=-1，x2=5 B．x1=-2，x2=4 C．x1=-1，x2=2 D．x1=-5，x2=5
3．若函数y=ax2+bx的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
4．二次函数y=x2-2x-3图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜-1 B．-1＜x＜3 C．x＞3 D．x＜-1或x＞3
5．如图是二次函数y=-x2-2x+3的图象，使y≥0成立的x的取值范围是（ ）
A．-3≤x≤1 B．x≥1 C．x＜-3或x＞1 D．x≤-3或x≥1
6．已知A=x2+a,B=2x,若对于所有的实数，A的值始终比B的值大，则a的值可能是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
7．二次函数y=x2-ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x=1，它的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点为D．且A（-1，0），则下列结论不正确的是（ ）
A．a=2
B．它的图象与y轴的交点坐标C为（0，-3）
C．图象的顶点坐标D为（1，-4）
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
8．二次函数y=2x2+bx的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程2x2+bx-2t=0（t为实数）在-1＜x＜4的范围内有唯一一个实数解或两个相等的实数解，则t的取值范围是（ ）
A．t≥-1 B．-1≤t＜3
C．-1≤t＜8 D．3≤t＜8或t=-1
9．如图，抛物线L1：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，已知二次函数y=-（x+1）（x-4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP，交BC于点K，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
二．填空题（共5小题）
11．抛物线y=3x2+4x+2与x轴的交点个数是 ______．
12．如图，抛物线y=ax2+c与直线y=kx+b交于A（-1，m），B（3，n）两点，则关于x的不等式ax2-kx＜b-c的解集是 ______．
13．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … - -1 - 0 1 …
y … - -2 - -2 - 0 …
则ax2+bx+c=0的解为______．
14．计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数y=x2（x-3）和y=x-3的图象如图所示．根据图象可知方程x2（x-3）=x-3的解的个数为______；若m,n分别为方程x2（x-3）=1和x-3=1的解，则m,n的大小关系是______．
15．如图，抛物线y=x2-2x-3交x轴于A、B两点（A在B的右侧），交y轴于点C，点于D是线段AC的中点，点P是线段AB上一个动点，△APD沿DP折叠得△A′PD，则线段A′B的最小值是 ______．
三．解答题（共5小题）
16．已知抛物线y=x2+（m-1）x+m-2的对称轴为直线x=1，请你解答下列问题：
（1）求m的值及顶点坐标；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标，并画出函数图象；
（3）当x＜1时，y随x的增大而 ______（填“增大”或“减小”）；
（4）当y＜0时，x的取值范围是 ______．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与直线y2=-x-4交于点A、B，其中点B坐标为（0，-4），点C坐标为（2，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）根据图象，直接写出y2＜y1时，x的取值范围．
18．如图，抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，若，求点P的坐标．
19．如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-4，0）、B（1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线l,点P是直线l左侧抛物线上一点且点P在x轴上方．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点D，过点P作y轴的平行线交AC于点H，求PD+PH的最大值及此时点P的坐标．
20．如图，抛物线y=ax2+bx+9与x轴交于A（-3，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是线段AC上一点（点D与点A、C不重合），过点D作BC的平行线，交AB于点E．连接CE，求△CDE面积的最大值．
北师大版九年级下2.5二次函数与一元二次方程同步练习
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、D 2、A 3、A 4、B 5、A 6、D 7、D 8、D 9、B 10、A
二．填空题（共5小题）
11、0； 12、-1＜x＜3； 13、x=-2或1； 14、3；m＜n； 15、；
三．解答题（共5小题）
16、解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，
∴m=-1，
∴y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴顶点坐标为（1，-4）；
（2）∵抛物线解析式为y=x2-2x-3，
令y=0，得x2-2x-3=0，
解得x1=3，x2=-1．
∴抛物线与x轴交点坐标为（3，0），（-1，0），
函数图象如图所示；
（3）如图所示，当x＜1时，y随x的增大而减小；
故答案为：减小；
（4）∵抛物线与x轴交点坐标为（3，0），（-1，0），抛物线开口向上，
∴当y＜0时，x的取值范围是-1＜x＜3．
故答案为：-1＜x＜3．
17、解：（1）把点B（0，-4），C（2，0）代入y1=ax2+x+m得，
解得，
∴此抛物线的函数解析式为y=x2+x-4；
（2）把y=0代入y2=-x-4得，-x-4=0，解得x=-4，
∴A（-4，0），
由图象可知，y2＜y1时，x的取值范围x＜-4或x＞0．
18、解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（-1，0）和点B（4，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4；
（2）如图1，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，
当x=0时，y=4，
∴C（0，4），
设直线BC的解析式为y=kx+s,
将C（0，4），B（4，0）代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为y=-x+4，
设P（t,-t2+3t+4），则F（t,-t+4），
∴PF=-t2+4t,
∵，
∴，
∴，
即，解得t1=1，t2=3，
∴P的坐标为（1，6）或（3，4）．
19、解：（1）解法一：由题意可设抛物线的函数表达式为y=a（x+4）（x-1），
∴，
∴抛物线的函数表达式为；
解法二：∵抛物线y=-x2+bx+c过点A（-4，0）、B（1，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）令x=0，则y=3，
∴C（0，3），
设直线AC的解析式为y=kx+t,
将点A（-4，0），（0，3）代入得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为，
设点P的坐标为，则点H的坐标为，
∵抛物线的对称轴为直线x=-=，
∴点D的坐标为，
∴PD=-3-a-a=-3-2a,PH=，
∴PD+PH===
∴当a=时，PD+PH有最大值，最大值为，
此时，点P的坐标为，
∴PD+PH的最大值为，点P的坐标为．
20、将A（-3，0）、B（6，0）代入y=ax2+bx+9得：9a-3b+9=0，36a+6b+9=0，
解得：a=-1/2，b=3/2，
∴抛物线的解析式为：．
（2）对于抛物线，当x=0时，y=6，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，9），
∴OC=9，
∵A（-3，0）、B（6，0），
∴OA=3，OB=6，
∴AB=OA+OB=9，
∴OC=AB=9，
过点D作DF⊥x轴，垂足为F，
∴DE∥OC，
∴△ADF∽△ACO，
∴AD：AC=DF：OC，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴AD：AC=AE：AB，
∴DF：OC=AE：AB，
∵OC=AB=9，
∴DF=AE，
设点E的坐标为（t,0），△CDE的面积为S，
则AE=t-（-3）=t+3，
∴DF=AE=t+3，
，
即：，
∴当时，S为最大，
此时．
∴△CDE面积的最大值为．
一．选择题（共10小题）
1．若二次函数y=kx2-2x-1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＞-1 B．k≤1且k≠0 C．k＜-1 D．k≥-1且k≠0
2．二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知方程ax2+bx+c=0的根是（ ）
A．x1=-1，x2=5 B．x1=-2，x2=4 C．x1=-1，x2=2 D．x1=-5，x2=5
3．若函数y=ax2+bx的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
4．二次函数y=x2-2x-3图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜-1 B．-1＜x＜3 C．x＞3 D．x＜-1或x＞3
5．如图是二次函数y=-x2-2x+3的图象，使y≥0成立的x的取值范围是（ ）
A．-3≤x≤1 B．x≥1 C．x＜-3或x＞1 D．x≤-3或x≥1
6．已知A=x2+a,B=2x,若对于所有的实数，A的值始终比B的值大，则a的值可能是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
7．二次函数y=x2-ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x=1，它的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点为D．且A（-1，0），则下列结论不正确的是（ ）
A．a=2
B．它的图象与y轴的交点坐标C为（0，-3）
C．图象的顶点坐标D为（1，-4）
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
8．二次函数y=2x2+bx的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程2x2+bx-2t=0（t为实数）在-1＜x＜4的范围内有唯一一个实数解或两个相等的实数解，则t的取值范围是（ ）
A．t≥-1 B．-1≤t＜3
C．-1≤t＜8 D．3≤t＜8或t=-1
9．如图，抛物线L1：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，已知二次函数y=-（x+1）（x-4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP，交BC于点K，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
二．填空题（共5小题）
11．抛物线y=3x2+4x+2与x轴的交点个数是 ______．
12．如图，抛物线y=ax2+c与直线y=kx+b交于A（-1，m），B（3，n）两点，则关于x的不等式ax2-kx＜b-c的解集是 ______．
13．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … - -1 - 0 1 …
y … - -2 - -2 - 0 …
则ax2+bx+c=0的解为______．
14．计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数y=x2（x-3）和y=x-3的图象如图所示．根据图象可知方程x2（x-3）=x-3的解的个数为______；若m,n分别为方程x2（x-3）=1和x-3=1的解，则m,n的大小关系是______．
15．如图，抛物线y=x2-2x-3交x轴于A、B两点（A在B的右侧），交y轴于点C，点于D是线段AC的中点，点P是线段AB上一个动点，△APD沿DP折叠得△A′PD，则线段A′B的最小值是 ______．
三．解答题（共5小题）
16．已知抛物线y=x2+（m-1）x+m-2的对称轴为直线x=1，请你解答下列问题：
（1）求m的值及顶点坐标；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标，并画出函数图象；
（3）当x＜1时，y随x的增大而 ______（填“增大”或“减小”）；
（4）当y＜0时，x的取值范围是 ______．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与直线y2=-x-4交于点A、B，其中点B坐标为（0，-4），点C坐标为（2，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）根据图象，直接写出y2＜y1时，x的取值范围．
18．如图，抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，若，求点P的坐标．
19．如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-4，0）、B（1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线l,点P是直线l左侧抛物线上一点且点P在x轴上方．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点D，过点P作y轴的平行线交AC于点H，求PD+PH的最大值及此时点P的坐标．
20．如图，抛物线y=ax2+bx+9与x轴交于A（-3，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是线段AC上一点（点D与点A、C不重合），过点D作BC的平行线，交AB于点E．连接CE，求△CDE面积的最大值．
北师大版九年级下2.5二次函数与一元二次方程同步练习
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、D 2、A 3、A 4、B 5、A 6、D 7、D 8、D 9、B 10、A
二．填空题（共5小题）
11、0； 12、-1＜x＜3； 13、x=-2或1； 14、3；m＜n； 15、；
三．解答题（共5小题）
16、解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，
∴m=-1，
∴y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴顶点坐标为（1，-4）；
（2）∵抛物线解析式为y=x2-2x-3，
令y=0，得x2-2x-3=0，
解得x1=3，x2=-1．
∴抛物线与x轴交点坐标为（3，0），（-1，0），
函数图象如图所示；
（3）如图所示，当x＜1时，y随x的增大而减小；
故答案为：减小；
（4）∵抛物线与x轴交点坐标为（3，0），（-1，0），抛物线开口向上，
∴当y＜0时，x的取值范围是-1＜x＜3．
故答案为：-1＜x＜3．
17、解：（1）把点B（0，-4），C（2，0）代入y1=ax2+x+m得，
解得，
∴此抛物线的函数解析式为y=x2+x-4；
（2）把y=0代入y2=-x-4得，-x-4=0，解得x=-4，
∴A（-4，0），
由图象可知，y2＜y1时，x的取值范围x＜-4或x＞0．
18、解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（-1，0）和点B（4，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4；
（2）如图1，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，
当x=0时，y=4，
∴C（0，4），
设直线BC的解析式为y=kx+s,
将C（0，4），B（4，0）代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为y=-x+4，
设P（t,-t2+3t+4），则F（t,-t+4），
∴PF=-t2+4t,
∵，
∴，
∴，
即，解得t1=1，t2=3，
∴P的坐标为（1，6）或（3，4）．
19、解：（1）解法一：由题意可设抛物线的函数表达式为y=a（x+4）（x-1），
∴，
∴抛物线的函数表达式为；
解法二：∵抛物线y=-x2+bx+c过点A（-4，0）、B（1，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）令x=0，则y=3，
∴C（0，3），
设直线AC的解析式为y=kx+t,
将点A（-4，0），（0，3）代入得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为，
设点P的坐标为，则点H的坐标为，
∵抛物线的对称轴为直线x=-=，
∴点D的坐标为，
∴PD=-3-a-a=-3-2a,PH=，
∴PD+PH===
∴当a=时，PD+PH有最大值，最大值为，
此时，点P的坐标为，
∴PD+PH的最大值为，点P的坐标为．
20、将A（-3，0）、B（6，0）代入y=ax2+bx+9得：9a-3b+9=0，36a+6b+9=0，
解得：a=-1/2，b=3/2，
∴抛物线的解析式为：．
（2）对于抛物线，当x=0时，y=6，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，9），
∴OC=9，
∵A（-3，0）、B（6，0），
∴OA=3，OB=6，
∴AB=OA+OB=9，
∴OC=AB=9，
过点D作DF⊥x轴，垂足为F，
∴DE∥OC，
∴△ADF∽△ACO，
∴AD：AC=DF：OC，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴AD：AC=AE：AB，
∴DF：OC=AE：AB，
∵OC=AB=9，
∴DF=AE，
设点E的坐标为（t,0），△CDE的面积为S，
则AE=t-（-3）=t+3，
∴DF=AE=t+3，
，
即：，
∴当时，S为最大，
此时．
∴△CDE面积的最大值为．