北师大版九年级上 第1章 特殊的平行四边形 单元测试（含答案）

北师大版九年级上 第1章 特殊的平行四边形 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．已知：如图，菱形ABCD对角线AC与BD相交于点O，E为BC的中点E，AD=6cm,则OE的长为（　　）
A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=10，AC=12，过D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△CDE的面积为（　　）
A．42 B．46 C．48 D．52
3．如图，四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，则∠BPC等于（　　）
A．20° B．30° C．35° D．40°
4．如图，正方形ABCD中，∠DAF=25°，AF交对角线BD于点E，那么∠BEC等于（　　）
A．45° B．60° C．70° D．75°
5．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E、F分别为AO、AD的中点，若EF=3，则OD的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为（　　）
A．17 B．18 C．19 D．20
7．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠AED为（　　）
A．10° B．15° C．30° D．120°
8．如图，已知正方形ABCD边长是5，点P是线段BC上一动点，过点D作DE⊥AP于点E．连接EC，若CE=CD，则△CDE的面积是（　　）
A． B．20 C． D．10
9．如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，过点B作BF⊥AE于点F，延长BF至G，使AF=FG，连接CG，AG，若∠DCG=α，则∠BAE一定等于（　　）
A．45°-α B．2α C．90°-2α D．α
10．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点E为AC的中点，在△AFC中，∠AFC=90°，连接BE，BF，EF，若∠ACB=50°，∠ECF=24°，则∠EFB的度数为（　　）
A．14° B．16° C．18° D．20°
11．如图，点E是正方形ABCD外一点，连接AE、BE和DE，过点A作AE垂线交DE于点P．若AE=AP=2，PB=6．下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为2；④S正方形ABCD=32+4．则正确结论的个数是（　　）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
12．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，点E是BC边上的动点，连接OE并延长交AB的延长线于点P，过点O作OQ⊥OP交CD于点F，交BC延长线于点Q，连接PQ．若点E恰好是OP中点时，则PQ的长为（　　）
A．2 B． C． D．
二．填空题（共5小题）
13．如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，连接AE．若AB=2，则AE的长为 ______．
14．如图，AD∥BC，AB∥DC，AB=4，∠ADE=150°，那么∠A=______时，四边形ABCD是菱形，且BD=______．
15．已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，AC=6，BD=8，则OE的长为______．
16．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=2，CE=5，H是AF的中点，那么CH的长是______．
17．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为AB边上一动点，以DE为边向右作正方形DEFG，连接CF，则CF的最小值为 ______．
三．解答题（共5小题）
18．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．
（1）求证：四边形OBEC是菱形；
（2）若AD=4，AB=2，求菱形OBEC的面积．
19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2BC，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点．
求证：（1）BE⊥AC；
（2）连接AF，求证：四边形AGEF是菱形．
20．如图所示，点A是菱形BDEF对角线的交点，BC∥FD，CD∥BE，连接AC，交BD于O．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若BE=10，DF=24，求AC的长．
21．如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE，以AE为边在AB右侧作正方形AEFH，连接AF，交CD于点N，连接EN．过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．
（1）求证：BE=CG；
（2）求证：BE+DN=EN．
22．如图，在矩形ABCD中，AM平分∠BAD，交BC于点M，点N是AD上的一点，连接MN，MD，且MN=MD．过点D作DF⊥MN于F，DF延长线交AM于E，过点E作EP⊥AD于P．
（1）如图1，①若CD=6，AD=8，求线段CM的长；
②求证：△PED≌△CMD；
（2）如图2，过点F作FH⊥CD于H，当AM=AD时，若AB=1，求FH的值．
北师大版九年级上第1章特殊的平行四边形单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、C 3、B 4、C 5、D 6、D 7、B 8、D 9、A 10、B 11、C 12、D
二．填空题（共5小题）
13、； 14、120°；4； 15、2.5； 16、； 17、5；
三．解答题（共5小题）
18、证明：（1）∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OB=OC，
∴四边形OBEC是菱形；
（2）∵AD=4，AB=2，
∴S矩形ABCD=4×2=8，
∴S△OBC=S矩形ABCD=2，
∴菱形OBEC的面积=2S△OBC=4．
19、解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=BD，即BD=2BO，
又∵BD=2BC，
∴OB=BC，
又∵点E是OC的中点，
∴BE⊥AC；
（2）∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF=CD，
∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，
∴GE=AG=AB，
∴又∵平行四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，
∴EG=EF=AG，EF∥AG，
∴四边形AGEF是菱形．
20、（1）证明：∵BC∥FD，CD∥BE，
∴四边形ABCD是矩形，
∵四边形BDEF是菱形，
∴FD⊥BE，
∴∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形BDEF是菱形，
∴AF=AD，AB=AE，∠BAD=90°，
∵BE=10，DF=24，
∴AB=5，AD=12，
根据勾股定理得：BD==13，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=13．
21、证明：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFH是正方形，
∴AE=EF，∠B=∠AEF=90°，
∴∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠GEF，
∴∠BAE=∠GEF，
∵FG⊥BC，
∴∠G=90°=∠B，
∴△ABE≌△EGF（AAS），
∴AB=EG=BC，
∴BE=CG；
（2）延长EB至点M，使得BM=DN，连接AM，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABM=∠D=90°，
∴△ABM≌△ADN（SAS），
∴AM=AN，∠MAB=∠NAD，
∵四边形AEFH是正方形，
∴∠EAN=45°，
∴∠BAE+∠NAD=45°=∠MAB+∠BAE=∠MAE，
∴∠MAE=∠EAN，
∵AE=AE，
∴△MAE≌△NAE（SAS），
∴ME=NE，
∵ME=MB+BE，
∴EN=MB+BE=DN+BE．
22、（1）解：①如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BAD=90°，AB=CD=6，AD=BC=8，
∵AM平分∠BAD，
∴∠BAM=∠BAD=45°，
∴∠BAM=∠AMB=45°，
∴BM=AB=6，
∴CM=BC-BM=8-6=2；
②证明：如图1中，过点M作MH⊥AD于H．
∵MN=MD，
∴∠MND=∠MDN，
∵MN⊥DE，
∴∠EDP+∠MND=90°，
∵∠CDM+∠MDN=90°，
∴∠EDP=∠CDM，
∵∠MAH=∠AMH=45°，
∴∠DEM=∠MAH+∠ADE=45°+∠ADE，∠DME=∠AMH+∠DMH，
∵MH∥CD，
∴∠DMH=∠CDM=∠EDP，
∴∠DME=∠DEM，
∴DM=DE，
在△PED和△CMD中，
，
∴△PED≌△CMD（AAS）；
（2）解：如图3中，过点F作FR⊥BC于R．
∵AB=1，
AB=CD=1，则AB=BM=1，AM=AD=，
∴BC=AD=，CM=BC-BM=，
∵△PED≌△CMD，
∴PE=CM=，
∵∠EAP=45°，
∴AE=PE=2-，
∵AM=AD，∠MAD=45°，
∴∠AMD=∠ADM=67.5°，
∵DM=DE，
∴∠DEM=∠DME=67.5°，
∴∠MDE=45°，
∵MN⊥DE，
∴∠DFM=90°，∠FDM=∠FMD=45°，
∴FM=FD，
∵FR⊥BC，FH⊥CD，
∴∠FRM=∠FHD=90°，
∵∠C=∠CRF=∠CHF=90°，
∴四边形CRFH是矩形，
∴∠RFH=∠MFD=90°，
∴∠RFM=∠HFD，
在△FRM和△FHD中，
，
∴△FRM≌△FHD（AAS），
∴FR=FH，RM=DH，
∴四边形CRFH是正方形，
∴CM+CD=CR-RM+CH+DH=2FH，
∴2FH=，
∴FH=．