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锐角三角函数 单元知识强化训练卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanC的值为（ ）
A． B． C． D．
3．一张小凳子的结构如图所示，AB∥CD，∠1=∠2=，AD=50厘米，则小凳子的高度MN为( )
A．50厘米 B．厘米 C．50sin厘米 D．厘米
4．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且 ，则关于△ABC的形状的说法错误的是（ ）
A．它不是直角三角形 B．它是钝角三角形
C．它是锐角三角形 D．它是等腰三角形
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= ，则cosB的值等于（ ）
A． B． C． D．1
6．在 中， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
7．若中，锐角A、B满足，则是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
8．在△ABC中，∠C=90°，sinB=，则∠B为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=12，BC=5，则cosA等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上．若直线交轴负半轴于点，且，则直线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． .
12．如图，一艘渔船向东航行，8点到达O处，灯塔A在其北偏东60°方向，距离16海里，10点到达B处，灯塔A在其正北方向，此时渔船与灯塔A相距 海里．
13．在中，，，如果，那么 ．
14． 如图，斜坡AB 的长为100m，坡角∠ABC=30°，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡AB改造成坡比为1：5 的斜坡 BD(A，D，C 三点在地面的同一条垂线上)，那么由点 A 到点D 下降了 m.
15．如图，码头 在码头 的正东方向，两个码头之间的距离为10海里，今有一货船由码头 出发，沿北偏西60°方向航行到达小岛 处，此时测得码头 在南偏东45°方向，则码头 与小岛 的距离为 海里（结果保留根号）.
16．如图，岸边堤坝和湖中分别伫立着甲、乙两座电线塔，甲塔底 和堤坝 段均与水平面 平行， 为 中点， 米， 米．某时刻甲塔顶 影子恰好落在斜坡底端 处，此时小章测得2米直立杆子的影长为1米．随后小章乘船行驶至湖面点 处，发现点 ， ， 三点共线，并在 处测得甲塔底 和乙塔顶 的仰角均为 ，则塔高 的长为 米；若小章继续向右行驶10米至点 ，且在 处测得甲、乙两塔顶 ， 的仰角均为 ．若点 ， ， ， 在同一水平线上， ，则甲、乙两塔顶 ， 的距离为 米．（参考数据： ， ， ， ）
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
18．如图，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，港口A位于B的北偏西30°的方向上．求A、C之间的距离．（结果精确到0.1海里，参考数据 ≈1.41， ≈1.73）
19．如图，某数学小组测量街阳三塔之一“来雁塔”的高度，在坡底D处测得测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达平台C处，在C处测得塔顶A的仰角为
（1）求坡顶C到地面的距离：
（2）计算来雁塔的高度．
20．如图，小红同学为了测量小河对岸某塔的高度，他在与塔底B同一水平线上的点C处测得塔的顶端A的仰角为，接着他沿着坡度的斜坡向上行走10米到达点D处（点A、B、C、D、E、F在同一平面内），此时测得塔的顶端A的仰角为．（参考数据：，，，，）
（1）求点D到的距离；
（2）求塔的高度．（结果精确到0.1米）
21．大白将如图某个棱长为正方体木块固定于水平木板上，，将木板绕端点O旋转至（即），于点E，交于点，延长线于点G．
（1）求点到的距离；
（2）在（1）问的基础上求点C竖直方向上抬升的高度．（参考数据：，，．（1）（2）题中结果精确到个位）
22．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，
（1）求电杆上CD部分的长；
（2）求拉线CE的长（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）．
23．在中，BE平分，AD是BC边上的高，.
（1）求的度数；
（2）若，，求AC的长度。
24．无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
（1）填空：___________度，___________度；
（2）求楼的高度（结果保留根号）；
（3）求此时无人机距离地面的高度．
25．两个智能机器人在如图所示的 区域工作， 直线 BD 为生产流水线，且BD 平分 的面积（即D为AC 中点）.机器人甲从点A 出发，沿A→B的方向以 的速度匀速运动，其所在位置用点 P 表示，机器人乙从点 B 出发，沿B→C→D的方向以 的速度匀速运动，其所在位置用点 Q 表示.两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为t（min），记点P到 BD 的距离（即垂线段 的长）为 点Q到 BD的距离（即垂线段（ 的长）为 .当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时 与t的部分对应数值如下表
t（min） 0 5.5
0 16 16 0
（1）机器人乙运动的路线长为 m；
（2）求 的值；
（3）当机器人甲、乙到生产流水线 BD 的距离相等（即 时，求t 的值.
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锐角三角函数 单元知识强化训练卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5 ，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据余弦函数的定义，cosA=∠A的邻边∶斜边即可直接得出答案.
2．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanC的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，在格点△ADC中，AD=2，DC=4，tanC= = ．
故答案为：A．
【分析】利用正切的定义可得tanC= = 。
3．一张小凳子的结构如图所示，AB∥CD，∠1=∠2=，AD=50厘米，则小凳子的高度MN为( )
A．50厘米 B．厘米 C．50sin厘米 D．厘米
【答案】C
【解析】【解答】解：设AD与BC交于O，如图：
∵AB∥CD，∠1＝∠2＝α，
∴∠D＝α，
∵小凳子的高MN，
∴∠OND＝∠OMA＝90°，
Rt△DON中，sinD＝sinα＝，
∴ON＝OD sinα，
Rt△AOM中，sinA＝sinα＝，
∴OM＝OA sinα，
∴MN＝ON＋OM＝OD sinα＋OA sinα＝（OD＋OA） sinα＝AD sinα，
∵AD＝50，
∴MN＝50sinα，
故答案为：C．
【分析】设AD与BC交于O，利用解直角三角形的方法可得ON＝OD sinα，OM＝OA sinα，再利用线段的和差求出MN＝ON＋OM＝OD sinα＋OA sinα＝（OD＋OA） sinα＝AD sinα，再结合AD＝50，求出MN＝50sinα即可.
4．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且 ，则关于△ABC的形状的说法错误的是（ ）
A．它不是直角三角形 B．它是钝角三角形
C．它是锐角三角形 D．它是等腰三角形
【答案】C
【解析】【解答】∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角，sinA＝ ，cosB＝ ，
∴∠A＝∠B＝30°.
∴∠C＝180° ∠A ∠B＝180 30° 30°＝120°.
故答案为：C.
【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= ，则cosB的值等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】【解答】解：cosB=cos（90°﹣A）=sinA= ，
故选：C．
【分析】根据互余两角三角函数的关系解答即可．
6．在 中， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由已知得sinA=cosB= ，故C错误，D正确；
设BC=3k，AB=5k，则由勾股定理得AC=4k，
∴cosA= ，故A错误；
sinB= ，故B错误；
故答案为：D.
【分析】根据已知给出的条件，知sinA=cosB= ，逐个依次判断每个选项即可.
7．若中，锐角A、B满足，则是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意得，
∴，
∴锐角A=60°，锐角B=60°，
∴△ABC为等边三角形.
故选：D.
【分析】根据非负数的性质得到，，再根据特殊角的三角函数值得到锐角A=60°，锐角B=60°，然后根据等边三角形的判定方法进行判断.
8．在△ABC中，∠C=90°，sinB=，则∠B为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵sin60°=，
∴∠B=60°．
故选C．
【分析】根据60°角的正弦值等于解答．
9．在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=12，BC=5，则cosA等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=12，BC=5，
∴AB= =13，
∴cosA= = ，
故选：C．
【分析】根据勾股定理求出AB，根据余弦的定义计算即可．
10．如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上．若直线交轴负半轴于点，且，则直线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：作轴，轴，则：，
∵正方形，
∴，
∴，
在△AEB和△BFC中
∴（AAS），
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴设，
则：，
∴，
设，则：，
∴，
∴，
∵点、在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去）；
当时，，
∴，
∴，即：，
设直线的解析式为直线，
则：，解得：，
∴；
故答案为：C．
【分析】过A作轴，过C作轴，由题意，用角角边可得，由全等三角形的对应边相等可得，由等角的余角相等可得，于是可得，设，则：，设，则：，根据点在反比例函数上可将A、C两点代入反比例函数的解析式可得关于ma的方程组，解方程组可求出的值，则可得点、的坐标，然后用待定系数法可求解.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． .
【答案】
【解析】【解答】解：原式
.
故答案为：.
【分析】根据特殊角的三角函数值可得原式=2×+3×，计算即可.
12．如图，一艘渔船向东航行，8点到达O处，灯塔A在其北偏东60°方向，距离16海里，10点到达B处，灯塔A在其正北方向，此时渔船与灯塔A相距 海里．
【答案】8
【解析】【解答】解：由题意知，，海里，
则海里；
故答案为：8
【分析】根据含角直角三角形的性质，可知角对应边等于斜边的一半，据此即可求解。
13．在中，，，如果，那么 ．
【答案】
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，由cosB=，得：BC=AB×cosB=14×=10，
∴AC=.
故答案为：.
【分析】首先根据余弦的定义求得BC的长度，再根据勾股定理求得AC的长度即可。
14． 如图，斜坡AB 的长为100m，坡角∠ABC=30°，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡AB改造成坡比为1：5 的斜坡 BD(A，D，C 三点在地面的同一条垂线上)，那么由点 A 到点D 下降了 m.
【答案】
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴，
，
∵斜坡BD的坡度i=1：5，
∴DC：BC=1：5
∴，
则，
故答案为：.
【分析】根据直角三角形的性质求出AC，根据余弦的定义求出BC，根据坡度的概念求出CD，结合图形计算，得到答案.
15．如图，码头 在码头 的正东方向，两个码头之间的距离为10海里，今有一货船由码头 出发，沿北偏西60°方向航行到达小岛 处，此时测得码头 在南偏东45°方向，则码头 与小岛 的距离为 海里（结果保留根号）.
【答案】
【解析】【解答】解：作CD⊥AB交AB延长线于点D，∠D=90°，如图，
由题意，得∠DCB=45°，∠CAD=90°﹣60°=30°，AB=10海里，
设CD=x海里，
在Rt△DCB中，tan∠DCB= ，tan45°= =1，BD=x，AD=AB+BD=10+x，
tan30°= ，解得x= ，
∵∠CAD=30°，∠CDA=90°，∴AC=2CD= （海里），
故答案为： .
【分析】作CD⊥AB交AB延长线于点D，在Rt△DCB中，根据等腰直角三角形的性质得出BD=CD=x，进而表示出AD，在Rt△CAD中，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值可得CD的长，最后由30°角所对直角边等于斜边的一边，可得答案.
16．如图，岸边堤坝和湖中分别伫立着甲、乙两座电线塔，甲塔底 和堤坝 段均与水平面 平行， 为 中点， 米， 米．某时刻甲塔顶 影子恰好落在斜坡底端 处，此时小章测得2米直立杆子的影长为1米．随后小章乘船行驶至湖面点 处，发现点 ， ， 三点共线，并在 处测得甲塔底 和乙塔顶 的仰角均为 ，则塔高 的长为 米；若小章继续向右行驶10米至点 ，且在 处测得甲、乙两塔顶 ， 的仰角均为 ．若点 ， ， ， 在同一水平线上， ，则甲、乙两塔顶 ， 的距离为 米．（参考数据： ， ， ， ）
【答案】17；
【解析】【解答】解：如图，延长AB交MN延长线于点G，延长FE交AG于点H，过点D作DR⊥FH于点R，交MN延长线于点I，
由题意得CB=BD=CD=6米，
∵四边形HGRI为矩形，
∴HR∥GI∥BD，HR=GI=BD=6米，
∴∠DFR=∠DPI=α=26.7°，
∴=tan26.7°=0.5，
∴设DR=x，则RF=2x，
又∵EF=2米，
∴RE=2x-2=2（x-1）米，
在Rt△DRE中，DE=5米，
∴x2+[2（x-1）]2=25，
整理，解得：x=-（舍去）或x=3，
∴DR=3米，RE=4米，
∴HE=HR+RE=6+4=10米
∵某时刻甲塔顶A的影子恰好落在斜坡底端E处，此时小章测得2米直立杆子的影长为1米 ，
∴2：1=AH：HE，
∴AH=20米，
∴塔高AB=AH-BG=AH-DR=20-3=17米；
连接AT，过点T作TK∥MN交AB于点K，
∵tanα=tan26.7°==0.5，
∴IP=6+2RI，
∵PQ=10米，
∴GQ=GI+IP+PQ=22+2RI，AG=AH+RI=20+RI，
在Rt△AGQ中，∠AQG=β =36.8°，
∴tan36.8°==0.75，即=，
解得：RI=7米，
∴GQ=22+2×7=36米，AG=20+7=27米，
在Rt△TNP中，∠TPN=α=26.7°
∴tan26.7°==0.5，
∴PN=2TN，
在Rt△TQN中，∠AQN=β =36.8°，
∴tan36.8°==0.75，
∴QN=TN，
∴PQ=10=PN-QN=2TN-TN，
解得：TN=15米，
∴QN=20米，
∴KT=GN=GQ+QN=36+20=56米，AK=AG-TN=27-15=12米，
∴在Rt△AKT中，由勾股定理得：AT=，
∴AT=4.
故答案为：17，4.
【分析】延长AB交MN延长线于点G，延长FE交AG于点H，过点D作DR⊥FH于点R，交MN延长线于点I，由题意得CB=BD=6米，易得四边形HGRI为矩形，从而得HR∥GI∥BD，HR=GI=BD=6米，由平行线性质得∠DFR=∠DPI=α=26.7°，再由=tan26.7°=0.5，设DR=x，则RF=2x，进而表示RE=2（x-1）米，在Rt△DRE中，DE=5米，由勾股定理得x2+[2（x-1）]2=25，求得DR=3米，RE=4米，从而求出HE=10米，再由某时刻甲塔顶A的影子恰好落在斜坡底端E处，此时小章测得2米直立杆子的影长为1米 ，利用相似性质可得2：1=AH：HE，求得AH=20米，进而求得塔高AB的长即可；连接AT，过点T作TK∥MN交AB于点K，由tan26.7°==0.5，得IP=6+2RI，结合PQ=10米，表示出GQ=22+2RI，AG=20+RI，再由tan36.8°==0.75，即=，解得RI=7米，从而得GQ=36米，AG=27米，在Rt△TNP中，∠TPN=α=26.7°得PN=2TN，在Rt△TQN中，∠AQN=β =36.8°，得QN=TN，从而得PQ=10=PN-QN=2TN-TN，解得TN=15米，QN=20米，从而求出KT=56米，AK=12米，再在Rt△AKT中，利用勾股定理求得AT的长即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
【答案】解：原式.
【解析】【分析】先将特殊角三角函数值代入原式，再计算即可.
18．如图，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，港口A位于B的北偏西30°的方向上．求A、C之间的距离．（结果精确到0.1海里，参考数据 ≈1.41， ≈1.73）
【答案】解：作AD⊥BC，垂足为D，
由题意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°，
设CD=x，在Rt△ACD中，可得AD=x，
在Rt△ABD中，可得BD= x，
又∵BC=20，即x+ x=20，
解得：
∴AC= x≈10.3（海里）．
答：A、C之间的距离为10.3海里．
【解析】【分析】作AD⊥BC，垂足为D，设CD=x，利用解直角三角形的知识，可得出AD，继而可得出BD，结合题意BC=CD+BD=20海里可得出方程，解出x的值后即可得出答案．
19．如图，某数学小组测量街阳三塔之一“来雁塔”的高度，在坡底D处测得测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达平台C处，在C处测得塔顶A的仰角为
（1）求坡顶C到地面的距离：
（2）计算来雁塔的高度．
【答案】（1）解：延长交于点E，过点C作，垂足为F，
则，
设米，则米，
在中，米，
∴，
∴
解得，（负值舍去）
∴米，米；
即坡顶C到地面的距离为10米；
（2）解：设米，
在中，
∴；
在中，
∴
∴
∴，解得，
∴米．
【解析】【分析】（1）延长交于点E，过点C作，垂足为F，则，设米，则米，在中，根据勾股定理列出方程，解方程即可求出答案；
（2）设米，在中，根据锐角三角函数的定义可得，则；再在中，根据等腰直角三角形性质可得列出方程，解方程即可求出答案.
20．如图，小红同学为了测量小河对岸某塔的高度，他在与塔底B同一水平线上的点C处测得塔的顶端A的仰角为，接着他沿着坡度的斜坡向上行走10米到达点D处（点A、B、C、D、E、F在同一平面内），此时测得塔的顶端A的仰角为．（参考数据：，，，，）
（1）求点D到的距离；
（2）求塔的高度．（结果精确到0.1米）
【答案】（1）解：过点D作于点G．
在中，
，
，即，
∵米，
米，
答：点D到的距离为5米；
（2）解：过点D作于点H，则四边形是矩形．
米，
设，则米，
在中，
，
，
在中，米，
米，
在中，
，
．
解得米，
答：塔的高度约为米．
【解析】【分析】
（1）过点D作于点G，根据坡度=tan∠DCG计算即可求解；
（2）过点D作于点H，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形DGBH是矩形，由矩形的对边相等可得BH=DG，设，在Rt△CDG中，用勾股定理求出，由线段的和差DH=BG=CG+BC将DH用含x的代数式表示出来，在Rt△AHD中，根据锐角三角函数tan∠ADH=可得关于x的方程，解方程即可求解．
（1）解：过点D作于点G．
在中，
，
，即，
∵米，
米，
答：点D到的距离为5米；
（2）解：过点D作于点H，则四边形是矩形．
米，
设，则米，
在中，
，
，
在中，米，
米，
在中，
，
．
解得米，
答：塔的高度约为米．
21．大白将如图某个棱长为正方体木块固定于水平木板上，，将木板绕端点O旋转至（即），于点E，交于点，延长线于点G．
（1）求点到的距离；
（2）在（1）问的基础上求点C竖直方向上抬升的高度．（参考数据：，，．（1）（2）题中结果精确到个位）
【答案】（1）解：在中，
∵，，
∴，
答：点到的距离约为；
（2）解：在中，
∵，，
∴，
∴，
答：点C竖直方向上抬升的高度为．
【解析】【分析】（1）先求出OB'的长，再根据正弦求解即可.
（2）先利用余弦求出GB'和B'C'的长，再根据 计算即可.
22．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，
（1）求电杆上CD部分的长；
（2）求拉线CE的长（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）．
【答案】（1）解：过点A作AH⊥CD， 垂足为H，
由题意可知四边形ABDH为矩形， ∠CAH = 30°
∴AB=DH =1.5， BD=AH =6，在Rt△ACH中，
∴CH=AH·tan∠CAH，
∴CH= AH·tan∠CAH =6tan30°=6× (米) ，
∵DH=1.5，
；
（2）解：在Rt△CDE中，
米，
答：拉线CE的长为5.7米.
【解析】【分析】（1）由题意可先过点A作AH⊥CD于H.在Rt△ACH中， 可求出CH， 进而根据CD=CH+HD=CH+AB解答即可；
（2）再在Rt△CED中， 利用正弦的定义求出CE的长解答即可.
23．在中，BE平分，AD是BC边上的高，.
（1）求的度数；
（2）若，，求AC的长度。
【答案】（1）解：∵BE平分∠ABC
∴
又∵
∴
又∵AD是BC边上的高
∴
∴
（2）解：在Rt中
在Rt中：
又
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABD的度数，然后根据直角三角形的两个锐角互余解题即可；
（1）先根据正切的定义求出AD长，然后根据勾股定理求出AC长即可.
24．无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
（1）填空：___________度，___________度；
（2）求楼的高度（结果保留根号）；
（3）求此时无人机距离地面的高度．
【答案】（1）75；60
（2）米
（3）110米
25．两个智能机器人在如图所示的 区域工作， 直线 BD 为生产流水线，且BD 平分 的面积（即D为AC 中点）.机器人甲从点A 出发，沿A→B的方向以 的速度匀速运动，其所在位置用点 P 表示，机器人乙从点 B 出发，沿B→C→D的方向以 的速度匀速运动，其所在位置用点 Q 表示.两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为t（min），记点P到 BD 的距离（即垂线段 的长）为 点Q到 BD的距离（即垂线段（ 的长）为 .当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时 与t的部分对应数值如下表
t（min） 0 5.5
0 16 16 0
（1）机器人乙运动的路线长为 m；
（2）求 的值；
（3）当机器人甲、乙到生产流水线 BD 的距离相等（即 时，求t 的值.
【答案】（1）55
（2）解：根据题意，得乙机器人到达终点所用的时间为5.5min，
∴，
∵，，，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，
当点在上时，有，
∴，
解得：；
当点在上时，如图，过点作于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得： ，
∴；
（3）解：∵当时，有，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点在上时，由，得，
解得：；
当点在上时，由，得，
解得：；
综上所述，当时，的值为或.
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴，
∵为中点，
∴，
∵机器人乙从点出发，沿的方向以 的速度匀速运动，
∴机器人乙运动的路线长为，
故答案为：55.
【分析】（1）先利用勾股定理得的长，从而得的长，进而求出的长即可；
（2）结合（1）求出的值，利用勾股定理得的长，从而由直角三角形斜边上的中线性质得的长，进而根据等腰三角形“等边对等角”性质得，求出正弦值，，然后进行分类讨论：当点在上时，解直角三角形得的值，于是有关于的方程，解方程即可求出的值；当点在上时，过点作于，解直角三角形得的值，求出正弦值，解直角三角形得的值，于是有关于的方程，解方程即可求出的值，最后作差即可；
（3）先解直角三角形得的值，从而得的值，进而求出的值，于是解直角三角形得的值，然后进行分类讨论：当点在或，分别得关于的方程，解方程即可求解.
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