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2025-2026学年 九年级数学上学期第三次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪科版九年级数学上册全册。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．已知实数a，b满足，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，
．
故选：C．
2．在中，，，，则下列三角函数表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在中，，，，
，
，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B正确，符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D错误，不符合题意，
故选：B．
3．已知点在二次函数的图象上，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【详解】∵点和在二次函数的图象上，
代入函数得：，
当时，，
∴，
故．
故选：A．
4．在小孔成像问题中，根据如图所示，蜡烛长，若到的距离是，到的距离是，则像的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，作于，的延长线交于，
∵，
∴，，
根据题意，可得，，
∴，即
∴．
故选：C．
5．如图，点，，分别是三边上的中点，若的面积为12，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【详解】解：∵点D，E，F分别是三边上的中点，
∴都是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为12，
∴的面积为3，
故选：A．
6．二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：当时，二次函数的图象开口向上，顶点在y轴的负半轴，
反比例函数的图象在第一、三象限，
故选项A，B，C，D都不符合题意；
当时，二次函数的图象开口向上，顶点在y轴的正半轴，
反比例函数的图象在第二、四象限，故选项C符合题意．
故选：C．
7．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课时间x（）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第时注意力指数为40，前内注意力指数y是时间x的一次函数．以后注意力指数y是x的反比例函数．如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲这道题的时长不能超过（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：当时，设
将，两点代入得，
解得，
于是，
当时，，
当时，设，将代入得：，
于是，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
，所以，老师必须在12分钟以内讲完这道题．
故选：C．
8．如图，内部有一点D，且、、的面积分别为10、8、6．若的重心为G，则下列叙述正确的是（ ）
A．与的面积相同，且与平行
B．与的面积相同，且与不平行
C．与的面积相同，且与平行
D．与的面积相同，且与不平行
【答案】A
【详解】解：内部有一点D，且、、的面积分别为10、8、6，
，
的重心为G，
，
，
点D、G到的距离相等，且位于的同侧，
，故结论A正确；结论B错误；
又，，
∴，故选项C、D错误，
故选：A．
9．如图（1），E为矩形的边上一点，点F从点C出发沿折线运动到点A停止，将点F运动的路程记为x，的长记为y，若y与x的对应函数关系如图（2）所示，点P是函数图象的最低点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由图（2）得当时，则，当时，则，
∵点F从点C出发沿折线运动到点A停止，将点F运动的路程记为x，的长记为y，
∴，，
观察函数图象，当点从点运动到点A的过程中，的长，
∵都是常量，
∴的长是一次函数
观察函数图象，当点从点运动到点时，点F运动的路程记为x，即，
∵四边形是矩形
∴，
则，
∴，
∴，
∴（负值已舍去），
则，
∵点P是函数图象的最低点，
∴当时，，
此时，
∴，
∴，
当时，在中，，
即，
∴，
故选：D
10．如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为F，连接，下列四个结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，过D作交于N，
∵四边形是矩形，
∴，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
，
，，
，
垂直平分，
，
设，则，
同理可得，
∴，
∴，即，
∴；
综上所述：只有B选项错误．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11． （选填“”或“”或“”）．
【答案】
【详解】解：∵，且，
∴，
故答案为：．
12．如图，线段，点为线段的黄金分割点，则 ．
【答案】
【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且，
∴
∴，
故答案为：．
13．如图，平面直角坐标系中，，，，以为位似中心，把在点同侧按相似比放大，放大后的图形记作，则的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：如图，取的中点为点，
∴，
∵以为位似中心，把在点同侧按相似比放大，放大后的图形记作，
∴，
∴，
设点的坐标为，点的坐标为，
∵，，，即点B是的中点，
∴，解得，
∴，
又∵点为的中点，
∴，解得，
∴点的坐标为，
故答案为：．
14．如图，已知二次函数（，，为常数，且）的图象顶点为，经过点，有以下结论：；；时，随的增大而减小；对于任意实数，总有，其中结论正确的是 ．
【答案】
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的顶点为，
，
，
抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
，
，
故错误；
抛物线经过点，
，
故正确；
抛物线的顶点为，
抛物线的对称轴是，
当时，随的增大而减小，
故正确；
抛物线的顶点为，
当时，函数有最大值，
当时，函数值为，
，
，
故正确；
综上所述，结论正确的是．
故答案为：②③④．
三、解答题（本大题共9小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（8分）计算：
【答案】解：原式
16．（8分）如图，在中，，点E是的中点，，垂足为点D．已知．
(1)求线段的长；
(2)求的值．
【答案】（1）解：在中，，，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴；
（2）解：在中，，
∴，
∴．
17．（8分）如图，小明在学习图形的位似时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形．
(1)在图中标出和的位似中心点的位置，并写出点的坐标；
(2)若以点为位似中心，请你帮小明在图中画出的位似图形，使它与都在位似中心的同侧，且与的位似比为；
(3)若与在位似中心的异侧，且位似比为，直接写出此时点的坐标．
【答案】（1）解：如图：
∴点Q即为所求位似中心，
∴点Q的坐标为．
（2）解：如图：即为所求，
（3）解：如图：即为所求，
∴此时点的坐标为．
18．（8分）为了解学校附近一斜坡旁边一棵直立大树的高度，该校数学兴趣小组进行实地测量．如图，在斜坡顶部点C处测得大树顶端A的仰角为，大树底端B的俯角为，从点C出发沿远离大树的水平方向走4米到达点D处，测得大树顶端A的仰角为，点A，B，C，D在同一平面，延长交于点E．
(1)求线段的长度．（结果保留整数）
(2)计算大树的高度．（结果保留整数）（参考数据：，）
【答案】（1）解：根据题意可知，
∴，
∵，
∴，
∴，
设米，
∴米，
在中，（米），
在中，，
解得，
∴米，（米）；
答：线段的长度约为米；
（2）解：（米），
答：大树的高度约为5米．
19．（10分）如图，已知反比例函数与一次函数的图象相交于点、两点．
(1)分别求出反比例函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集；
【答案】（1）解：把代入中得：，
解得，
∴反比例函数解析式为，
把代入中得：，
∴，
把，代入得：，
∴，
∴一次函数解析式为．
（2）解：由函数图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象下方时，自变量的取值范围为或，
∴不等式的解集为或．
20．（10分）《黑神话：悟空》上线之后，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为中国的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔位于山西省洪洞县广胜寺景区，嘉嘉实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量并制作了下表．
主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度
测量方案 及示意图
测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平直线于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米．（以上数据均为近似值）
计算结果 请你根据上述信息，帮助嘉嘉实践小组求出飞虹塔的大致高度．
【答案】解：由题可得：，，，，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：飞虹塔的大致高度为．
21．（12分）如图，在Rt中，，，，是边上的动点，过点作，且使得与相交于点是的中点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求长的最小值．
【答案】（1）解：证明：
，
又
，
，
；
（2）
，
又
，
；
（3），
，
，
又是的中点，
，
，
又
，
当时，的长最小，最小值为，
此时的长最小，，
长的最小值为：．
22．（12分）综合与实践
【问题背景】
如图1，矩形中，．点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边的点处．
【问题解决】
（1）填空：的长为______．
（2）如图2，将沿线段向右平移，使点与点B重合，得到与交于点F，与交于点G．求的长；
【拓展探究】
（3）在图2中，连接，则四边形是平行四边形吗？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．
【答案】解：（1）如图：∵矩形中，
∴CD=AB=10，AD=BC=8
根据折叠的性质可得DC＇=DC=10
在直角三角形ADC＇中，AC＇=．
（2）由折叠可知：．
在中，根据勾股定理可求得，
∴．
在中，设，根据勾股定理，得，
解得，即．
如图：连接，则由平移可知，，且．
于是可得，
∴，
又∵，
∴．
（3）四边形不是平行四边形，理由如下：
由折叠可知；
又∵平移可知，且，
∴，
∴，即是等腰三角形，
∴．
如图，过点作于点H，则且，
∴ ．
设，则，
在中，根据勾股定理，得，
解得，
∴，
∴．
而在中，，
根据勾股定理可求得，
∴，即，
故四边形不可能是平行四边形．
23．（14分）如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，分别与直线和抛物线交于、两点，连接、、．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当的面积为时，求点的坐标；
(3)当时，的值为______；
(4)当的值最大时，的值为______．
【答案】（1）解：将点、、代入，得，
解得：，
故抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为：，
将、坐标代入，得，
解得：，
故直线的解析式为：；
∵点是线段上的一个动点，，点、分别是抛物线和直线上的点，
故点坐标为，点坐标为，
∴，
∵，
且，的面积为，
∴，
解得或，
当时，，
故点的坐标为；
当时，，
故点的坐标为．
故当的面积为时，点的坐标为或．
（3）解：根据题意可得，
即是等腰直角三角形，
∴；
当时，，
即，
过点作，则，，，
∵，，
∴，
在中，，
故在中，，
∴，，
由（2）可得点坐标为，
即，
解得或，
当时，此时点坐标为，即此时点与点重合，不符合题意，舍去；
故答案为：．
（4）解：由（2）可得点坐标为，，
故，
故，
即当时，的值最大．
故答案为：．
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2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪科版九年级数学上册全册。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．已知实数a，b满足，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，，，则下列三角函数表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知点在二次函数的图象上，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．在小孔成像问题中，根据如图所示，蜡烛长，若到的距离是，到的距离是，则像的长是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点，，分别是三边上的中点，若的面积为12，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
6．二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课时间x（）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第时注意力指数为40，前内注意力指数y是时间x的一次函数．以后注意力指数y是x的反比例函数．如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲这道题的时长不能超过（ ）
A． B． C． D．
8．如图，内部有一点D，且、、的面积分别为10、8、6．若的重心为G，则下列叙述正确的是（ ）
A．与的面积相同，且与平行
B．与的面积相同，且与不平行
C．与的面积相同，且与平行
D．与的面积相同，且与不平行
9．如图（1），E为矩形的边上一点，点F从点C出发沿折线运动到点A停止，将点F运动的路程记为x，的长记为y，若y与x的对应函数关系如图（2）所示，点P是函数图象的最低点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为F，连接，下列四个结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11． （选填“”或“”或“”）．
12．如图，线段，点为线段的黄金分割点，则 ．
13．如图，平面直角坐标系中，，，，以为位似中心，把在点同侧按相似比放大，放大后的图形记作，则的坐标为 ．
14．如图，已知二次函数（，，为常数，且）的图象顶点为，经过点，有以下结论：；；时，随的增大而减小；对于任意实数，总有，其中结论正确的是 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（8分）计算：
16．（8分）如图，在中，，点E是的中点，，垂足为点D．已知．
(1)求线段的长；
(2)求的值．
17．（8分）如图，小明在学习图形的位似时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形．
(1)在图中标出和的位似中心点的位置，并写出点的坐标；
(2)若以点为位似中心，请你帮小明在图中画出的位似图形，使它与都在位似中心的同侧，且与的位似比为；
(3)若与在位似中心的异侧，且位似比为，直接写出此时点的坐标．
18．（8分）为了解学校附近一斜坡旁边一棵直立大树的高度，该校数学兴趣小组进行实地测量．如图，在斜坡顶部点C处测得大树顶端A的仰角为，大树底端B的俯角为，从点C出发沿远离大树的水平方向走4米到达点D处，测得大树顶端A的仰角为，点A，B，C，D在同一平面，延长交于点E．
(1)求线段的长度．（结果保留整数）
(2)计算大树的高度．（结果保留整数）（参考数据：，）
19．（10分）如图，已知反比例函数与一次函数的图象相交于点、两点．
(1)分别求出反比例函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集；
20．（10分）《黑神话：悟空》上线之后，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为中国的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔位于山西省洪洞县广胜寺景区，嘉嘉实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量并制作了下表．
主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度
测量方案 及示意图
测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平直线于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米．（以上数据均为近似值）
计算结果 请你根据上述信息，帮助嘉嘉实践小组求出飞虹塔的大致高度．
21．（12分）如图，在Rt中，，，，是边上的动点，过点作，且使得与相交于点是的中点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求长的最小值．
22．（12分）综合与实践
【问题背景】
如图1，矩形中，．点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边的点处．
【问题解决】
（1）填空：的长为______．
（2）如图2，将沿线段向右平移，使点与点B重合，得到与交于点F，与交于点G．求的长；
【拓展探究】
（3）在图2中，连接，则四边形是平行四边形吗？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．
23．（14分）如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，分别与直线和抛物线交于、两点，连接、、．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当的面积为时，求点的坐标；
(3)当时，的值为______；
(4)当的值最大时，的值为______．
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