2025-2026学年上海市二中学高三上学期数学期中试卷（含解析）

市二中2025-2026学年第一学期高三年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.已知集合，，则______．
2.已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域为______．
3.若角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点，则______．
4.已知函数，其中，则______．
5.设，若，则实数的取值范围是______．
6.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
7.函数的最小正周期为______．
8.已知正数满足，则的最小值为______．
9.下图为某地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损．为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据：，，，，则两点间距离为______cm．（精确到1cm）
10.若函数存在最小值，则实数的取值范围为______．
11.锐角三角形的三个内角的度数成等差数列（公差不为0），则其最大边长与最小边长比值的取值范围是______．
12.已知，则的最小值为______．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13.设，则“”是“”的（ ）条件.
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
14.函数是（ ）.
A.偶函数，且没有极值点 B.偶函数，且有一个极值点
C.奇函数，且没有极值点 D.奇函数，且有一个极值点
15.函数的图象是由向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到的，若函数在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
16.已知函数满足，且当时，，现有如下四个命题：①为奇函数；②若，则；③若，则；④若，则，则其中为假命题的是（ ）.
A.①④ B.②③ C.①②④ D.①③④
三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-18题每题14分，第19-20题每题16分，第21题18分）
17.已知全集为实数集，集合，常数，．
（1）当时，求；
（2）若是的必要非充分条件，求实数的取值范围．
18.在中，内角所对的边分别为．已知．
（1）求角；
（2）若，求周长的最大值．
19.已知函数，其中为奇函数，为实数．
（1）求的值，指出函数的单调性并说明理由；
（2）若存在实数，使得成立，求实数的取值范围．
20.某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，每条车道宽为4米，现有一辆大卡车，在里侧车道，其车体水平截面图为矩形，它的宽为2.4米，车长为，车厢的左侧直线与双车道的分界线相交于、，记．
（1）若大卡车在转弯的某一刻，恰好，且、也都在双车道的分界线上，直线也恰好过路口边界，分别求与的长；
（2）在（1）的条件下，求此时大卡车的车长；
（3）为保证行车安全，在里侧车道转弯时，车体不能越过双车道分界线．求此大卡车车长的最大值．
21.若存在实数常数，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线．
（1）请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；
（2）求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条；
（3）试探究函数（e为自然对数的底数）和函数在上是否存在分界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11.锐角三角形的三个内角的度数成等差数列（公差不为0），则其最大边长与最小边长比值的取值范围是______．
【答案】
【解析】若的三个内角成等比数列，则，解得．
设角为最小角，即，则，
根据锐角中，，可得．
所以
因为，所以，可得，
由此可得，即最大边长与最小边长比值的取值范围是．
故答案为：．
12.已知，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
设，则在函数的图象上，在函数的图象上，
由反函数的性质可知，与关于直线对称，
所以问题转化为求与图象上两点距离的平方的最小值，
令，则，由对称性可得最小时，，
所以的最小值为．故答案为：2．
二、选择题
13.C 14.B 15.A 16.C
15.函数的图象是由向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到的，若函数在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象；
再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
得到函数的图象，
因为函数在区间上有且仅有两个零点，
故选A.
16.已知函数满足，且当时，，现有如下四个命题：①为奇函数；②若，则；③若，则；④若，则，则其中为假命题的是（ ）.
A.①④ B.②③ C.①②④ D.①③④
【答案】C
【解析】令，则；令，则．
令，得，故为偶函数，故①不正确；
任取，则，则，
故在上为减函数．由已知，可得，
故，解得，且，故②不正确；
若，则，故③正确；
若，则，，所以，故④不正确．
故选：．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1），在R上单减 （2）
20.某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，每条车道宽为4米，现有一辆大卡车，在里侧车道，其车体水平截面图为矩形，它的宽为2.4米，车长为，车厢的左侧直线与双车道的分界线相交于、，记．
（1）若大卡车在转弯的某一刻，恰好，且、也都在双车道的分界线上，直线也恰好过路口边界，分别求与的长；
（2）在（1）的条件下，求此时大卡车的车长；
（3）为保证行车安全，在里侧车道转弯时，车体不能越过双车道分界线．求此大卡车车长的最大值．
【答案】（1）， （2） （3）
【解析】（1）如图所示，作，垂足为，作，垂足为，
因为，所以
在Rt中，，在Rt中，，
（2）在Rt中，，在Rt中，，
所以米．
所以
（3）因为，所以
所以
令，则，因为，所以，
所以，所以，
设，则，所以，
易知在上单调递增，且，
所以在上单调递减，
所以当，即时，取得最小值．
所以最终符合条件的大卡车车长最大值为米.
21.若存在实数常数，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线．
（1）请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；
（2）求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条；
（3）试探究函数（e为自然对数的底数）和函数在上是否存在分界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）
【解析】（1）满足题意的直线可以是；
（答案不唯一，满足的均可）
（2）证明：由题意，设是函数和函数在上过坐标原点的分界线，则在上恒成立，
即1在上恒成立，因为，所以，
因为，所以，综上所述，
所以函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条；
（3）若存在，则恒成立，
令，则，所以，
因此，恒成立，即恒成立，
由得，，现在只要判断是否恒成立，
设，则，
当时，，当时，，
所以，即恒成立，
所以函数和函数在上存在分界线，其方程为．