2025-2026学年上海市二中学高二上学期数学期中试卷（含答案）

市二2025-2026学年第一学期高二年级数学期中
2025.11
一、填空题（分）
1．已知球的半径为2，则它的体积为 ．
2．在长方体中，设，若用向量表示向量，则 ．
3．已知空间中两个角，且角与角的两边分别平行，若，则 ．
4．在长方体中，与棱所在直线异面并且垂直的棱有 条．
5．圆锥的底面半径为3，高为1，则圆锥的侧面积为 ．
6．在空间直角坐标系中，若点关于坐标平面的对称点为点,点关于坐标原点的对称点为点，则的坐标为 ．
7.已知三点不共线，为平面外任意一点．若且四点共面，则实数 ．
8．若一个水平放置的三角形ABC的斜二测直观图是一条边是水平线段的等边三角形，则三角形ABC的形状是 ．
9．在正四棱锥中，为的中点，设，若，则 ．
10．在四面体中，为空间中一点，且满足，若四面体的体积为4，则四面体的体积为 ．
11．已知空间向量两两垂直，若空间点满足，记，且，则的取值范围为 ．
12．若棱长为4的正四面体可以在正方体内任意转动，则正方体的棱长最小值是 ．
二、选择题（分）
13．已知向量，则＂＂是＂＂的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
14.已知是两个不同的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）.
A．若，则 B.若，则
C．若,，则 D．若，则
15．如图，这是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为3km，山高为是山坡上一点，且．现要建设一条从到的环山观光公路，这条公路从出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，公路上坡路段长为（ ）.
A．10.2km B．12km C． D．
16．已知三棱锥的体积为，则（ ）.
A．3 B．4 C． D．
三、解答题（分）
17．在正四棱柱中，底面边长为1，体积为为的中点，证明：与是异面直线，并求出它们所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．
18．如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，圆柱的侧面积为，
（1）求三棱锥的体积：
（2）求直线与底面所成角的大小．
19．已知
（1）设，求函数的值域：
（2）在中，角所对应的边为,若的面积为,求的值.
20．已知数列的前项和满足条件，其中n是正整数．
（1）求证：数列成等比数列；
（2）设数列满足，若，求数列的前项和．
21．如图，某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作：先在地平面内作菱形．边长为，再在的上方，分别以与为底面安装上相同的正棱锥与．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.钝角三角形; 9.; 10.； 11. 12.
二、选择题
13.C 14.B 15.D 16.D
15．如图，这是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为3km，山高为是山坡上一点，且．现要建设一条从到的环山观光公路，这条公路从出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，公路上坡路段长为（ ）.
A．10.2km B．12km C． D．
【答案】D
【解析】由题意，半径为3，山高为∴母线长为
底面圆周长为，圆锥侧面展开图如图所示，圆心角，
即
作于，则，
∴上坡路段长．故选：D．
三、解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20．已知数列的前项和满足条件，其中n是正整数．
（1）求证：数列成等比数列；
（2）设数列满足，若，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）由题得（2分）
所以，故有分
又，解得，所以数列成等比数列（6分）
（2）由（1）得，则（8分）
故有
所以（10分）
（14分）
（16分）
21．如图，某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作：先在地平面内作菱形．边长为，再在的上方，分别以与为底面安装上相同的正棱锥与．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析 （2） （3）
【解析】（1）证明：由是相同正三棱锥，
可知与是全等等腰三角形,
取中点，连接，则
∵∴平面，∵平面∴（4分）
（2）由（1）知是二面角的平面角，（5分）
作平面，垂足为，作平面，垂足为，
则分别是正与正的中心，
从而点共线，与确定平面，且为矩形（6分）
可得（7分）
即二面角为（8分）
（3）由（1）知平面．
设点到平面的距离为，则．
又（12分）