2025-2026学年上海市二中学高一上学期数学期中试卷（含解析）

市二中2025-2026学年第一学期高一年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.已知常数且，如果无论取何值，函数的图像恒过定点，则的坐标是_____.
2.“且”的否定形式为_____.
3.已知命题:方程无实数根，命题；那么是
的_____条件.(用充分非必要,必要非充分,充要,非充分非必要填空)
4.已知集合，且，则的值所构成的集合
为_____.
5.不等式的解集是_____.
6.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是_____.
7.若是方程的两个实数根，则的值等于____.
8.已知，则_____.(请用含的代数式表达)
9.已知，则的最小值为_____.
10.某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价(元/件)与月销售量(件)之间的关系为,生产件的成本.若每月获得的利润不少于1300元,则该厂的月销售量的取值范围为_____(件).
11.设，不等式有解.请求出的取值范围为_____.
12.已知函数和同时满足以下两个条件:①对于任意实数,都有或；②总存在，使成立.则实数的取值范围是_____.
二、单选题
13.已知点在幂函数的图象上,则（ ）.
A.4 B.5 C.6 D.7
14.已知集合,则（ ）.
A. B. C. D.
15.若函数的图像经过第一,第三和第四象限,则一定有（ ）.
A.且 B.且
C.且 D.且
16.“群”的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用．＂群＂的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算＂＊＂，满足以下条件：
（1）任意．有
（2）如，有；
（3）在中有一个元素e，对任意，都有，称e为的单位元；
（4）任意，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元；此时称（）为一个群
例如实数集R和实数集上的加法运算＂＋＂就构成一个群，其单位元是0，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（ ）.
A．，则为一个群
B．为一个群
C．，则为一个群
D．，则为一个群
三、解答题
17.已知,若幂函数在区间上是严格减函数.
(1)求的值.
(2)若，求的取值范围.
18.对于四个正数,若满足,则称有序数对是的“下位序列”.
(1)有序数对是的“下位序列”吗 请简单说明理由；
(2)设、、、均为正数，且是的“下位序列”，试判断、、之间的大小关系.
19.如图所示,将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛,要求在上,在上，且对角线过点，已知米，米.
(1)要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围？
(2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值.
20.已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)是否存在实数使得方程有两个不相等的实数根且成立，若存在求出的值,若不存在,请说明理由;
(3)若关于的不等式的解集是实数集，求实数的取值范围.
21.若函数在其定义域内给定区间上存在实数,使得,则称函数是上的“平均值函数”,是它的一个均值点:
(1)判断函数是否为区间上的“平均值函数”，并说明理由:
(2)设函数是区间上的“平均值函数”，1是一个均值点,求所有满足条件的实数对;
(3)若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围；
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.充分非必要; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11.设，不等式有解.请求出的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
当且仅当时等号成立，
不等式有解，转化为，
所以，可得，解得．
所以的取值范围为．故答案为：．
12.已知函数和同时满足以下两个条件:①对于任意实数,都有或；②总存在，使成立.则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】对于（1）∵，当时，
又∵或∴在时恒成立，
则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与轴交点都在的左面，
则∴，即（1）成立的范围为0．
又∵（2）总存在，使0成立，
∴此时恒成立，
有成立的可能，
则只要-3比中的较小的根大即可，
（i）当时，较小的根为不成立，
（ii）当时，两个根同为，不成立，
（iii）当时，较小的根为成立，故，
综上可得（1）（2）成立时．故答案为：．
二、选择题
13.B 14.B 15.B 16.D
15.若函数的图像经过第一,第三和第四象限,则一定有（ ）.
A.且 B.且
C.且 D.且
【答案】B
【解析】根据指数函数的图像和性质可知，要使函数且的图像经过第一、三、四象限，则函数为增函数，
∴，且，即，解得，故选B．
16.“群”的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用．＂群＂的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算＂＊＂，满足以下条件：
（1）任意．有
（2）如，有；
（3）在中有一个元素e，对任意，都有，称e为的单位元；
（4）任意，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元；此时称（）为一个群
例如实数集R和实数集上的加法运算＂＋＂就构成一个群，其单位元是0，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（ ）.
A．，则为一个群
B．为一个群
C．，则为一个群
D．，则为一个群
【答案】D
【解析】A选项：有理数的和还是有理数，求和满足结合律，
设，单位元为e，则，故，所以每一个数的相反数为其逆元，
故为一个群，选项A正确；
B选项：中的任何两个数相加还是属于，求和满足结合律，
设，单位元为e，则，所以，
每一个数的相反数为其逆元，为一个群，故选项B正确；
C选项：中的两个元素相乘，其积可能为1或-1，又，
设，单位元为e，则，故的逆元为的逆元为-1，
所以则（）为一个群，故C正确；
D选项：两个奇数相乘还是奇数，乘法满足结合率，
设，单位元为e，则，故，
又，故存在，使得，则，矛盾，故不为一个群，故D错误.
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1）是 （2）
19.（1）
（2）当时，矩形花坛的面积最小，为.
20.已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)是否存在实数使得方程有两个不相等的实数根且成立，若存在求出的值,若不存在,请说明理由;
(3)若关于的不等式的解集是实数集，求实数的取值范围.
【答案】（1） （2）不存在 （3）
【解析】（1）当时，，即，解得，
故原不等式的解集为；
（2）因为的两个根为，，
则，即或，
因为，所以，即，所以，此时显然不符合题意，即不存在；
（3）的解集是实数集，
所以的解集是实数集，
即恒成立，
当时，恒成立，符合题意；
当时，，解得，故的范围为．
21.定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.
（1）判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由.
（2）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围.
（3）若函数是区间上的“平均值函数”，且1是函数的一个均值点，求所有满足条件的有序数对.
【答案】（1）是 （2） （3）
【解析】（1）是，理由如下：
由＂平均值函数＂的定义，存在，满足，
所以是区间上的＂平均值函数＂；
（2）若函数是区间上的＂平均值函数＂，
则存在，满足
即关于的方程在区间内有解．
参变分离，将方程转化为易知在上单调递减，
所以函数的值域为，因此；
（3）若函数是区间上的＂平均值函数＂，且1是函数的一个均值点，
则，即
得到，其中满足条件的解为，
即所有满足条件的有序数对为．