2025-2026学年上海浦东新区高二上学期数学期中试卷（含答案）

浦东区2025-2026学年第一学期高二年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题满分36分.）本大题共有12题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1.用符号表示“直线在平面内” .
2.两异面直线所成角的范围是 .
3.一部共享单车能依靠其脚撑停稳在平整的停车区内，其涉及的几何公理是_________.
4.一个正四棱柱底面边长为2，高为1，则它的表面积是 .
5.一个圆锥的底面半径为3，高为4，则它的侧面积为 .
6.一个球的半径为3 cm，则它的体积是 .
7.若空间三条直线满足，与相交,则、的位置关系是 .
8.在正方体中，体对角线与底面所成的线面角是 .（结果请用反三角形式表示）
9.三棱锥中，、、三条棱两两互相垂直，那么顶点在底面的投影一定是的 心.
10.在右图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40，母线长最短50、最长80，则斜截圆柱的侧面积S＝ .
（第10题） （第11题）
11.右图几何体是圆锥的一部分，其中,.从点出发经曲面运动到的最短路线的距离是 .
12.如右图，已知正方体的棱长为2，长为2的线段的一个端点M在棱上运动，点在正方体的底面内运动，则的中点的运动痕迹与正方体从顶点出发的三个面所围成的几何体的表面积是 .
二、选择题（本大题满分12分.）本大题共4题，每题3分.
13.“两条直线异面”的 条件是“两条直线不相交”（ ）.
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非充分且非必要
14. 圆柱底面直径扩大为原来的2倍，高缩小为原来的，则体积变为原来的（ ）.
A. 0.5倍 B. 1倍 C. 2倍 D. 4倍
15. 已知直线、相交，夹角为，交点为.在空间中过点且与直线、成相同夹角的直线只有3条，则的大小是（ ）.
A. B. C. D.
16. 下列命题是真命题的个数是（ ）.
（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；
（2）有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；
（3）过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；
（4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱.
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
三、解答题（本大题满分52分.）本大题共有5题.
17.(本题满分8分.) 张矩形纸片的规格为：，把它作为 个圆柱的侧 ，求卷成的圆柱的体积.（精确到，为保证精度，在计算器使用过程中不对值进行四舍五入）.
18.（本题满分10分.第1小题4分,第2小题6分.）
如图，在正方体中，
（1）求异面直线与所成角的大小.
（2）证明：面.
19.(本题满分10分.第一小题4分,第二小题6分.)
如图，四边形为正方形，是面外一点，设平面，且，为中点．
（1） 证明：平面;
（2） 求二面角的大小.
20.(本题满分12分.第1小题6分,第2小题6分.)
如图，某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的底面剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面的周长为，高为，圆锥的母线长为.
（1） 求这种“笼具”的体积（结果精确到）；
（2） 现要使用一种纱网材料制作个“笼具”，该材料的造价为每平方米元，共需多少元？（结果精确到分）
21.(本题满分12分.第一小题4分,第二小题4分,第三小题4分.)
如图，观察足球：这是由块黑皮（正五边形）和块白皮
（正六边形）缝合在一起形成的32面体.记面数为,棱数
为，顶点数为.作如下研究：
（1）数一数，能发现：每块黑皮相邻有（ ）块白皮，（ ）块黑皮.
每块白皮相邻有（ ）块白皮，（ ）块黑皮.
（2）想一想，用“”“”表示、两个量: =（ ）, =（ ）.
结合欧拉公式“”，计算可得 =（ ）, =（ ）.
（3）足球充足气之后，该32面体可视作近似的球体，假设棱长为 ，请估算足球的直径.（结果保留到整数）（数据参考：）
杨浦数学教研团队 庖丁解牛，游刃有余
整理：ShmathYu（公众号：上海数学研讨）
浦东区2025-2026学年第一学期高二年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题满分36分.）本大题共有12题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1.用符号表示“直线在平面内” .
【答案】()
2.两异面直线所成角的范围是 .
【答案】
3.一部共享单车能依靠其脚撑停稳在平整的停车区内，其涉及的几何公理是_________.
【答案】不共线的三点确定唯一平面
4.一个正四棱柱底面边长为2，高为1，则它的表面积是 .
【答案】16
5.一个圆锥的底面半径为3，高为4，则它的侧面积为 .
【答案】
6.一个球的半径为3 cm，则它的体积是 .
【答案】
7.若空间三条直线满足，与相交,则、的位置关系是 .
【答案】相交或异面
8.在正方体中，体对角线与底面所成的线面角是 .（结果请用反三角形式表示）
【答案】
9.三棱锥中，、、三条棱两两互相垂直，那么顶点在底面的投影一定是的 心.
【答案】垂心
10.在右图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40，母线长最短50、最长80，则斜截圆柱的侧面积
S＝ .
【答案】
11.右图几何体是圆锥的一部分，其中,.从点出发经曲面运动到的最短路线的距离是 .
【答案】
12.如右图，已知正方体的棱长为2，长为2的线段的一个端点M在棱上运动，点在正方体的底面内运动，则的中点的运动痕迹与正方体从顶点出发的三个面所围成的几何体的表面积是 .
【答案】
二、选择题（本大题满分12分.）本大题共4题，每题3分.
13.“两条直线异面”的 条件是“两条直线不相交”（ ）.
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非充分且非必要
【答案】B
14. 圆柱底面直径扩大为原来的2倍，高缩小为原来的，则体积变为原来的（ ）.
A. 0.5倍 B. 1倍 C. 2倍 D. 4倍
【答案】C
15. 已知直线、相交，夹角为，交点为.在空间中过点且与直线、成相同夹角的直线只有3条，则的大小是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
16. 下列命题是真命题的个数是（ ）.
（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；
（2）有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；
（3）过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；
（4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱.
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】D
三、解答题（本大题满分52分.）本大题共有5题.
17.(本题满分8分.) 张矩形纸片的规格为：，把它作为 个圆柱的侧 ，求卷成的圆柱的体积.（精确到，为保证精度，在计算器使用过程中不对值进行四舍五入）.
【答案】见解析
【解析】记圆柱底面周长为,面积为,半径为，高为，体积为.
，，
①以纸片为底面周长，以为母线（高），卷成圆柱体.
②以纸片为底面周长，以为母线（高），卷成圆柱体.
即卷成的圆柱体体积是或.
18.（本题满分10分.第1小题4分,第2小题6分.）
如图，在正方体中，
（1）求异面直线与所成角的大小.
（2）证明：面.
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】连接.正方体,
,,四边形.
.即异面直线与所成角或其补角.
在中，易得，..异面直线与所成角为.
（2）证明：连接.四边形是正方形，………………………1分
面,
是面的斜线，是其在面上的投影.
且面,由三垂线定理，.………………………2分
同理可得，.………………………………………………………………………1分
,,,面,面
面…………………………………………………………………………2分
19.(本题满分10分.第一小题4分,第二小题6分.)
如图，四边形为正方形，是面外一点，设平面，且，为中点．
（1） 证明：平面;
（2） 求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）证明：连接,设,…………1分
显然，是的中点，且是中点，是的一条中位线.
……………………………………1分
又平面，不在平面内，……………………………………1分
平面.……………………………………………………1分
（2）方法一：取中点,连接,.………………………………………………1分
平面，面,.
四边形为正方形，.又，.
是等腰直角.又为中点，.……………………………1分
底面, 底面，.
又四边形是正方形，.
且,面,面, 面.
面，.
,分别是,的中点，,.…………………………1分
且面,面,,
是二面角的平面角. …………………………………………1 分
在中，设，易得，，
在中，易得，,,,,
在中，易得，，
显然，,,……………………………1 分
即二面角的大小是 .…………………………………1 分
方法二：底面, 底面，.
又四边形是正方形，.且,面,面, 面.面，面面.
二面角的大小是 .（用证明方法，逻辑合理、结果正确，6分全给）
20.(本题满分12分.第1小题6分,第2小题6分.)
如图，某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的底面剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面的周长为，高为，圆锥的母线长为.
（1） 求这种“笼具”的体积（结果精确到）；
（2） 现要使用一种纱网材料制作个“笼具”，该材料的造价为每平方米元，共需多少元？（结果精确到分）
【答案】（1） （2）
【解析】（1）记圆柱的底面半径为，高为，体积,
圆锥的母线长为，高为，体积,
据题意，可知，.……………………………………………1分
.…………………………………………1分
，
笼具的体积…………………………4分
（2）记圆柱的侧面积为，底面积为，圆锥的侧面积为.
.……………………………………………………1分
.……………………………………………………1分
.……………………………………………………1分
笼具的表面积.…………1分
50个笼具造价为元. …………………………2分
21.(本题满分12分.第一小题4分,第二小题4分,第三小题4分.)
如图，观察足球：这是由块黑皮（正五边形）和块白皮
（正六边形）缝合在一起形成的32面体.记面数为,棱数
为，顶点数为.作如下研究：
（1）数一数，能发现：每块黑皮相邻有（ ）块白皮，（ ）块黑皮.
每块白皮相邻有（ ）块白皮，（ ）块黑皮.
（2）想一想，用“”“”表示、两个量: =（ ）, =（ ）.
结合欧拉公式“”，计算可得 =（ ）, =（ ）.
（3）足球充足气之后，该32面体可视作近似的球体，假设棱长为 ，请估算足球的直径.（结果保留到整数）（数据参考：）
【答案】（1）5、0、3、3 （2）见解析 （3）直径约为22
【解析】（1）5、0、3、3 ………………………………………………………………4分
（2）=, =，=12, =20. …………………………4分
（3）一个正五边形的面积： …………………1分
一个正六边形的面积： …………………1分
足球表面积近似为：
据，得………………………1分
所以，足球直径约为22.…………………………………………1分