2025—2026学年七年级数学上学期单元测试卷
第五章 一元一次方程单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D B A A B B C C
1．B
本题考查了方程的识别，根据含未知数的等式是方程逐项判断即可．
解：A．不是等式，故不是方程，不符合题意；
B．是含未知数的等式，是方程，符合题意；
C．不是等式，故不是方程，不符合题意；
D．不含未知数，故不是方程，不符合题意；
故选：B．
2．B
本题主要考查了一元一次方程的应用，将工作总量视为1，甲的工作效率为，乙的工作效率为，甲先做2小时完成的工作量为，乙做小时完成的工作量为，总工作量等于1，由此建立方程.
解：假设工作总量为1，
则甲的工作效率为，乙的工作效率为，
甲做2小时完成的工作量为 ，
乙做小时完成的工作量为，
∴ 总工作量方程：，
故选B.
3．D
本题考查了利用方程的解求参数，根据方程的解是，把代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程求出的值即可．
解：把代入方程，
得到：
解得：．
故选：D．
4．B
本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，成本价x元，提高后标价为，再打8折即乘以，售价为224元，因此方程为，即可求解．
解：设成本价为x元，
∵ 标价，
∴ 售价，
又∵ 售价，
∴，即选项B正确．
故选：B．
5．A
本题考查了一元一次方程的应用，利用总价单价数量，结合方案一和方案二所需的费用一样多，可列出关于的一元一次方程，解之即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
解：根据题意得，，
解得，
∴当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为本，
故选：．
6．A
本题考查解一元一次方程，熟练掌握新定义，是解题的关键：先求出的解，根据新定义，得到的解，再利用换元法求出的解即可．
解：∵，
∴，
∵关于x的方程与是“美好方程”，
∴方程的解为：，
∴关于y的方程即：的解为：，
∴；
故选A．
7．B
本题考查的是一元一次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键．
先将方程的根代入原方程并化简得，由题可知，当a，b为定值时，对任意的k成立，因此可得，易求a、b的值，然后代入计算即可．
解：将，代入原方程并化简得，
∵当a，b为定值时，对任意的k成立，
∴，解得：，
∴．
故选：B．
8．B
本题主要考查了方程的解、解一元一次方程等知识点，理解方程的解是方程成立的未知数的值是解题的关键．
将代入得到关于k的方程求解即可．
解：将代入可得：
，
，
，
．
故选B．
9．C
本题主要考查单项式、有理数、一元一次方程，根据相关知识逐项分析判断即可．
解：A. 是多项式，故选项A说法错误，不符合题意；
B.0是非负数，不是正数，故选项B说法错误，不符合题意；
C. 的指数是3，说法正确，符合题意；
D. 不是一元一次方程，故选项D说法错误，不符合题意；
故选：C．
10．C
本题考查了幻方及一元一次方程的应用，准确计算，找到相等关系是正确解答此题的关键．
根据每一横行、每一竖行以及每条对角线上的和都相等列方程求解即可．
解：设最中间的数为，
∴右下角的数为：，
∴，
得到，
故选：C．
11．
本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键；
根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，即可求解．
解：是一元一次方程，
，
解得：，
故答案为：．
12．
本题考查了一元一次方程的应用，整式的加减运算，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据三角形三个顶点处的数之和为，得到，，将代入计算即可；
（）先根据每个三角形三个顶点处的数之和相等求出，即可得到答案．
解：（）根据三角形三个顶点处的数之和为，得到，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13．
本题考查一元一次方程的解，换元法，掌握相关知识是解决问题的关键．将第二个方程中看作一个整体换元，找到和第一个方程的关系，即可得到答案
解：
即，①
由题意此方程的解为，
令，
则第二个方程变形为：，
对照①可得，方程的解为，
∴，
∴．
故答案为：．
14．4
本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键．
先解出第一个方程的解，求出其相反数后代入第二个方程可得到关于的一元一次方程，解出即可．
解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
将代入，
得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：．
故答案为：．
15．
本题考查了等式的性质，以及作差法比较大小，解题的关键在于理解两个数的差大于0，被减数大于减数；两个数的差等于0，被减数和减数相等；两个数的差小于0，被减数小于减数．把等式变形为m减n等于多少的形式，再进行判断，即可解题．
解：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16． 或8/8或
本题考查绝对值意义，一元一次方程的应用，理解绝对值的几何意义，掌握解一元一次方程的步骤，利用分类讨论思想解题是关键．
根据两点间距离的意义可求出x的值；分三种情况，结合绝对值的意义可求出m的值．
解：∵表示数x表示的点到数和6表示的点的距离之和，且，
∴当时，，
∴x的最小值为；
∵可以看作数轴上表示m表示的点到数，6和m表示的点的距离之和，且的最小值为11，
①当时，则时，原式有最小值11，
此时，
解得；
②当时，则时，原式有最小值11，
此时，
此时方程无解；
③当时，则时，原式有最小值11，
此时，
解得；
综上，m的值为或8，
故答案为：；或8．
17．(1)
(2)
本题主要考查了解一元一次方程：
（1）移项，合并同类项，系数化为1，即可求解；
（2）移项，合并同类项，系数化为1，即可求解．
（1）解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
18．(1)安排10人生产口罩面，16人生产口罩耳绳；
(2)4000个
本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是理解题意，找到等量关系，列出方程．
（1）设安排人生产口罩面，则有人生产口罩耳绳，根据题意，列出方程，解出方程，即可．
（2）根据（1）中求出的生产口罩面的工人数，计算出每天生产口罩面的数量，也就是每天生产口罩的数量．
（1）解：设安排人生产口罩面，则有人生产口罩耳绳，由题意则有：
解得：．
答：安排10人生产口罩面，16人生产口罩耳绳；
（2）解：由（1）知，生产口罩面的工人有10名，每人每天生产400个口罩面，那么每天生产口罩面的数量为个，
因为一个口罩面对应一个口罩，
所以每天共生产4000个口罩．
答：在（1）的条件下每天共生产了4000个口罩．
19．(1)
(2)或
(3)2025
本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键．
（1）先表示两个方程的解，再求解；
（2）根据条件建立关于n的方程，再求解；
（3）由关于x的一元一次方程和是“美好方程”，可求出的解为，再将变形为，则，从而求解．
（1）解：∵
∴
∵
∴
∵关于x的方程与方程是“美好方程”
∴
∴．
（2）解：∵“美好方程”的两个解和为1
∴另一个方程的解是
∵两个解的差是8
∴或
∴或；
（3）解：∵
∴
∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”
∴关于x的一元一次方程的解为，
∴关于y的一元一次方程可化为
∴
∴．
20．(1)5，6；
(2)
本题考查了数字类规律，一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）根据“洛书”中的点，找出，的值；
（2）根据第二行及对角线上的三个数的和相等，可求出第三行第一个方格中的数为7，再根据第三行及第三列上的三个数的和相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
（1）解：根据“洛书”，图2中，．
故答案为：5，6；
（2）解：第三行第一个方格中的数为，
根据题意得：，
解得．
答：的值为．
21．(1)
(2)
(3)七月份该充电桩峰时充电80度，谷时充电130度
本题考查有理数的运算，整式加减，一元一次方程解决实际问题．
（1）将谷时电费单价乘以平均每公里电耗乘以行驶公里数即可求解；
（2）根据峰时电费加上谷时电费为总电费列出式子；
（3）根据所花电费为95.8元，结合（2）的式子列出方程，求解即可．
（1）解：（元），
即至少需要电费元．
故答案为：．
（2）解：电费为（元）．
（3）解：由（2）得：，
解得，
∴谷时充电（度），
答：七月份该充电桩峰时充电80度，谷时充电130度．
22．(1)方案一：（元），方案二：（元）
(2)方案二便宜
(3)时，两种方案的费用相同
本题考查列代数式、代数式求值、整式的加减应用，理解题意，正确列出代数式是解答的关键．
（1）根据两种优惠方案结合实际费用等于数量×单价列出代数式即可；
（2）将a、b值分别代入（1）中代数式中求解，进而比较大小做出判断即可；
（3）将a代入（1）中得到关于b的代数式，得到关于b的方程，解方程求出结论．
（1）解：根据题意得：
方案一：（元），
方案二：（元）；
（2）解：当，时，
方案一：（元），
方案二：（元），
，
方案二便宜；
（3）解：当时，方案一：（元），方案二：（元），
∵当时，两种方案的费用相同，
∴，
解得：，
时，两种方案的费用相同.
23．(1)
(2)
(3)整数的值为或
本题考查了新定义运算，整式的加减运算，一元一次方程，根据题意列出一次多项式是解题的关键．
（1）根据题意进行计算即可求解；
（2）根据题意，得出，进而解方程即可求解；
（3）根据，求出，联立求出，最后根据是关于的二次多项式，得出，进而即可求解．
（1）解：由题意得，，
故答案为：；
（2）解：由题意得，，
当时，
，
解得；
（3）解：由题意得，，
∵，
∴
，
解得，
∵是负整数，
∴是7的负因数（7的负因数为、)，
当时，，
此时（符合负整数)；
当时，，
此时（符合负整数)，
同时，A是二次多项式，故，上述m值均满足．
综上所述，整数的值为或．
24．(1)①10，3；②，；③2，4；
(2)
(3)1或3
本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）①利用数轴上两点间的距离公式，可求出的长，利用线段的中点表示的数，即可求出线段的中点表示的数；
②根据点，的出发点、运动速度及运动时间，即可用含的代数式表示出点，表示的数；
③根据、两点相遇时两点表示的数相同，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论；
（2）根据中点公式，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值；
（3）根据，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
（1）解：①根据题意得：、两点间的距离，
线段的中点表示的数为．
故答案为：10，3；
②根据题意得：秒后，点表示的数为，点表示的数为．
故答案为：，；
③根据题意得：，
解得，
．
故答案为：2，4；
（2）解：由题意可得，
解得，
故当t为时，P是线段的中点；
（3）解：根据题意得：，
即或，
解得：或．
答：当为1或3时，．(共5张PPT)
北师大版2024七年级上册
第五章 一元一次方程 单元测试·培优卷
试卷分析
知识点分布
一、单选题
1 0.94 判断各式是否是方程
2 0.85 工程问题(一元一次方程的应用)
3 0.75 已知方程的解，求参数
4 0.74 列方程
5 0.65 方案选择(一元一次方程的应用)
6 0.65 一元一次方程解的关系
7 0.65 已知式子的值，求代数式的值；已知一元一次方程的解，求参数
8 0.64 解一元一次方程（二）——去括号；已知方程的解，求参数
9 0.64 有理数的乘方运算；单项式的判断；有理数的分类；判断是否是一元一次方程
10 0.4 数字问题(一元一次方程的应用)
知识点分布
二、填空题
11 0.75 判断是否是一元一次方程
12 0.65 整式的加减运算；数字问题(一元一次方程的应用)
13 0.65 已知一元一次方程的解，求参数
14 0.65 解一元一次方程（三）——去分母；解一元一次方程（二）——去括号
15 0.64 等式的性质1；等式的性质2
16 0.4 绝对值的几何意义；几何问题(一元一次方程的应用)
知识点分布
三、解答题
17 0.85 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
18 0.75 配套问题(一元一次方程的应用)
19 0.74 已知一元一次方程的解，求参数；一元一次方程解的关系
20 0.65 数字类规律探索；古代问题(一元一次方程的应用)
21 0.65 整式加减的应用；电费和水费问题(一元一次方程的应用)；有理数四则混合运算的实际应用；列代数式
22 0.65 整式加减的应用；方案选择(一元一次方程的应用)；列代数式；已知字母的值 ，求代数式的值
23 0.64 整式的加减运算；解一元一次方程（一）——合并同类项与移项；已知一元一次方程的解，求参数
24 0.4 动点问题（一元一次方程的应用）；线段中点的有关计算；数轴上两点之间的距离2025—2026学年七年级数学上学期单元测试卷
第五章 一元一次方程单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下面是方程的选项是（ ）
A． B． C． D．
2．一件工作，甲独做8小时完成，乙独做12小时完成，现由甲先做2小时，余下部分由乙独做，又做了x小时完成，用方程表示为（ ）
A． B． C． D．
3．方程的解是，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．一件商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为224元，设这件商品的成本价x元，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本的定价为每本元，通过协商，文具店提供了两种购买方式，并要求只能从中选择一种．方式一：每本优惠售价为元；方式二：购买数量不多于本时按定价销售，超过本，则超过部分按定价的八折销售．设该班购买作业本的数量为（）．当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为（ ）
A． B． C． D．
6．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
7．如果a，b为定值时，关于x的方程，它的根总是2，则的值为（ ）
A．18 B．15 C．12 D．10
8．关于x的方程的解是1，则k的值是（ ）
A． B． C．2 D．
9．下列说法正确的是（ ）
A．是单项式 B．非负数就是正数
C．的指数是3 D．是一元一次方程
10．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．如图，将9个数字分别填入的正方形空格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上数的和都相等，图中填写了部分数字，其中a的值为（ ）
3
12 1
a
A．1 B．3 C．5 D．7
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．是一元一次方程，则 ．
12．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．有一种特殊的三角形幻方，是由个较小的三角形和个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等．如图，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为，图是这种特殊的三角形幻方．
（1）若，则处的数值为 ；
（2）的值为 ．
13．若方程的解为，的解为： ．
14．如果方程的解与关于x的方程的解互为相反数，那么a的值为 ．
15．已知，利用等式的性质比较m与n的大小关系：m n．（填“”“”或“”）
16．若，则x的最小值为 ；若的最小值为11，则m的值为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．解下列方程：
(1)；
(2)．
18．冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品．某口罩厂有26名工人，每人每天可以生产400个口罩面或500个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩面和口罩耳绳刚好配套，
(1)应安排生产口罩面和口罩耳绳的工人各多少名？
(2)在（1）的条件下每天共生产了多少个口罩？
19．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
(1)若关于的方程：与方程是“美好方程”，求的值．
(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个方程的解为，求的值．
(3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解．
20．我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．图1“洛书”中用实心点或空心点的个数表示数字．观察图1中的每一组点所对应的数字，回答下列问题：
(1)根据“洛书”，图2中______，______；
(2)根据图2所填数字，我们不难发现：方格中每一行、每一列、每条对角线上的三个数之和都相等．若图3符合“洛书”的规律，每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等，求c的值．
21．小明家最近购买了一台电动汽车，为方便给电动汽车充电，小明家安装了家庭充电桩．根据国家有关政策，该充电桩给电动汽车充电时，实行“峰谷电”计价的方式：峰时电费单价为元/度；谷时电费单价为元/度．
(1)已知小明家所购买的这台电动汽车平均电耗为12度/百公里，在不考虑其他因素的情况下，这台电动汽车平均行驶300公里，至少需要电费______________元；
(2)若该充电桩在七月份充电总量为210度，峰时充电量为x度，求该充电桩在七月份的电费（用含x的代数式表示）；
(3)在（2）的条件下，若小明家在七月份使用该充电桩所花电费为95.8元，则七月份该充电桩峰时充电多少度？谷时充电多少度？
22．运动会期间，各班都如火如荼地准备着入场式，七年级8班计划购买若干裙子和帽子作为演出服装，经调查发现网上某店铺每条裙子卖90元，每顶帽子卖12元，给出的优惠方案如下：方案一，以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；方案二，总价打8折．若该班级计划购买条裙子和顶帽子（）．
(1)请用含、的代数式分别表示出两种方案的实际费用；
(2)当，时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明；
(3)当时，两种方案的费用相同，请求出此时的值．
23．【程序】有一种整式处理器，能将“二次多项式”处理成“一次多项式”．处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项，例如多项式经过处理器得到，如图所示．
【应用】若关于的二次多项式经过处理器得到，根据以上方法，解决下列问题：
(1)填空：若，则___________；
(2)若，求关于的方程的解；
(3)若，且方程的解是负整数，求整数的值．
24．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离．线段的中点表示的数为．
如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（）．
(1)填空：
①A、B两点之间的距离 ，线段的中点表示的数为 ．
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ．
③当 时，P、Q两点相遇，相遇点所表示的数为 ．
(2)当t为何值时，P是线段的中点．
(3)当t为何值时，．
