2025—2026学年七年级数学上学期单元测试卷
第五章 一元一次方程单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．根据下列条件能列出等式的是（ ）
A．y与5的差的一半 B．a与2的和
C．一个数的相反数是 D．x的与y的3倍的和
2．下列是一元一次方程的是（ ）．
A． B． C． D．
3．运用等式的基本性质，下列变形正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是 （ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，已知数轴上点A表示的数为8，点B表示的数为．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．若点P、Q同时出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，t的值为（ ）
A．3 B．4 C．3或4 D．3或5
6．某商店出售一种齐齐哈尔特色工艺品，进价为每件40元，按标价的8折销售仍可获利，则该工艺品的标价为（ ）元
A．50 B．60 C．70 D．80
7．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
8．小明解关于x的一元一次方程时，有一个数看不清楚，但小红解得的答案是，则这个数为（ ）
A． B． C．0 D．1
9．如图，点M、N在线段上，，，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．在解关于x的方程时，小佳错把“”看成了“”，解得，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．是关于x的一元一次方程，则m的取值范围 ．
12．若是方程的解，则m的值为 ．
13．把一张长方形纸折叠再涂色（如图），如果涂色部分的面积是，那么涂色部分的周长是 ．
14．某仓库进了一批货物，整理这批货物，由1人整理要30h完成．现在计划由一部分人先整理2h，再增加3人和他们一起整理4h，完成这项工作．假设每人的工作效率相同，先安排人整理，则可列方程为 ．
15．方程：的解为 ．
16．定义一种新运算“”，规定当时，，当时，．例如：，，．若，则x的值为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．某中学有甲、乙两台印刷机，学校期末考试所需数学试卷如果用甲、乙两台印刷机单独印刷分别需要1小时和小时，为了保密，学校决定在考试前的一小时开始印刷数学试卷．
(1)若甲、乙两台印刷机同时印刷，共需要多少小时才能印完？（要求列方程解答）
(2)在两台印刷机同时印刷半小时后，甲印刷机出现故障停止印刷，此时离发卷还有分钟．请你计算一下，如果乙印刷机单独完成剩下的印刷任务，会不会影响按时发卷？
19．若两个有理数，，满足，则称，互为“友好数”，例如：6和4就是一对“友好数”．
(1)求的“友好数”．
(2)若的相反数与8互为“友好数”，求的值．
20．我们规定一种运算：当时，；当时，；当时，．例如，；．
(1)计算：①；②；
(2)如果，求的值；
(3)请问：当为何值时，．
21．如图，是一个长方体及其展开图，已知展开图阴影部分的面积为．
(1)求的值；
(2)若用一张长方形铁皮直接裁剪，然后做成这个长方体形状的储物盒，这张铁皮的长和宽至少要多少厘米？
22．移动公司推出A，B两种话费与流量套餐，详情如下表：
月基本费（元） 主叫限定时长 主叫超时费（元） 被叫 免费数据流量 流量超额费（元）
套餐A 79 200 0.15 免费 15 3
套餐B 99 300 0.15 免费 20 2
补充说明：
①月结话费月基本费主叫超时费流量超额费
②流量超额费以为单位计费（例如：套餐A流量超额，需另付（元）
(1)若小花的爸爸使用套餐A，11月份主叫时长为300分钟，使用的流量为，求他11月的月结话费是多少元？
(2)若小花的爸爸12月份主叫时长为350分钟，使用流量为，小花通过计算发现，按套餐A比按套餐B的月结话费刚好多1元，求的值．
(3)若小花的爸爸12月主叫时长不足200分钟，请你根据流量的使用情况分析说明使用哪种套餐更省钱．（只需写出分析得到的结论）
23．某市两超市分别推出如下促销方式：甲超市：全场均按八八折优惠；乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元打九折，超过500元的部分打八折．已知两家超市相同商品的标价都一样．
(1)当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实际付款分别是多少元？
(2)某顾客在乙超市购物实际付款428元，试问该顾客的选择划算吗？请说明理由．
24．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．在数学的学习中，我们知道，若点A，B在数轴上分别表示有理数x，y，A和B两点之间的距离表示为，则．请你借助数轴进行以下探索：
(1)数轴上表示m与3的两点之间的距离可以表示为_______．
(2)的最大值是_______；
(3)已知m，n均为整数，且满足，请求出m，n的值．
(4)已知，则满足条件的x的值是_______．(共5张PPT)
北师大版2024七年级上册
第五章 一元一次方程 单元测试·基础卷
试卷分析
知识点分布
一、单选题
1 0.94 列代数式；列方程
2 0.94 判断是否是一元一次方程
3 0.85 等式的性质1；等式的性质2
4 0.75 判断是否是一元一次方程；判断是否是一元一次方程解
5 0.65 数轴上两点之间的距离；动点问题（一元一次方程的应用）
6 0.65 销售盈亏(一元一次方程的应用)
7 0.65 一元一次方程解的关系
8 0.65 已知一元一次方程的解，求参数
9 0.64 解一元一次方程（三）——去分母；线段的和与差
10 0.64 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项；已知方程的解，求参数
知识点分布
二、填空题
11 0.85 判断各式是否是方程
12 0.75 已知方程的解，求参数
13 0.65 几何问题(一元一次方程的应用)
14 0.65 工程问题(一元一次方程的应用)
15 0.64 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项；一元一次方程解的关系
16 0.64 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项；已知方程的解，求参数
知识点分布
三、解答题
17 0.85 解一元一次方程（二）——去括号；解一元一次方程（三）——去分母
18 0.85 工程问题(一元一次方程的应用)
19 0.75 相反数的定义；有理数加法运算；相反数的应用；解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
20 0.74 两个有理数的乘法运算；解一元一次方程（一）——合并同类项与移项；解一元一次方程（二）——去括号
21 0.65 几何问题(一元一次方程的应用)；由展开图计算几何体的表面积
22 0.65 有理数四则混合运算的实际应用；电费和水费问题(一元一次方程的应用)
23 0.64 方案选择(一元一次方程的应用)
24 0.4 数轴上两点之间的距离；几何问题(一元一次方程的应用)；带有字母的绝对值化简问题；两个有理数的乘法运算2025—2026学年七年级数学上学期单元测试卷
第五章 一元一次方程单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D B C B A A B C
1．C
本题主要考查了列代数式和等式，正确理解题意列出对应的式子是解题的关键．
根据题意列出对应的式子即可确定正误．
解：A、y与5的差的一半，，不是等式，不符合题意；
B、a与2的和，，不是等式，不符合题意；
C、一个数的相反数是（设这个数为），，是等式，符合题意；
D、x的与y的3倍的和，，不是等式，不符合题意；
故选：C．
2．D
本题主要考查了一元一次方程的识别，解题的关键是掌握一元一次方程的定义．
根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程）判断各选项．
解：∵ 一元一次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为1；③整式方程；
选项A：，不是整式方程，不符合题意；
选项B：，未知数次数为2，不符合题意；
选项C：，含两个未知数，不符合题意；
选项D：，只含一个未知数，且次数为1，是整式方程，符合题意；
故选：D．
3．D
本题主要考查了等式的性质，根据等式的基本性质，等式两边同时加、减、乘或除以同一个数（除数不为0），等式仍成立．选项A两边操作不一致；选项B变形错误；选项C中a可能为0；选项D两边同乘，正确．
解：A：若，则或，但不成立；
B：若，两边同乘6，得，而非；
C：若，当时成立，但a可能为0，故不一定成立，
D：若，则两边同乘，得，成立．
故选D．
4．B
本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键．
根据一元一次方程的定义列出关于m的方程，求出m的值即可得到关于x的一元一次方程，求出x的值即可．
解：∵是关于x的一元一次方程，
∴，解得，
∴原方程可化为，解方程得；
故选：B
5．C
本题主要考查了数轴上的动点问题，绝对值的方程求两点之间的距离问题．根据数轴上点的平移性质列出带有绝对值的方程，最后求解即可．
解：设运动时间为t秒，所以P表示的数是，Q表示的数是，
由题意得，即，
解得或，
故选：C．
6．B
本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键；
设工艺品的标价为元，根据题意列出方程，然后求解即可．
解：设工艺品的标价为元，
根据题意得：，
解得：，
∴工艺品的标价为 60 元，
故选：B．
7．A
本题考查根据已知一元一次方程，求另一个一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解的定义是解此题的关键．
已知关于的方程的解为，观察关于的方程的结构，可发现其与原方程形式相同，只需将原方程中的替换为．因此，原方程的解对应新方程中，直接求解即可．
解：因为原方程的解为．
所以方程满足，
解得，
故选：A．
8．A
先把代入方程，整理成关于的一元一次方程，解新方程即可．
本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握方程的解，解方程是解题的关键．
解：把代入方程，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
9．B
此题考查了线段的和差倍分，解答本题的关键是熟练掌握线段之间的和差倍分关系．
先得出，，得，进而用建立方程求解即可得出结论．
解：∵，，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
故选：B．
10．C
本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
小佳将原方程中的“”看成了“”，得到错误方程并求解，代入错误解可求出m的值．
解：∵ 小佳看错后的方程为，且解得，
∴ 代入得，
即，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
11．
根据题意，方程是关于的方程，故的系数不能为零，解答即可．
本题考查了方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
解：由方程 是关于 的方程，
故 ，
解得 ，
故答案为：．
12．
本题考查了方程的解．
根据方程的解的定义，将代入方程，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值．
解：将代入方程，
得，
即，
移项得，
即，
解得．
故答案为：．
13．22
本题考查的是图形的折叠问题，知道三角形的高是长方形纸的宽是解答关键，设长方形纸的宽为，根据这张纸的面积涂色部分的面积三角形面积，即可列出方程，计算即可求出长方形纸的宽，再根据长方形面积长宽，即可求出这张纸的面积，涂色部分的周长长方形纸的宽三角形的高（长方形纸的宽）三角形的底，据此解答．
解：设长方形纸的宽为，
，
，
，
，
，
答：涂色部分的周长是．
故答案为：22．
14．
本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程的知识点，此题是一个工作效率问题，理解一个人做需要小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，这一个关系是解题的关键．
由一个人做要小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，就是已知工作的速度．本题中存在的相等关系是：这部分人小时的工作+增加人后小时的工作=全部工作．设全部工作是，先安排人整理，就可以列出方程．
解：假设每个人的工作效率相同，先安排人工作，
则：一个人做要小时完成，现在计划由一部分人先做小时，工作量为，
再增加人和他们一起做小时的工作量为，
故可列式，
故答案为：．
15．
本题考查了方程的解，通过将方程拆项移项转化为，即可求得方程的解．
解：原方程转化为，
，
即，
∴．
故答案为：．
16．
本题主要考查新定义运算以及一元一次方程的求解．需要根据新运算的规则，分情况讨论并列出方程，进而求解未知数．关键在于准确判断与是否相等，然后根据不同情况代入相应的运算规则列出方程，同时在解方程过程中要注意计算的准确性．
根据新运算的定义，分两种情况讨论：当 时，运算规则为 ；当 时，运算规则为 ．分别代入给定表达式并解方程，验证条件是否满足．
解：设 ，．
当 时，．
令 ，
，
．
验证：，，，符合条件．
当 时，即 ，
，
．
验证：，，．
则 ，不满足方程．
综上所述，．
17．(1)
(2)
本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤是去括号、移项、合并同类项、系数化为1，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
（1）根据解一元一次方程的步骤解答即可；
（2）根据解一元一次方程的步骤解答即可．
（1）解：
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，；
（2）解：
去括号得，，
移项得，，
系数化为1得，．
18．(1)0.6小时
(2)不会影响按时发卷
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
（1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以求出乙机单独完成剩下的印刷任务需要的时间，然后再与比较，即可解答本题．
（1）解：设甲乙两台印刷机同时印刷，共需要x小时才能印完，
，
解得，，
即甲乙两台印刷机同时印刷，共需要小时才能印完；
（2）解：乙机单独完成剩下的印刷任务需要的时间为：，
∵，
∴乙机单独完成剩下的印刷任务，不会影响按时发卷考试．
19．(1)16
(2)
解题思路是根据 “友好数” 的定义，列出对应的等式，再通过解方程求出未知的 “友好数” 或字母的值．本题考查有理数的加法与相反数的概念，涉及的知识点是新定义运算、一元一次方程的求解．解题中用到的方法是定义转化法，将 “友好数” 的定义转化为等式，再解方程．解题关键是准确理解 “友好数” 的定义，正确列出等式．易错点是处理相反数时符号错误，或解方程时移项符号出错．
（1）解：∵
∴的“友好数”为16．
（2）∵
∴的相反数是2
∴．
20．(1)①，②
(2)
(3)或
本题主要考查了一元一次方程的应用：
（1）根据新运算解答即可；
（2）根据新运算列出方程，即可求解；
（3）根据新运算列出方程，即可求解．
（1）解：①；
②；
（2）解：因为，
所以，
解得；
（3）解：当时，，
解得，
因为，
所以；
当时，，所以这种情况不成立；
当时，，
解得，
因为，所以．
综述所述，当或时，．
21．(1)
(2)长至少，宽至少
本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数混合运算的应用，
（1）根据图形列出关于x的方程，解方程即可；
（2）根据长方体的长、宽、高求出长方体展开图所在长方形的长和宽即可．
（1）解：∵展开图阴影部分的面积为，
∴，
解得：．
（2）解：铁皮的长为：，
铁皮的宽为：，
答：用一张长方形铁皮直接裁剪，然后做成这个长方体形状的储物盒，这张铁皮的长至少，宽至少．
22．(1)他11月的月结话费是90元
(2)
(3)当使用流量低于时，套餐A更省钱；当使用流量等于时，两种套餐花费一样；当使用流量超过时，套餐B更省钱．
本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
（1）根据套餐A的收费方案列式求解；
（2）根据“套餐A比按套餐B的月结话费刚好多1元”列方程求解；
（3）根据使用流量的多少，计算比较大小．
（1）解：
=
（元）
答：他的月结话费为90元．
（2）解：根据题意得：
解得，
答：x的值是17；
（3）解：设他使用的流量为，
当时，选择A套餐；
当时，使用A套餐需要付费：，使用B套餐需要99元，故选择A套餐，
当时，使用A套餐需要付费：元，使用B套餐需要付费：元，
当，解得：，
即当时，选A套餐，当时，选B套餐；
综上所述：当使用流量低于时，套餐A更省钱；当使用流量等于时，两种套餐花费一样；当使用流量超过时，套餐B更省钱．
23．(1)甲超市实付款是352元、乙超市实付款是360元
(2)该顾客的选择不划算，理由见解析
本题考查一元一次方程的实际应用.
（1）根据甲乙两超市的促销方式代入计算即可；
（2）根据计算可得该顾客原购物金额不超过500元，甲超市八八折,乙超市九折比较即可．
（1）解：由题意可知，一次性购物总额是400元时：
甲超市实付款：（元），
乙超市实付款：（元），
答：甲超市实付款是352元、乙超市实付款是360元．
（2）解：∵（元），，
∴该顾客购物实际金额不多于500元，
∵甲超市：全场均按八八折优惠；乙超市：超过了200元而不超过500元一律打九折；
∴甲超市优惠，
∴该顾客的选择不划算.
24．(1)
(2)7
(3)或，
(4)或
本题考查了数轴上表示的数，数轴上两点之间距离，绝对值的意义，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键．
（1）根据题意，由数轴两点距离可得；
（2）由题意知，表示m与1的距离，表示m与的距离，根据数轴分三种情况讨论可得绝对值差的最大值；
（3）由（2）可知，，由m，n均为整数，可知均为整数，然后结合分类讨论即可；
（4）根据数轴两点距离，分4种情况，，，，，分别化简已知式子，进而得到x的值．
（1）由题意可知，∵m与3的两点之间的距离为，
∴距离可以表示为；
故答案为：．
（2）设数表示的点为A，数1表示的点为B，数m表示的点为C，
则，
当点C在点A的左侧，即时，
；
当点C在点A和点B之间，即时
，此时；
当点C在点A的左侧，即时，
，
综上可知，的最大值是7．
故答案为：7；
（3）由（2）可知，，
∵m，n均为整数，
∴均为整数，
∵
∴或或或．
当时，
由（2）知，，则，
∴，解得．
由（2）知，，则，
∴，解得．
当时，
由（2）知，的最大值为4，故此时情况不符合题意，舍去．
当时，
由（2）知，，则，
∴，解得．
由（2）知，，则，
∴，解得．
当时
由（2）知，的最大值为，故此时情况不符合题意，舍去．
综上可知，，或，；
（4）当时，
，
解得（不符合题意，舍去）；
当时，
，
解得；
当时，
，此时无解；
当时，
，
解得；
综上所述：x的值为或．
