2.1认识有理数（期末专项提升卷）（含解析）北师大版（2024）七年级数学上册

2.1认识有理数（期末专项提升卷）
北师大版（2024）七年级数学上册
一、单选题
1．如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数，x，2，y，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．某天早上8时四个城市的气温如下表所示，其中气温最低的城市是（ ）
北京 曲靖 哈尔滨 广州
A．北京 B．曲靖 C．哈尔滨 D．广州
3．如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（ ）
A． B． C．0 D．1
4．如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．下列各数中互为相反数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
6．如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．8
7．七（1）班某次数学测试，平均分为86分，如果李明考了80分记作-6分，且王华的分数记作+5分，那么王华考了（ ）分.
A．81 B．91 C．75 D．85
8．若为有理数，，，且，那么，，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列说法正确的有（ ）个
①是绝对值最小的有理数； ②相反数大于本身的数是负数；
③一个有理数不是正数就是负数； ④两个数比较，绝对值大的反而小；
⑤绝对值等于本身的数是正数； ⑥是正数，则是负数；
A． B． C． D．
10．下列选项中，一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．一只电子跳蚤在数轴上跳动，它从表示的点出发，第1次向右跳2个单位长度，之后的每次跳动都与前一次方向相反，且比前一次多跳2个单位长度．若电子跳蚤第n次跳动后到原点的距离为23个单位长度，则n的值是 ．
12．比较大小：344 433， ， （用“”，“”，“”填空）．
13．如图所示，半径为单位1的圆从数轴上表示1的点沿着数轴无滑动地逆时针滚动两周到达点，则点表示的数是 ．
14．若a为有理数，数轴上表示a与的点之间（不包含a与）共有2021个整数点，求a的取值范围 ．
15．如图，嘉嘉在纸片上画了一条不完整的数轴，折叠纸片，使数轴上表示的点与表示3的点重合，若该数轴上两点之间的距离是10，按上次折痕折叠之后也互相重合，则点表示的数为 ．
三、解答题
16．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．
材料分析：如图1，已知数轴上两点，．则两点距离为两数差的绝对值，即
如：1到3的距离为两数差的绝对值，即；到3的距离为两数差的绝对值，即．
根据以上思想，完成下题
问题探究：参考阅读材料，解答下列问题．
（1）如图2，数轴上表示和6的数的两点之间的距离是______；
（2）若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______；
（3）当取最小值时，相应的数的取值范围是______；
实际应用：
（4）已知数轴上点，表示的数分别为8和，动点，分别从，两点，同时出发，点以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，点以点速度的2倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．问当为多少秒时？，之间的距离为3．
拓展提升：
（5）若数，满足，求的最小值．
17．把下列各数填入相应的集合内：3，，，，0，，15，．
正数集合：{ }；负数集合：{ }；
整数集合：{ }；分数集合：{ }．
18．某冷库一周内每天水果进、出库吨数如下表所示，其中规定：“”表示进库，“”表示出库．
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
(1)这一周内，与前一天相比，周________水果变化量最大，最大变化量为________（吨）；
(2)通过计算说明，这一周冷库里的水果增加了还是减少了，变化了多少吨？
(3)经过这一周，冷库管理员结算时发现冷库里还存有20吨水果，那么一周前冷库里存有水果多少吨？
(4)如果进、出库的装卸费都是每吨12元．那么这一周共需付多少装卸费？
19．探究规律：
(1)计算： ______ ； ______．
(2)归纳：表示数轴上，两点间的______．
(3)应用：的最小值是______，此时 ______．
求的最小值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B C A C A C B B
1．A
【分析】本题考查利用数轴比较有理数的大小，相反数的几何意义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据互为相反数的两个数到原点的距离相等，可以确定在数轴上的位置，根据在数轴上越往右的数越大判断即可．
【详解】解：∵互为相反数的两个数到原点的距离相等，
∴可以确定在数轴上的位置如图，
根据在数轴上越往右的数越大，
只有A选项正确．
故选：A．
2．C
【分析】本题主要考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键；直接比较四个城市的气温数值，负数小于正数，负数比较大小绝对值越大的反而小，进而问题可求解．
【详解】解：由表可知：，
∴ 哈尔滨的气温最低；
故选C．
3．B
【分析】本题考查在数轴上表示有理数，关键是掌握数轴的三要素．由数轴的概念即可求解．
【详解】解：∵和刻度分别与数轴上表示和的两点对齐，
∴数轴的单位长度是，
∴原点对应的刻度，
∴数轴上与刻度线对齐的点表示的数是，
故选：B．
4．C
【分析】此题综合考查了数轴、循环的有关知识，关键是把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来．
圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则根据规律即可解答．
【详解】解：圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，
则与圆周上的0重合的数是，，…，即，
同理与3重合的数是：，
与2重合的数是，
与1重合的数是，其中n是正整数．
而，
∴数轴上的数将与圆周上的数字2重合．
故选：C．
5．A
【分析】本题主要考查了相反数的定义，通过计算每个选项中的两个数值，根据相反数的定义判断是否互为相反数即可求解．
【详解】相反数的定义是两数只有符号不同，和为0，
A、，，3与互为相反数，符合题意；
B、，，不是相反数，不符合题意；
C、，，不是相反数，不符合题意；
D、，，不是相反数，不符合题意；
故选：A．
6．C
【分析】本题主要考查的是正方体相对面上的文字，相反数的定义，正方体展开图找对面的方法即可求解．．
【详解】解：由图可知“x”对应的面上的数是5，“y”对应的面上的数是3，
正方体中相对的面上的数互为相反数，
，
；
故选：C．
7．B
【分析】
本题考查正数和负数的意义，掌握相关知识是解决问题的关键。
记作分数表示与实际平均分的差值，平均分为86分，王华记作+5分，即比平均分高5分，故实际分数为分。
【详解】解：∵平均分为86分，如果李明考了80分记作-6分，
∴王华的分数记作+5分，
∴王华考了（分）.
故选：B.
8．C
【分析】本题考查了有理数比较大小，绝对值意义，由已知条件，，且，可得，进而比较，，，的大小关系，掌握有理数比较大小方法是解题的关键．
【详解】解：∵，，且，
∴，
∴，
故选：．
9．B
【分析】本题考查了绝对值、相反数、有理数的相关定义及性质，熟练掌握这些概念的定义和性质，是解决此类问题的关键；
①根据绝对值的非负性即可判断；
②根据相反数的定义即可判断；
③根据有理数的分类即可判断；
④根据两个负数绝对值大的反而小即可判断；
⑤根据绝对值的性质即可判断；
⑥根据相反数的定义即可判断.
【详解】解：由和正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，是绝对值最小的有理数可判断①正确⑤错误；
由有理数分为正有理数、负有理数和，可判断③错误；
由正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，的相反数是，可判断②、⑥正确；
由两个负数绝对值大的反而小，可判断④错误；正确的共有个.
故选：B ．
10．B
【分析】本题考查了绝对值的定义、数轴的性质．根据绝对值的定义得出，即可得出或，再结合数轴判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
故选：B．
11．18或27
【分析】本题考查了数轴上的动点运动规律、绝对值的应用及分类讨论思想，解题的关键是找出第次跳动后位置的表达式，结合到原点的距离列方程求解．
分析每次跳动的方向与距离，分为奇数、偶数两种情况推导第次跳动后的位置表达式，再根据位置的绝对值为23列方程，求解得到的值．
【详解】解：起点为，推导第次跳动后的位置：
当为奇数时，位置为；
当为偶数时，位置为．
由到原点的距离为23，得位置的绝对值为231．
若为奇数：，解得（舍去）；
若为偶数：，解得．
故答案为：18或27．
12．
【分析】本题主要考查了有理数的比较大小，解题的关键是掌握有理数大小比较的法则．
对于正数比较，直接比较大小；对于负数比较，比较绝对值，绝对值大的反而小；对于相反数和绝对值，先计算其值再比较．
【详解】解：344和433都是正数，
∴，
故答案为：；
，，
由于，
所以，
故答案为：；
，，
所以，
故答案为：．
13．
【分析】本题查了数轴上的点表示数，圆的周长.
先求出，即可求出，再根据点A在原点的左侧是负数得出答案．
【详解】∵圆的半径是1，半径为单位1的圆从数轴上表示1的点沿着数轴无滑动地逆时针滚动两周到达点，
∴，
∴．
∵点A在原点的左侧，
∴点A表示的数是．
故答案为：．
14．或
【分析】本题考查了数轴的整数点覆盖问题，数形结合是解题的关键．根据题意，可知a与关于原点对称，那么除了原点，还有2020个整数点，0的左边有1010个，0的右边有1010个，从而推出a的取值范围．
【详解】解：数轴上表示a与的点之间（不包含a与）共有2021个整数点，a与关于原点对称，
∴除了原点，还有2020个整数点，0的左边有1010个，0的右边有1010个，
∵不包含a与，
∴或，
故答案为：或．
15．6或/或6
【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数等知识．根据数轴上表示的点与表示3的点重合得到从表示1的点处折叠，根据数轴上两点之间的距离是10得到点P到表示1的点的距离是5，即可得到点表示的数为6或．
【详解】解：因为轴上表示的点与表示3的点重合，
所以是从表示1的点处折叠，
因为数轴上两点之间的距离是10，
所以点P到表示1的点的距离是5，
所以点表示的数为6或．
故答案为：6或．
16．（1）8 （2）8 （3） （4）7或9秒 （5）
【分析】本题考查了一元一次方程的应用及数轴、绝对值，掌握两点之间的距离公式是解题的关键．
（1）根据两点之间距离的定义求解；
（2）根据绝对值的性质求解；
（3）根据两点之间距离的定义及当在两点之间时距离和最小求解；
（4）设经过秒时，，之间的距离为3，此时点表示的数是，点表示的数是，据此列方程求解即可；
（5）根据绝对值几何意义分别求和的最小值，即可求解．
【详解】（1）解：数轴上表示和6的两点之间的距离为：，
故答案为：8；
（2）解：数轴上表示数的点位于与5之间，
，
，
故答案为：8；
（3）解：表示数到点1与3的距离之和，
当时，取最小值，
故答案为：；
（4）解：设经过秒时，，之间的距离为3，
此时点表示的数是，点表示的数是，
则，
整理得，
解得或，
故当为7或9秒时，，之间的距离为3；
（5）解：表示数到点1与3的距离之和，
当时，取得最小值；
表示数到点4与的距离之和，
当时，取得最小值，
此时，
的最小值为1，的最小值为，
的最小值为：，
故答案为：．
17．正数集合：{3，，15，}；负数集合：{，，}；整数集合：{3，，0，15}；分数集合：{，，，}
【分析】此题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．根据有理数的分类方法进行解答即可．
【详解】解：正数集合：{3，，15，}；
负数集合：{，，}；
整数集合：{3，，0，15}；
分数集合：{，，，}．
18．(1)周三；
(2)减少了，减少了吨
(3)吨
(4)元
【分析】本题考查了正负数的实际应用，熟悉相反意义的量是解题的关键．
（1）根据表格作答即可；
（2）把出入数据相加即可；
（3）根据每周的变化推导即可；
（4）运算出总出入的数量，再乘价钱即可求解．
【详解】（1）解：由表可得：周三水果变化量最大，最大变化量为（吨）；
故答案为：周三；；
（2）解：，
答：这一周冷库里的水果减少了，变化了吨；
（3）解：每周减少吨，则上周有（吨），
答：一周前冷库里存有水果吨；
（4）解：（元），
答：这一周共需付元装卸费．
19．(1)；；
(2)距离；
(3)，；．
【分析】本题主要考查了绝对值，解决本题的关键是根据绝对值的几何意义去掉绝对值符号，再利用不等式的基本性质求代数式的最小值．
（1）根据绝对值的几何意义分别求出两个式子的值即可；
（2）根据绝对值的几何意义，可知表示数轴上，两点间的距离；
（3）根据绝对值的几何意义可知当时，有最小值；
根据绝对值的几何意义求解即可．
【详解】（1）解：；，
故答案为：；；
（2）解：表示数轴上，两点间的距离，
故答案为：距离；
（3）解：的最小值是，
当时，
可得：，
解得：，
故答案为：，；
解：表示数轴上表示x的数到1的距离加上表示x的数到2的距离加上表示x的数到3的距离，
∴当时，有最小值，
∴此时．