人教版九年级数学上册试题 第22章《二次函数》复习题--二次函数的图像与系数、不等式、对称性和最值（含答案）

第22章《二次函数》复习题--二次函数的图像与系数、不等式、对称性和最值
题型一：二次函数的图像和性质
1．在平面直角坐标系中，对于二次函数y=-2（x-2）2+1，下列说法中错误的是（　　）
A．y的最大值是1
B．图象的顶点坐标为，对称轴为直线
C．它的图象可以由向右平移两个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
D．当时，y随x的增大而减小．
2．在同一平面直角坐标系中，画函数的图象，它们图象的共同特点是（ ）
A．都是关于轴对称，抛物线开口向上 B．都是关于轴对称，抛物线的顶点都是原点
C．当时，随的增大而增大 D．抛物线的顶点都是原点，顶点是抛物线的最低点
3．如图，抛物线与交于点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，则以下结论：
①无论取何值，的值总是正数；②；③当时，；④．
其中正确结论是（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①④
题型二：二次函数的图像和性质
4．关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．顶点坐标是 B．对称轴是直线
C．抛物线有最高点 D．抛物线与轴有两个交点
5．关于二次函数，下列说法中正确的是（　　）
A．函数图象的对称轴是直线
B．函数的有最小值，最小值为
C．点在函数图象上，当时，
D．函数值y随x的增大而增大
6．在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象顶点在轴上，当图象经过点，时，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
题型三：二次函数图像和系数的关系
7．对称轴为直线的抛物线(a，b，c为常数，且)如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤(m为任意实数)，⑥当时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③若实数，则；④若，则，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①，②；③；④若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，；⑤直线（）经过点，则关于x的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
题型四：一次函数与二次函数的交汇问题
10．如图，平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，则二次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
11．一次函数与二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C． D．
12．如图，在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图像大致是（ ）
A．B． C． D．
题型五：二次函数的对称性问题
13．若抛物线与x轴只有一个交点，且过点，，则n的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
14．点，是抛物线上的两点，则该抛物线的顶点可能是（ ）
A． B． C． D．
15．若二次函数的图象经过、、、、，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
题型六：二次函数的最值问题
16．在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值 B．最大值7 C．最小值 D．最小值7
17．已知一次函数，当时，，若的最小值为2，则m的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
18．已知二次函数，当时，函数有最小值，则b的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．或
题型七：二次函数的最短路径问题
19．如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
20．如图，在抛物线上有，两点，其横坐标分别为1，2；在轴上有一动点，当最小时，则点的坐标是（ ）
A．（0.0） B．（0，） C．（0，2） D．（0，）
21．已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（ ）
A．5 B．9 C．11 D．13
题型八：二次函数的平移问题
22．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　）
A． B．
C． D．
23．将二次函数图象向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是，原函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
24．（将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
题型九：二次函数与一元二次方程
25．二次函数的图象过点，方程的解为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
26．已知抛物线上部分点的横坐标x纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 3 0 0 3 …
①抛物线的开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③方程的根为0和2；④当时，x的取值范围是或以上结论中其中的是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③ D．③④
27．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，以下结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤若图象经过点时，方程的两根为（），则，其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．②③⑤ C．②③④⑤ D．②③④
题型十：二次函数和不等式问题
28．如图为二次函数图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
29．如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或 C． D．
30．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A，，结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③时，函数有最大值；④对于抛物线，当时，的取值范围是.其中正确结论的个数是（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型十一：二次函数的综合应用
31.如图，在平面直角坐标系中，抛物线过，两点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)记抛物线与y轴的交点为D，求的面积．
(3)点M在抛物线的对称轴上，当M的坐标为多少时周长最小？
32.已知二次函数的图象与y轴相交于点．
(1)若，求该二次函数的最小值；
(2)若，点都在该函数的图象上，比较和的大小关系；
(3)若点都在该二次函数图象上，分别求的取值范围
33.在平面直角坐标系中，点在抛物线上．
(1)直接写出抛物线的对称轴；
(2)抛物线上两点，，且，．
①当时，直接写出，的大小关系；
②若对于，都有，直接写出的取值范围．
34.在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．
(1)当时，求抛物线的对称轴；
(2)若抛物线经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
(3)当时，点，在抛物线上．若，请直接写出m的取值范围．
参考答案
题型一：二次函数的图像和性质
1.D
【详解】解：二次函数y=-2（x-2）2+1，，
∴该函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点为，当时，y有最大值1，当时，y的值随x值的增大而减小，当时，y的值随x值的增大而增大；
故选项A、B的说法正确，D的说法错误；
根据平移的规律，的图象向右平移2个单位长度得到，再向上平移1个单位长度得到y=-2（x-2）2+1；
故选项C的说法正确，
故选：D．
2．B
【详解】解：在同一平面直角坐标系中，画函数的图象，如图，
A、三个函数的图象都是关于轴对称，函数和的图象开口向上，函数的图象开口向下，故此选项说法错误，不符合题意；
B、三个函数的图象都是关于轴对称，抛物线的顶点都是原点，故此选项说法正确，符合题意；
C、函数和，当时，随的增大而增大；函数，当时，随的增大而减小，故此选项说法错误，不符合题意；
D、三个函数的图象的顶点都是原点，函数和的图象的顶点是最低点，函数的图象的顶点是最高点，故此选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
3．D
【详解】解：①∵抛物线开口向上，顶点坐标在x轴的上方，
∴无论取何值，的值总是正数，故本结论正确；
②把代入抛物线，
得，解得，故本结论错误；
③由两函数图象可知，抛物线解析式为，
当时，，
故，故本结论错误；
④∵与交于点
∴的对称轴为的对称轴为，的对称轴为的对称轴为，
∴，，
∴，，
∴，
故本结论正确．
故答案为：①④．
题型二：二次函数的图像和性质
4．B
【详解】解：，
则抛物线的顶点坐标为：，故A错误，不符合题意；
函数的对称轴为直线，故B正确，符合题意；
，故抛物线开口向上，函数有最低点，故C错误，不符合题意；
由知，抛物线与轴有一个交点，故D错误，不符合题意，
故选：B．
5．C
【详解】解：∵，
∴对称轴为，故A不正确；
函数有最大值，最大值为，故B不正确
当，y随x的增大而增大，当，y随x的增大而减小，故D不正确；
当时，，故C正确．
故选：C．
6．C
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数顶点坐标为，
∵顶点在轴上，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵二次函数图象经过点，时，，
∴，
∴，
故选：C．
题型三：二次函数图像和系数的关系
7．A
【详解】解：①由图象可知：，，
∵，
∴，
∴，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴，故②正确；
③∵抛物线与轴的一个交点在与0之间，对称轴为直线，
∴另一个交点在到之间，
∴当时，，故③错误；
④当时，，
∴，故④正确；
⑤当时，y取到值最小，此时，，
而当时，，
∴ ，
故，即，故⑤正确，
⑥当时，y随x的增大而减小，故⑥错误，
所以，正确的结论有：②④⑤，共3个
故选：A．
8．C
【详解】解：①函数图象开口方向向上，
；
对称轴在轴右侧，
、异号，
，
∵抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，故①错误；
②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，
，
，
时，，
，
，
，故②正确；
③对称轴为直线，，
最小值，
∵，
∴，
∴，
故③正确；
④，
∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
综上所述，正确的有②③④，
故选：C
9．B
【详解】解：由题意知，图象开口向下，即，
对称轴为直线，则，
∴，
当时，，
∴，①正确，故符合要求；
图象与轴有两个交点，则有两个不相等的实数根，即，②错误，故不符合要求；
将代入得，，③正确，故符合要求；
由题意知，关于对称轴对称的点坐标为，
∵关于x的方程的两个实数根，为图象交点的横坐标，如图1，
由图象可知，，；④正确，故符合要求；
∵，
∴过点，如图2，
∴关于x的不等式，即的解集为，⑤正确，故符合要求；
∴正确结论的个数为4个，
故选：B．
题型四：一次函数与二次函数的交汇问题
10．A
【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点，点M，N在第二象限，
∴方程有两个不等的实数根，且两个根都是负数，
即方程有两个不等的负实数根，
∴二次函数的图象与x轴有两个交点，且交于x轴的负半轴．
故选：A
11．B
【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意．
故选：B．
12．D
【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，不一致；
B、由抛物线可知，，由直线可知，，一致；都过点，不一致；
C、由抛物线可知，，由直线可知，，不一致；
D、由抛物线可知，，过点，由直线可知，，过点，一致，正确；
故选：D．
题型五：二次函数的对称性问题
13．A
【详解】解：抛物线过点、，
对称轴是直线，
又抛物线与轴只有一个交点，
顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入，得：
，
即．
故选：A．
14．B
【详解】解：∵A、B两点纵坐标相同，
∴A、B两点关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线，
故选项C、D可排除；
∵顶点的纵坐标不可能是3，
∴选项A可排除；
∴顶点只可能是选项B中的坐标；
故选：B．
15．B
【详解】解：经过、，
二次函数的对称轴，
点离对称轴比点离对称轴远，
、、与对称轴的距离最远，最近，
，
∴；
故选：B．
题型六：二次函数的最值问题
16．B
【详解】解：∵二次函数（为常数）的图象经过点，
∴，
解得：或，
∵对称轴在轴的左侧，
∴，
解得：，
∴，
∴二次函数，
∴该二次函数图象开口向下，有最大值7，
故选：B．
17．D
【详解】解：当时，，，当，，
，
当时，，，当，，
，
的最小值为2，
最小值为，
，
当时，取得最小值，即，
，
由题意知，所以，
当时，，，不符合题意舍去，
当时，，满足题意，
故选：D
18．A
【详解】解：∵，
又∵当时，函数有最小值，
∴当时，即时，当时，函数有最小值，
∴，
解得：，
∴，
当时，即时，当时，函数有最小值，
∴，
解得：；
当时，即时，当时，函数有最小值，
∴，
解得：（舍去），
综上，当时，函数有最小值，b的值为或．
故选：A．
题型七：二次函数的最短路径问题
19．D
【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，
∵，令，
即，
解得：，
∴,
令，解得，
∴，
∵点是对称轴上的一个动点，
∴，
∵
∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
即，
故选：D．
20．D
【详解】解：如图，点A关于y轴的对称点A′的横坐标为﹣1，
连接A′B与y轴相交于点C，点C即为使AC+BC最短的点，
当x＝﹣1时，y＝﹣1，
当x＝2时，y＝﹣4，
所以，点A′（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），
设直线A′B为
当x=0时，y=-2
即C（0，-2）
故选D
21．C
【详解】解：如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，
∵抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，
∴PE=PF，
∴△PMF的周长=FM+PM+PF，
∴要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，
∴当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，
∵M坐标为（3，6），
∴ME=6，
∴PF+PM=6
∵F（0，2），
∴
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11，
故选C．
题型八：二次函数的平移问题
22．C
【详解】将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是．
故选C．
23．A
【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，则原函数的解析式是，
故选：A．
24．B
【详解】将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为．
故选B．
题型九：二次函数与一元二次方程
25．B
【详解】解：抛物线的对称轴为直线
抛物线与x轴的一个交点坐标为，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标
∴方程的解为，
故选：B．
26．D
【详解】解：抛物线的解析式为，
将、、代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为，
由知抛物线的开口向上，故①错误；
抛物线的对称轴为直线，故②错误；
当时，，解得或，
方程的根为0和2，故③正确；
当时，，由函数图象解得或，故④正确；
故选：D．
27．D
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
即，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴，
∴，所以①错误；
∵物线与x轴有2个交点，
∴，所以②正确；
∵时，，
∴，
而，
∴，
∵，
∴，所以③正确；
∵时，y有最小值，
∴（t为任意实数），
即，所以④正确；
∵图象经过点时，方程的两根为，
∴二次函数与直线的一个交点为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴二次函数与直线的另一个交点为，
即，
∴，所以⑤错误．
故选：D．
题型十：二次函数和不等式问题
28．C
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线．
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为，
∴当时，x的取值范围是．
故选：C
29．A
【详解】∵抛物线与直线交于，，
∴不等式为：或，
故选：．
30．C
【详解】解：①∵直线与抛物线相交于点A，B，
∴由图象可知：当时，直线在抛物线的上方，
∴，即①正确；
②由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根．
∴是方程的一个解，即②正确；
③将点代入得：，解得：，
将点代入得：，解得：，
∴函数为：，
∴时，函数有最大值；即③正确．
④由③可得抛物线的解析式为：，
∴当时，有最小值，
∵
∴由函数图象可知：当时，有最大值5，
∴当时，的取值范围是，即④错误．
综上，正确的有3个．
故选：C．
题型十一：二次函数的综合应用
31.（1）解：由题意得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：连接，如图所示：
当时，，
故点的坐标为，
，两点的纵坐标相同，
轴，
点到的距离为，
．
（3）解：∵，，，
∴关于对称轴对称，
∴连接，与对称轴的交点即为点M，连接，
此时周长最小，
∵， ，
设的解析式为，
把和分别代入，
得出，
解得，
∴的解析式为，
令，则，
∴．
32.（1）解：∵二次函数的图象与轴相交于点，
∴．
又，
∴二次函数为．
又，
∴当时，取最小值为．
（2）∵，
∴对称轴直线．
，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
又，
．
（3）由题意得，①，②，
∴得，，
则；
得，，
则，可得或(舍去)．
综上可得，．
33.（1）解：在抛物线中，令，则，
即抛物线与y轴的交点，
故点与点关于抛物线对称轴对称，
而，则抛物线对称轴为直线；
（2）解：①当时，，，
；
，
即，
，
；
②设点P关于直线的对称点为，
则，即；
，
；
而，
则．
，
，
故当或时，，
解得：或．
34.（1）解：∵，为抛物线上的对称点，
∴，
抛物线的对称轴；
（2）解：∵过，，
∴，，，
∴对称轴．
①当时，
∵时，y随x的增大而增大，
∴，，
∴．
②当时，
∵时，y随x的增大而增大，
∴，，
∴，
综上：a的取值范围是或；
（3）解：∵点在抛物线上，
，
∵点，在抛物线上，
∴对称轴为直线，
①如图所示：
，
且，
；
②如图所示：

，
，
，
综上所述，m的取值范围为或．