人教版九年级数学上册试题 第二十二章《二次函数》复习题--二次函数综合大题（含答案）

第二十二章《二次函数》复习题--二次函数综合大题
题型一：动点问题
1．如图，在 ABC中，，．动点P从点A出发，沿方向以的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿方向以的速度向终点A运动．以为一边向上作正方形，过点Q作，交于点F．设点P的运动时间为，正方形和重叠部分图形的面积为．
(1)当点D落在上时，x的值为______．
(2)当点D落在上时，求x的值．
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
2．如图，中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从出发沿边向点以的速度移动，两点同时出发，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为．
(1)若两点的距离为时，求的值？
(2)当为何值时，的面积最大？并求出最大面积．
题型二：线段问题
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C，连接．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为线段上方的抛物线上一动点，过P作，当最大时，求出此时P点的坐标以及的最大值．
4．如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为直线下方抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点D作y轴的平行线，交于点P，小明认为当点D为抛物线顶点时，此时最大，试判断小明的说法是否正确，并说明理由．
题型三：周长问题
5．如图所示，抛物线交x轴于点，交y轴于点

(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的顶点为P，求的面积
(3)点Q是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点Q，使的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的平行线交于点C，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)已知点M是抛物线的顶点，若在x轴上存在一点N，使的周长最小，求点N的坐标．
题型四：面积问题
7．已知二次函数的图象和x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是直线上方的抛物线上的动点．
(1)求直线的解析式．
(2)当P是抛物线顶点时，求面积．
(3)在P点运动过程中，求面积的最大值．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线的对称轴是，且经过两点，与轴的另一交点为点．
(1)求抛物线解析式．
(2)若点为直线上方的抛物线上的一点，连接．求的面积的最大值，并求出此时点的坐标．
题型五：角度问题
9.如图，抛物线与轴交于，B，与轴交于．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点是直线上方抛物线上的一动点，轴，在抛物线上是否存在一点使的周长最大，如果存在，求出周长的最大值．
(3)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，如果不存在请说明理由．
10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于和两点，交y轴于点C，点D是线段上一动点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，过点E作直线轴于H，过点C作于F．
(1)
求抛物线解析式；
(2)如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段的长；
(3)在（2）的条件下：试探究在直线l上，是否存在点G，使？若存在，请求出所有符合条件的点G的坐标；若不存在，请说明理由．
题型六：特殊三角形问题
11．已知，如图点C在y轴正半轴上，，将线段绕点O顺时针旋转到OB的位置，点A的横坐标为方程的一个解且点A、B在y轴两侧；
(1)求经过A、B、C的抛物线的解析式；
(2)在如图抛物线的对称轴l上是否存在点M，使为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，抛物线经过A、B、C三点，点、，点B在y轴上．点P是直线下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线于点E，动点P在什么位置时，最大，求出此时P点的坐标；
(3)点Q是抛物线对称轴上一动点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出点Q坐标．
题型七：特殊四边形问题
13．如图，抛物线经过、两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），
①当点E在直线的下方运动时，求的面积的最大值；
②在①的条件下，点M是抛物线的对称轴上的动点，点P是抛物线上的动点，若以C、E、P、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
14．如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)连接，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，当以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，求出点M的横坐标．
题型八二次函数与其他知识交汇综合
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B．连接．设点Q是第一象限内抛物线上的一个动点，轴交于点N．
(1)若点A、点B在直线上时，
①求抛物线的表达式；
②求的最大值，并求取最大值时点N的坐标；
(2)我们发现：当取最大值时，点N恰好是的中点．请你说明理由．
16．如图抛物线，与轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使得的值最大，求此点P的坐标；
(3)点M为该抛物线的顶点，直线轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
17． 如图，抛物线经过点、，交轴于点．为抛物线在第三象限部分上的一点，作轴于点，交线段于点，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求线段长度的最大值，并求此时点D的坐标；
(3)若线段把 ADE分成面积比为的两部分，求此时点的坐标．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过，两点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)记抛物线与y轴的交点为D，求的面积．
(3)点M在抛物线的对称轴上，当M的坐标为多少时周长最小？
19．如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，B，当时，．
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
(3)点M的坐标为，点N的坐标为，若线段与该函数图象恰有一个交点，直接写出n的取值范围．
20．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点，点是第二象限内抛物线上一点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接、，求面积的最大值；
(3)若点关于直线的对称点恰好落在直线上，求点的坐标.
21．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）且，抛物线与y轴交于点C，点D为第二象限抛物线上一点，且点D的横坐标为．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若P是y轴上一动点，当值最小时，求点P的坐标．
(3)点M为抛物线上一动点，且横坐标为，过点M作轴交直线于点Q，过点M作轴，交抛物线于点N，求的最大值．
22．如图，已知抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于C点，直线交抛物线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，求四边形面积的最大值；并直接写出M点的坐标．
23．如图1，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且，．
(1)试求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P是第一象限抛物线上的一点，连接．且，试求点P的坐标？
(3)如图3，定长为1的线段MN在抛物线的对称轴上上下滑动，连接．记，试问：m是否有最小值？如果有，请求m的最小值；如果没有，请说明理由．
24．如图1，抛物线与x轴交于，两点，交y轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P为直线上方且抛物线对称轴左侧的抛物线上一点，过点P作x轴的平行线交抛物线于点D，过点P作y轴的平行线交于点H，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)把抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得新抛物线，在新抛物线对称轴上找一点M，在新抛物线上找一点N，直接写出所有使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标．
25．抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上一点，其横坐标为a．
(1)已知点，求抛物线的解析式．
(2)若，
①如图，当点P位于第二象限时，过点P分别作于点E，轴于点N，当取得最大值时，求a的值；
②在①的条件下，连接，，判断此时的面积是否为最大，并说明理由．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴是直线．
(1)求a，b的值；
(2)已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为，过点B作x轴的垂线交直线于点D，过点C作x轴的垂线交直线于点E，在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使以B，C，D，E为顶点的四边形面积为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
27．如图，抛物线（b、c为常数）与x轴相交于点、，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线
(1)求抛物线的解析式．
(2)设点P为抛物线对称轴上的一个动点．
①如图①，若点P为抛物线的顶点，求的面积．
②是否存在点P使的面积为6？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
28．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．

(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点，如果，求点的坐标；
(3)点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标．
29．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)当时，求函数最大值与最小值的差；
(3)点的坐标为，点的坐标为，若线段与二次函数图象恰有一个交点，请直接写出的取值范围．
30．综合与探究
如图，抛物线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点，负半轴相交于点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)如图1，是第一象限抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足是点，与的交点为，设．
①用含m的式子表示： ， ；
直接用①的结论求解②③；
②若，请直接写出点P的坐标；
③若，求点P的坐标；
(3)如图2，若点F在抛物线上，点G在x轴上，当以点B，C，F，G为顶点的四边形是平行四边形时，求点F的坐标．
参考答案
题型一：动点问题
1．（1）∵，，
∴，
当点在上时，如图所示，此时，
∵，四边形为正方形，
∴，，
∴，则，
∴，则，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
当点在上时，如图所示，此时，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，则，
∴，则，
∴；
（3）由（1）可知，当点在上时，，当点在上时，，
当时，如图，正方形和重叠部分图形的面积为正方形的面积，
∴；
当时，如图，
∵，
∴，，
∴，则，
又∵是正方形，
∴，则，
∴，则，
∴；
当时，如图，
，
∴．
2．（1）解：依题意得：，
∴，
∵，
∴，
∵两点的距离为，
∴，
解得：或2；
（2）解：设的面积为，根据题意得：
，
∴当时，S取得最大值，最大值为9，
即当为时，的面积最大，最大面积为．
题型二：线段问题
3.（1）解：∵抛物线交x轴于、两点，
∴ ，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）过点P作轴，交于点E，如图，

∵抛物线交y轴于点C，
∴，
设直线的解析式为，则 ，
解得： ，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为．
4．（1）解：∵抛物线的图象与x轴交于两点，
∴抛物线解析式可设为，
即，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：小明的说法不正确．
理由如下：
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
当时，，则，
设直线的解析式为，
把，分别代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴当，最大，
而抛物线的顶点坐标为，
∴小明的说法不正确．
题型三：周长问题
5．（1）解：∵抛物线交x轴于点，
∴设抛物线的解析式为：，
将点代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）由（1）得，
∴顶点坐标，
∵，
∴的面积为：；
（3）解：连接与直线交于点Q，

∵点A与点B关于对称，
∴，
∴的周长为，
∴当点Q与点B，C共线时，的周长最小，为，
∵
设直线的解析式为：，代入得：
，解得，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴点Q坐标为： ．
6．（1）解：把，代入抛物线中得：
，
∴．
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为．
把，代入，
得，
∴．
∴直线的解析式为．
设，
在中，令，得，
∴．
∴．
∴当时，有最大值1．
此时点P的坐标为．
（3）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线顶点M的坐标为．
作点A关于x轴的对称点E，则，
连接与x轴的交点即为点N，则，
此时，周长，即周长最小，
设直线的解析式为，把，代入，
有．
解得．
∴直线的解析式为．
当时，，
∴．
题型四：面积问题
7．（1）解：分别将、代入二次函数解析式中，
当时，，则，
当时，，，
根据二次函数的图像可知，点，
设直线的解析式为：
将，代入，
得：，
解得：
∴直线的解析式为．
（2）由，将其化为顶点式为，可知顶点P为，
如图P为顶点时连接并延长交x轴于点G，
设直线的解析式为，
将P点和C点代入得，解得，
则的解析式为，
即G为，
那么=3；
（3）过点作轴交于点．
设点的坐标为()，则点的坐标为
∴，
当时，取最大值，最大值为．
∵，
∴面积的最大值为．
8．（1）解：在直线中，当时，，当时，，
∴，
由抛物线的对称性可知：点与点关于对称，
∴点的坐标为，
∵抛物线过，
∴可设抛物线解析式为，
又∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴．
（2）解：的解析式为，点为直线上方的抛物线上的一点，
设，如图所示，过点作轴交于点，
∴
∴
，
∴
，
∴当时，的面积有最大值是，
∴，
此时点坐标．
题型五：角度问题
9．（1）解：∵，
∴，
将代入抛物线得∶，解得：，
∴抛物线的解析式为∶；
（2）解：当时，，
解得：，
∴B点的坐标为，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当最大时，的周长最大，
设D点坐标为，
设直线的解析式为，
代入B点的坐标，得∶，解得，
∴直线的解析式为∶，
∴F点的坐标为
∴
∴当时，取最大值为
∴周长的最大值为，
（3）解：根据题意得：，
①以为边在x轴下方作等腰直角三角形，点Q为直角顶点，此时点Q在的垂直平分线上，且点Q到x轴的距离等于长度的一半，
∴，
以点Q为圆心，为半径作，与抛物线交于M点，点M即为所求．
设点，根据勾股定理有∶
，
整理方程，得∶
即
设，则原方程为∶，
解得，，
∴当（与A，B重合，舍去）
当
∴点M的坐标为或；
②以为边在x轴上方作等腰直角三角形，点为直角顶点，同理点坐标为，
以点为圆心，为半径作，与抛物线交于M点，点M即为所求．
设点，根据勾股定理有∶
整理方程，得∶
设，则原方程为∶，解得，
∴当（与A，B重合，舍去）
当
综上所述∶点M的坐标为或．
10．（1）∵抛物线交轴于和，
∴，
解得，
即所求抛物线的解析式为.
（2）在中,令,则，
∴
∵,轴
∴轴
∴点F的纵坐标为3，
把代入，，
解得（舍去）, ，
∴
∴
∵，
∴，
又，
∴，
∵,，
∴，
∵，
∴；
（3）连接，
∵，
∴，
过D点作，交直线l于，过D点作，交直线l于，则，
∵，
∴，
∵，
设直线的解析式为，把点C和点E的坐标代入得到，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴；
设的坐标为，
则，，，
由勾股定理得到，，
即
解得，
∴；
综上，在直线l上，存在点G，使，点G的坐标为或．
题型六：特殊三角形问题
11．（1）解：∵点C在y轴正半轴上，，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
解方程得，
∵点A的横坐标为方程的一个解且点A、B在y轴两侧，
∴，
设经过A、B、C的抛物线的解析式为，
把代入得，解得，
∴经过A、B、C的抛物线的解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线，
设，
∴，，，
当时，则，
∴，
解得或，
∴点M的坐标为或；
当时，则，
∴，
解得，
∴点M的坐标为；
当时，则，
∴，
解得，
∴点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或或或．
12．（1）解：将点、代入得：，
解得，
所以此抛物线的解析式为．
（2）解：对于二次函数，
当时，，即，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
由二次函数的性质可知，在内，当时，最大，最大值为，
，
所以当最大时，点的坐标为．
（3）解：二次函数的对称轴为直线，
则可设点的坐标为，
所以，，，
①当时，以点为顶点的三角形为直角三角形，
则，即，
解得或，
所以此时点的坐标为或；
②当时，以点为顶点的三角形为直角三角形，
则，即，
解得，
所以此时点的坐标为；
③当时，以点为顶点的三角形为直角三角形，
则，即，
解得，
所以此时点的坐标为，
综上，点的坐标为或或或．
题型七：特殊四边形问题
13．（1）解：将B、C两点分别代入解析式可得：，
解得：
∴函数的表达式为：；
（2）解：①过点E作轴的平行线交于点，
设直线的解析式为，
将点B、的坐标代入一次函数表达式得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设点，则点，
则，
∴
∵，且，
∴当时，面积有最大值，最大值为，
此时点E的坐标为；
②如图：、，
，对称轴为直线，
设，，
a．当为对角线时，
则，
即，
，所以；
b．当为对角线时，
则，
即，
，所以；
c．当为对角线时，
则，
即
，所以
所以，符合题意的点P有或或．
14．（1）解：把点代入得，
，
解得，
∴二次函数解析式为；
（2）解：抛物线的对称轴上存在点P，使得的周长最小，理由如下：
连接，交对称轴于点P，连接，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴当B、C、P三点共线时，的周长有最小值，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
把代入得，，
∴；
（3）解：，，
当为平行四边形的对角线时，
∴，
解得（舍），或，
∴；
当为平行四边形的对角线时，
∴，
解得（舍），或，
∴；
当为平行四边形的对角线时，
∴，
解得或，
∴或
综上所述，满足题意的点M的横坐标为2或或．
题型八二次函数与其他知识交汇综合
15．（1）解：①点、点在直线上时，则点、的坐标分别为：、．
则，解得：，
则抛物线的表达式为：；
②设点，则点，
则，
，
故有最大值，
当时，的最大值为，此时点；
（2）解：设直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
，
故有最大值，此时，
即，
联立直线和抛物线的表达式得：，
解得：（舍去）或，
则的中点坐标得横坐标为：，
点恰好是的中点．
16．（1）解：抛物线经过两点，
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
（2）解：由抛物线的对称性得，点关于抛物线对称轴的对称点是点A，
，
，
当三点共线时，最大，
如图，连接，并延长交抛物线的对称轴于点，
设直线的解析式为，
把代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
点；
（3）存在满足条件，理由如下：
抛物线与轴交于两点，
点，
，
顶点为，
点为，点，
直线的解析式为：，
如图，设直线与轴交于点，过点作于，
点，
，
，
，
，
，
，
设点，
点到直线的距离等于点到点A的距离，
，
，
，即，
，
，
存在点满足要求，点坐标为或．
17．（1）解：∵抛物线与x轴交于点，
∴设抛物线的表达式为，
将代入表达式，解得，
抛物线的表达式为：，
即：；
（2）解：设直线的表达式为：，
将代入表达式，得，
直线的表达式为：；
设，．
则；
当时，有最大值，为，
把代入，得：，
，
线段长度得最大值是，此时的坐标是；
（3）解：根据题意，，
当时，有：，
解得（舍去）；
当时，有：，
解得：，（舍去）；
综上所述：当时，满足条件．
18．（1）解：由题意得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：连接，如图所示：
当时，，
故点的坐标为，
，两点的纵坐标相同，
轴，
点到的距离为，
．
（3）解：∵，，，
∴关于对称轴对称，
∴连接，与对称轴的交点即为点M，连接，
此时周长最小，
∵， ，
设的解析式为，
把和分别代入，
得出，
解得，
∴的解析式为，
令，则，
∴．
19．（1）解：设抛物线解析式为，
当时，，
，
把代入得，
解得，
抛物线解析式为，
即；
（2）解：，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
点和点关于直线对称，
，
矩形的周长，
，
当时，矩形的周长有最大值，最大值是13．
（3）解：当时，即，
解得，，
当线段与该函数图象的交点在对称轴的左侧时，
则，
解得；
当线段与该函数图象的交点在对称轴的右侧时，
则，
综上所述，n的取值范围为或．
20．（1）解：在中，令，得；令，得，
，，
把、两点的坐标分别代入线，
可得，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）作轴交于点，如图，
设，则，
点是第二象限内抛物线上一点
；
，
，
当时，的最大值为，
面积的最大值为；
（3）连接、，交直线于点，如图，
令，
解得：，，
，
，，
，
∴，
点、关于直线对称，
，
，
点是纵坐标为，
．
21．（1）解：把代入中，
，
得，
∴；
（2）解：在中，
当时：，
∴点D的坐标为，
当时：，
∴点A的坐标为，
作点A关于y轴的对称点E，
∵A点坐标为，
∴E点坐标为，
连接交y轴于点P，
此时最小，
设直线为，
∴
解得：，
∴直线的表达式为
∴点P的坐标为 ；
（3）解：如下图：
在中，
当时：，
∴点C的坐标为，
设直线解析式为，则
解得，
∴直线表达式：，
设M点坐标为，
Q点坐标，
∴，
∵M和N关于对称轴对称，对称轴为直线，
∴，
∴
，
∵，
∴当时有最大值．
22．（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，连接，分别过点M作轴于点P，轴于点Q，
设点M的坐标为，则，
当时，，
解得：，
∴点，
∴，
当时，，即，
∵，
∴，
∴四边形面积
，
∵，
∴当时，四边形面积最大，最大为9，此时点M的坐标为．
23．（1）解：由，，得
，
即，
把A，B，C的坐标代入函数解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：作轴交于M点，如图1
由，得的解析式为，
设P点坐标为．
的长为，
，
；
由，得
．
化简，得，解得，
点坐标为或；
（3）解：m有最小值，理由如下：
在上作，如图2
作关于对称轴的对称点，连接，
取得最小值为．
在中，由勾股定理，得
，
．
24．（1）解：由题意可设二次函数的交点式为，
将点代入函数解析式，得，
，
二次函数的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，则
，解得：，
直线的解析式为，
设点的坐标为，
则点的坐标为，
点的坐标为，
，
，，
当时，有最大值，
此时，点的坐标为
（3）解：抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，
平移后的抛物线解析式为，
新的对称轴为直线，
设，，
以为对角线时，
，
解得：，
点的坐标为；
以为对角线时，
，
解得：，
点的坐标为；
以为对角线时，
，
解得：，
点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或．
25．（1）解：把点代入得，
∴，
∴抛物线的解析式为，
（2）①若，则，
∴抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，
设点
设直线BC的解析式为，
∴解得：，
∴直线的解析式为，
如图，过点P作y轴的平行线交直线BC于点H，可得，
∴，
由，可知
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值
∵，符合题意，取得最大值时，．
②在①的条件下，的面积不是最大，理由如下：
由①可知．
∵，
∴当时，的面积最大．
26．（1）解：∵抛物线经过点，对称轴是直线．
∴，
解得，
（2）由（1）得抛物线为．
当时，；
当时，．
∴点．
设对应的函数表达式为，
把代入得
，
对应的函数表达式为，
∴点．
①当时，如图①，过点D作于点F，则．
此时．
由．
解得．
②当时，点B与D重合，四点B、C、D、E不构成四边形．
③当时，如图②，过点D作于点H，则．
此时．
．
解得（舍），（舍）．
综上所述，．
27．（1）解：抛物线、为常数）与轴相交于点、，
，
解得，
抛物线解析式为；
（2）解：①，
，且，
设直线解析式为，则有，
解得，
直线解析式为，
设对称轴交于点，如图1，
则，
，
；
②设，由①可知，
，
，
，
解得或，
点坐标为或，
即存在满足条件的点，其坐标为或．
28．（1）解：由题意得：抛物线的解析式为：
（2）解：如图所示：

令，可得，
∴
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设点，则
∴
∴
解得：
∴点的坐标为或
（3）解：由两点可得抛物线的对称轴为：直线，
设
为平行四边形的对角线时：
，
解得：，
∴
为平行四边形的对角线时：
，
解得：，
∴
为平行四边形的对角线时：
，
解得：，
∴
综上所述，点的坐标为
29．（1）解：二次函数的表达式为，
把代入得，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：二次函数的对称轴为直线，
∵在范围内，
∴当时，函数有最小值为；
当时，；
当时，；
∴当时，求函数最大值与最小值的差为；
（3）解：令得，
解得或；
当线段与二次函数图象的一个交点为时，
且，解得；
当线段与二次函数图象的一个交点为时，
且，解得；
综上，的取值范围为或．
30．（1）解：由题意得：，解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：设点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
则点，
则；
①则，；
故答案为：，；
②若，则，
解得：（舍去）或，
即点；
③若，则，
解得：（舍去）或，
即点；
（3）解：设点，点，
当为对角线时，由中点坐标公式得：，
解得：（舍去）或，
即点；
当或为对角线时，同理可得：
或，
解得：（舍去）或或，
故点的坐标为：或或．
综上，点的坐标为：或或．