人教版九年级数学上册试题 第二十三章《旋转》复习题--旋转、对称几何变换（含答案）

第二十三章《旋转》复习题--旋转、对称几何变换
一、单选题
1.如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，有两个全等的矩形和矩形重合摆放，将矩形绕点逆时针旋转，延长交于点，线段的中点为点，的长为2，的长为4，当取最小时，的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4.如图，在中，，，．点D在上，且．连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，分别连接，．则的面积为（ ）．
A．3 B． C． D．
5.如图，在中，， 点 O 为的中点，将 绕点O按逆时针方向旋转得到，点 A，B，C 的对应点分别为．当落在边上时，两个三角形重叠部分(阴影部分)的面积为（ ）
A． B．4 C． D．
6.如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为平行四边形，其中点，，M为对角线的中点．现将平行四边形绕原点O顺时针旋转，每次转，则第71次旋转结束时，点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7.如图，在中，，，点为内部一点，在平面内将线段绕点逆时针旋转得到线段，点三点共线，点为线段的中点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8.若二次函数的图象关于点对称的曲线为，则曲线对应的解析式为 ．
9.如图，在平行四边形中，，，线段与线段分别过平行四边形的对称中心O，且将平行四边形分成相等的四份，若，则 ．
10.已知正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示M为边上一点，且点M的坐标为．将正方形绕原点O顺时针旋转，每秒旋转，则旋转2022秒后，点M的坐标为 ．
11.如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接、，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 （填序号）
三、解答题
12.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过，点M是该抛物线的顶点，将线段绕着点A顺时针旋转得到，取线段中点C，过点C作y轴的垂线，交该抛物线从左到右依次为点D、E，连接、、．
(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)求的长；
(3)直接写出四边形的面积＝______．
13.如图，四边形是正方形，，分别在、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，点与点重合，得到，连接、、．
(1)求证： ．
(2)如图，已知旋转得到，如果正方形的边长是4，求的周长．
14.已知直角三角板中，，将该三角板绕点C旋转，得到，连接，．
(1)如图1，将直角三角板逆时针旋转，，写出的度数（不需要说明理由）；
(2)若将直角三角板顺时针旋转，请在图2中补全图形，并求出的度数；
(3)若的平分线交于点G，交直线于点F，连接，试证明：．
15.如图，在正方形中，点在边上，且与关于所在的直线对称，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长．
16.课本再现：
如图1，四边形是菱形，，．

（1）求，的长．
应用拓展
（2）如图2，为上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接．
①求出点到距离的最小值；
②如图3，连接，，若的面积为，求的长．
（备用结论：在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半）
17.感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，我们很容易得到，不需证明．
探究：将绕点逆时针旋转，如图②，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程：若不成立，说明理由．
应用：如图③，当绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，连接．
①的度数是______．
②若，求线段的长是多少？
18.如图，中，，将绕点A逆时针方向旋转得到，与交于点G、F．
(1)求的度数；
(2)判断四边形的形状，并说明理由．
19.将一副直角三角板与叠放在一起，如图1，，，，．在两三角板所在平面内，将三角板绕点O顺时针方向旋转（）度到位置，使，如图2．

(1)求的值；
(2)如图3，继续将三角板绕点O顺时针方向旋转，使点E落在边上点处，点D落在点处．设交于点G，交于点H，若点G是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由．
20.如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，小颖对该图形进行探究，得出结论：．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．
21.如图，正方形和正方形有公共顶点D．
(1)如图1，连接和，直接写出和的关系；
(2)如图2，连接为中点，连接，探究的关系，并说明理由；
(3)如图3，当正方形绕点D逆时针旋转过程中，连接，若当，，时，_______（请用含m的式子表示）．
22.如图，在直角三角形纸片中，，，．
【数学活动】
将三角形纸片进行以下操作：折叠三角形纸片，使点C与点A重合，得到折痕，然后展开铺平；将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点．
【数学思考】
（1）折痕的长为______；
（2）在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系，并证明你的结论；
【数学探究】；
（3）如图，在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时，求的长；
【问题延伸】；
（4）在绕点D旋转的过程中，连接，则的取值范围是______．
23.如图1，在中，．将绕点逆时针旋转，旋转角为得到，记点，的对应点分别为，，连接，，射线与交于点．

(1)如图1，求的度数；（用含的式子表示）
(2)如图2，当点在射线上时，若，证明：四边形为平行四边形；
(3)在旋转过程中是否存在的情形？若存在，求出此时与的数量关系；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、单选题
1.C
【详解】解：根据题意，由旋转的性质，
可得，，，
无法证明，，故B选项和D选项不符合题意，
由旋转的性质得：
，故A选项不符合题意，
由旋转的性质得：
，故C选项符合题意，
故选：C．
2.A
【详解】解：由题意得，平移前，
∵将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，
∴平移方式为向右平移3个单位长度，
∴平移后点A的对应点坐标为，
如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点A的对应点的坐标是，
故选：A．
3.B
【详解】解：如下图，连接，
∵四边形与四边形均为矩形且全等，且，，
∴，，，
∴矩形绕点逆时针旋转，
则当，即点与点重合时，取最小值，如下图，连接，
此时，
∵点为线段的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即点与点重合，
∴．
故选：B．
4.C
【详解】解：由，，，，
可得，，，
由旋转可知 ，
所以，，
所以，
所以．
5.D
【详解】解：设与交于点D，
∵，点 O 为的中点，
∴，
将 绕点O按逆时针方向旋转得到，点 A，B，C 的对应点分别为．当落在边上时，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
即两个三角形重叠部分(阴影部分)的面积为，
故选：D．
6.D
【详解】解：如图，作出旋转后点M的对应点，过点作，垂足为，
四边形为平行四边形，M为对角线的中点，
为对对角线的中点，
,
将平行四边形绕原点O顺时针旋转，每次转，
，
,
，，
，
，
，
,
，同理可得，
第2次旋转结束时，点M的坐标为，
第3次旋转结束时，点M的坐标为，
第4次旋转结束时，点M的坐标为，
每旋转4次为一个循环，
，
第71次旋转结束时，点M的坐标为，
故选：D．
7.C
【详解】解：连接，如图所示：

将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，，
，
又，
，
，
，
点为线段的中点，
，
，
，
，
．
故选：C．
二、填空题
8.
【详解】解：令，，，
，，
令，，
∴二次函数与轴交于，，与轴交于，
∴这三个点关于对称点为，，，
设抛物线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
∴曲线的解析式为．
故答案为：．
9.
【详解】解：四边形平行四边形中，，，线段与线段分别过平行四边形的对称中心O，且将平行四边形分成相等的四份，
，，，
连接，，
有，
，
，
，
，，
由中心对称性质可知，
，
，
，
，
；
同理可得，
故答案为：．
10.
【详解】∵正方形绕原点O顺时针旋转，每秒旋转，
∴旋转8秒恰好旋转．
∵，
∴旋转2022秒，即点M旋转了252圈后，又旋转了6次．
∵，
∴此时点M对应的位置即点所在的位置，
如图，过点M，分别作轴于点E，轴于点F，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质可知，
∴，
∵点M的坐标为，
∴，，
又点在第二象限，
∴旋转2022秒后，点M的坐标为．
故答案为：．
11.①②③
【详解】解：由题意知，绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∵，，
∴，，，，；
故①符合题意；
∴，，
∴；
故③符合题意；
∴，
∴，
∴；
故②符合题意；
∴；
故④不符合题意；
故答案为：①②③．
三、解答题
12.（1）解：∵抛物线经过
∴，
解得，
∴该抛物线对应的函数解析式为；
（2）解：∵，
∴，
∵线段绕着点A顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∵C点为线段的中点，
∴，
当时，，
解得，，
∴，，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，而，
∴四边形的面积．
13.（1）证明：由旋转的性质，可知：，，，
在和中，
，
；
（2）解：由旋转的性质，可知：，，，，
点、、共线，
，
在和 中，
，
．
，
，
；
，
正方形的边长为4，
．
14.（1）解：由旋转的性质可知，，，，
，
，
，，
，
；
（2）解：补全后的图形如图①所示．
由旋转的性质可知，．
．
在等腰三角形中，，
．
（3）解：①当将直角三角板逆时针旋转时，如图②，
过点作，交的延长线于点．
由旋转的性质可知，，
是等腰三角形，
是的平分线，
垂直平分，
．
由（1）知，
．
是等腰直角三角形．
．
．
又，
，
．
．
，
，
即；
②当将直角三角板顺时针旋转时，如图③，
过点作，交的延长线于点．
同理可证，是线段的垂直平分线．
．
由（2）知，
．
是等腰直角三角形．
，
．
又，
，
．
，
．
，
即．
综上所述，．
15.（1）证明：与关于所在的直线对称，
．
由绕点按顺时针方向旋转得到，
，
．
（2）解：连接，
与关于所在的直线对称，
．
四边形是正方形，
，
．
，
，
即．
由绕点按顺时针方向旋转得到，
．
在和中，
，
，
．
，，
，
．
在中，
，
．
16.解：（1）四边形是菱形，，．
，，，，，
，
；
（2）①四边形是菱形，，
，，
为等边三角形，
，
由旋转可得：，，
，
如图2，过作于，

，
当最小时，最小，
当时，最小，
此时，
，
，
点到距离的最小值为；
②四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
，，
，
，的面积为，
，
，
，
．
17.探究：成立，证明如下：
和都是等腰直角三角形，
，，
由旋转的性质可得，
，
；
应用：①和都是等腰直角三角形，
，，
，
，，，
，
；
故答案为：；
② ，
，
，
，，
，；
．
18.（1）解：∵
∴，
∵将绕点A顺时针方向旋转得到，
∴，
∴；
（2）四边形是菱形，理由如下：
∵，
∴，
∵
∴
∴四边形是平行四边形，且，
∴四边形是菱形．
19.（1）根据题意，得旋转角，
∵，，
∴，
故．
（2）根据题意，得旋转角，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，

∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
20.（1）证明：∵是等边三角形，
又
即
∴
（2）解：小颖的结论正确，理由如下：
如图，过A点作于M，于N，
∵
又
∵
又
∴
在和 中
∴
．
21.（1）解：四边形和四边形是正方形，
，，，
∴
，
，
，
如图：
∵
∴
∴
∴；
（2）解：且，理由如下：
四边形和四边形是正方形，
，，，
延长至点，使得，连接，延长交于一点H
则，
∴
∵，，
，
，
∵为中点，为中点
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
即
（3）第一种情况：如图：连接，则交与一点
与（1）同理得，且；
四边形和四边形是正方形，
∴，
∵
∴
在中，
在中，
∴
第二种情况：
如图：连接，交于一点Q
与（1）同理得，且；
四边形和四边形是正方形，
∴，
∵
∴
在中，，
在中，
∴
故答案为：或
22.解：（1）∵是中点，点C和点A重合，
∴是中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：3；
（2），证明如下：连接，
由旋转的性质，得，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴；
（3）由旋转的性质可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴；
（4）如图，连接，
在中，
∵，，
∴，
由题意得
当点F在上时，最小，此时；
当点F在的延长线上时，最大，此时
∴，
故答案为：．
23.（1）解：∵将绕点逆时针旋转得到，旋转角为，
∴，，，
∴．
则．
（2）∵．
∴旋转角，，
由①可知，，，，
∴
∴．
∵，
∴，
∴
∴，
∴四边形为平行四边形．
（3）①当点，，不共线时，如图，过点作的平行线与延长线交于点，连接，．

由（1）可知， ，
∵，
∴
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴点为，的中点，即，．
∵当时，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
②当点，，三点共线时，此时，点与点重合．

∵，且，
∴，
此时．
综上所述，在旋转过程中存在的情形，此时或．