北师大版九年级数学下册第2章二次函数 单元测试（含答案）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册第2章二次函数 单元测试（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 112.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-08 08:17:17 | ||
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文档简介
北师大版九年级下 第2章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列函数中，属于y关于x的二次函数的是（ ）
A． B．y=ax2+bx+c C．y=（x+1）x D．y=2x-3
2．抛物线y=（x-3）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（3，-5） B．（-3，5） C．（3，5） D．（-3，-5）
3．二次函数y=2（x-2）2-1图象的对称轴是（ ）
A．直线x=-1 B．直线x=2 C．直线x=-2 D．直线x=1
4．将抛物线y=（x-1）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（ ）
A．y=（x-2）2-2 B．y=（x+2）2-2 C．y=（x+2）2+2 D．y=（x-2）2+2
5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下面结论正确的是（ ）
A．a＜0，c＜0，b2＞4ac B．a＞0，c＜0，b2＞4ac
C．a＜0，c＞0，b2＞4ac D．a＞0，c＜0，b2＜4ac
6．已知抛物线y=x2-2x-m2的自变量x1、x2、x3对应的函数值分别为y1、y2、y3，当2＜x1＜3，0＜x2＜1，x3＜-3时，y1、y2、y3三者之间的大小关系是（ ）
A．y2＜y3＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2
7．关于二次函数y=x2的图象，下列说法错误的是（ ）
A．它的开口向上，且关于y轴对称
B．它的顶点是抛物线的最高点
C．它与y=-x2的图象关于x轴对称
D．它与y轴只有一个交点
8．要得到抛物线y=3（x-2）2+3，可以将抛物线y=3x2（ ）
A．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
9．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+c与y=ax+c（ac≠0）的图象大致如图（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y=x2的第一象限的图象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线AC的长为（ ）
A．2 B． C． D．
11．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为-1，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为（1，4），则关于x的不等式ax2+c＞（2-b）x-1的解为（ ）
A．x＜-1或x＞3 B．x＜-2或x＞2 C．-1＜x＜3 D．-2＜x＜2
12．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x=1．结合图象分析下列结论：
①abc＞0；
②4a+2b+c＞0；
③2a+c＜0；
④一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=，x2=-1；
⑤若m,n（m＜n）为方程a（x+1）（x-3）+2=0的两个根，则m＜-1且n＞3．
其中正确的结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共5小题）
13．二次函数y=ax2+bx+c图象过点A（3，4），B（m,4）对称轴为直线x=-1，则m=______．
14．二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y=x+b的图象一定不经过 ______象限．
15．漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱可近似看作抛物线．如图是其中一个桥拱的示意图，拱跨AB=60m,以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点O垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，通过测量得AE=2m,DE⊥AB且DE=1.16m,则桥拱（抛物线）的函数表达式为 ______．
16．要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，水管长应为 ______米．
17．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x=2，M是抛物线的顶点，则下列说法正确的是 ______（填序号）．
①abc＞0；
②b+3a＞0；
③当x＜0时，y随x的增大而减小；
④c＜3b；
⑤若CM⊥AM，则．
三．解答题（共5小题）
18．已知抛物线y=-x2+mx+3经过点M（-2，3）．
（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当-3≤x≤0时，直接写出y的取值范围 ______；
（3）若将此抛物线绕其顶点旋转180°，直接写出旋转后抛物线的表达式为 ______．
19．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=-1上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标．
20．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500kg,销售价每上涨1元，月销售量就减少10kg.
（1）直接写出月销售利润y与销售价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为55元时，求此时销售利润y的值；
（3）若该商店想要获得不低于8000元的月销售利润，该如何定价？
21．如图，在平面直角坐标系中，过抛物线的顶点A作x轴的平行线，交抛物线y=x2+1于点B，点B在第一象限．
（1）求点A的坐标；
（2）点P为x轴上任意一点，连接AP、BP，求△ABP的面积．
22．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2-x+c与x轴交于A，B（2，0）两点，与y轴交于点C，如图所示．点D为抛物线的顶点，点是抛物线上的一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AE上方抛物线上一动点，过点P分别作PM∥BC交x轴于点M，PN∥x轴交直线AE于点N，点Q是直线AE上一动点．求当PM+PN取得最大值时，PQ+QA的最小值；
（3）将抛物线沿AE方向平移个单位长度得到新抛物线，点D′是新抛物线的顶点，点F是点E平移后的对应点，点G是新抛物线上一动点，连接BF，当∠D′BF+∠FBG=45°时，请写出所有符合条件的点G的坐标，并写出求其中一个点G的坐标的过程．
北师大版九年级下第2章二次函数单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、C 3、B 4、B 5、C 6、B 7、B 8、C 9、D 10、C 11、D 12、B
二．填空题（共5小题）
13、-5； 14、四； 15、y=-0.01x2+9； 16、； 17、①③⑤；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）把M（-2，3）代入y=-x2+mx+3得：
-4-2m+3=3，
解得m=-2，
∴y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，4）；
（2）∵y=-（x+1）2+4，
∴抛物线开口向下，有最大值4，
∵当x=0时，y=3，当x=-3时，y=0，
∴当-3≤x≤0时，y的取值范围是0≤y≤4．
（3）抛物线y=-（x+1）2+4，线绕其顶点旋转180°，得出y=（x+1）2+4．
19、解：（1）依题意得：，
解之得：，
∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3，
∵对称轴为x=-1，且抛物线经过A（1，0），
∴B（-3，0），
∴把B（-3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n,
得，
解得：，
∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；
（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x=-1代入直线y=x+3得，y=2，
∴M（-1，2）．
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（-1，2）．
20、解：（1）当销售单价定为每千克x元时，50元/千克销售，一个月可售出500kg,销售价每上涨1元，月销售量就减少10kg.
∴月销售量为：[500-（x-50）×10]千克，
每千克的销售利润是：（x-40）元，
所以月销售利润为：y=（x-40）[500-（x-50）×10]=-10x2+1400x-40000，
∴y与x的函数解析式为：y=-10x2+1400x-40000；
（2）由（1）得：y=-10x2+1400x-40000=-10（x-70）2+9000，
当x=55时，y=-10（55-70）2+9000=6750（元），
∴当销售价为55元时，销售利润为6750元；
（3）由（1）得：y=-10（x-70）2+9000，
∵-10＜0，
∴当x＜70时，y随x的增大而增大，当x＞70时，y随x的增大而减小，
令y=8000，有：-10（x-70）2+9000=8000，
解得：x1=60，x2=80，
∴60≤x≤80，
∴当销售价不低于60元，且不高于80元时，月销售利润不低于8000元．
21、解：（1）抛物线=（x-4）2+2，
∴顶点A的坐标为（4，2）；
（2）∵AB∥x轴，
∴B点的纵坐标为2，
代入y=x2+1得，2=x2+1，
解得x=±1，
∵点B在第一象限，
∴B（1，2），
∴AB=4-1=3，
∴S△ABP==3．
22、解：（1）由题意得，，
解得：，
则抛物线的表达式为：y=-x2-x+4；
（2）如图1，
作PD⊥AB于D，设P（t,-t2-t+4），
令y=-x2-x+4=0，
x1=2，x2=-4，
∴A（-4，0），
∴BC=2，
由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为：y=-x+2，
则-t2-t+4=-x+2，
则x=-t2-2t+4，
∴PN=-t2-3t+4，
∵PM∥BC，
∴∠PMD=∠OBC，
∵∠PDM=∠BOC=90°，
∴△PDM∽△COB，
∴PM：BC=PD：OC，
即PM：2=（-t2-t+4）：4，
则PM=（-t2-t+4），
则PM+PN=-2t2-5t+12=-2（x+）2+，
∴t=-时，PM+PN取得最大值，
此时，点P（-，），
由A、E的坐标得，tan∠EAO=，则sin∠EAO=，
过点O作PD⊥AB交AN于点Q，则点Q为所求点，此时，PQ+QA=PQ+DQ=PQ=yP=为最小；
（3）如图2，
作EQ⊥AB于Q，
∴∠AQE=90°，
∵E（1，2.5），A（-4，0），
则tan∠EAQ=，
∴sin∠EAQ=，cos∠EAQ，
则=，=3，
∴F（1+3，2.5+1.5），即F（4，4），
由原抛物线的表达式知，D（-1，4.5），则D′（2，6），则点BD′∥y轴，
故新抛物线的表达式为：y=-（x-2）2+6，
当点G（G′）在BF的右侧时，如下图，
∵∠D′BF+∠FBG=45°，即直线BG′和x轴的夹角为45°，点B（2，0），
则直线BG′的表达式为：y=x-2，
当点G在BF的左侧时，
延长FB交y轴于点T，设BG交y轴于点R，作RH⊥BF于点H，
由点F、B的坐标的，直线BF的表达式为：y=2（x-2），则点T（0，-4），则BT=，
则tan∠OBT=2，则tan∠OTB=，
∵∠D′BF+∠FBG=45°，故设RH=HB=x,则BR=x,
而tan∠OTB==RH：TH，则HT=2x,
则BT=x=，
则OR2=BR2-OB2=2x2-4=36，则OR=6，即点R（0，6），
由点B、R的坐标得，直线BG的表达式为：y=-3（x-2），
联立BG和新抛物线的表达式得：-（x-2）2+6=-3（x-2）或y=x-2=-（x-2）2+6，
解得：x=5-或1+（不合题意的值已舍去），
即点G（1+，-1）或（5-，3-9）．
一．选择题（共12小题）
1．下列函数中，属于y关于x的二次函数的是（ ）
A． B．y=ax2+bx+c C．y=（x+1）x D．y=2x-3
2．抛物线y=（x-3）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（3，-5） B．（-3，5） C．（3，5） D．（-3，-5）
3．二次函数y=2（x-2）2-1图象的对称轴是（ ）
A．直线x=-1 B．直线x=2 C．直线x=-2 D．直线x=1
4．将抛物线y=（x-1）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（ ）
A．y=（x-2）2-2 B．y=（x+2）2-2 C．y=（x+2）2+2 D．y=（x-2）2+2
5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下面结论正确的是（ ）
A．a＜0，c＜0，b2＞4ac B．a＞0，c＜0，b2＞4ac
C．a＜0，c＞0，b2＞4ac D．a＞0，c＜0，b2＜4ac
6．已知抛物线y=x2-2x-m2的自变量x1、x2、x3对应的函数值分别为y1、y2、y3，当2＜x1＜3，0＜x2＜1，x3＜-3时，y1、y2、y3三者之间的大小关系是（ ）
A．y2＜y3＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2
7．关于二次函数y=x2的图象，下列说法错误的是（ ）
A．它的开口向上，且关于y轴对称
B．它的顶点是抛物线的最高点
C．它与y=-x2的图象关于x轴对称
D．它与y轴只有一个交点
8．要得到抛物线y=3（x-2）2+3，可以将抛物线y=3x2（ ）
A．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
9．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+c与y=ax+c（ac≠0）的图象大致如图（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y=x2的第一象限的图象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线AC的长为（ ）
A．2 B． C． D．
11．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为-1，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为（1，4），则关于x的不等式ax2+c＞（2-b）x-1的解为（ ）
A．x＜-1或x＞3 B．x＜-2或x＞2 C．-1＜x＜3 D．-2＜x＜2
12．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x=1．结合图象分析下列结论：
①abc＞0；
②4a+2b+c＞0；
③2a+c＜0；
④一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=，x2=-1；
⑤若m,n（m＜n）为方程a（x+1）（x-3）+2=0的两个根，则m＜-1且n＞3．
其中正确的结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共5小题）
13．二次函数y=ax2+bx+c图象过点A（3，4），B（m,4）对称轴为直线x=-1，则m=______．
14．二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y=x+b的图象一定不经过 ______象限．
15．漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱可近似看作抛物线．如图是其中一个桥拱的示意图，拱跨AB=60m,以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点O垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，通过测量得AE=2m,DE⊥AB且DE=1.16m,则桥拱（抛物线）的函数表达式为 ______．
16．要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，水管长应为 ______米．
17．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x=2，M是抛物线的顶点，则下列说法正确的是 ______（填序号）．
①abc＞0；
②b+3a＞0；
③当x＜0时，y随x的增大而减小；
④c＜3b；
⑤若CM⊥AM，则．
三．解答题（共5小题）
18．已知抛物线y=-x2+mx+3经过点M（-2，3）．
（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当-3≤x≤0时，直接写出y的取值范围 ______；
（3）若将此抛物线绕其顶点旋转180°，直接写出旋转后抛物线的表达式为 ______．
19．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=-1上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标．
20．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500kg,销售价每上涨1元，月销售量就减少10kg.
（1）直接写出月销售利润y与销售价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为55元时，求此时销售利润y的值；
（3）若该商店想要获得不低于8000元的月销售利润，该如何定价？
21．如图，在平面直角坐标系中，过抛物线的顶点A作x轴的平行线，交抛物线y=x2+1于点B，点B在第一象限．
（1）求点A的坐标；
（2）点P为x轴上任意一点，连接AP、BP，求△ABP的面积．
22．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2-x+c与x轴交于A，B（2，0）两点，与y轴交于点C，如图所示．点D为抛物线的顶点，点是抛物线上的一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AE上方抛物线上一动点，过点P分别作PM∥BC交x轴于点M，PN∥x轴交直线AE于点N，点Q是直线AE上一动点．求当PM+PN取得最大值时，PQ+QA的最小值；
（3）将抛物线沿AE方向平移个单位长度得到新抛物线，点D′是新抛物线的顶点，点F是点E平移后的对应点，点G是新抛物线上一动点，连接BF，当∠D′BF+∠FBG=45°时，请写出所有符合条件的点G的坐标，并写出求其中一个点G的坐标的过程．
北师大版九年级下第2章二次函数单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、C 3、B 4、B 5、C 6、B 7、B 8、C 9、D 10、C 11、D 12、B
二．填空题（共5小题）
13、-5； 14、四； 15、y=-0.01x2+9； 16、； 17、①③⑤；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）把M（-2，3）代入y=-x2+mx+3得：
-4-2m+3=3，
解得m=-2，
∴y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，4）；
（2）∵y=-（x+1）2+4，
∴抛物线开口向下，有最大值4，
∵当x=0时，y=3，当x=-3时，y=0，
∴当-3≤x≤0时，y的取值范围是0≤y≤4．
（3）抛物线y=-（x+1）2+4，线绕其顶点旋转180°，得出y=（x+1）2+4．
19、解：（1）依题意得：，
解之得：，
∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3，
∵对称轴为x=-1，且抛物线经过A（1，0），
∴B（-3，0），
∴把B（-3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n,
得，
解得：，
∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；
（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x=-1代入直线y=x+3得，y=2，
∴M（-1，2）．
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（-1，2）．
20、解：（1）当销售单价定为每千克x元时，50元/千克销售，一个月可售出500kg,销售价每上涨1元，月销售量就减少10kg.
∴月销售量为：[500-（x-50）×10]千克，
每千克的销售利润是：（x-40）元，
所以月销售利润为：y=（x-40）[500-（x-50）×10]=-10x2+1400x-40000，
∴y与x的函数解析式为：y=-10x2+1400x-40000；
（2）由（1）得：y=-10x2+1400x-40000=-10（x-70）2+9000，
当x=55时，y=-10（55-70）2+9000=6750（元），
∴当销售价为55元时，销售利润为6750元；
（3）由（1）得：y=-10（x-70）2+9000，
∵-10＜0，
∴当x＜70时，y随x的增大而增大，当x＞70时，y随x的增大而减小，
令y=8000，有：-10（x-70）2+9000=8000，
解得：x1=60，x2=80，
∴60≤x≤80，
∴当销售价不低于60元，且不高于80元时，月销售利润不低于8000元．
21、解：（1）抛物线=（x-4）2+2，
∴顶点A的坐标为（4，2）；
（2）∵AB∥x轴，
∴B点的纵坐标为2，
代入y=x2+1得，2=x2+1，
解得x=±1，
∵点B在第一象限，
∴B（1，2），
∴AB=4-1=3，
∴S△ABP==3．
22、解：（1）由题意得，，
解得：，
则抛物线的表达式为：y=-x2-x+4；
（2）如图1，
作PD⊥AB于D，设P（t,-t2-t+4），
令y=-x2-x+4=0，
x1=2，x2=-4，
∴A（-4，0），
∴BC=2，
由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为：y=-x+2，
则-t2-t+4=-x+2，
则x=-t2-2t+4，
∴PN=-t2-3t+4，
∵PM∥BC，
∴∠PMD=∠OBC，
∵∠PDM=∠BOC=90°，
∴△PDM∽△COB，
∴PM：BC=PD：OC，
即PM：2=（-t2-t+4）：4，
则PM=（-t2-t+4），
则PM+PN=-2t2-5t+12=-2（x+）2+，
∴t=-时，PM+PN取得最大值，
此时，点P（-，），
由A、E的坐标得，tan∠EAO=，则sin∠EAO=，
过点O作PD⊥AB交AN于点Q，则点Q为所求点，此时，PQ+QA=PQ+DQ=PQ=yP=为最小；
（3）如图2，
作EQ⊥AB于Q，
∴∠AQE=90°，
∵E（1，2.5），A（-4，0），
则tan∠EAQ=，
∴sin∠EAQ=，cos∠EAQ，
则=，=3，
∴F（1+3，2.5+1.5），即F（4，4），
由原抛物线的表达式知，D（-1，4.5），则D′（2，6），则点BD′∥y轴，
故新抛物线的表达式为：y=-（x-2）2+6，
当点G（G′）在BF的右侧时，如下图，
∵∠D′BF+∠FBG=45°，即直线BG′和x轴的夹角为45°，点B（2，0），
则直线BG′的表达式为：y=x-2，
当点G在BF的左侧时，
延长FB交y轴于点T，设BG交y轴于点R，作RH⊥BF于点H，
由点F、B的坐标的，直线BF的表达式为：y=2（x-2），则点T（0，-4），则BT=，
则tan∠OBT=2，则tan∠OTB=，
∵∠D′BF+∠FBG=45°，故设RH=HB=x,则BR=x,
而tan∠OTB==RH：TH，则HT=2x,
则BT=x=，
则OR2=BR2-OB2=2x2-4=36，则OR=6，即点R（0，6），
由点B、R的坐标得，直线BG的表达式为：y=-3（x-2），
联立BG和新抛物线的表达式得：-（x-2）2+6=-3（x-2）或y=x-2=-（x-2）2+6，
解得：x=5-或1+（不合题意的值已舍去），
即点G（1+，-1）或（5-，3-9）．