北师大版九年级数学下册2.2二次函数的图象与性质 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册2.2二次函数的图象与性质 同步练习（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 62.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-08 08:19:04 | ||
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文档简介
北师大版九年级下 2.2 二次函数的图象与性质 同步练习
一．选择题（共10小题）
1．若抛物线y=ax2+3x-6的开口向下，则a的值可以是（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．5
2．若抛物线y=a（x+1）2+3a（a＞0）上有A（-2.5，y1），B（3，y2）和C（1.2，y3）三点，则y1，y2和y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
3．把二次函数y=2x2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得的图象的函数解析式为（ ）
A．y=2（x-2）2+3 B．y=2（x-2）2-3
C．y=2（x+2）2+3 D．y=2（x+2）2-3
4．已知点（1，y1），（2，y2），（-3，y3）都在二次函数y=-2024x2的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y3
5．二次函数y=ax2-bx和一次函数y=bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．把抛物线y=3x2的顶点平移到点（-1，2），则平移后抛物线的表达式为（ ）
A．y=（x+1）2+2 B．y=3（x+1）2+2
C．y=（x-1）2-2 D．y=（x-1）2+2
7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x=1，下列结论中正确的是（ ）
A．abc＜0 B．b=2a C．a-b+c＞0 D．4a+2b+c＜0
8．如图，坐标平面上有一个透明胶片，透明胶片上有一条抛物线及抛物线上一点P，且抛物线为y=x2，点P的坐标是（2，4）．若将此透明胶片进行平移后，使点P的坐标为（0，3），则此时抛物线的解析式为（ ）
A．y=（x+2）2+1 B．y=（x+2）2-1 C．y=（x-2）2+1 D．y=（x-2）2-1
9．已知y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．abc＜0 B．b=2a C．3a-c=0 D．4a-2b+c＜0
10．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D，当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和（ ）
A．4 B． C．2 D．
二．填空题（共5小题）
11．二次函数y=（x+1）（x-3）的对称轴为______．
12．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中x,y的部分对应值如表：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 0 -4 -6 -6 -4 …
则该二次函数图象的对称轴为 ______．
13．将抛物线y=-2x2向上平移3个单位长度，所得抛物线解析式为 ______．
14．如图，抛物线y=x2-4x+4的顶点为M，点A是抛物线上异于点M的一动点，连接AM，过点M作AM⊥BM交抛物线于点B，则点M到直线AB的距离的最大值为 ______．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，7）在抛物线y=ax2-1上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ______．
三．解答题（共5小题）
16．已知y=（k+2）是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）如果点P（m,n）是此二次函数的图象上一点，若-2≤m≤1，那么n的取值范围为 ______．
17．二次函数y=-x2+（x-1）a+x,其中a为实数．
（1）判断点（1，0）是否在该抛物线上；
（2）求该二次函数顶点的纵坐标；（用含a的代数式表示）
（3）若将该二次函数y=-x2+（x-1）a+x图象向下平移3个单位长度，所得抛物线顶点纵坐标的最小值为 ______．（直接写出答案）
18．如图，抛物线y=-x2+bx+c的对称轴是直线x=1，且经过点A（-1，0），过点A作直线y=x+1，交该抛物线于另一点B．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）将抛物线向下平移n（n＞0）个单位长度，使顶点落在直线y=x+1上，求n的值．
19．已知点A（2，-3）是二次函数y=x2+（2m-1）x-2m图象上的点．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当-1≤x≤4时，求函数的最大值与最小值的差；
（3）当t≤x≤t+3时，若函数的最大值与最小值的差为4，求t的值．
20．已知：抛物线．
（1）若顶点坐标为（1，1），求b和c的值（用含a的代数式表示）；
（2）当c＜0时，求函数y=-2024|ax2+bx+c|-1的最大值；
（3）若不论m为任何实数，直线与抛物线C1有且只有一个公共点，求a,b,c的值；此时，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k,求k的值．
北师大版九年级下2.2二次函数的图象与性质同步练习
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、B 2、B 3、D 4、A 5、D 6、B 7、A 8、B 9、C 10、B
二．填空题（共5小题）
11、直线x=1； 12、x=； 13、y=-2x2+3； 14、1； 15、-4+4；
三．解答题（共5小题）
16、解：（1）根据题意得k+2≠0且k2+k-4=2，解得k1=-3，k2=2，
∵二次函数当x＜0时，y随x的增大而增大，
∴二次函数的图象的开口向下，即k+2＜0，
∴k=-3；
（2）∵y=-x2，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点为原点，
∵当x=-2时，y=-4；x=1时，y=-1，
∴二次函数的图象上点P（m,n），且-2≤m≤1，则n的取值范围为-4≤n≤0．
故答案为：-4≤n≤0．
17、解：（1）当x=1时，y=-12+（1-1）a+1=0，
∴点（1，0）在抛物线上；
（2）y=-x2+（x-1）a+x=-x2+（a+1）x-a,
∴顶点纵坐标：==；
（3）∵将该二次函数y=-x2+（x-1）a+x图象向下平移3个单位长度，
∴所得抛物线顶点纵坐标为-3=（a-1）2-3，
∵＞0，
∴所得抛物线顶点纵坐标的最小值为-3．
故答案为：-3．
18、解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c的对称轴是直线x=1，
∴，
解得b=2．
∵抛物线y=-x2+2x+c经过点A（-1，0），
∴-1-2+c=0，
解得c=3，
∴抛物线的函数解析式为y=-x2+2x+3；
（2）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
将抛物线向下平移n（n＞0）个单位长度得到抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4-n,
∴此时的顶点坐标为（1，4-n）．
∵顶点（1，4-n）在直线y=x+1上，
∴4-n=1+1，
解得n=2．
19、解：（1）∵已知A（2，-3）是二次函数y=x2+（2m-1）x-2m图象上的点
∴4+4m-2-2m=-3
解得，
∴此二次函数的解析式为：y=x2-6x+5，
∵y=x2-6x+5=（x-3）2-4，
∴顶点坐标为（3，-4）；
（2）∵抛物线开口向上，顶点坐标为（3，-4），
∴当x=3时，y最小值=-4，
当x=-1时，y最大值=12，
∴当-1≤x≤4时，函数的最大值与最小值的差为16；
（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，
①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而减小，
当x=t时，y最大值=t2-6t+5
当x=t+3时，y最小值=（t+3）2-6（t+3）+5=t2-4，
t2-6t+5-（t2-4）=4
-t2+4-（-t2+6t-5）=-6t+9=4，
解得（不合题意，舍去）；
②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，
∴y最小值=-4，
i）当0≤t≤时，在x=t时，y最大值=t2-6t+5，
∴t2-6t+5-（-4）=4，
解得t1=1，t2=5（不合题意，舍去）；
ii）当＜t＜3时，在x=t+3时，y最大值=t2-4，
∴t2-4-（-4）=4，
∴解得t1=2，t2=-2（不合题意，舍去）；
③当t＞3时，y随着x的增大而增大，
当x=t时，y最小值=t2-6t+5，
当x=t+3时，y最大值=t2-4，
∴t2-4-（t2-6t+5）=4，
解得（不合题意，舍去）；
综上所述，t=1或2．
20、解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，1），
∴y=a（x-1）2+1=ax2-2ax+a+1，
∴b=-2a,c=a+1；
（2）∵y=ax2+bx+c,a＞0，c＜0，
∴Δ=b2-4ac＞0，
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，
∴|ax2+bx+c|≥0，
∴-2024|ax2+bx+c|≤0，
∴-2024|ax2+bx+c|-1≤-1，
∴函数y=-2024|ax2+bx+c|-1的最大值为-1；
（3）∵直线与抛物线C1有且只有一个公共点，
∴方程组只有一组解，
∴ax2+（b-m）x++m+c=0有两个相等的实数根，
∴Δ=0，
∴（b-a）2-4a（+m+c）=0，
整理得：（1-a）m2-2（2a+b）m+b2-4ac=0，
∵不论m为任何实数，（1-a）m2-2（2a+b）m+b2-4ac=0恒成立，
∴，
∴a=1，b=-2，c=1．
此时，抛物线解析式为y=x2-2x+1=（x-1）2，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，开口向上，
∵当k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k,
∴分三种情况：k＜0或0≤k≤1或k＞1，
①当k＜0时，k+1＜1，当k≤x≤k+1时，y随着x的增大而减小，则当x=k+1时，y的最小值为k,
∴（k+1-1）2=k,
解得：k=0或1，均不符合题意，舍去；
②当0≤k≤1时，当x=1时，抛物线的最小值为0，
∴k=0；
③当k＞1时，y随着x的增大而增大，则当x=k时，y的最小值为k,
∴（k-1）2=k,
解得：k=或，
∵k＞1，
∴k=，
综上所述，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k,k的值为0或．
一．选择题（共10小题）
1．若抛物线y=ax2+3x-6的开口向下，则a的值可以是（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．5
2．若抛物线y=a（x+1）2+3a（a＞0）上有A（-2.5，y1），B（3，y2）和C（1.2，y3）三点，则y1，y2和y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
3．把二次函数y=2x2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得的图象的函数解析式为（ ）
A．y=2（x-2）2+3 B．y=2（x-2）2-3
C．y=2（x+2）2+3 D．y=2（x+2）2-3
4．已知点（1，y1），（2，y2），（-3，y3）都在二次函数y=-2024x2的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y3
5．二次函数y=ax2-bx和一次函数y=bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．把抛物线y=3x2的顶点平移到点（-1，2），则平移后抛物线的表达式为（ ）
A．y=（x+1）2+2 B．y=3（x+1）2+2
C．y=（x-1）2-2 D．y=（x-1）2+2
7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x=1，下列结论中正确的是（ ）
A．abc＜0 B．b=2a C．a-b+c＞0 D．4a+2b+c＜0
8．如图，坐标平面上有一个透明胶片，透明胶片上有一条抛物线及抛物线上一点P，且抛物线为y=x2，点P的坐标是（2，4）．若将此透明胶片进行平移后，使点P的坐标为（0，3），则此时抛物线的解析式为（ ）
A．y=（x+2）2+1 B．y=（x+2）2-1 C．y=（x-2）2+1 D．y=（x-2）2-1
9．已知y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．abc＜0 B．b=2a C．3a-c=0 D．4a-2b+c＜0
10．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D，当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和（ ）
A．4 B． C．2 D．
二．填空题（共5小题）
11．二次函数y=（x+1）（x-3）的对称轴为______．
12．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中x,y的部分对应值如表：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 0 -4 -6 -6 -4 …
则该二次函数图象的对称轴为 ______．
13．将抛物线y=-2x2向上平移3个单位长度，所得抛物线解析式为 ______．
14．如图，抛物线y=x2-4x+4的顶点为M，点A是抛物线上异于点M的一动点，连接AM，过点M作AM⊥BM交抛物线于点B，则点M到直线AB的距离的最大值为 ______．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，7）在抛物线y=ax2-1上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ______．
三．解答题（共5小题）
16．已知y=（k+2）是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）如果点P（m,n）是此二次函数的图象上一点，若-2≤m≤1，那么n的取值范围为 ______．
17．二次函数y=-x2+（x-1）a+x,其中a为实数．
（1）判断点（1，0）是否在该抛物线上；
（2）求该二次函数顶点的纵坐标；（用含a的代数式表示）
（3）若将该二次函数y=-x2+（x-1）a+x图象向下平移3个单位长度，所得抛物线顶点纵坐标的最小值为 ______．（直接写出答案）
18．如图，抛物线y=-x2+bx+c的对称轴是直线x=1，且经过点A（-1，0），过点A作直线y=x+1，交该抛物线于另一点B．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）将抛物线向下平移n（n＞0）个单位长度，使顶点落在直线y=x+1上，求n的值．
19．已知点A（2，-3）是二次函数y=x2+（2m-1）x-2m图象上的点．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当-1≤x≤4时，求函数的最大值与最小值的差；
（3）当t≤x≤t+3时，若函数的最大值与最小值的差为4，求t的值．
20．已知：抛物线．
（1）若顶点坐标为（1，1），求b和c的值（用含a的代数式表示）；
（2）当c＜0时，求函数y=-2024|ax2+bx+c|-1的最大值；
（3）若不论m为任何实数，直线与抛物线C1有且只有一个公共点，求a,b,c的值；此时，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k,求k的值．
北师大版九年级下2.2二次函数的图象与性质同步练习
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、B 2、B 3、D 4、A 5、D 6、B 7、A 8、B 9、C 10、B
二．填空题（共5小题）
11、直线x=1； 12、x=； 13、y=-2x2+3； 14、1； 15、-4+4；
三．解答题（共5小题）
16、解：（1）根据题意得k+2≠0且k2+k-4=2，解得k1=-3，k2=2，
∵二次函数当x＜0时，y随x的增大而增大，
∴二次函数的图象的开口向下，即k+2＜0，
∴k=-3；
（2）∵y=-x2，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点为原点，
∵当x=-2时，y=-4；x=1时，y=-1，
∴二次函数的图象上点P（m,n），且-2≤m≤1，则n的取值范围为-4≤n≤0．
故答案为：-4≤n≤0．
17、解：（1）当x=1时，y=-12+（1-1）a+1=0，
∴点（1，0）在抛物线上；
（2）y=-x2+（x-1）a+x=-x2+（a+1）x-a,
∴顶点纵坐标：==；
（3）∵将该二次函数y=-x2+（x-1）a+x图象向下平移3个单位长度，
∴所得抛物线顶点纵坐标为-3=（a-1）2-3，
∵＞0，
∴所得抛物线顶点纵坐标的最小值为-3．
故答案为：-3．
18、解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c的对称轴是直线x=1，
∴，
解得b=2．
∵抛物线y=-x2+2x+c经过点A（-1，0），
∴-1-2+c=0，
解得c=3，
∴抛物线的函数解析式为y=-x2+2x+3；
（2）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
将抛物线向下平移n（n＞0）个单位长度得到抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4-n,
∴此时的顶点坐标为（1，4-n）．
∵顶点（1，4-n）在直线y=x+1上，
∴4-n=1+1，
解得n=2．
19、解：（1）∵已知A（2，-3）是二次函数y=x2+（2m-1）x-2m图象上的点
∴4+4m-2-2m=-3
解得，
∴此二次函数的解析式为：y=x2-6x+5，
∵y=x2-6x+5=（x-3）2-4，
∴顶点坐标为（3，-4）；
（2）∵抛物线开口向上，顶点坐标为（3，-4），
∴当x=3时，y最小值=-4，
当x=-1时，y最大值=12，
∴当-1≤x≤4时，函数的最大值与最小值的差为16；
（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，
①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而减小，
当x=t时，y最大值=t2-6t+5
当x=t+3时，y最小值=（t+3）2-6（t+3）+5=t2-4，
t2-6t+5-（t2-4）=4
-t2+4-（-t2+6t-5）=-6t+9=4，
解得（不合题意，舍去）；
②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，
∴y最小值=-4，
i）当0≤t≤时，在x=t时，y最大值=t2-6t+5，
∴t2-6t+5-（-4）=4，
解得t1=1，t2=5（不合题意，舍去）；
ii）当＜t＜3时，在x=t+3时，y最大值=t2-4，
∴t2-4-（-4）=4，
∴解得t1=2，t2=-2（不合题意，舍去）；
③当t＞3时，y随着x的增大而增大，
当x=t时，y最小值=t2-6t+5，
当x=t+3时，y最大值=t2-4，
∴t2-4-（t2-6t+5）=4，
解得（不合题意，舍去）；
综上所述，t=1或2．
20、解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，1），
∴y=a（x-1）2+1=ax2-2ax+a+1，
∴b=-2a,c=a+1；
（2）∵y=ax2+bx+c,a＞0，c＜0，
∴Δ=b2-4ac＞0，
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，
∴|ax2+bx+c|≥0，
∴-2024|ax2+bx+c|≤0，
∴-2024|ax2+bx+c|-1≤-1，
∴函数y=-2024|ax2+bx+c|-1的最大值为-1；
（3）∵直线与抛物线C1有且只有一个公共点，
∴方程组只有一组解，
∴ax2+（b-m）x++m+c=0有两个相等的实数根，
∴Δ=0，
∴（b-a）2-4a（+m+c）=0，
整理得：（1-a）m2-2（2a+b）m+b2-4ac=0，
∵不论m为任何实数，（1-a）m2-2（2a+b）m+b2-4ac=0恒成立，
∴，
∴a=1，b=-2，c=1．
此时，抛物线解析式为y=x2-2x+1=（x-1）2，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，开口向上，
∵当k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k,
∴分三种情况：k＜0或0≤k≤1或k＞1，
①当k＜0时，k+1＜1，当k≤x≤k+1时，y随着x的增大而减小，则当x=k+1时，y的最小值为k,
∴（k+1-1）2=k,
解得：k=0或1，均不符合题意，舍去；
②当0≤k≤1时，当x=1时，抛物线的最小值为0，
∴k=0；
③当k＞1时，y随着x的增大而增大，则当x=k时，y的最小值为k,
∴（k-1）2=k,
解得：k=或，
∵k＞1，
∴k=，
综上所述，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k,k的值为0或．