第三章图形的相似单元检测（拔尖卷·含答案）湘教版2025—2026学年九年级数学上册

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第三章图形的相似单元检测（拔尖卷）湘教版2025—2026学年九年级数学上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，若的面积为6，则的面积为（ ）
A．3 B．24 C．12 D．36
3．两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法中，错误的是（ ）
A．顶角为的两个等腰三角形相似
B．一个锐角为的两个直角三角形相似
C．一个直角三角形两边长分别是12和8，另一个直角三角形两边长分别是9和6，则这两个直角三角形相似
D．两个等边三角形一定相似
5．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，若与关于原点位似，且的面积是面积的，其中的对应点为，的对应点为，则点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
6．如图，与是位似图形，位似中心是点O，若，且的周长为6，则的周长为（ ）
A．12 B．6 C．4 D．3
7．如图，在中，是上一点，与交于点，如果，，那么的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，在中，D，E是边的三等分点，是边的中线，，分别与交于点G，H，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，中，为上的中线，F为上的点，交于E，且，则
10．在中，，，点D在直线上，且，过点D作交边所在直线于点E，则的长为 ．
11．如图，在正方形中，E为边上一点，，连接，过E作，交于点F，，则正方形的面积为 ．
12．已知，如图，在正方形中，F是的中点，与交于点G，则与的面积之比是 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，是斜边上的中线，交于，交的延长线于．
(1)求证：；
(2)若，求的长度．
14．如图，E是正方形的边上的动点，交于点F．
(1)求证： ；
(2)设正方形的边长为4，．请用含有的代数式表示．
15．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)作出以原点为位似中心，将在第一象限内放大2倍的；
(2)分别写出三个点的坐标；
(3)设与的面积分别为求的值
16．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）求证EG2＝GF AF；
（3）若AG＝3，EG＝，求BE的长．
17．如图，在矩形中，，点P为边上一动点（不与点A，B重合），交于点E．
(1)求证：．
(2)当时，求线段的长度．
(3)当点P在线段的垂直平分线上时，求的值．
18．在平面直角坐标系中，已知，，点P从点O开始沿边向点A以的速度移动；点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间．
(1)用含t的代数式表示：线段 ； ．
(2)求当t为何值时，四边形的面积为．
(3)当与相似时，求出t的值．
(4)求当t为何值时，线段分三角形的面积比为．
参考答案
一、选择题
1—8：BBACDDCC
二、填空题
9．
10．8或16
11．81
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：证明：∵是斜边上的中线，
∴，
，
，
，
，
，
，
又，
∴；
（2）解：∵，
，
，
，
，
，
．
14．【解】（1）证明：四边形ABCD是正方形,
∴,
∴.
又,
∴,
∴.
∴；
（2）解：由(1)得
∴
得,
得
∴．
15．【解】（1）解：如图：即为所求，
（2）解：∵三个顶点的坐标分别为，，，是以原点为位似中心，将在第一象限内放大2倍得到的，
∴的三个点的坐标分别为，，，
（3）解：∵是以原点为位似中心，将在第一象限内放大2倍得到的，
∴与的位似比是，
∴与的面积比为．
16．【解】（1）证明：∵GE∥DF，
∴∠EGF=∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，
∴∠DGF=∠DFG．
∴GD=DF．
∴DG=GE=DF=EF．
∴四边形EFDG为菱形．
（2）证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O．
∵四边形EFDG为菱形，
∴GF⊥DE，，
∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴，即DF2=FO AF．
∵，
∴；
（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．
∵，
∴，整理得：FG2+3FG-10=0．
解得：FG=2，FG=-5（舍去）．
∵
∴
∵GH⊥DC，AD⊥DC，
∴GH∥AD．
∴△FGH∽△FAD．
∴，即，
∴．
∴．
17．【解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵ ，
∴，
∴，即，
解得；
（3）解：连接，
∵点P在线段的垂直平分线上，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴
，
解得，
∴，
∴．
18．【解】（1）解：，，
故答案为：，；
（2），
∴，
解得：或3，
∴当或3时，四边形的面积为；
（3），，
∴或，
①当时，
则，
∴，
②当时，
则，
∴，
综上所述，当或1时，与相似；
（4）当线段分三角形的面积比为时，
则，或，
∴，或，
方程，解得或3，
方程，无解，
∴当或3时，线段分三角形的面积比为．
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