第四章图形的相似单元复习拔尖卷·含答案北师大版2025—2026学年九年级数学上册

第四章图形的相似单元复习拔尖卷北师大版2025—2026学年九年级数学上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．如图，小正方形的边长均为，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列条件：，，，，，；，，，，，；，，，，其中能判定与相似的有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．下列说法正确的是（ ）
A．矩形都是相似图形； B．菱形都是相似图形
C．各边对应成比例的多边形是相似多边形； D．等边三角形都是相似三角形
4．将一个三角形的各边扩大为原来的3倍，则这个三角形的面积扩大为原来的（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
5．若一个多边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．如图，在中，点E为中点，交于点G，交于点F，且，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图， 是等边三角形，在一条直线上，，若，，则的长是（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，正方形中，E是中点，连接，作交于F，交于P，交于H，延长交延长线于G，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，在中，于点D，且，点E在上，连接，若，，，则的长 ．
10．如图，一束光线从点出发，经过x轴上的点反射后经过点，则的值是 ．
11．如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H．若，则 ．
12．已知非负数a、b、c满足，若，则S的最大值与最小值之差为 ；
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，已知：在矩形中，的平分线分别与边及边的延长线相交于点、，为的中点，连接．
(1)如果，，求的面积；
(2)连接，求的度数．
14．如图，在菱形中，，．点是边的中点，延长、交于点，平分交于点．
(1)求证：．
(2)求菱形的面积．
(3)求的长．
15．如图，在矩形中，，，连接，点分别在边，上，连接，，分别交于，∠
(1)若，求的长；
(2)在点由点运动到点的过程中，设，．
①求与的关系式；
②连接，求面积的最大值．
16．在中，，E是边上一点，将沿着翻折到．如图，若E、F、D三点共线．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
17．在四边形中，点为的中点，分别连接．
(1)如图1，若，．
①求证：；
②求证：平分；
(2)如图2，若，，，，求的长．
18．如图，是正方形的对角线，点，分别是和延长线上的点，是等腰直角三角形，，与，分别交于点，，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，求证：平分；
(3)若，，求的值．
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试卷第1页，共3页
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参考答案
一、选择题
1—8：ADDCBDBC
二、填空题
9．8【解】解：如图，作的垂直平分线交于点，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
，，
，，
，
整理得，
在中，根据勾股定理，得，
即，
把代入，整理得，
解得，（不符合题意舍去），
．
．
故答案为：8．
10．【解】解：如图，过点作轴，过点作轴，过点作轴，
，
根据入射角等于反射角得，
，
，，
点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，
，
故答案为：2．
11．【解】解：∵正方形，，
∴，，
∵正方形，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，即，解得∶．
故答案为：3．
12．【解】解：设，
则，，，
、、为非负数，
，
解得，
，
当时值最大，，
当时值最小，，
．
故答案为：3．
三、解答题
13．【解】（1）解：如图，过作于，交于，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
在和中，
，
∴≌，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴∽，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过作于，连接，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
在和中，
，
∴≌，
∴，
，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形，
∴．
14．【解】（1）证明：连接交于点，
四边形是菱形，
，，
，
延长、交于点，平分交于点，
，
，
，
．
（2）解：，，
，
，
，
，
，
菱形的面积为．
（3）解：设交于点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∴．
15．【解】（1）解：在矩形中，，
，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
；
（2）①延长到，使，延长到，使，连接，延长交于点，连接，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是正方形，
过点作交的延长线于，
，即，
，
，
，即，
，
，
又，，
，
，
，
，即是的中位线，
，
，
在中，，，，
，
整理，得，，
②如图，过点作于，则四边形为矩形，
，，，
,
,
由①，；
，
，
，
，
，
当时，面积的最大值为16．
16．【解】（1）证明： 四边形是平行四边形，
，
，
将沿着翻折到，
，
，
；
（2）解： 将沿着翻折到，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，，
，，
由（1）知，
，
，
，
．
17．【解】（1）证明：①，，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
即；
②∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：如图，过点作，连接，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴．
18．【解】（1）证明：是正方形的对角线，
，
是等腰直角三角形，
∴，
，
又，
，即，
；
（2）证明：，
，
又∵，
，
，
在和中，，，
，
平分；
（3）解：如图，过点作交于点，
，
∴，
，，
易知是等腰直角三角形，
，
在和中，
，，，
，
，
，
，
，
是斜边上的高线，
是等腰直角三角形，
∴，
，
又，
，
，
在中，，，
∴，
在中，，
解得，
．