第四章图形的相似单元测试卷（调研卷·含答案）北师大版2025—2026学年九年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台
第四章图形的相似单元测试卷（调研卷）北师大版2025—2026学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．已知，且，则a的值为（ ）
A．3 B． C．6 D．
2．在如图所示的三个矩形中，相似的是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙
3．矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（ ）
A．5 B．5 C．10 D．5
4．若一个多边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．如果两个相似多边形的周长比为，则它们的面积比为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，边长分别为和的正方形与并排放在一起，交于点，则的面积是（　　）平方厘米．
A． B． C．18 D．
7．如图，点M是正方形内一点，是等边三角形，连接，对角线交于点N，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．在等腰三角形中，边和的长度相等．在下图中，由平行于的线段形成的中的两个阴影部分具有相同的面积．两个空白部分的高度分别为11和5．问的高h是多少？
A． B． C．15 D． E．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，中，，点O是的外心，且，延长交于点D，若，则 ．
10．如图，若，如果，那么 ．
11．若，则 ．
12．如图，在平行四边形中，的平分线与交于点E，与的延长线交于点F，M为的中点，N为的中点，连接并延长，交于点P，的延长线交于点Q．若 ，则的值为 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，四边形和四边形都是平行四边形，点R为的中点，分别交，于点P，Q．
(1)求证：；
(2)求．
14．将图中的作下列变换，画出相应的图形．
(1)以O点为旋转中心顺时针旋转；
(2)以B点为位似中心，放大到2倍．
15．如图，在中，G 是 的延长线上一点，连接，分别交和于点 E、F．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
16．如图，正方形中，E为边上一点，F是延长线上的一点，且，连接交于点G，交于点H．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
17．在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H．
（1）如图1，求证：△DEP∽△CPH；
（2）如图2，当P为CD的中点，AB＝2，AD＝3时，求GH的长；
（3）如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由．
18．正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（不与点B、C重合），∠1＝∠2，AE＝EF，AF交CD于点H，FG⊥BC交BC延长线于点G．
（1）如图1，求证：△ABE≌△EGF；
（2）如图2，EM⊥AF于点P，交AD于点M．
①求证：点P在∠ABC的平分线上；
②当时，猜想AP与PH的数量关系，并证明；
③作HN⊥AE于点N，连接MN、HE，当MN∥HE时，若AB＝6，求BE的值．
参考答案
一、选择题
1—8：CBBBCADA
二、填空题
9．
10．6
11．
12．
三、解答题
13．【解】（1）证明：∵四边形和为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵点R为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
14．【解】（1）如图，即为所求：
（2）如图，和即为所求：
15．【解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即：，
解得：，
∴，
∵，
∴，
即，
解得，
∴．
16．【解】（1）在正方形中，
．
在和中，
，
∴，
（2）如图，过点F作与的延长线交于点K，
∴．
在正方形中，是对角线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
（3）由（1）知，，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
连接，由（2）知，
在等腰直角三角形中，，
在等腰直角中，，
∵，
即，
∴，
∴．
17．【解答】（1）证明：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上，
∴∠EPH＝∠A＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3＝∠2，
∴△EDP∽△PCH；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∵P为CD中点，
∴DP＝CP1，
设EP＝AE＝x，
∴ED＝AD﹣x＝3﹣x，
在Rt△EDP中，EP2＝ED2+DP2，
即x2＝（3﹣x）2+1，
解得x，
∴EP＝AP＝x，
∴ED＝AD﹣AE，
∵△EDP∽△PCH，
∴，即，
∴PH，
∵PG＝AB＝2，
∴GH＝PG﹣PH．
（3）解：如图，延长AB，PG交于一点M，连接AP，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，
∴AP⊥EF，BG⊥直线EF，
∴BG∥AP，
∵AE＝EP，
∴∠EAP＝∠EPA，
∴∠BAP＝∠GPA，
∴△MAP是等腰三角形，
∴MA＝MP，
∵P为CD中点，
∴设DP＝CP＝y，
∴AB＝PG＝CD＝2y，
∵H为BC中点，
∴BH＝CH，
∵∠BHM＝∠CHP，∠CBM＝∠PCH，
∴△MBH≌△PCH（ASA），
∴BM＝CP＝y，HM＝HP，
∴MP＝MA＝MB+AB＝3y，
∴HPPMy，
在Rt△PCH中，CHy，
∴BC＝2CHy，
∴AD＝BCy，
在Rt△APD中，APy，
∵BG∥AP，
∴△BMG∽△AMP，
∴，
∴BGy，
∴，
∴ABBG．
18．【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，
∴∠B＝90°，
∵FG⊥BC，
∴∠G＝90°，
由∠B＝∠G，∠1＝∠2，AE＝EF，
得△ABE≌△EGF（AAS）；
（2）①证明：连BP．
由（1）得△ABE≌△EGF，
∴∠AEB＝∠EFG，
∴∠AEB+∠GEF＝∠AEB+∠BAE＝90°，
即∠AEF＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∵EM⊥AF，
∴∠APE＝90°，∠AEP＝∠FEP＝45°，
∵∠ABE＝90°，
∴A、B、E、P四点共圆，
∴∠ABP＝∠AEP＝45°，
∵∠ABE＝90°，∠ABP＝∠CBP＝45°，
∴点
P
在∠ABC的平分线上；
②m+1．
理由如下：
由①得点
P
在∠ABC的平分线即正方形的对角线上，如图：
∵正方形ABCD，
∴AB∥HD，
∴△ABP∽△HDP，
∴，
∵m，
∴HC＝mHD，
∴DC＝DH+HC＝（m+1）HD，
∴m+1；
③由①得点
P
在∠ABC的平分线即正方形的对角线上，
∴∠PDH＝45°，
同理M、D、H、P四点共圆，
∴∠PMH＝∠PDH＝45°，
∵∠AEP＝∠NEM＝45°，
∴∠EMH＝∠NEM＝45°，
∴MH∥EN，
∵MN∥HE，
∴四边形MNEH是平行四边形，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴△PHQ和△PHM都是等腰直角三角形，
设PM＝PH＝a，则MQ＝2a，ME＝2MQ＝4a，
∵PM＝PH，PA＝PE，
∴AH＝ME＝4a，
∴AP＝3a，
则AE＝3a，
∴BE，
∵∠APM＝∠ADH，
∴△APM∽△ADH，
∴，
∴DH，
∴AH2，
∵AH＝4a，
∴4a＝2，
∴a，
∴BE3．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)