第四章图形的相似单元测试卷（冲刺卷·含答案）北师大版2025—2026学年九年级上册

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第四章图形的相似单元测试卷（冲刺卷）北师大版2025—2026学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是（ ）
A． B． C． D．
4．△ABC的三边长分别为、、2，△A′B′C′的两边长分别为1和，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边的长应等于( )
A． B．2 C． D．2
5．如图，在正方形中，E为的中点，P为边上一点，在下列条件中：①；②； ③P为的中点； ④．其中能得到与相似的是 （ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③
6．如图，D 、E 分别是的边上的点，且，相交于点 O ，若，则与的比是 （ ）
A． B． C． D．
7．如图，在边长为8 的等边三角形 中，D，E 分别为，的中点，于点F，G为的中点，连接，则 的长为（ ）
A．4 B． C． D．5
8．如图，在中，E是边的中点，交于点O，如果的面积为1，则的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，中，为上的中线，F为上的点，交于E，且，则
10．在中，，，点D在直线上，且，过点D作交边所在直线于点E，则的长为 ．
11．如图，在正方形中，E为边上一点，，连接，过E作，交于点F，，则正方形的面积为 ．
12．已知，如图，在正方形中，F是的中点，与交于点G，则与的面积之比是 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE＝45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
14．如图，等边三角形ABC的边长为6，D是BC上一动点，∠EDF＝60°．
（1）求证：△BDE∽△CFD．
（2）当BD＝1，FC＝3时，求BE的长．
15．如图，在四边形中，平分，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
16．如图，沿折叠矩形纸片，使点D落在边的点F处；
(1)求证：；
(2)若是中点，求的值．
17．如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接．求证：
(1)；
(2)．
18．在矩形中，点在边上，点在边上，连接，且，．
(1)如图1．求证：；
(2)如图2．点为线段上一点，连接，作交分别于点和点．且，求证：∽；
(3)如图3．在（2）的条件下，若，，求的长．
参考答案
一、选择题
1—8：BCBCCBCC
二、填空题
9．
10．8或16
11．81
12．
三、解答题
13．【解答】（1）证明：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC
∴∠B＝∠C＝∠ADE＝45°
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE
∴∠BAD＝∠CDE
∴△ABD∽△DCE；
（2）由（1）得△ABD∽△DCE，
∴，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，
∴BC，CDx，EC＝1﹣y，
∴，
∴y＝x2x+1＝（x）2（0＜x）；
（3）当AD＝DE时，△ABD≌△CDE，
∴BD＝CE，
∴x＝1﹣y，即 x﹣x2＝x，
∵x≠0，
∴等式左右两边同时除以x得：x1
∴AE＝1﹣x＝2，
当AE＝DE时，DE⊥AC，此时D是BC中点，E也是AC的中点，
所以，AE；
当AD＝AE时，∠DAE＝90°，D与B重合，不合题意；
综上，在AC上存在点E，使△ADE是等腰三角形，
AE的长为2或 ．
14．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠EDF+∠CDF＝∠B+∠BED，∠EDF＝60°，
∴∠BED＝∠CDF，
∴△BDE∽△CFD；
（2）解：在等边△ABC中，边长为6，BD＝1，
∴CD＝BC﹣BD＝5，
∵△BDE∽△CFD，
∴BE：CD＝BD：CF，
∴BE：5＝1：3，
∴BE．
15．【解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
设，
∵是中点，
∴，
由折叠的性质得：，
在中，，
∴．
16．【解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）证明：由(1)可知，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
17．【解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
由（）可知：，
∴，
∴．
18．【解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（3）解：设，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
作于，
∵，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
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