第四章图形的相似单元测试卷（培优卷·含答案）北师大版2025—2026学年九年级上册

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第四章图形的相似单元测试卷（培优卷）北师大版2025—2026学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列各组线段中，能成比例的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
2．若，它们对应高的比为，那么它们面积的比为（ ）
A． B． C． D．
3．下列选项中的两个图形一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形
4．如图，与是位似图形，位似中心是点O，若，且的周长为6，则的周长为（ ）
A．12 B．6 C．4 D．3
5．如图，在中，是上一点，与交于点，如果，，那么的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，在中，D，E是边的三等分点，是边的中线，，分别与交于点G，H，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．在A、B、C、D四个图中，与原图形相似的是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，，，相交于点O，，，，则的长为 ．
10．如图，在平行四边形中，点F是上的点，，直线与相交于点E，交的延长线于点G，且F为中点，，①，②，③，④，则正确的序号是 ．
11．若，则的值是 ．
12．如图，直线，，，则的长是 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，E为上一点，．
(1)求证：；
(2)若平分，，，求的长．
14．在中，，两条高，交于点H，F是的中点，连接并延长交边于点G．
(1)如图1，若是等边三角形．
①求证：；
②求的长．
(2)如图2，若，，求的面积．
15．在菱形中，连接交于点F，连接并延长交于O，交于点P．
(1)求度数；
(2)求证：是的平分线；
(3)当的值最小时，求点P所在的位置．
16．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，．
(1)请画出关于x轴对称的；
(2)与的位似比为，请画出；
(3)求与的面积比，即________（不写解答过程，直接写出结果）．
17．四边形中，，．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
18．矩形中，，点在边上，连接，在线段上取一点，连接．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当且时，求的值；
(3)如图3，当时，求证：．
参考答案
一、选择题
1—8：DBBDCCAB
二、填空题
9．
10．①②
11．
12．
三、解答题
13．【解】（1）证明：∵，，
∴，
又∵，
∴．
（2）解：∵平分，
∴，
由（1）知，，
∴，
又∵，
∴，
∴ ，即 ，
∴．
14．【解】（1）①证明：，是等边三角形的高，
，，，分别平分和，
，
，，
；
②解：过点作交于点，
，，
，，
，是的中点，
，，
，，
，
，等边三角形的边长为8，
，
；
（2）解：过点作交于点，
，，
，，
∵是的中点，
∴，
，
，
．
，
，
．
，
，，
．
，，
，
，
，
即，
，
．
15．【解】（1）解：四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
；
（2）如下图，延长至点G，使得，连接，
，且，
是等边三角形，
，
是菱形，
，
是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
是的平分线；
（3），
，
，
，
，
，
，
，
∴当时最小，
，
如下图，过点O作于点M，设，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，即，解得，
，
，
，
点P在中点．
16．【解】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）解：如图所示：即为所求；
（3）解：∵将的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以，得到对应的点，
∴与的相似比为：，
∴．
故答案为：．
17．【解】（1）证明：∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
即，
∵，，
∴．
（2）解：在中，，
∵，
∴，
即，
∴．
18．【解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点C作于点F，
由（1）得：，
∴，
矩形中，∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴；
（3）解：如图，过点P作于点G，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
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