第四章图形的相似单元测试卷（拔尖卷·含答案）北师大版2025—2026学年九年级上册

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第四章图形的相似单元测试卷（拔尖卷）北师大版2025—2026学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．如果，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．位似图形中每组对应点所在的直线必互相平行
B．两位似图形的面积比等于位似比
C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比
D．位似图形的周长之比等于位似比的平方
3．已知，且，则a的值为（ ）
A．3 B． C．6 D．
4．两个相似多边形一组对应边分别为，，那么它们的相似比为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，点D为边的中点，点E在线段的延长线上，且．若，则的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．9
6．如图，，和分别是和的高，若，，则为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方形的对角线与相交于点，的角平分线分别交、于、两点．若，则线段的长为（ ）
A． B．1 C． D．
8．一块矩形的纸片的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的两个矩形，且使裁成的每个矩形的宽和长的比与原纸片的宽与长的比相同，即，则a的值为（ ）．
A． B． C．2 D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，已知在中，是边的中点，与对角线相交于点的面积为，四边形的面积为，则与的比值为 ．
10．如图，现将高度米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，再将木杆沿着射线方向移动到点的位置，米，此时测得影长为米，那么灯杆高度为 米．
11．如图，在中，点D，E分别在边上，，那么 ．
12．如图在底边长，高的三角形铁板上，要截一块矩形铁板，如图所示，则矩形铁板的面积最大值是 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，在中，点D、E分别在边上，的延长线相交于点F，且
(1)求证：
(2)当时，求的长
14．如图，E是正方形的边上的动点，交于点F．
(1)求证： ；
(2)设正方形的边长为4，．请用含有的代数式表示．
15．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)作出以原点为位似中心，将在第一象限内放大2倍的；
(2)分别写出三个点的坐标；
(3)设与的面积分别为求的值
16．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）求证EG2＝GF AF；
（3）若AG＝3，EG＝，求BE的长．
17．在平面直角坐标系中，已知，，点P从点O开始沿边向点A以的速度移动；点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间．
(1)用含t的代数式表示：线段 ； ．
(2)求当t为何值时，四边形的面积为．
(3)当与相似时，求出t的值．
(4)求当t为何值时，线段分三角形的面积比为．
18．某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题．
(1)【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则 （填比值）；
(2)【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：；
(3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长；
(4)【拓展运用】如图④，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，请求点P到直线的距离．
参考答案
一、选择题
1—8:CCCACDBA
二、填空题
9．
10．5.6
11．
12．60
三、解答题
13．【解】（1）证明：∵，且，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵
∴，
即，
∴，
∴．
14．【解】（1）证明：四边形ABCD是正方形,
∴,
∴.
又,
∴,
∴.
∴；
（2）解：由(1)得
∴
得,
得
∴．
15．【解】（1）解：如图：即为所求，
（2）解：∵三个顶点的坐标分别为，，，是以原点为位似中心，将在第一象限内放大2倍得到的，
∴的三个点的坐标分别为，，，
（3）解：∵是以原点为位似中心，将在第一象限内放大2倍得到的，
∴与的位似比是，
∴与的面积比为．
16．【解】（1）证明：∵GE∥DF，
∴∠EGF=∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，
∴∠DGF=∠DFG．
∴GD=DF．
∴DG=GE=DF=EF．
∴四边形EFDG为菱形．
（2）证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O．
∵四边形EFDG为菱形，
∴GF⊥DE，，
∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴，即DF2=FO AF．
∵，
∴；
（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．
∵，
∴，整理得：FG2+3FG-10=0．
解得：FG=2，FG=-5（舍去）．
∵
∴
∵GH⊥DC，AD⊥DC，
∴GH∥AD．
∴△FGH∽△FAD．
∴，即，
∴．
∴．
17．【解】（1）解：，，
故答案为：，；
（2），
∴，
解得：或3，
∴当或3时，四边形的面积为；
（3），，
∴或，
①当时，
则，
∴，
②当时，
则，
∴，
综上所述，当或1时，与相似；
（4）当线段分三角形的面积比为时，
则，或，
∴，或，
方程，解得或3，
方程，无解，
∴当或3时，线段分三角形的面积比为．
18．【解】（1）解：由题意知，，
又∵，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）证明：如图②，过作交于，过作交于，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴四边形、均为平行四边形，
∴，，
同（1）可得，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：由矩形的性质可得，
由勾股定理得，
由（2）可知，，即，解得，
∴的长．
（4）解：如图④，延长到，过作于，
由（2）可知，，即，解得，
∴在中，由勾股定理得，
由折叠的性质可得，，，，
设：，则，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴点到直线的距离为．
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