第四章一次函数单元检测试培优卷（含答案）北师大版2025—2026学年八年级上册

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第四章一次函数单元检测试培优卷北师大版2025—2026学年八年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A．B． C． D．
3．已知点和点都在一次函数的图象上，则与 的大小是（ ）
A． B． C． D．
4．关于直线，下列说法正确的是（ ）
A．直线l与y轴交于 B．直线l经过第二、三、四象限
C．y随x的增大而增大 D．点在直线l上
5．已知方程组的解为，则一次函数与的图象的交点坐标是（　　）
A． B． C． D．
6．华氏温度规定：在一个标准大气压下，纯净的冰水混合物的温度为，（，读作华氏度），将（，读作摄氏度）之间划分为180等份，每一等份就是，已知与的换算公式为：．根据以上信息，下列说法错误的是（ ）
A．相当于 B．每增加，相当于增加
C．华氏度与摄氏度是一次函数关系 D．小明的体温为，他的体温约为
7．两个y关于x的一次函数y＝ax+b和y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．B． C．D．
8．如图，某电信公司手机的收费标准有A，B两类，已知每月应缴费用S（元）与通话时间t（分）之间的关系如图所示．当通话时间为50分钟时，按这两类收费标准缴费的差为（　　）
A．30元 B．20元 C．15元 D．10元
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．一次函数y＝（b﹣1）x﹣3+b不经过第二象限，则b的取值范围为 　 　．
10．将函数y＝5x﹣1的图象沿y轴向下平移2个单位，所得图象对应的函数表达式为　 　．
11．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，3）和点B（﹣4，0），一次函数y＝mx的图象经过点A，则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为 　 　．
12．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3～10km的出行市场，图中反映某共享电动车平台收费y（元）与骑行时间x（min）之间的函数关系，根据图中的信息，某天小明从家到学校一共骑行40分钟，则需要向平台付费 　 　元．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．已知A，B是一次函数y＝kx+b图象上的两点．
（1）若A，B两点的坐标分别是（3，﹣4），（0，2），求这个一次函数的表达式．
（2）若A，B两点的坐标分别是（m，n﹣2），（m+1，n），求k的值．
14．已知一次函数y＝（m+4）x+m+2．
（1）若y随x增大而减小，求m的取值范围；
（2）若其图象与直线y＝﹣2x+4的交点在x轴上，求m的值；
（3）若其图象不经过第二象限，且m为整数，求m的值．
15．如图，直线分别与轴、轴相交于点和点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，已知点的纵坐标为3．
(1)求直线对应的函数表达式；
(2)求的面积．
16．已知一次函数，它的图象经过，两点．
(1)求与之间的函数表达式；
(2)当时，求函数值的最小值．
17．某服装经销商计划购进型、型两种型号的童装．若购进1件型童装和1件型童装需用50元，若购进2件型童装和3件型童装需用120元．
(1)求每件型童装和每件型童装的进价各多少元；
(2)该经销商计划用不超过2500元的成本，购进型童装和型童装共100件．若型童装的定价为260元；型童装的定价为220元，且全部以定价售完该批童装．该经销商获得的最大利润是多少？
18．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线m：y＝x﹣1与x轴、y轴分别交于点A，B，直线n：y＝﹣2x+b经过点A，并与y轴交于点C．
（1）求A，B两点的坐标及b的值．
（2）若动点P在直线AC上运动，
①当时，求点P的坐标；
②当点P与点C重合时，在第一象限内是否存在一点Q，使△APQ为等腰直角三角形，若存在直接写出点Q的坐标；若不存在说明理由．
参考答案
一、选择题
1—8：BAABABBD
二、填空题
9.【解答】解：∵一次函数y＝（b﹣1）x﹣3+b不经过第二象限，
∴函数图象经过第一、三象限或函数图象经过第一、三、四象限，
∴b﹣1＞0且﹣3+b≤0，
解得1＜b≤3．
故答案为：1＜b≤3．
10.【解答】解：由题意得，函数的图象沿y轴向下平移2个单位，所得函数表达式为：y＝5x﹣1﹣2，即y＝5x﹣3．
故答案为：y＝5x﹣3．
11.【解答】解：当x＞﹣4时，y＝kx+b＞0；
当x＜﹣2时，kx+b＜mx，
所以不等式组0＜kx+b＜mx的解集为﹣4＜x＜﹣2．
故答案为：﹣4＜x＜﹣2．
12．【解答】（1）解：∵一次函数y1＝ax+b经过点（1，0）和点（2，3），
∴a+b＝0，2a+b＝3，解得：a＝3，b＝﹣3，
∴y1的表达式为：y1＝3x﹣3；
（2）①证明：∵一次函数y1＝ax+b（a≠0）恒过定点（1，0），
∴a+b＝0，
∴b＝﹣a，
∴y1的表达式为：y1＝ax﹣a，
∵y2＝bx+a，
∴y2＝﹣ax+a，
∵点A（m，p）在一次函数y1＝ax﹣a的图象上，
∴p＝ma﹣a，
∵点B（n，p）在一次函数y2＝﹣ax+a的图象上，
∴p＝﹣na+a，
∴ma﹣a＝﹣na+a，
即ma+na＝2a，
∵a≠0，
∴m+n＝2；
②解：由①得y1＝ax﹣a，y2＝﹣ax+a，
∵y＝y1﹣y2，
∴y＝（ax﹣a）﹣（﹣ax+a）＝2ax﹣2a，
∵a≠0，
∴有以下两种情况：
（ⅰ）当a＜0时，
对于y＝2ax﹣2a，y随x的增大而减小，
又∵﹣2≤x≤4，
∴当x＝﹣2时，y为最大，
∴2a×（﹣2）﹣2a＝6，
解得：a＝﹣1
（ⅱ）当a＞0时，
对于y＝2ax﹣2a，y随x的增大而增大，
又∵﹣2≤x≤4，
∴当x＝4时，y为最大，
∴2a×4﹣2a＝6，
解得：a＝1，
综上所述：当﹣2≤x≤4时，函数y有最大值6，a的值为﹣1或1．
三、解答题
13．【解答】解：（1）∵A，B两点的坐标分别是（3，﹣4），（0，2）且在一次函数y＝kx+b图象上，
∴，解得，
∴一次函数解析式为：y＝﹣2x+2．
（2）∵A，B两点的坐标分别是（m，n﹣2），（m+1，n）且在一次函数y＝kx+b图象上，
∴，
两式相减得：k＝2．
14.【解答】解：（1）∵y随x增大而减小，
∴m+4＜0，即m＜﹣4；
（2）∵﹣2x+4＝0时，x＝2，一次函数y＝（m+4）x+m+2与直线y＝﹣2x+4的交点在x轴上，
∴直线y＝﹣2x+4与x轴的交点（2，0），一次函数y＝（m+4）x+m+2过点（2，0），
∴（m+4）×2+m+2＝0，
解得：；
（3）分两种情况考虑：
①当函数图象经过第一、三、四象限时，，
解得：﹣4＜m＜﹣2；
②当函数图象经过第一、三象限时，，
解得：m＝﹣2．
综上所述：m的取值范围为﹣4＜m≤﹣2，
∵m为整数，
∴m＝﹣3或m＝﹣2．
15．【解】（1）解：∵直线分别与轴，轴相交于点和点，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：．
∵点P的纵坐标为3，且直线经过P点，
∴，
解得：，
∴，
将代入，可得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
（2）解：∵直线的解析式为：，
当时，，
∴点C的坐标为,
∴,
∴的面积为：．
16．【解】（1）∵一次函数，它的图象经过，两点，
∴，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：；
（2）对于，
∵，
∴y随x的增大而增大，
又∵，
∴当时，y的值为最小，最小值．
17．【解】（1）设每件型童装的进价元，每件型童装的进价元，
根据题意得：，
解得：，
答：每件型童装的进价30元，每件型童装的进价20元．
（2）设购进型童装件，则型童装件，利润为元，根据题意得：
即：，
随着的增大而增大，
当时，最大，最大值为：
该经销商获得最大利润是21500元
18．【解答】解：（1）直线m：y＝x﹣1，令y＝0，则x＝1，
∴点A的坐标为（1，0），
令x＝0，则y＝﹣1，
∴点B的坐标为（0，﹣1），
将A（1，0）代入直线n：y＝﹣2x+b，得0＝﹣2+b，
解得b＝2；
（2）①由（1）知，直线AC的表达式为y＝﹣2x+2，
∴C（0，2），
∴S△ABCBC OA（1+2）×1，
设点P（t，﹣2t+2），
∵S△AOPS△ABC，
∴S△AOP1×|﹣2t+2|，
解得t或，
∴点P的坐标为（，）或（，）；
②当点P与点C重合时，P（0，2），
在第一象限内存在一点Q，使△APQ为等腰直角三角形，分∠AQP＝90°，AQ＝PQ；∠QAP＝90°，AQ＝AP；∠APQ＝90°，AP＝QP三种情况，
当∠AQP＝90°，AQ＝PQ时，过点Q作y轴的平行线交x轴于点D，交过点P与x轴平行的直线于点E，
设点Q（m，n），而点A、P的坐标分别为：（1，0）、（0，2），
∵∠PQE+∠AQD＝90°，∠QAD+∠AQD＝90°，
∴∠QAD＝∠PQE，
又∵∠ADQ＝∠QEP＝90°，AQ＝QP，
∴△ADQ≌△QEP（AAS），
∴PE＝QD，EQ＝DA，
∴，解得，
∴点Q的坐标为（，）；
当∠QAP＝90°，AQ＝AP时，过点Q作QD⊥x轴于点D，
设点Q（m，n），而点A、P的坐标分别为：（1，0）、（0，2），
同理得△ADQ≌△POA（AAS），
∴AD＝PO＝2，DQ＝OA＝1，
∴OD＝3，
∴点Q的坐标为（3，1）；
当∠APQ＝90°，AP＝QP时，过点Q作QD⊥y轴于点D，
设点Q（m，n），而点A、P的坐标分别为：（1，0）、（0，2），
同理得△QDP≌△POA（AAS），
∴QD＝PO＝2，DP＝OA＝1，
∴OD＝3，
∴点Q的坐标为（2，3）；
综上，点Q的坐标为（，）或（3，1）或（2，3）．
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