第六章反比例函数单元检测培优卷（含答案）北师大版2025—2026学年九年级数学上册

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第六章反比例函数单元检测培优卷北师大版2025—2026学年九年级数学上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．已知y是x的反比例函数，当时，，那么时，y的值为（ ）
A．2 B． C．8 D．
2．已知反比例函数的图像经过和，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
3．反比例函数与一次函数的图形有一个交点，则k的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
4．已知反比例函数，下列结论中不正确的是（　　）
A．图象必经过点（﹣3，2）
B．图象位于第二、四象限
C．x＜0，则y＞0
D．y随x的增大而增大
5．函数y与y＝kx+1（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　）
A．B． C．D．
6.如图，点A为反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点C（3，4），反比例函数图象交线段AB，射线BC于点E，F，连接EF，则S△BEF的值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．如图，点A在双曲线y1＝（x＞0）上，连接AO并延长，交双曲线y2＝（x＜0）于点B，点C为x轴上一点，且AO＝AC，连接BC，若△ABC的面积是6，则k的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知反比例函数的图象经过点（2，3），则该函数表达式为 　 　．
10.如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝交于点A（﹣1，m）、B（3，n），要使一次函数值大于反比例函数值，则x的范围是 　 ．
11．如图，是反比例函数y＝和y＝（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝2，则k2﹣k1的值为 　 　．
12.如图，一次函数y＝k1x+b的图象过点A（0，3），且与反比例函数y＝的图象相交于B、C两点．若AB＝BC，则k1 k2的值为　 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．已知是的反比例函数，当时，．
(1)求与之间的函数解析式；
(2)当时，求的取值范围．
14．已知反比例函数过点．
(1)当时，求的值．
(2)若，求m的取值范围．
(3)反比例函数过点，当时，，求证：．
15．如图，点A（1，6），B（m，n）在反比例函数图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，CD＝5．
（1）求出反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在反比例函数图象上是否存在点E，使△CDE的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，在平面直角坐标系xOy内，函数y＝ax（a≠0）和交于A、B两点，已知A（﹣1，4）．
（1）求点B的坐标；
（2）点C在坐标轴上，且∠ACB＝90°时，求点C的坐标．
17．小明家的电热水壶接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，会沸腾1分钟后自动停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系，直至水温降至20℃时热水壶又自动开机加热，重复上述程序（如图所示）．
（1）求反比例图象CD段的函数关系式，并求自变量x的取值范围．
（2）小明治疗肠胃病需服用地衣芽孢杆菌活菌胶囊，它是活菌制剂，医嘱要求：至少在饭后半小时用温开水（水温不能高于40℃）送服，若小明在早饭后立即通电开机，请问他至少需要等多长时间才可以直接用热水壶的水送服活菌片？
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（1，m），B（n，1）两点，与y轴交于点M，与x轴交于点N．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当时，x的取值范围为　 　 ；
（3）如图，y轴正半轴上有一点P，OP＝2，连接AP，OB，求四边形OPAB的面积．
参考答案
一、选择题
1—8：BCCDCACC
二、填空题
9.【解答】解：令反比例函数为y＝（k≠0），
∵反比例函数的图象经过点（2，3），
∴3＝，
k＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝．
故答案为：y＝．
10.【解答】解：已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝交于点A（﹣1，m）、B（3，n），
根据其图象可知x的范围是x＜﹣1或0＜x＜3．
11.【解答】解：设A（a，b），B（c，d），
代入得：k1＝ab，k2＝cd，
∵S△AOB＝2，
∴cd﹣ab＝2，
∴cd﹣ab＝4，
∴k2﹣k1＝4，
故答案为：4．
12【解答】解：k1 k2＝﹣2，是定值．理由如下：
∵一次函数y＝k1x+b的图象过点A（0，3），
∴设一次函数的解析式为y＝k1x+3，反比例函数解析式y＝，
∴k1x+3＝，
整理得k1x2+3x﹣k2＝0，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，
∵AB＝BC，
∴点C的横坐标是点B横坐标的2倍，不防设x2＝2x1，
∴x1+x2＝3x1＝﹣，x1x2＝2x12＝﹣，
∴﹣＝（﹣）2，
整理得，k1k2＝﹣2，是定值．
故答案为﹣2．
三、解答题
13．【解】（1）解：是的反比例函数，
设，
当时，，
，解得，
则与之间的函数解析式为；
（2）解：由（1）知，
当时，，
，
由反比例函数性质可知，在第二、四象限中，随的增大而增大，
则当时，的取值范围是．
14．【解】（1）解：由题意得：，
代入中：，
当时，；
（2）解：反比例函数在每个象限内随的增大而减小，
∵，
要使，则点在第三象限，点在第一象限，
得：，
解得：；
（3）解：由题意得：，，，，
，，
① ， ②，
化简①得：③，
化简②得：④，
得：，
即，
，
．
15．【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y，
将点A（1，6）代入y得，k＝6，
所以反比例函数的表达式为y．
因为CD＝5，
所以xD＝1+5＝6，
因为BD⊥x轴，
所以xB＝xD＝6．
将x＝6代入y得，y＝1，
所以点B的坐标为（6，1）．
（2）因为△CDE的面积等于5，
所以|yE|＝5，
解得yE＝±2．
将y＝2代入y得，x＝3，
所以点E的坐标为（3，2）；
将y＝﹣2代入y得，x＝﹣3，
所以点E的坐标为（﹣3，﹣2），
综上所述，点E的坐标为（3，2）或（﹣3，﹣2）．
16．【解答】解：（1）由题意知A、B关于原点对称，
∵A（﹣1，4）
∴点B的坐标是 （1，﹣4）；
（2）∵A、B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵∠ACB＝90°，
∴，
∵A（﹣1，4），B（1，﹣4），
∴AB2＝22+82＝68，
∴，
∴，
∵点C在坐标轴上，
∴点C的坐标是或或或．
17．【解答】解：（1）由题意可得：开机加热到 100°C 所需时间为： （分钟），
∴点B坐标为（4，100），
∵加热到100℃，会沸腾1分钟后自动停止加热，
∴点C坐标为（5，100），
设反比例图象CD段的函数关系式 ，把点C（5，100）代入得：
，
解得：k＝500，
，
令y＝20时，代入 ，
解得：x＝25，
∴点D（25，20），
∴反比例图象CD段的函数关系式 ；
（2）由（1）可知：从水温20°C开机加热到100°C、沸腾停止加热、再到水温下降回20°C 为一个周期共用时25分钟，
∵25＜30，
∴小明在第一个周期还不能服药，
当水温第二次加热到40°C所需时间为：，
当水温第二次下降到 40°C 所需时间为：2537.5（分），
∴他至少需要等37.5分钟才可以直接用热水壶的水送服活菌片．
18．【解答】解：（1）把A（1，m），B（n，1）两点坐标分别代入反比例函数，可得，，
∴m＝3，n＝3，
∴A（1，3），B（3，1）．
把A（1，3），B（3，1）代入一次函数y＝kx+b，
可得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4．
（2）由图象可知不等式的解集为：0＜x＜1或x＞3．
（3）如图，过点B作BE⊥y轴于点E，过点A作AF⊥y轴于点F，
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
∴M点坐标为（0，4），
∴PM＝OM﹣OP＝4﹣2＝2，
∵A（1，3），B（3，1），
∴AF＝1，BE＝3，
∴四边形OPAB的面积＝S△OBM﹣S△PAM
＝5．
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