第六章反比例函数单元检测卷（培优卷·含答案）北师大版2025—2026学年九年级上册

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第六章反比例函数单元检测卷（培优卷）北师大版2025—2026学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．在反比例函数图象上的点是（ ）
A． B． C． D．
2.已知反比例函数，下列结论中不正确的是（　　）
A．图象必经过点（﹣3，2） B．图象位于第二、四象限
C．x＜0，则y＞0 D．y随x的增大而增大
3．A（x1，y1），B（x2，y2）为反比例函数的图象上两点，当x1＜x2＜0时，有y1＜y2，则k的取值范围是（　　）
A．k＜0 B．k＞0 C．k＜4 D．k＞4
4．反比例函数的图象一定经过的点是（　　）
A．（1，6） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（2，6）
5．已知长方形的两条边长为x、y，面积是4，那么y关于x的函数的图象是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴于点C，连接，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．反比例函数与直线的图象在坐标轴中位置如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A．直线与坐标轴围成的三角形的面积是2
B．反比例函数与直线的图象的交点坐标为
C．
D．当时，有
8．如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数的图象上．若直线的函数表达式为，则反比例函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知反比例函数的图象经过点（2，m）和（n，1），则m2+n＝　 　．
10．如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数在第一象限内交于点C（5，2），则当x＞0时，的解集为 　 　．
11．反比例函数的图象如图所示，若△POQ的面积是3，则k的值为 　 　．
12．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣3与双曲线的图象交于点P（a，b），则代数式的值为 　 　．
三．解答题（共8小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．已知，与成正比例，与x成反比例，且当时，；当时，，求y关于x的函数解析式．
14．如图，一次函数图像与反比例函数图像交于点，，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)点在轴上，若，求点的坐标．
15．设函数，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）．若函数y1和函数y2的图象交于点A（2，m），B（3，2）
（1）求m的值．
（2）求函数y1，y2的表达式．
（3）请直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．
16．如图，已知直线y＝2x分别与双曲线y，y（x＞0）交于P、Q两点，且OP＝2OQ，点A是双曲线y上的动点，过A作AB∥x轴，AC∥y轴，分别交双曲线y（x＞0）于点B、C．连接BC．
（1）求k的值；
（2）随着点A的运动，△ABC的面积是否发生变化？若不变，求出△ABC的面积，若改变，请说明理由．
（3）直线y＝2x上是否存在点D，使得点A、B、C、D为顶点的四边平行四边形？若能，求出相应点A的坐标；若不能，请说明理由．
17．如图，矩形ABCO的顶点C，A分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数的图象经过AB的中点D，与BC交于点E，连接OD，OE，DE．
（1）直接写出结果：k＝ 　 　，点E的坐标为 　 　；
（2）点M是y轴正半轴上一点，若S△MBO＝S△ODE，求点M的坐标；
（3）点P为x轴上一点，点Q为反比例函数图象上一点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数（k≠0）的图象交于点A（﹣1，4），B（n，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）利用图象，直接写出不等式的解集；
（3）已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．
参考答案
一、选择题
1—8：BDDBBBDD
二、填空题
9．【解答】解：∵反比例函数y的图象经过点（2，m）和（n，1），
∴2m＝n＝8，
∴m＝4，n＝8，
∴m2+n＝42+8＝24．故答案为：24．
10．【解答】解：∵一次函数y＝ax+b与反比例函数y在第一象限内交于点C（5，2），
∴由图象可知：当x＞0时，ax+b0的解集为x＞5．
故答案为：x＞5．
11．【解答】解：∵四边形OAPB是矩形，
由题意，|k|＝△POQ的面积的二倍＝6，
∴k＝﹣6，
故答案为：﹣6．
12．【解答】解：∵函数y（x＞0）与y＝x﹣3的图象交于点P（a，b），
∴ab＝21，b＝a﹣3，
∴b﹣a＝﹣3，
∴，
故答案为：．
三、解答题
13．【解】解：设，，
∴．
把当时，；当时，
代入可得，
解得，，
∴y关于x的函数解析式为．
14．【解】（1）解：设反比例函数解析式为，
将代入，得，
解得，
∴反比例函数的解析式为，
把代入，得，
解得，
经检验，是方程的解，
∴，
设一次函数的解析式为，
将，代入，得，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：对于直线，
当时，可得，解得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴点的坐标为或．
15．【解答】解：（1）由题意，∵B（3，2）在函数y1上，
∴k1＝3×2＝6．
∴y1．
又A（2，m）在函数y1上，
∴2m＝6．
∴m＝3．
（2）由题意，根据（1）得，y1，A（2，3），
又B（3，2），
∴．
∴．
∴y2＝﹣x+5．
（3）由题意，在同一坐标系中画出y1和y2＝﹣x+5的图象如下，
∵当y1＞y2时，x的取值范围即为反比例函数的图象在一次函数图象上方时对应的自变量的取值范围，
又A（2，3），B（3，2），
∴当y1＞y2时，0＜x＜2或x＞3．
16．【解答】解：（1）过点Q作QE⊥x轴，垂足为E，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，如图1，
联立，
解得：或．
∵x＞0，
∴点P的坐标为（2，4）．
∴OF＝2，PF＝4．
∵QE⊥x轴，PF⊥x轴，
∴QE∥PF．
∵OP＝2OQ，
∴OF＝2OE＝2，PF＝2EQ＝4．
∴OE＝1，EQ＝2．
∴点Q的坐标为（1，2）．
∵点Q（1，2）在双曲线y上，
∴k＝1×2＝2．
∴k的值为2；
（2）如图2，
设点A的坐标为（a，b），
∵点A（a，b）在双曲线y上，
∴b．
∵．AB∥x轴，AC∥y轴，
∴xC＝xA＝a，yB＝yA＝b．
∵点B、C在双曲线y上，
∴xB，yC．
∴点B的坐标为（，），点C的坐标为（a，）．
∴AB＝aa，AC．
∴S△ABCAB AC
．
∴在点A运动过程中，△ABC的面积不变，始终等于．
（3）①AC为平行四边形的一边，
Ⅰ．当点B在点Q的右边时，如图3，
∵四边形ACBD是平行四边形，
∴AC∥BD，AC＝BD．
∴xD＝xB．
∴yD＝2xD．
∴DB．
∵AC，
∴．
解得：a＝±2．
经检验：a＝±2是该方程的解．
∵a＞0，
∴a＝2．
∴b．
∴点A的坐标为（2，）．
Ⅱ．当点B在点Q的左边且点C在点Q的右边时，如图4，
∵四边形ACDB是平行四边形，
∴AC∥BD，AC＝BD．
∴xD＝xB．
∴yD＝2xD．
∴DB．
∵AC，
∴，
解得：a＝±2．
经检验：a＝±2是该方程的解．
∵a＞0，
∴a＝2．
∴b4．
∴点A的坐标为（2，4）；
②AC为平行四边形的对角线，
此时点B、点C都在点Q的左边，如图5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∴yD＝yC．
∴xD．
∴CDa．
∵AB＝a，
∴a．
解得：a＝±．
经检验：a＝±是该方程的解．
∵a＞0，
∴a．
∴b4．
∴点A的坐标为（，4）．
综上所述：当点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形时，此时点A的坐标为（2，）或（2，4）或（，4）．
17．【解答】解：（1）∵矩形ABCO的顶点C，A分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），
∴BA⊥y轴，BC⊥x轴，A（0，2），
∵D是AB的中点，
∴D（2，2），
∵，反比例函数的图象经过AB的中点D，与BC交于点E，将点D的坐标代入得：
，
解得：k＝4，
∴反比例函数解析式为，
在中，当x＝4时，，
∴E（4，1），
故答案为：4；（4，1）；
（2）设点M（0，m），
∵B（4，2），D（2，2），E（4，1），
∴，，
当△MBO的面积等于△ODE的面积时，3＝2m，
解得：，
∴；
（3）存在点P，Q，使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形；理由如下：
设点P（p，0），
∵点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形，
∴当以DE为对角线时，
，
∴Q（6﹣p，3），
∵点Q在反比例的图象上，
∴，
解得：，
∴；
当以PE为对角线时，
，
∴Q（2+p，﹣1），
∵点Q在反比例的图象上，
∴，
解得：p＝﹣6，
∴Q2（﹣4，﹣1）；
当以PD为对角线时，
，
即Q（p﹣2，1），
∵点Q在反比例的图象上，
∴，
解得：p＝6，
∴Q3（4，1），与点E重合，不符合题意舍去；
综上所述：存在Q使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形；点Q的坐标为或（﹣4，﹣1）．
18．【解答】解：（1）一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数（k≠0）的图象交于点A（﹣1，4），B（n，﹣1），把点A，点B的坐标代入得：
，
解得：k＝﹣4，
∴反比例函数的表达式为；
将点B（n，﹣1）代入得：
∴，
解得：n＝4，
∴点B（4，﹣1），
把点A，点B的坐标代入一次函数y＝ax+b（a≠0）得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+3，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x+3；
（2）∵A（﹣1，4），B（4，﹣1），
当一次函数y＝ax+b的图象在反比例函数的图象上时，，
∴当x＜﹣1或0＜x＜4时，．
（3）∵点D在x轴上，点C在反比例函数图象，
∴设点D（a，0），，
∵四边形ABCD是平行四边形，分三种情况讨论：
∴①当AC，BD是对角线，
依题意得：，
解得：，
∴点C的坐标为；
②当BC，AD是对角线时，
依题意得：，
解得：，
∴点C的坐标为；
③当AB，CD是对角线时，
依题意得：，
解得：，
∴点C的坐标为；
综上所述，点C的坐标为或或时，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．
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