5.3用待定系数法确定二次函数表达式 培优练习（含解析）2025-2026学年苏科版数学九年级下册

5.3 用待定系数法确定二次函数表达式
一、单选题
1．若二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知抛物线过，，三点，关于这个抛物线下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线与轴的交点坐标为 D．当时，随的增大而减小
3．已知二次函数的自变量与因变量的几组对应值如下表：
… 1 …
… …
则下列说法正确的是（ ）
A．顶点坐标为
B．当时，的值随值的增大而增大
C．图象的对称轴是直线
D．图象经过第一、二、三象限
4．如图，二次函数的图象与轴相交于点，，与轴相交于点，下列说法中不正确的是（ ）
A．该二次函数没有最大值 B．当时，随的增大而减小
C．抛物线的顶点坐标为 D．，两点之间的距离是4
5．已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表，则下列结论错误的是（ ）
… 0 2 4 6 …
… 9 21 25 21 9 …
A．当时，随的增大而增大 B．函数的最大值为25
C．图象经过第一、二、三、四象限 D．图象的对称轴为直线
6．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点，，，分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点的坐标为，为半圆的直径，半圆圆心的坐标为，半圆半径为2．开动脑筋想一想，经过点的“蛋圆”切线的解析式为（　　）
B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，二次函数（其中m为常数）的图像经过点，其对称轴在y轴的右侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值4 B．最大值7 C．最小值4 D．最小值7
二、填空题
8．若抛物线经过点，则
9．已知二次函数满足条件：①有最小值；②它的图象经过点，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式 ．
10．已知某二次函数的图象的形状、开口方向与抛物线相同，且其顶点坐标是，则该二次函数的表达式是 ．
11．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则a的值为 ．
三、解答题
12．已知抛物线与x轴的交点为，，函数的最大值为4．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求y的取值范围．
13．已知抛物线
(1)若点在此抛物线上，求此抛物线的表达式；
(2)求出此抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）．
14．根据题目中的条件，求二次函数的表达式．
(1)已知二次函数的图像经过点和，求二次函数表达式．
(2)已知抛物线的顶点坐标是，且经过点，求抛物线的函数表达式．
15．已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 0 0 5 …
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当时，直接写出的取值范围．
参考答案
1．A
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，直接设抛物线为，再进一步求解即可.
【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点，
∴设二次函数为，
∴，
解得：，
∴抛物线为：；
故选：A
2．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点是解题的关键．先求解二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点判断作答即可．
【详解】解：∵设抛物线为，把，，代入得：
∴，
解得：，
∴抛物线为，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，当时，y随着x增大而减小，
∴A、B错误，故不符合要求；D正确，故符合要求；
当时，，即抛物线与y轴交点坐标是，
∴C错误，故不符合要求；
故选：D．
3．C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求二次根式解析式，熟练掌握二次根式的图象与性质是解题的关键．先将，，代入抛物线解析式求出解析式，利用二次函数的性质即可判断选项A、B、C，画出草图即可判断选项D．
【详解】解：将，，代入抛物线解析式，
得，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∴顶点坐标为，对称轴为直线，
故选项A错误，选项C正确；
∵对称轴为直线，开口向上，
∴当时，的值随值的增大而增大；当时，的值随值的增大而减小，
故选项B错误；
根据题意画出草图如图：
故图象过第一、二、四象限，
故选项D错误；
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，先用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的图象和性质逐项判断即可．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴相交于点，B，与y轴相交于点，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为，
故C不正确；
∴该二次函数没有最大值，
故A正确，
∴当时，随的增大而减小，
故B正确；
∵，
∴抛物线与x轴的交点为，，
∴，即，两点之间的距离是4，
故D正确．
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由表格可得，和对应的的值相同，得出图象的对称轴为直线，得出二次函数图象的顶点坐标为，设二次函数的表达式，利用待定系数法求出的值，再结合选项分析即可判断．
【详解】解：由表格可得，和对应的的值相同，
图象的对称轴为直线，故D选项正确，不符合题意；
二次函数图象的顶点坐标为，
设二次函数的表达式为，
代入，得，解得：，
二次函数的表达式为，
，
函数图象开口向下，当时，函数的最大值为25，故B选项正确，不符合题意；
图象的对称轴为直线，且图象开口向下，
当时，随的增大而减小，故A选项错误，符合题意；
图象经过点，对称轴为，
图象也经过点，
又图象经过点和，
图象经过第一、二、三、四象限，故C选项正确，不符合题意；
故选：A．
6．A
【分析】本题主要考查了二次函数的定义及性质，一次函数的定义，一元二次方程的判别式等知识，解题的关键是熟练准确掌握以上定义和性质．
因为经过点D的“蛋圆”切线过D点，所以本题可设它的解析式为．根据图象可求出抛物线的解析式，因为相切，所以它们的交点只有一个，进而可根据一元二次方程的有关知识解决问题．
【详解】解：∵点的坐标为，半圆半径为2，
∴，，
∵点的坐标为，
∴假设抛物线解析式为，直线解析式为，
将，代入抛物线解析式得，
解得
∴抛物线解析式为，
联立得
整理得，
∴当时，直线和“蛋圆”相切，
解得，
∴直线解析式为
故选：A．
7．D
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把代入得出，结合对称轴在y轴的右侧，得，则在时，最小值，代入计算，即可作答．
【详解】解：∵二次函数（其中m为常数）的图像经过点，
∴，
∴，
∴，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴对称轴为直线
∴，
∴，
则二次函数，且
∴开口向上，对称轴为直线，
∴在时，最小值，
把代入，
得，
∴该二次函数有最小值7，
故选：D
8．
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．将点代入抛物线表达式，得到关于的方程，解一元一次方程即可．
【详解】解：因为抛物线经过，
则，
解得，
故答案为：．
9．（答案不唯一）
【分析】该题考查了二次函数的图像和性质，二次函数解析式求解，由二次函数有最小值可知开口向上，即二次项系数；由图象经过点可知常数项．
【详解】解：设二次函数解析式为．
∵二次函数有最小值，
∴．
∵图象经过点，
∴当时，，即．
取，，则解析式为．
故答案为：（答案不唯一）．
10．
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由于二次函数的图象形状和开口方向相同，则二次项系数相等；已知顶点坐标，可直接用顶点式表示函数表达式．
【详解】解：二次函数的图象形状、开口方向与抛物线 相同，
二次项系数．
又顶点坐标为，
设二次函数表达式为顶点式，
代入，，，得
故答案为．
11．
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法，正方形的性质等知识．
连接交y轴于点D，先求出,根据正方形性质求出点A坐标为，代入即可求出．
【详解】解：如图，连接交y轴于点D．
由抛物线解析式为得顶点B坐标为
∴,
∵四边形为正方形，
∴，
∴点A坐标为，代入
∵点A在抛物线上，
∴，
∴．
故答案为：．
12．(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，求得顶点坐标是解题的关键．
（1）利用二次函数的对称性可由抛物线经过点，，得到抛物线的对称轴为直线，则抛物线的顶点坐标为，于是可设顶点式，然后把代入求出a的值即可；
（2）抛物线开口向下，当时，函数有最大值为4，求出当时，，当时，，则当时，函数值y的取值范围是，即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵函数有最大值4，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
∴抛物线的解析式为，
即抛物线的解析式为．
（2）∵，
∴抛物线开口向下，当时，函数有最大值为4，
当时，，
当时，，
∴当时，函数值y的取值范围是．
13．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数图象化顶点式、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意，由点在抛物线上，代入求出即可得解；
（2）依据题意，由抛物线为，进而可以得解．
【详解】（1）解∶由题意，点在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为．
（2）解∶依据题意，抛物线为，
∴该抛物线的顶点为．
14．(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键在于正确的计算．
（1）把和代入二次函数解析式求解即可；
（2）设此二次函数的表达式为，把代入求解即可．
【详解】（1）解：把和代入二次函数解析式得，
解得，
二次函数的表达式为；
（2）解：设此二次函数的表达式为，
代入得，
解得，
抛物线的函数表达式为．
15．(1)
(2)
【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）观察表格数据，得出二次函数经过点再运用待定系数法求出二次函数的解析式，即可作答．
（2）先得出二次函数的开口方向向上，越靠近对称轴的数越小，然后结合表格数据，得出时，则，，故当时，则，即可作答．
【详解】（1）解：由表格数据得出二次函数经过点
∴，
解得，
∴；
（2）解：由（1）得出二次函数，
∵，
∴二次函数的开口方向向上，越靠近对称轴的数越小，
结合表格数据，得出时，则，，
∴当时，则．