2025-2026学年上海浦东新区高一上学期数学期中试卷（含答案）

浦东新区2025-2026学年第一学期高一年级数学期中
2025.11
一、填空题（共36分，每题3分）
1.已知集合，且，则实数的值为______．
2.用反证法证明“对于三个实数，若，则或”，应假设______．
3.若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是______．
4.设且关于与的二元一次方程组的解集为空集，则的值为______．
5.设全集是实数集，或，，则图中阴影部分所表示的集合是______．
6.设，，则可用含有的代数式表示为______．
7.已知为常数，若不等式的解集为，则不等式的
解集为______．
8.关于的不等式的解集为______．
9.将（其中）化为有理数指数幂的形式为______．
10.已知关于的一元二次方程，若方程有两个大于1的实根，则的取值范围是______．
11.已知幂函数在上是严格减函数，若正数满足，求的最小值______．
12.若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图像上；②关于原点对称．则称是关于函数的一个“伙伴点组”（点组和点组看作同一个“伙伴点组”），则下列函数中，恰有两个“伙伴点组”的函数是：______．（填写所有正确的序号）
①②③④
二、单选题（共12分，每题3分）
13.已知命题“若，则”是真命题，集合满足，集合满足．下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
14.已知，且，，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
15.根据“幂的基本不等式：当，时，”，对于下列命题：
①若，存在，使得；
②若，对任意，满足．
下列说法正确的为（ ）
A.①假②真 B.①真②假 C.①②都假 D.①②都真
16.对任意给定的实数，有，且等号当且仅当（ ）成立．
A. B. C. D.
三、解答题（共52分，17-20每题10分，21题12分）
17.（本题10分，第（1）题5分，第（2）题5分）
已知集合，，，
．
（1）求；
（2）求．
18.（本题10分，第（1）题5分，第（2）题5分）
（1）设、均为正实数，试比较和的大小．
（2）已知、为实数，求证：，并指出等号成立的条件．
19.（本题10分，第（1）题5分，第（2）题5分）
上海市某非遗剪纸传承人传承海派剪纸技艺，主打款“传统福字剪纸”和款“外滩建筑剪纸”．已知制作1幅款剪纸的材料成本为12元，制作1幅款剪纸的材料成本为18元，每天用于两款剪纸的材料总成本固定为144元，且制作每款剪纸的数量均为正整数．
（1）设每天制作款剪纸幅、款剪纸幅，求的最大值，并说明此时的取值；
（2）若款剪纸每幅可获利润20元，款剪纸每幅可获利润28元，在（1）的成本约束下，每天如何安排制作数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少元？
20.（本题10分，第（1）题4分，第（2）题6分）
已知函数的图像经过点和，幂函数过点．
（1）求和的值及的解析式；
（2）解关于的方程．
21.（本题12分，第（1）题4分，第（2）题4分，第（3）题4分）
对于一个所有元素均为整数的非空集合，和一个给定的正整数，定义集合．
（1）若，直接写出集合和；
（2）若，其中（为正整数集），，直接写出使得集合中元素个数最少的一个（用n表示）；
（3）若，和都是正整数，集合，求出使得成立的所有和的值，并说明理由．
参考答案
一、填空题
1.； 2.且； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.②③；
12.若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图像上；②关于原点对称．则称是关于函数的一个“伙伴点组”（点组和点组看作同一个“伙伴点组”），则下列函数中，恰有两个“伙伴点组”的函数是：______．（填写所有正确的序号）
①②③④
【答案】②③
【解析】①函数关于原点对称的函数为，即，在上作出两个函数的图象如图，
由图象可知两个函数在上的交点个数只有一个，
所以函数的＂伙伴点组＂有1个，不满足条件．
②函数关于原点对称的函数为，即，在上作出两个函数的图象如图，
由图象可知两个函数在上的交点个数有2个，
所以函数的＂伙伴点组＂有2个，满足条件．
③函数关于原点对称的函数为，即，在上作出两个函数的图象如图，由图象可知两个函数在上的交点个数有2个，所以函数的＂伙伴点组＂有2个，满足条件．
④函数关于原点对称的函数为，
即，在上作出两个函数的图象如图，
由图象可知两个函数在上的交点个数有0个，
所以函数的＂伙伴点组＂有0个，不满足条件．
故答案为：②③．
二、选择题
13.C； 14.B； 15.A； 16.D
15.根据“幂的基本不等式：当，时，”，对于下列命题：
①若，存在，使得；
②若，对任意，满足．
下列说法正确的为（ ）
A.①假②真 B.①真②假 C.①②都假 D.①②都真
【答案】A
【解析】当时，在上单调递增，故时，一定有，①错误；
若在上单调递减，对任意，满足，②正确．故选：A．
16.对任意给定的实数，有，且等号当且仅当（ ）成立．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对任意给定的实数，有，且等号当且仅当且，
所以排除选项A、C；
由，得或，不能得出且，排除选项B；
由，得或，所以0且，选项D正确．故选：D．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）证明略，当且仅当时，等号成立
19.（1）的最大值为24，此时 （2）最大总利润是236元，此时
20.已知函数的图像经过点和，幂函数过点．
（1）求和的值及的解析式；
（2）解关于的方程．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由经过点和，得，故幂函数经过点，得
（2）代入和，得
合并对数得2
令，解二次方程，得（舍），故
21.对于一个所有元素均为整数的非空集合，和一个给定的正整数，定义集合．
（1）若，直接写出集合和；
（2）若，其中（为正整数集），，直接写出使得集合中元素个数最少的一个（用n表示）；
（3）若，和都是正整数，集合，求出使得成立的所有和的值，并说明理由．
【答案】（1） （2） （3）见解析
【解析】（1）由题意，集合，且，
当时，可得;
当时，可得，．
（2）由题意，集合，对于
其中，当时，此时中的元素个数最少，
若时，中的元素个数最少；
（3）若时，可得，要使得且，
则，即，
若时，此时，显然中有很多自然数空缺，所以不成立，
综上可得：．