2025-2026学年上海南汇中学高三上学期数学期中试卷（含答案）

南汇中学2025-2026学年第一学期高三年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1. 设全集，若集合 ，则 .
2. 函数且的图像过定点A，则点A的坐标是 .
3. 设为虚数单位，若复数满足，则 .
4.已知，则 .
5．已知，用表示 .
6．已知向量，则向量在向量方向上的数量投影为 .
7．函数在点处的切线方程为 .
8．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
9．已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为和，则该圆锥的体积为 .
10．设函数（其中），若函数图像的对称轴与其对称中心的最小距离为，则 .
11．已知函数，若有四个不同的解，且，则的最小值为 .
12．已知平面向量满足，则的最小值为 .
二、选择题（本题共有4题，满分18分，13-14题每题4分，15-16题每题5分）
13．已知实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ）.
A． B． C． D．
14．已知向量，则下列结论正确的是（ ）.
A． B． C． D．以上都不对
15．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，点分别为的中点，在侧面上运动，且满足平面，以下命题错误的是（ ）.
A．
B．多面体的体积为定值
C．侧面上存在点，使得
D．直线与直线所成的角可能为
16．已知函数的导函数为，且在上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）.
①＂＂是＂＂的充要条件；
②＂对任意，都有＂是＂在上为严格增函数＂的充要条件．
A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题
C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题
解答题（第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）
17．的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，求
18．在棱长为4的正方体中，点在棱上且，
（1）求与所成角的大小
（2）求点到平面的距离
19．已知某公司生产某款产品的年固定成本为30万元，每万件产品还需另外投入16万元，设该公司一年内共生产万件产品并全部销售完，每万件产品的销售收入为万元，且已知
（1）求一年的总利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万件时，公司在该款产品的生产中所获得的总利润最大？并求出最大总利润．（总利润总销售收入-固定成本-额外投入）
20．对于函数，若存在实数，使得为上的奇函数，则称是位差值为的＂位差奇函数＂.
（1）判断函数和是否是位差奇函数，并说明理由；
（2）若是位差值为的位差奇函数，求的值；
（3）若对于任意都是位差值为的位差奇函数，求实数的取值范围．
21．已知，e是自然对数的底数．
（1）当时，求函数的单调区间、极值以及对应的极值点；
（2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
（3）当时，若满足，求证：．
南汇中学2025-2026学年第一学期高三年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1. 设全集，若集合 ，则 .
【答案】
2. 函数且的图像过定点A，则点A的坐标是 .
【答案】
3. 设为虚数单位，若复数满足，则 .
【答案】
4.已知，则 .
【答案】
5．已知，用表示 .
【答案】
6．已知向量，则向量在向量方向上的数量投影为 .
【答案】
7．函数在点处的切线方程为 .
【答案】
8．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】或
9．已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为和，则该圆锥的体积为 .
【答案】
10．设函数（其中），若函数图像的对称轴与其对称中心的最小距离为，则 .
【答案】
11．已知函数，若有四个不同的解，且，则的最小值为 .
【答案】
12．已知平面向量满足，则的最小值为 .
【答案】
二、选择题（本题共有4题，满分18分，13-14题每题4分，15-16题每题5分）
13．已知实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
14．已知向量，则下列结论正确的是（ ）.
A． B． C． D．以上都不对
【答案】C
15．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，点分别为的中点，在侧面上运动，且满足平面，以下命题错误的是（ ）.
A．
B．多面体的体积为定值
C．侧面上存在点，使得
D．直线与直线所成的角可能为
【答案】D
16．已知函数的导函数为，且在上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）.
①＂＂是＂＂的充要条件；
②＂对任意，都有＂是＂在上为严格增函数＂的充要条件．
A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题
C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题
【答案】C
三、解答题（第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）
17．的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，求
【答案】（1） （2）
【解析】（1）变形为：，
所以，因为，所以；【6分】
（2）因为，且，所以，
由正弦定理得：，即，解得：．【8分】
18．在棱长为4的正方体中，点在棱上且，
（1）求与所成角的大小
（2）求点到平面的距离
【答案】（1） （2）
【解析】（1）连接，
因为在正方体中，，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以为异面直线与所成的角，
因为正方体的棱长为4，点在棱上且，
所以，所以，
所以由余弦定理得，
所以，所以与所成角的大小为，【6分】
（2）连接，设点到平面的距离为，
因为为锐角，所以，
所以，
因为，所以，
所以，解得【14分】
利用空间向量参考给分.
19．已知某公司生产某款产品的年固定成本为30万元，每万件产品还需另外投入16万元，设该公司一年内共生产万件产品并全部销售完，每万件产品的销售收入为万元，且已知
（1）求一年的总利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万件时，公司在该款产品的生产中所获得的总利润最大？并求出最大总利润．（总利润总销售收入-固定成本-额外投入）
【答案】（1）见解析 （2）当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产中所获得的总利润最大，最大总利润为6114万元
【解析】（1）一年的总利润：
（2）当时，万件时，利润最大6114万元；【8分】
当年产量超过40万件，即，
此时
当且仅当，即时取等号．故当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产中所获得的总利润最大，最大总利润为6114万元．【14分】
20．对于函数，若存在实数，使得为上的奇函数，则称是位差值为的＂位差奇函数＂.
（1）判断函数和是否是位差奇函数，并说明理由；
（2）若是位差值为的位差奇函数，求的值；
（3）若对于任意都是位差值为的位差奇函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）是，不是 （2） （3）
【解析】（1）由，
所以为奇函数．
故对于任意有为位差奇函数．
又，设.
此时，
若为奇函数，则恒成立，与假设矛盾，
故不存在有为位差奇函数.【4分】
（2）由是位差值为的位差奇函数，
可得为上的奇函数．
为奇函数．
即即.【10分】
（3）．
由题意对任意的均不恒成立．
此时
即对任意的不恒成立，故在无解．又，故．故【18分】
21．已知，e是自然对数的底数．
（1）当时，求函数的单调区间、极值以及对应的极值点；
（2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
（3）当时，若满足，求证：．
【答案】（1）当时，取得极小值0，无极大值．
（2） （3）证明见解析
【解析】（1）当时，，函数的定义域为R，求导得，
由可得，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，
所以当时，取得极小值．【4分】
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
当时，取得极小值0，无极大值．
（2）由方程有两个不等实根可知，，
依题意，方程有两个不等实根等价于函数与有两个交点．
由，当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，取得极大值，且当；
当，故可作出函数的图象如下．
由图知，当且仅当时，函数与有两个交点，
故的取值范围为．【10分】
（3）因，由，
当时，，当 时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
因，且，则可得，
要证，需证，因，
且函数在上单调递减，则只需证，
又，即需证，即证．
设，
则，
于是，因，当且仅当，
即当时，等号成立，故，即函数在R上单调递增，
因，则，
则，即得，
又函数在上单调递减，则，故得证．【18分】