2025-2026学年上海南汇中学高二上学期数学期中试卷（含答案）

南汇中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期中
2025.11
一、填空题（每小题3分，共12题，共36分）
1．已知平面，则直线的位置关系为 .
2．已知向量，若，则 .
3．正方体中，异面直线与所成角的大小为 .
4．已知水平放置的是按＂斜二测画法＂得到如下图所示的直观图，其中，则原的面积是 .
（第4题） （第6题） （第9题）
5．若球的体积是，则球的表面积是 .
6．如图，在四面体中，点是的重心，设，则 .（用表示）
7．点在锐二面角的平面上，点到平面的距离为3，点到棱的距离为，则此二面角的大小是 .
8．将圆心角为，面积为的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为 .
9．如图，在棱长为1的正方体中，点在截面上，则线段的最小值等于 .
10．正四棱锥的底面边长为2，高为是边的中点，动点在表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为 .
11．如图，对四棱锥的各面进行染色，要求有公共梭的两个面不同色．现有种4种颜色可供选择，则不同的染色方法共有 种.
12．在正三梭柱中，，点满足，其中，则下列说法中，正确的序号是 .
（1）当时，的周长为定值；
（2）当时，三棱锥的体积为定值；
（3）当时，有且仅有一个点，使得；
（4）当时，有且仅有一个点，使得平面．
二、选择题（每小题3分，共4题，共12分）
13．设是不同的直线，在平面内，则＂且＂是＂＂的（ ） .
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
14．已知乘积展开后共有60项，则的值为（ ）.
A．5 B．7 C．10 D．12
15．如图，在长方体中，，点为棱上的动点，则的最小值为（ ）.
A．5 B．
C． D．
16．已知是正方体的中心，过点的直线与该正方体的表面交于两点，现有如下命题：
（1）线段在正方体6个表面的投影长度为，则为定值；
（2）直线与正方体12条棱所成的夹角的，则为定值．下列判断正确的是（ ）.
A．（1）和（2）均为真命题 B．（1）和（2）均为假命题
C．（1）为真命题，（2）为假命题 D．（1）为假命题，（2）为真命题
三、解答题（共5题，共52分）
17．（本题满分8分，第（1）题4分，第（2）题4分）
甲、乙、丙、丁四名同学报名参加三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目．
（1）共有多少种不同的报名方法？
（2）若甲、乙报同一项目，丙不报项目，则有多少种不同的报名方法？
18．（本题满分8分，第（1）题4分，第（2）题4分）
在如图所示的圆柱中，是底面直径，是圆柱的母线，且．设是底面圆周上的动点．
（1）求圆柱的表面积；
（2）当二面角的大小为时，求点到平面的距离．
19．（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）
在正四棱锥中，侧棱的长为与所成的角的大小等于．
（1）求正四棱椎的体积：
（2）若正四梭锥的五个顶点都在球的表面上，求此球的半径．
20．（本题满分12分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题满分4分）
已知平面平面为等边三角形，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求直线和平面所成角的正弦值．
21．（本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题满分6分）
如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，是的中点，是的中点，动点在直线上，且满足．
（1）求证：不论取何值，总有；
（2）设直线与平面所成的角为，求的取值范围；
（3）设平面与平面所成的锐二面角的大小为，求的最大值，并求相应的的值．
南汇中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期中
2025.11
一、填空题（每小题3分，共12题，共36分）
1．已知平面，则直线的位置关系为 .
【答案】平行或异面
2．已知向量，若，则 .
【答案】－1
3．正方体中，异面直线与所成角的大小为 .
【答案】
4．已知水平放置的是按＂斜二测画法＂得到如下图所示的直观图，其中，则原的面积是 .
【答案】
5．若球的体积是，则球的表面积是 .
【答案】
6．如图，在四面体中，点是的重心，设，则 .（用表示）
【答案】
7．点在锐二面角的平面上，点到平面的距离为3，点到棱的距离为，则此二面角的大小是 .
【答案】
8．将圆心角为，面积为的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为 .
【答案】
9．如图，在棱长为1的正方体中，点在截面上，则线段的最小值等于 .
【答案】
10．正四棱锥的底面边长为2，高为是边的中点，动点在表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为 .
【答案】
11．如图，对四棱锥的各面进行染色，要求有公共梭的两个面不同色．现有种4种颜色可供选择，则不同的染色方法共有 种.
【答案】72
12．在正三梭柱中，，点满足，其中，则下列说法中，正确的序号是 .
（1）当时，的周长为定值；
（2）当时，三棱锥的体积为定值；
（3）当时，有且仅有一个点，使得；
（4）当时，有且仅有一个点，使得平面．
【答案】（2）（4）
二、选择题（每小题3分，共4题，共12分）
13．设是不同的直线，在平面内，则＂且＂是＂＂的（ ） .
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】B
14．已知乘积展开后共有60项，则的值为（ ）.
A．5 B．7 C．10 D．12
【答案】
15．如图，在长方体中，，点为棱上的动点，则的最小值为（ ）.
A．5 B． C． D．
【答案】D
16．已知是正方体的中心，过点的直线与该正方体的表面交于两点，现有如下命题：
（1）线段在正方体6个表面的投影长度为，则为定值；
（2）直线与正方体12条棱所成的夹角的，则为定值．下列判断正确的是（ ）.
A．（1）和（2）均为真命题 B．（1）和（2）均为假命题
C．（1）为真命题，（2）为假命题 D．（1）为假命题，（2）为真命题
【答案】D
三、解答题（共5题，共52分）
17．（本题满分8分，第（1）题4分，第（2）题4分）
甲、乙、丙、丁四名同学报名参加三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目．
（1）共有多少种不同的报名方法？
（2）若甲、乙报同一项目，丙不报项目，则有多少种不同的报名方法？
【答案】（1）． （2）
18．（本题满分8分，第（1）题4分，第（2）题4分）
在如图所示的圆柱中，是底面直径，是圆柱的母线，且．设是底面圆周上的动点．
（1）求圆柱的表面积；
（2）当二面角的大小为时，求点到平面的距离．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由题意可知，圆柱的底面半径为1，高为2，
则该圆柱的表面积为．
（2）因为平面平面，则，
因为是底面直径，是底面圆周上的动点，由题意可知，与不重合，
所以，，因为平面，
所以，平面，因为平面，则，
所以，二面角的平面角为，即，
因为平面平面，则，
所以，则，
到平面的距离就是到的距离，
则，所以．
因此，点到平面的距离为．
19．（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）
在正四棱锥中，侧棱的长为与所成的角的大小等于．
（1）求正四棱椎的体积：
（2）若正四梭锥的五个顶点都在球的表面上，求此球的半径．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）连接与交于，就是与所成角，即，
由余弦定理，，
所以．
（2）连接，设球的半径为，则，
在Rt中，有，解得．
20．（本题满分12分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题满分4分）
已知平面平面为等边三角形，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求直线和平面所成角的正弦值．
【答案】（1）（2）证明见解析 （3）
【解析】（1）取的中点，连接．∵为的中点，∴且．
∵平面平面．又．
∴四边形为平行四边形，则．
∵平面平面平面．
（2）∵为等边三角形，为的中点，∴．
∵平面平面．
∵，所以，
又平面平面．
∵平面平面平面．
（3）在平面内，过作于，连接．
∵平面平面，平面平面，平面
平面为为平面所成角．
因为，则，
在Rt中，，∴直线和平面所成角的正弦值为．
21．（本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题满分6分）
如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，是的中点，是的中点，动点在直线上，且满足．
（1）求证：不论取何值，总有；
（2）设直线与平面所成的角为，求的取值范围；
（3）设平面与平面所成的锐二面角的大小为，求的最大值，并求相应的的值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
（3）当时，．
【解析】（1）当点与直合时，与平面共面，
当点不与直合时，因为分别是的中点，所以，
又∵平面，平面，所以平面．
（2）如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，
设，由，得，
所以，则．所以，
设平面的法向量为，直线与平面所成的角为，
则，，所以，
所以的取值范围为．
（3）由（2）知，，设平面的法向量为，则，
取，为平面的法向量，
平面与平面所成的锐二面角的大小为，
则，，
则，则，函数，当时，，所以，即当时，．