椭圆的参数方程的教学设计
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文档简介
椭圆的参数方程的教学设计
汝城一中 王诗扬
教材分析：
本节内容是在高中数学选修2-1.椭圆的标准方程之后的升华。人们对事物的认识是不断加深，层层推进。对椭圆的认识也遵循这一规则，因而本节课学习椭圆参数方程实际上是对椭圆认识的高潮，在从另一角度以定点、定直线、定圆来重新动定椭圆，最后从两个圆中演变出椭圆的参数方程。可以说，我们对椭圆的认识已经经历了许多感性认识到理性认识，是多角度、多层次的上升过程。因此本节课是对椭圆认识的一个总结，一个升华。
学情分析：
学生已经掌握了椭圆的标准方程、图像和性质，能够简单的应用，但是对于一些求最值的问题感到计算比较困难。因此，本节课椭圆的参数方程的教学应该帮助学生解决好：1.能从类比圆的参数方程的建立得出椭圆的参数方程；2.引导学生探究教科书第28页图2－8的建立过程，体会椭圆参数的几何意义；3.能利用椭圆的参数方程解决有关的问题；椭圆参数的几何意义是本节的难点
教学目的
1.建立椭圆的参数方程
2.正确理解离心角的意义
3.正确运用离心角解题
教学重点
椭圆的参数方程及其应用
教学难点
正确理解椭圆离心角的几何意义
辅教工具
自制课件、多媒体计算机、投影仪、大屏幕
教学过程
一、创设情境
问题1、回忆圆的参数方程，并指出其中参数的几何意义。
问题2、类比圆的参数方程，你能说出椭圆的参数方程吗？
练习1：把下列普通方程化为参数方程.
二、椭圆参数方程的构建
问题：以坐标原点O为圆心，分别以a、b为半径作两个圆。点A是大圆上任意一点，点B是大圆半径与小圆的交点，过点A作AN⊥x轴于点N，再过点B作BM⊥AN于点M。求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参数方程。
首先，师生共同阅读、正确理解题意，同时运用《几何画板》制作出合符题意的图形。
其次，引导学生选择恰当的参数，构建椭圆的参数方程。
①提问学生选取什么作为参数？
②再问学生选择该参数的理由；
(因为点A是主动点，点M是从动点，所以选择∠xOA为参数)
③构建椭圆的参数方程：
如图，设∠xOA＝θ，点M的坐标为(x,y)。
则x＝ON＝|OA|cosθ＝acosθ，
y＝NM＝|OB|sinθ＝bsinθ。
即 (θ为参数)。
这就是点M轨迹的参数方程。
最后，提问学生点M的轨迹是一条什么曲线？为什么？并引出离心角的概念。
①直接消去参数θ，化参数方程为普通方程可知点M的轨迹是椭圆；
②利用《几何画板》对点M进行“跟踪”，发现点M的轨迹确实是椭圆；
三、正确理解椭圆离心角θ的几何意义
1.给出离心角与旋转角的概念
如图，我们称∠xOA为椭圆的离心角，而把∠xOM叫做椭圆的旋转角。
2.初步认识椭圆的离心角θ
①由图可知∠xOA≠∠xOM；
②提问：∠xOA与∠xOM有相等的可能吗？一共有多少次？
(缓慢拖动点A，引导学生进行观察)
3.通过下面的练习加深对离心角的认识
练习2：把下列参数方程化为普通方程
练习3：已知椭圆的参数方程为 (是参数) ，则此椭圆的长轴长为（ ），短轴长为（ ），焦点坐标是（ ），离心率是（ ）。
四、利用椭圆的参数方程解题：
例1： （2008江苏）在平面直角坐标系中，设是椭圆上的一个动点，求的最大值
分析：可利用椭圆参数方程.
解：设椭圆参数方程为：
(θ为参数)
∵在椭圆上
∴
∴
∴的最大值为2。
例2.求椭圆上的点到直线l:x-y+4=0的距离的最小值和最大值。
分析：可利用椭圆参数方程.
解：设椭圆参数方程为：
(θ为参数)
设是椭圆上的一个动点，则，到直线l距离为：
其中，
∴，
因此椭圆上的点到直线l:x-y+4=0的距离的最小值和最大值分别为，。
五、本课小结
①椭圆的参数方程： (θ为参数)。
②参数θ是椭圆的离心角，它不同于椭圆的旋转角。
关于这一点我们应当予以足够的重视。
六、课后作业：
1、已知椭圆,求椭圆内接矩形面积的最大值
2、在平面直角坐标系中，设是椭圆上的一个动点，求的最大值。
七、课后反思：
本节课通过计算机多媒体创设情境辅助教学，效果很好。在这节课中，主要学习椭圆的参数方程，了解它的建立过程，了解它与普通方程的相互联系，并能相互转化，能力要求是一方面在推导参数过程中进一步巩固坐标法，另一方面对椭圆有一个系统的综合理解。由于从两个圆中演变出椭圆，比较抽象，不易理解。所以，我利用几何画板软件制作了椭圆的生成轨迹图形，把抽象的内容以生动的，形象的，易于接受的形式展现给学生，不失时机的发挥多媒体作用，恰倒好处的克服难点，提高了学生的兴趣，开阔了知识视野，启发了思维，从而使学生牢固的掌握知识，同时形成能力。数学教学活动必需建立在学生的认识发展水平和已有的知识经验基础之上。学生已有的认识结构是学生知识的生长点，也是教师开展教学活动的起点，在对椭圆参数方程的教学中，我感到：1.教学设计要紧扣课程标准的要求，结合学生已有的知识经验出发，通过知识间的内在联系，不断暴露对问题解决的思维过程，让学生能充分体验数学的“再发现”，从中体会其中蕴涵的数学思想方法，才能使学生深化对知识本质的认识。2.在教学中要让学生经历典型问题的探究过程，使学生弄清问题由何而来，从何而去，体会数学的应用价值，激发学生学习数学和应用数学的兴趣，使学生能学、会学、善学。
汝城一中 王诗扬
教材分析：
本节内容是在高中数学选修2-1.椭圆的标准方程之后的升华。人们对事物的认识是不断加深，层层推进。对椭圆的认识也遵循这一规则，因而本节课学习椭圆参数方程实际上是对椭圆认识的高潮，在从另一角度以定点、定直线、定圆来重新动定椭圆，最后从两个圆中演变出椭圆的参数方程。可以说，我们对椭圆的认识已经经历了许多感性认识到理性认识，是多角度、多层次的上升过程。因此本节课是对椭圆认识的一个总结，一个升华。
学情分析：
学生已经掌握了椭圆的标准方程、图像和性质，能够简单的应用，但是对于一些求最值的问题感到计算比较困难。因此，本节课椭圆的参数方程的教学应该帮助学生解决好：1.能从类比圆的参数方程的建立得出椭圆的参数方程；2.引导学生探究教科书第28页图2－8的建立过程，体会椭圆参数的几何意义；3.能利用椭圆的参数方程解决有关的问题；椭圆参数的几何意义是本节的难点
教学目的
1.建立椭圆的参数方程
2.正确理解离心角的意义
3.正确运用离心角解题
教学重点
椭圆的参数方程及其应用
教学难点
正确理解椭圆离心角的几何意义
辅教工具
自制课件、多媒体计算机、投影仪、大屏幕
教学过程
一、创设情境
问题1、回忆圆的参数方程，并指出其中参数的几何意义。
问题2、类比圆的参数方程，你能说出椭圆的参数方程吗？
练习1：把下列普通方程化为参数方程.
二、椭圆参数方程的构建
问题：以坐标原点O为圆心，分别以a、b为半径作两个圆。点A是大圆上任意一点，点B是大圆半径与小圆的交点，过点A作AN⊥x轴于点N，再过点B作BM⊥AN于点M。求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参数方程。
首先，师生共同阅读、正确理解题意，同时运用《几何画板》制作出合符题意的图形。
其次，引导学生选择恰当的参数，构建椭圆的参数方程。
①提问学生选取什么作为参数？
②再问学生选择该参数的理由；
(因为点A是主动点，点M是从动点，所以选择∠xOA为参数)
③构建椭圆的参数方程：
如图，设∠xOA＝θ，点M的坐标为(x,y)。
则x＝ON＝|OA|cosθ＝acosθ，
y＝NM＝|OB|sinθ＝bsinθ。
即 (θ为参数)。
这就是点M轨迹的参数方程。
最后，提问学生点M的轨迹是一条什么曲线？为什么？并引出离心角的概念。
①直接消去参数θ，化参数方程为普通方程可知点M的轨迹是椭圆；
②利用《几何画板》对点M进行“跟踪”，发现点M的轨迹确实是椭圆；
三、正确理解椭圆离心角θ的几何意义
1.给出离心角与旋转角的概念
如图，我们称∠xOA为椭圆的离心角，而把∠xOM叫做椭圆的旋转角。
2.初步认识椭圆的离心角θ
①由图可知∠xOA≠∠xOM；
②提问：∠xOA与∠xOM有相等的可能吗？一共有多少次？
(缓慢拖动点A，引导学生进行观察)
3.通过下面的练习加深对离心角的认识
练习2：把下列参数方程化为普通方程
练习3：已知椭圆的参数方程为 (是参数) ，则此椭圆的长轴长为（ ），短轴长为（ ），焦点坐标是（ ），离心率是（ ）。
四、利用椭圆的参数方程解题：
例1： （2008江苏）在平面直角坐标系中，设是椭圆上的一个动点，求的最大值
分析：可利用椭圆参数方程.
解：设椭圆参数方程为：
(θ为参数)
∵在椭圆上
∴
∴
∴的最大值为2。
例2.求椭圆上的点到直线l:x-y+4=0的距离的最小值和最大值。
分析：可利用椭圆参数方程.
解：设椭圆参数方程为：
(θ为参数)
设是椭圆上的一个动点，则，到直线l距离为：
其中，
∴，
因此椭圆上的点到直线l:x-y+4=0的距离的最小值和最大值分别为，。
五、本课小结
①椭圆的参数方程： (θ为参数)。
②参数θ是椭圆的离心角，它不同于椭圆的旋转角。
关于这一点我们应当予以足够的重视。
六、课后作业：
1、已知椭圆,求椭圆内接矩形面积的最大值
2、在平面直角坐标系中，设是椭圆上的一个动点，求的最大值。
七、课后反思：
本节课通过计算机多媒体创设情境辅助教学，效果很好。在这节课中，主要学习椭圆的参数方程，了解它的建立过程，了解它与普通方程的相互联系，并能相互转化，能力要求是一方面在推导参数过程中进一步巩固坐标法，另一方面对椭圆有一个系统的综合理解。由于从两个圆中演变出椭圆，比较抽象，不易理解。所以，我利用几何画板软件制作了椭圆的生成轨迹图形，把抽象的内容以生动的，形象的，易于接受的形式展现给学生，不失时机的发挥多媒体作用，恰倒好处的克服难点，提高了学生的兴趣，开阔了知识视野，启发了思维，从而使学生牢固的掌握知识，同时形成能力。数学教学活动必需建立在学生的认识发展水平和已有的知识经验基础之上。学生已有的认识结构是学生知识的生长点，也是教师开展教学活动的起点，在对椭圆参数方程的教学中，我感到：1.教学设计要紧扣课程标准的要求，结合学生已有的知识经验出发，通过知识间的内在联系，不断暴露对问题解决的思维过程，让学生能充分体验数学的“再发现”，从中体会其中蕴涵的数学思想方法，才能使学生深化对知识本质的认识。2.在教学中要让学生经历典型问题的探究过程，使学生弄清问题由何而来，从何而去，体会数学的应用价值，激发学生学习数学和应用数学的兴趣，使学生能学、会学、善学。