课件48张PPT。 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
等差数列的前n项和 1.等差数列的定义：2.通项公式：3.重要性质: 复习 高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境贫困，但聪敏异常。上小学四年级时，一次老师布置了一道数学习题：“把从1到100的自然数加起来，和是多少？”年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使老师非常吃惊。那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？?? 高斯（1777---1855）， 德国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。有“数学王子”之称。 高斯“神速求和”的故事: 情景1首项与末项的和： 1＋100＝101，第2项与倒数第2项的和： 2＋99 =101， 第3项与倒数第3项的和： 3＋98 ＝101，? · · · · · · 第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，于是所求的和是：求 S=1+2+3+······+100=？你知道高斯是怎么计算的吗？高斯算法：高斯算法用到了等差数列的什么性质？ 如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4、5、6、7、8、9、10，求钢管总数。即求：S=4+5+6+7+8+9+10.高斯算法：
S=（4+10) +（5+9）+（6+8）+7 = 14×3+7=49.还有其它算法吗？ 情景2S=10+9+8+7+6+5+4.S=4+5+6+7+8+9+10.相加得：倒序相加法怎样求一般等差数列的前n项和呢？ 新课等差数列的前 n 项和公式公式1公式2结论：知 三 求 二思考：(2)在等差数列 中，如果已知五个元素 中 的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量 ?(1)两个求和公式有何异同点？公式记忆—— 类比梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式的函数特征：特征：思考：结论：例1、计算： 举例例2、注：本题体现了方程的思想.解：例3、解：又解：整体运算的思想!例4、解：1、一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。解： 巩固练习解:四、随堂练习3、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的sn(1)a１=5,an=95,n=10(2)a1=100,d=－2,n=50(3)a1=14.5,d=0.7,an=324、(1)求正整数列中前n个数的和；
(2)求正整数列中前n个偶数的和。5、等差数列5,4,3,2,1,…前多少项的和是－30？［前15项］1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式; 小结3、应用公式求和.“知三求二”，方程的思想.①已知首项、末项用公式Ⅰ；
已知首项、公差用公式Ⅱ.
②应用求和公式时一定弄清项数n.
③当已知条件不足以求出a1和d时，要认真观察，灵活应用等差数列的性质，看能否用整体思想求a1+an的值. 作 业P46 习题2.3 A组 第2题 作业2.3 等差数列的前n项和——性质及其应用（上）一、复习引入1.若一个等差数列前3项和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有______项。2.已知两个等差数列{an},{bn}，它们的前n项和分别是Sn,Tn，若热身练习比值问题整体思想方法一：方程思想方法二：成等差数列等差数列前n项和性质：(等差数列等分若干段后,各段和依序成等差数列)等差数列前项和的最值问题： 考一本第13课时知识点2： 练习1、已知一个等差数列中满足 解：方法一练习解：方法二对称轴 且更接近9，所以n=9.练习1、已知一个等差数列中满足 等差数列前n项和—————性质以及应用（下）等差数列 奇、偶项和问题1、已知一个等差数列前12项的和是354，前
12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差．分析：方法一：直接套用公式；
方法二：利用奇数项与偶数项的关系．解：方法一： 练习1、已知一个等差数列前12项的和是354，前 12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差． 解：方法二： 2、已知一个等差数列中d=0．5， 分析：还是利用奇数项和偶数项之间
的关系，相差一个公差d.解：设求数列前n项和方法之一：裂项相消法设{an}是公差为d的等差数列，则有特别地，以下等式都是①式的具体应用：①(裂项相消法)；；求和公式：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式法求和，常用的公式有：求数列前n项和方法之二：公式单利：银行利息按单利计算（利息没有利息）
本利和=本金×（1+利率×存期）例如：存入10000元，利率为0.72%特点：每一项与前一项的差是同一个常数复利：银行利息按复利计算（利滚利）
本金和=本金×（1+利率）存期例如：存入10000元，利率为1.98%特点：后一顶与前一项的比是同一个常数课件37张PPT。2.5 等比数列的前n项和(一)求等比数列的前30项的和。(二)问题探究问题1：这个故事中，地主中计了吗？
到底谁吃亏了？问题2：这个月，农夫一共要给地主多少斤米？问题3：这个月，地主一共要给农夫多少斤米？
（1000粒米约40克）40×30=1200（斤）问题4：这是什么数列求和？求前多少项的和？现在我们一起来寻找答案。米粒的总数为:问题5：如何求出这个和？用计算器怎么样？问题7：怎样求等比数列的前n项和公式？问题6：等差数列有求和的公式，那么等比数列是否也有求和的公式呢？若有就直接用公式时间很长，太麻烦了。(二)问题探究问题8：能否类比等差数列前n项和公式的求法？复习回顾 (2) 在等比数列中若 m+n = p+q , 则 1、等比数列的定义： =q (q=0)2、等比数列的通项公式：n-13、等比数列的性质: (1)??若 a , G , b成等比数列 a a = a am n p q国王奖励国际象棋发明者问题没问题！！！ 1+2+4+8+……+263=?264-1超过7000亿吨二、新课讲解： ， ②②－①得 即 .根据①式，如何构造另一个式子②？ ②把这两个式子怎么样？等差数列求和公式的推导①① + ② 得：倒序相加(三)方法回顾的目的：出现相等的项，从而化简等比数列的前n项和公式解析1：找个具体的等比数列来检验问题1：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢?请大家动手试试。?(四)类比探究每个括号里的值不相等,不能写成n倍来化简!所以解析2：一般地，对于等比数列，因为：问题1：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢?请大家动手试试。?等比数列的前n项和公式(四)类比探究无法化简问题1：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢?请大家动手试试。?反思：对于等比数列求和，不能照搬倒序相加的方法。而是要挖掘此方法的本质（求和的根本目的）。问题2：求和的根本目的是什么？答：求和的根本目的是消项。消项后就可化简。改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公比来表示。①等比数列的前n项和公式(四)类比探究①问题4：类比等差数列求和方法，需要构造另一个式子②，而要达到消项的目的，就须使两式具有＿＿＿＿问题3：观察求和的式子①，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？后项=前项×公比相同的项问题5：如何构造式子②？将式子①的两边都乘以②问题6：为了消项，接下来将这两个式子怎么样？相减等比数列的前n项和公式(四)类比探究① - ② 得：问题7：要求出 ，是否可以把上式两边同除以 ？当 时，除以 得： 当 时，①②注意：分类讨论是一种常用的数学思想方法！等比数列的前n项和公式(四)类比探究当 q=1 时，当q≠1时，则探究成果：①等比数列的前n项和公式(四)类比探究等差数列方法小结：课后思考：用错位相减法求和时只能乘以公比吗？能否乘以其它的数？联想我们所学过的知识，即类比＿＿＿＿＿＿＿＿，挖掘其方法的＿＿＿（求和的根本目的是＿＿＿），结合等比数列自身的＿＿＿来构造式子②，再把两式＿＿＿，这种求和方法叫做＿＿＿＿＿＿ 求和方法本质消项特征相减错位相减(四)类比探究问题1：还有其它的推导方法吗？①问题2：根据①式的特点，能否建立一个关于 的方程？若能，就可从方程中解出问题3：①式的左边是 ,要建立一个关于 的方程,那就要将①式的右边也用含 的式子来表示。问题4：观察①式的右边，从第二项开始，每一项都含有因式 ，是否可考虑将之提出来？(五)方程探究等比数列的前n项和公式①问题5：括号里面的，与①式右边对照，少了哪一项？问题6：括号里面的，怎样用含 的式子表示？从这个方程解出问题7：这样就得到了一个什么方程？问题8：解方程时要注意对＿＿＿＿＿＿进行＿＿。 一元一次方程未知量的系数讨论(五)方程探究等比数列的前n项和公式移项，得：当 q=1 时，当q≠1时，①①(五)方程探究等比数列的前n项和公式(建立方程)用 表示注意：方程法是一种重要的数学思想方法！ 一部分项提公因式过程小结：解方程根据等比数列求和式子的特点，对其部分项提出公因式＿＿后，可将其用含＿＿＿的式子表示出来，从而建立关于＿＿＿的方程，解此方程即可。 课后思考：对和式①的右边部分，只能提出公比吗？能否提出其它的公因式？ (五)方程探究(六)熟悉理解等比数列前n项和公式当q≠1时，当q＝1时，①②思考1：根据公式①，要求一个等比数列的前n项和，一般要先求出哪些量？思考2：能否将Sn和用a1, q, an来表示？思考3：什么时候用公式①, 什么时候用公式②?例1.求下列等比数列前8项的和．(七)公式的应用思考：能否用公式②求 ？答：可以。但要先求出公比 和解题思路：求出公比 后用公式①求变式1 判断正误：反思总结:用公式前，先弄清楚数列的首项 、公比 、项数n①②③(七)公式的应用×××(八)问题解决问题1：这个故事中，地主中计了吗？
到底谁吃亏了？问题2：这个月，农夫一共要给地主多少斤米？问题3：这个月，地主一共要给农夫多少斤米？
（1000粒米约40克）40×30=1200（斤）地主中计米粒的总数为:智慧来源于积极思考！启示：这个故事告诉我们不贪图眼前小利，把目光放长远！(八)问题解决学会理性思考，学好数学！(九)课堂小结1. 一个公式：2. 两种方法：3. 三种数学思想：这节课我们主要学到了什么？错位相减解方程类比方程分类讨论2.课外思考题：(十)作业布置(2)请从等比数列定义的两种形式出发，分别用不同的方法推导出等比数列前n项和的公式: 形式①形式②(1)求数列 的前n项和1.必做题：P61——A组 1、2、3例1.求和：①在等比数列中，已知 中的三个，可求另外两个。变式2 填空：反思总结:②如果不能用公式直接求出某个量，就要建立方程组来求解。96189515.5-476.511.5-65知三求二等比数列的前n项和练习1等比数列的前n项和练习21. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和. 从第5项到第10项的和: 2. 求等比数列 从第3项到第7项的和. 从第3项到第7项的和:课件38张PPT。等差数列与等比数列对比记忆表 an+1-an=dd 叫公差q叫公比 an= a1+(n-1)d an=a1qn-1 an=am+(n-m)d an=amqn-m等差数列与等比数列对比记忆表a，a+d，a+2da, aq, aq2或a-3d，a-d，a+d， a+3dm+n=p+q an+am=ap+aqm+n=p+q anam=apaq等差数列与等比数列对比记忆表数列求和S=a+b+c+d+e+f+g+h数列求和介绍求一个数列的前 n 项和的几种方法：1、运 用 公 式 法2、错 位 相 减 法3、裂 项 相 消 法4、分组求和 法5、倒序相加 法一、运用公式法 运用公式法主要是使用已经证明，并承认其在解决其他问题时可以使用的公式来进行数列求和。如：等差数列的求和公式：等比数列的求和公式：还有一些常用公式：数例1 求数列 的前n项和分析：由这个数列的前五项可看出该数列是由一个首项为1、公差为2的等差数列与一个首项为 、公比为 的等比数列的和数列。所以它的前n项和可看作一个等差数列的前 n项和与一个等比数列的前n项和的和。解：归纳出：奇数列的前n项和列求和1分组求和 法 , + n 1 练习1:求数列 + 2 3 , + 的前n项和 。 ... , 2 , +cn=an+bn({an}、{bn}为等差或等比数列。）分组求和法的反思与小结：
要善于从通项公式中看本质：一个等差{n} ＋一个等比{2n} ，另外要特别观察通项公式，如果通项公式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题。 练习2.求数列2+3, 22 +32 , 23 +33 , ……, 2n +3n 的前n项和。 二、错 位 相 减 法 错位相减法在推导等比数列求前 n项和时用过；它主要用于由一个等差数列与一个等比数列的积数列求和。求法步骤如下：1、在 的两边同时乘于公比q2、两式相减 ；左边为 ，右边q的同次式相减3、右边去掉最后一项（有时还得去掉第一项）剩下的
各项组成等比数列，可用公式求和。看以下例子数列求和例2 求数列 的前n项和 考一本第19课时分析：该数列可看作等差数列 等比数列 的积数列这里等比数列的公比 q =解：两式相减：所以：运算整理得：数列求和2例3 设 ,求数列 的前n项和 分析： 这个数列的每一项都含有a，而a等于1或不等于1，对数列求和有本质上的不同，所以解题时需进行分类讨论解：两边同乘a:两式相减：所以：运算并整理得：数列求和2cn=an·bn({an}为等差数列,{bn}为等比数列)二、错位相减求和法 小结练习题 考一本P53 习题三、裂 项 相 消 法 顾名思义，“裂项相消法”就是把数列的项拆成几项，然后，前后交叉相消为0达到求和目的的一种求和方法。求 法 步 骤1、先分析数列的项的结构，把通项式“裂”成几项。（注意：裂开后的通项式当n=k和n=k+d时有相消为0的情况出现才行）2、解题时；对裂开后的通项式令n取1，2，3，,n然后相加得3、把和式中每一对相消为0的式子除去，整理剩下的
式子即为和式。请 看 下 面 例 子数列求和例4 求数列 的前n 项和。分析：该数列的特征是：分子都是1，分母是一个以1为首项，以3为公差的等差数列的相邻两项的乘积。只要分子变为公差3，就可以裂项了。解：数列求和3例5 求数列 的前n项和分析： 该数列的分子是偶数的平方，分母是奇数列相邻两项的乘积；从例4的经验看：该数列求和使用“裂项相消法”的可能性较大，那就看分子能否化为常数。注意到该数列的通项公式的特征：分子、分母同次且没有一次项；
所以使用处理分式函数的常用手段：“分离常数法”即可把分子化为常数。变化如下：数列求和3解：共 n 项数列求和3（数列{an}是等差数列）三、裂项相消求和法 小结注意裂项相消法的关键：
将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。常见的拆项公式：练习：（求和） 求和：四、倒序相加法教材P40等差数列前n项的和公式推导即为此法！例1：已知lg(xy)=a,
求Ｓ＝lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+…+lgyn与首尾两项等距的两项之和等于首尾两项之和，则可先将Sn顺着写，再将Sn倒着写，最后将两个Sn相加。Ｓ＝lgyn+lg(xyn-1)+lg(x2yn-2)+…+lgxn2Ｓ＝lg(xy)n +lg(xy)n +lg(xy)n +…+lg(xy)n
＝(n+1)lg(xy)n ＝ n(n+1)lgxy
Ｓ＝n(n+1)a/2a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
考一本P53 变式训练4练习：
1. 求数列 前n项和
2. 求数列 的前n项和
3. 求和：
4. 求和：1×4+2×5+3×6+…+n×(n + 3)
5. 求数列1，(1+a)，(1+a+a2)，…，
(1+a+a2+…+an?1)，…的前n项和. 学有所思举 一 返 三下次再见四、通 项 分 析 法 通项分析法就是根据前面学过的运用公式法、错位相减法、裂项相消法为基础，对数列的通项公式进行分析，从而决定使用那种方法求和。求 法 步 骤1、确定所求和数列的通项公式，必要时，注意使用由已 知数列的前几项，求这数列的一个通项公式的方法2、分析通项公式时，在确定首项、末项、及项数的同时
还要分析清楚是那些数列的和、差、积、商数列。 请 看 下 面 例 子数列求和例7 求数列 的前n项和分析：由数列的结构来分析，该数列的第k项应该是：通过分析可知：该数列是以 为首项，以 为末项，共有n项的数列。从通项公式的结构来分析，该数列是一个以2为首项，以2为公比的等比数列与一个常数列的差数列。所以它的前n项和是一个等比数列的前n项和与一个常数为1的常数列的前 n项和的差。通过这样分析，确定解题方向就方便了解：数列求和4例8 求和 分析：这个数列是数列1，2，3. . . n与它的倒序数列的积数列，共有n项，在这里把n看成常数来分析它的通项就容易了。(k取从1到n的自然数）所以，该数列可以看作通项为 的三个数列的差、和数列解：数列求和4例9 求数列 前n项和分析：由 所求数列的每一项都是一个等比数列的和，其第k项 通项公式理解清楚后，现在可以就以上三种情况考虑求和了该数列是自然数列，求和容易。n为偶数时n为奇数时此时的和式，转化为求数列的通项公式解：数列求和4分析：( k 取1，2，3、、、n)所以：数列求和4分析：所以：每一项由三个连续自然数的积组成，前后两项有两个因子相同，很自然联想使用裂项相消求和。对例10的两种解法进行归纳可以清楚看到平时练习时有意识的经验积累，在关键时产生联想是很有帮助的。 数列求和4例11 设等差数列 的前n项为 ，且 ，
若 ，求数列 的前n项和 分析：由已知该数列是等差数列且已知 ，所以必能求出通项和前n项和 这样确定 就没问题了。 1、2、3、现在来边解题边研究解：数列求和4分析：所以：求和时，先分n为奇，偶数进行讨论，后考虑并合。所以：数列求和4
