冀教版数学八年级上册期末检测卷（三）
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2025八上·固安期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·唐县期末）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性
3．（2024八上·东光月考）如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·迁安期中）如图是嘉琪同学在作业中计算的过程，作业是从第几步开始出现错误（ ）
嘉琪的作业 ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
5．（2025八上·石家庄月考）下列命题内错角相等，两直线平行；若，则；末位数字是的数，能被整除；对顶角相等．原命题和逆命题均是真命题的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．（2025八上·石家庄月考）下面是马小虎的答卷，他的得分应是（ ）
判断题（每小题分，共分）
（1）代数式，是分式．（ ）
（2）当时，分式无意义．（ ）
（3）不是最简分式．（ ）
（4）若分式的值为，则的值为．（ ）
（5）分式中，的值均扩大为原来的倍，分式的值保持不变．（ ）
A．分 B．分 C．分 D．分
7．（2025八上·宣化期中）将一把损坏的直尺按如图方式放置在单位长度为1的数轴上，直尺上“”和“” 刻度线分别对应数轴上的和0，那么数轴上x的值可以是（ ）
A． B． C．2 D．
8．（2024八上·石家庄月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2025八上·石家庄月考）甲、乙两个工程队，甲队修路与乙队修路所用的时间相等，乙队每天比甲队多修．若可列方程表示题中的等量关系，则方程中x表示（ ）
A．甲队每天修路的长度 B．乙队每天修路的长度
C．甲队修路所用的天数 D．乙队修路所用的天数
10．（2025八上·石家庄月考）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．（2018八上·涞水期末）当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…，、﹣2、﹣1、0、1、 、 、…、 、 、 时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2015
12．（2024八上·景县期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC中点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点M．过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，则下列结论正确的有（ ）（请填序号）
①△ACD≌△CBF；②∠BDM＝∠ADC；③连接AF，则有△ACF是等边三角形；④连接DF，则有AB垂直平分DF．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④
二、填空题（每题3分，共12分）
13．命题：“三边分别相等的两个三角形全等”的逆命题是
14．（2022八上·丰南期末）已知等腰三角形的一个内角为50°，则顶角为 度．
15．（2021八上·永年期中）关于 的分式方程 有增根，则 的值为 ．
16．（2024八上·双流月考）如图，已知为等边三角形，边长为，点分别是过上的动点，点从点开始沿射线方向运动，同时点从点开始沿射线方向运动，点运动速度始终是点运动速度的倍，以为边向右侧作等边三角形．点是边的中点，连接，则的最小值为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025八上·石家庄月考）解方程：
（1）；
（2）．
18．（2025八上·永康期中） 如图， AE ⊥ BD， CF ⊥ BD， 垂足分别为E， F， BF=DE， AE=CF.求证：△ABE≌△CDF
19．（2025八上·杭州期末）已知x＝；
（1）求x2+y2﹣xy的值；
（2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求（a+b）2+的值．
20．（2024八上·九台期中）某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度．他们是这样做的：
①在河流的岸边点B处，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直行处有一棵树C，继续前行到达点D处；
③从点D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时，停止行走；
④测得的长为．
根据测量数据求河的宽度．
21．（2025八上·拱墅期末）如图，在中，，，是斜边上的高线，是斜边上的中线．
（1）若，求证：．
（2）若，求的长．
22．（2025八上·兰州期中）阅读下列材料，并回答问题
；
；
；
…
（1）填空： ；
（2）观察上述算式规律，请直接写出算式（n是正整数）的结果；
（3）计算：（提示：）．
23．（2025八上·路桥期末）某农场将800千克的葡萄平均分给甲、乙两家水果店销售，甲店不分类直接销售，乙店分为小、中、大果进行销售，其中小果免费品尝，大果的售价是中果的倍，两家水果店的销售信息如表所示．已知用60元钱在乙店购买中果的质量比购买大果的质量多0.5千克，当甲、乙两家水果店的葡萄全部售完时，乙店的总售价比甲店多260元．
水果店 销售方式 质量 单价
甲 不分类 400千克 25元／千克
乙 小果 免费
中果 240千克
大果
（1）乙店大果和中果的售价各是多少元／千克？
（2）求乙店小果的质量；
（3）若甲店先以元／千克的批发价售卖千克的葡萄，再以元／千克的零售价卖完剩下的葡萄，总售价恰好与乙店相等，若均为正整数，求的值．
24．（2025八上·宝安期末）如图1是第七届国际数学教育大会会徽，它可以近似地看成由一组具有公共顶点的“螺旋式直角三角形”演化而来。数学兴趣小组对图形的生成过程很感兴趣，尝试研究其蕴藏的秘密。如图2所示，他们选取四个直角三角形做进一步的探究，其中AB=BC=CD=DE=EF，
（1）若，则 ， ；
（2）数学小组准备绘制具有公共顶点的两个＂螺旋式直角三角形＂，如图3所示，Rt中，，射线于点，请在射线NP上作点，连接GK，使得。（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（3）数学小组在（2）的条件下继续进行探究，将Rt绕点按逆时针方向旋转得到Rt（如图4），连接，若的面积为2，求的度数。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图形，该图形沿某条直线折叠时，直线两旁部分能重合，是轴对称图形；但将其绕某点旋转180°后，无法与原图形重合，不是中心对称图形，因此A不符合要求；
B、图形，该图形既不存在一条直线使折叠后两旁部分重合（不是轴对称图形），也不存在某点旋转180°后与原图形重合（不是中心对称图形），因此B不符合要求；
C、图形，该图形绕某点旋转180°后能与原图形重合（是中心对称图形），但不存在一条直线使折叠后两旁部分重合（不是轴对称图形），因此C不符合要求；
D、图形，该图形存在多条直线，沿这些直线折叠时两旁部分能重合（是轴对称图形）；同时绕其中心旋转180°后也能与原图形重合（是中心对称图形），因此D符合要求。
综上，既是轴对称图形又是中心对称图形的是D。
故选：D．
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的定义，再依据定义对每个选项逐一分析，找出同时满足两种图形特征的选项。轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2．【答案】D
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是：三角形具有稳定性；
故答案为：D．
【分析】人字梯中间一般会设计一“拉杆”，根据三角形具有稳定性，进行判断即可．
3．【答案】B
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由图可知，左上角和左下角可测量，为已知条件，
两角的夹边也可测量，为已知条件，
故可根据即可得到与原图形全等的三角形，即小亮画图的依据是，
故选：B．
【分析】根据图形两角及夹边是已知条件，利用ASA可得结论．
4．【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
．
所以观察嘉琪的作业步骤，发现从第二步开始出现错误，计算时不应去分母．
故选：B．
【分析】根据分式的减法即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：内错角相等，两直线平行，是真命题，
它的逆命题是：两直线平行，内错角相等，也是真命题，故符合题意；
若，则，是真命题，
它的逆命题是：若，则，为假命题，
例如：若，但是，故不符合题意；
末位数字是的数，能被整除，是真命题，
它的逆命题是：能被整除的数，末位数字是，为假命题，
例如：能被整除，末位数字不是，故不符合题意；
命题：对顶角相等，是真命题，
它的逆命题是：相等的角是对顶角，为假命题，
如下图所示，
，
但是和不是对顶角，
故不符合题意．
综上所述，原命题和逆命题均是真命题的个数是个．
故选：A．
【分析】先判断原命题是否为真命题，再写出原命题的逆命题，并判断真假，求解即可．
6．【答案】B
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；最简分式的概念
【解析】【解答】解：代数式是整式不是分式，故错误，
马小虎回答错误；
当时，分式的分母为，分式无意义，故正确，
马小虎回答正确；
的分子、分母没有公因式，
是最简分式，故错误，
马小虎回答正确；
（4）若分式的值为，则，解得：，故错误，
马小虎回答错误；
分式中，的值均扩大为原来的倍，
则新的分式为
分式的值扩大了倍，故错误，
马小虎回答正确．
综上，马小虎答对了道题，应得分分.
故选：B．
【分析】根据分式的概念判断 （1）；根据分式有意义的条件判断（2）；根据最简分式的定义判断（3）；根据分式为零的条件判断（4）；根据分式的性质判断（5），再根据题意求解即可．
7．【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：数轴上x的值在刻度尺的和之间，
由题意可得，数轴上x的值的取值范围是，
∵，，，
故数轴上x的值最有可能是．
故选：D．
【分析】
从图中可以看出，x的值在刻度尺的“5 cm”和“6 cm”之间，所以x的值在数轴上的2和3之间，接下来再利用无理数大小估计的方法逐一分析选项即可求解．
8．【答案】D
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
∴原式，
故选：．
【分析】由题意可得，则，化简代数值，再整体代入即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：乙队每天比甲队多修，则表示乙队每天修路的长度，
即方程中x表示甲队每天修路的长度，
故答案为：A．
【分析】利用“乙队每天比甲队多修 ”分析可得x表示甲队每天修路的长度，从而得解.
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：平移距离为，
，
由平移的性质可知，
，
，
，
两个直角三角形可以重叠在一起，
，
，
．
故选：C．
【分析】
先根据平移的性质得出，结合已知，利用线段的和差可得，然后根据梯形的面积公式可得：，再通过面积的等量代换（两个三角形面积相等，重叠部分相同，故阴影面积等于梯形面积），即可得出。
11．【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：设a为负整数．
∵当x=a时，分式的值= ，当x= 时，分式的值= = ，
∴当x=a时与当x= 时两分式的和= + =0．
∴当x的值互为负倒数时，两分式的和为0．
∴所得结果的和= =﹣1．
故答案为：A．
【分析】算几个特殊值，可观察出规律，最中间的x=0时，值为-1，其他项合并为0.
12．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
故①正确；
，，
，
，
，
∴
D为中点，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
故②正确；
连接，
，
，
在中，，
，
不可能是等边三角形，
故③错误；
，
，，
点M、B在线段的垂直平分线上，
垂直平分，
故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．
故答案为：B.
【分析】根据ASA证明，根据SAS证明，得出，即可证明；由得出，根据，得出，证明不可能是等边三角形；由得出，，可以说明点M、B在线段的垂直平分线上，证明垂直平分。
13．【答案】如果两个三角形全等，那么对应的三边相等
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：∵原命题的条件是：三角形的三边分别相等，结论是：该三角形是全等三角形．
∴其逆命题是：如果两个三角形全等，那么对应的三边相等．
故答案为：如果两个三角形全等，那么对应的三边相等．
【分析】将原命题的条件与结论互换即可得到其逆命题．
14．【答案】50或80
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：此题要分情况考虑：
①50°是它的顶角；
②50°是它的底角，则顶角是．
故答案为：50或80．
【分析】分类讨论：①50°是它的顶角；②50°是它的底角，再利用三角形的内角和求解即可.
15．【答案】3
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】由题意知，分式方程的增根为x=2
分式方程去分母得：m－3=x－2
把x=2代入上述整式方程中，解得m=3
故答案为：3
【分析】先求出分式方程的增根为x=2，再求出m－3=x－2，最后计算求解即可。
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】解：∵点运动速度始终是点运动速度的倍，∴设，则，，
如图，在上截取，连接，，
则，，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴
作射线，如图所示，
在中，，，，
取的中点，连接，
则，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是的角平分线，
即：点在的角平分线上运动，
如图所示，作于，此时，最小，
∵是的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】在上截取，连接，，根据SAS证得，从而得出HF=BE，DHF=B=60°，从而得出FHC=60°，即可得出为等边三角形，再证明平分， 即：点在的角平分线上运动， 根据垂线段最短，可 作于，此时，最小， 即可求出的最小值．
17．【答案】（1）解：（1）解方程
．
方程两边同乘，得：
展开并整理：，即，解得．
检验：当时，，
所以是原分式方程的解；
（2）解：解方程
方程两边同乘，得：
展开并整理：，即，解得．
检验：当时，，
所以是增根，原分式方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
（2）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
（1）解：（1）解方程
．
方程两边同乘，得：
展开并整理：，即，解得．
检验：当时，，
所以是原分式方程的解；
（2）解：解方程
方程两边同乘，得：
展开并整理：，即，解得．
检验：当时，，
所以是增根，原分式方程无解．
18．【答案】证明：∵ AE ⊥ BD， CF ⊥ BD，
∴∠DFC=∠AEB=90°，
∴ BF=DE，
∴ BF+EF=DE+EF，
∴DF=BE，
在△ABE和△CDF中
∵
∴ △ABE≌△CDF （SAS）.
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据“SAS”证明 △ABE≌△CDF .
19．【答案】解：（1）∵x=，
∴x+y=（2－）+（2+）=4，
xy=（2－）×（2+）=4－3=1，
∴x2+y2－xy
=（x+y）2－3xy
=42－3×1
=16－3
=13；
（2）∵1，
∴b＝2+－3＝－1，
∴a＝2－，
∴a+b＝（2－）+（－1）＝1，
a－b＝（2－）－（－1）＝3－2＝3－＜0，
∴（a+b）2+＝12+|3－2|
=1+2－3
=2－2．
【知识点】无理数的估值；分母有理化；二次根式的化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）先分母有理化，求出x、y值，求出x+y和xy的值，再代入求出即可；
（2）求出a、b的值，再求出a+b和a-b的值，再代入求出即可．
20．【答案】解：由题意知，，
在和中，
，
∴，
，
∵，
∴，
答：河宽为．
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【分析】由题意知，，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
21．【答案】（1）证明：在中，，是斜中线，
，
，，
，
是等边三角形，
，；
（2）解：，，
，，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】
（1）先由线段垂直平分线的性质可得CB＝CE、再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE＝BE，即可证是等边三角形，则，最后由直角三角形两锐角互余即可得；
（2）先利用线段的和差倍积关系求出AB，再由直角三角形斜边上的中线性质求出CE和AE，则ED可求，最后再利用勾股定理即可．
（1）证明：因为在中，，是斜中线，
所以，
因为，，
所以，所以是等边三角形，
所以，；
（2）解：因为，，
所以，，
所以，
由勾股定理，可得．
22．【答案】（1）
（2）
（3）解：
．
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：（1）根据材料中的方法，分子分母同乘：
原式=
=
=
=（）
（2）根据材料中的方法，分子分母同乘：
原式=
=
=
【分析】 （1）根据材料中的方法，分子分母同乘，然后利用平方差公式化简分母即可；
（2）根据材料中的方法，分子分母同乘，然后利用平方差公式化简分母即可；
（3）通过分母有理化将通项转化为裂项形式（如)，利用相邻项相消的特性简化求和即可；
23．【答案】（1）解：设乙店中的中果的售价为元/千克，则大果的售价为元/千克，
则，
解得
经检验，是方程的解且符合题意，
，
答；乙店中的大果的售价为元/千克，中果的售价为元/千克；
（2）解：设乙店的大果有千克，则，
解得，
∴，
答：乙店小果的质量为千克；
（3）解：由题意可得，
方程可化为，
∵均为正整数，，
∴.
【知识点】二元一次方程的解；一元一次方程的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）可设乙店中的中果的售价为元/千克，则大果的售价为元/千克，再根据等量关系“ 用60元钱在乙店购买中果的质量比购买大果的质量多0.5千克 ”列分式方程，再解方程并检验即可；
（2）设乙店的大果有千克，再根据等量关系“乙店的总售价比甲店多260元”列方程并求解即可；
（3）根据等量关系“ 总售价恰好与乙店相等 ”列方程关于二元一次方程并求其满足条件的正整数解即可．
（1）解：设乙店中的中果的售价为元/千克，则大果的售价为元/千克，
则，
解得
经检验，是方程的解且符合题意，
，
答；乙店中的大果的售价为元/千克，中果的售价为元/千克；
（2）设乙店的大果有千克，
则，
解得，
∴，
答：乙店小果的质量为千克；
（3）由题意可得，
方程可化为，
∵均为正整数，，
∴
24．【答案】（1）；
（2）解：如图所示，GK为所作
方法一：
方法二：
（3）解：过点作于点已知
的面积为于点
①如图1，当90°
a+45°=90°+45
a=90
②如图2，当180°≤a+45°<270°时，
a+45°=270°-45°
a=180
③如图3，当270°≤a+45°<360°时，
a+45°=270°+45°
a=270°
综上所述，a的度数是90°，180°或270°
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（1），，
．
同理，，
．
故答案为：，
【分析】（1）根据勾股定理结合题意即可求解；
（2）方法一：作的中垂线，作，进而即可求解；
方法二：作的中垂线，作，进而即可求解；
（3）过点作于点，根据题意得到，进而运用勾股定理得到
，，从而根据三角形的面积得到M'H，再根据勾股定理求出NH，从而根据等腰直角三角形的性质得到，进而分类讨论：①当90°1 / 1冀教版数学八年级上册期末检测卷（三）
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2025八上·固安期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图形，该图形沿某条直线折叠时，直线两旁部分能重合，是轴对称图形；但将其绕某点旋转180°后，无法与原图形重合，不是中心对称图形，因此A不符合要求；
B、图形，该图形既不存在一条直线使折叠后两旁部分重合（不是轴对称图形），也不存在某点旋转180°后与原图形重合（不是中心对称图形），因此B不符合要求；
C、图形，该图形绕某点旋转180°后能与原图形重合（是中心对称图形），但不存在一条直线使折叠后两旁部分重合（不是轴对称图形），因此C不符合要求；
D、图形，该图形存在多条直线，沿这些直线折叠时两旁部分能重合（是轴对称图形）；同时绕其中心旋转180°后也能与原图形重合（是中心对称图形），因此D符合要求。
综上，既是轴对称图形又是中心对称图形的是D。
故选：D．
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的定义，再依据定义对每个选项逐一分析，找出同时满足两种图形特征的选项。轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2．（2024八上·唐县期末）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性
【答案】D
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是：三角形具有稳定性；
故答案为：D．
【分析】人字梯中间一般会设计一“拉杆”，根据三角形具有稳定性，进行判断即可．
3．（2024八上·东光月考）如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由图可知，左上角和左下角可测量，为已知条件，
两角的夹边也可测量，为已知条件，
故可根据即可得到与原图形全等的三角形，即小亮画图的依据是，
故选：B．
【分析】根据图形两角及夹边是已知条件，利用ASA可得结论．
4．（2024八上·迁安期中）如图是嘉琪同学在作业中计算的过程，作业是从第几步开始出现错误（ ）
嘉琪的作业 ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
．
所以观察嘉琪的作业步骤，发现从第二步开始出现错误，计算时不应去分母．
故选：B．
【分析】根据分式的减法即可求出答案.
5．（2025八上·石家庄月考）下列命题内错角相等，两直线平行；若，则；末位数字是的数，能被整除；对顶角相等．原命题和逆命题均是真命题的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：内错角相等，两直线平行，是真命题，
它的逆命题是：两直线平行，内错角相等，也是真命题，故符合题意；
若，则，是真命题，
它的逆命题是：若，则，为假命题，
例如：若，但是，故不符合题意；
末位数字是的数，能被整除，是真命题，
它的逆命题是：能被整除的数，末位数字是，为假命题，
例如：能被整除，末位数字不是，故不符合题意；
命题：对顶角相等，是真命题，
它的逆命题是：相等的角是对顶角，为假命题，
如下图所示，
，
但是和不是对顶角，
故不符合题意．
综上所述，原命题和逆命题均是真命题的个数是个．
故选：A．
【分析】先判断原命题是否为真命题，再写出原命题的逆命题，并判断真假，求解即可．
6．（2025八上·石家庄月考）下面是马小虎的答卷，他的得分应是（ ）
判断题（每小题分，共分）
（1）代数式，是分式．（ ）
（2）当时，分式无意义．（ ）
（3）不是最简分式．（ ）
（4）若分式的值为，则的值为．（ ）
（5）分式中，的值均扩大为原来的倍，分式的值保持不变．（ ）
A．分 B．分 C．分 D．分
【答案】B
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；最简分式的概念
【解析】【解答】解：代数式是整式不是分式，故错误，
马小虎回答错误；
当时，分式的分母为，分式无意义，故正确，
马小虎回答正确；
的分子、分母没有公因式，
是最简分式，故错误，
马小虎回答正确；
（4）若分式的值为，则，解得：，故错误，
马小虎回答错误；
分式中，的值均扩大为原来的倍，
则新的分式为
分式的值扩大了倍，故错误，
马小虎回答正确．
综上，马小虎答对了道题，应得分分.
故选：B．
【分析】根据分式的概念判断 （1）；根据分式有意义的条件判断（2）；根据最简分式的定义判断（3）；根据分式为零的条件判断（4）；根据分式的性质判断（5），再根据题意求解即可．
7．（2025八上·宣化期中）将一把损坏的直尺按如图方式放置在单位长度为1的数轴上，直尺上“”和“” 刻度线分别对应数轴上的和0，那么数轴上x的值可以是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：数轴上x的值在刻度尺的和之间，
由题意可得，数轴上x的值的取值范围是，
∵，，，
故数轴上x的值最有可能是．
故选：D．
【分析】
从图中可以看出，x的值在刻度尺的“5 cm”和“6 cm”之间，所以x的值在数轴上的2和3之间，接下来再利用无理数大小估计的方法逐一分析选项即可求解．
8．（2024八上·石家庄月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
∴原式，
故选：．
【分析】由题意可得，则，化简代数值，再整体代入即可求出答案.
9．（2025八上·石家庄月考）甲、乙两个工程队，甲队修路与乙队修路所用的时间相等，乙队每天比甲队多修．若可列方程表示题中的等量关系，则方程中x表示（ ）
A．甲队每天修路的长度 B．乙队每天修路的长度
C．甲队修路所用的天数 D．乙队修路所用的天数
【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：乙队每天比甲队多修，则表示乙队每天修路的长度，
即方程中x表示甲队每天修路的长度，
故答案为：A．
【分析】利用“乙队每天比甲队多修 ”分析可得x表示甲队每天修路的长度，从而得解.
10．（2025八上·石家庄月考）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：平移距离为，
，
由平移的性质可知，
，
，
，
两个直角三角形可以重叠在一起，
，
，
．
故选：C．
【分析】
先根据平移的性质得出，结合已知，利用线段的和差可得，然后根据梯形的面积公式可得：，再通过面积的等量代换（两个三角形面积相等，重叠部分相同，故阴影面积等于梯形面积），即可得出。
11．（2018八上·涞水期末）当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…，、﹣2、﹣1、0、1、 、 、…、 、 、 时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2015
【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：设a为负整数．
∵当x=a时，分式的值= ，当x= 时，分式的值= = ，
∴当x=a时与当x= 时两分式的和= + =0．
∴当x的值互为负倒数时，两分式的和为0．
∴所得结果的和= =﹣1．
故答案为：A．
【分析】算几个特殊值，可观察出规律，最中间的x=0时，值为-1，其他项合并为0.
12．（2024八上·景县期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC中点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点M．过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，则下列结论正确的有（ ）（请填序号）
①△ACD≌△CBF；②∠BDM＝∠ADC；③连接AF，则有△ACF是等边三角形；④连接DF，则有AB垂直平分DF．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
故①正确；
，，
，
，
，
∴
D为中点，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
故②正确；
连接，
，
，
在中，，
，
不可能是等边三角形，
故③错误；
，
，，
点M、B在线段的垂直平分线上，
垂直平分，
故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．
故答案为：B.
【分析】根据ASA证明，根据SAS证明，得出，即可证明；由得出，根据，得出，证明不可能是等边三角形；由得出，，可以说明点M、B在线段的垂直平分线上，证明垂直平分。
二、填空题（每题3分，共12分）
13．命题：“三边分别相等的两个三角形全等”的逆命题是
【答案】如果两个三角形全等，那么对应的三边相等
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：∵原命题的条件是：三角形的三边分别相等，结论是：该三角形是全等三角形．
∴其逆命题是：如果两个三角形全等，那么对应的三边相等．
故答案为：如果两个三角形全等，那么对应的三边相等．
【分析】将原命题的条件与结论互换即可得到其逆命题．
14．（2022八上·丰南期末）已知等腰三角形的一个内角为50°，则顶角为 度．
【答案】50或80
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：此题要分情况考虑：
①50°是它的顶角；
②50°是它的底角，则顶角是．
故答案为：50或80．
【分析】分类讨论：①50°是它的顶角；②50°是它的底角，再利用三角形的内角和求解即可.
15．（2021八上·永年期中）关于 的分式方程 有增根，则 的值为 ．
【答案】3
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】由题意知，分式方程的增根为x=2
分式方程去分母得：m－3=x－2
把x=2代入上述整式方程中，解得m=3
故答案为：3
【分析】先求出分式方程的增根为x=2，再求出m－3=x－2，最后计算求解即可。
16．（2024八上·双流月考）如图，已知为等边三角形，边长为，点分别是过上的动点，点从点开始沿射线方向运动，同时点从点开始沿射线方向运动，点运动速度始终是点运动速度的倍，以为边向右侧作等边三角形．点是边的中点，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】解：∵点运动速度始终是点运动速度的倍，∴设，则，，
如图，在上截取，连接，，
则，，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴
作射线，如图所示，
在中，，，，
取的中点，连接，
则，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是的角平分线，
即：点在的角平分线上运动，
如图所示，作于，此时，最小，
∵是的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】在上截取，连接，，根据SAS证得，从而得出HF=BE，DHF=B=60°，从而得出FHC=60°，即可得出为等边三角形，再证明平分， 即：点在的角平分线上运动， 根据垂线段最短，可 作于，此时，最小， 即可求出的最小值．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025八上·石家庄月考）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：（1）解方程
．
方程两边同乘，得：
展开并整理：，即，解得．
检验：当时，，
所以是原分式方程的解；
（2）解：解方程
方程两边同乘，得：
展开并整理：，即，解得．
检验：当时，，
所以是增根，原分式方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
（2）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
（1）解：（1）解方程
．
方程两边同乘，得：
展开并整理：，即，解得．
检验：当时，，
所以是原分式方程的解；
（2）解：解方程
方程两边同乘，得：
展开并整理：，即，解得．
检验：当时，，
所以是增根，原分式方程无解．
18．（2025八上·永康期中） 如图， AE ⊥ BD， CF ⊥ BD， 垂足分别为E， F， BF=DE， AE=CF.求证：△ABE≌△CDF
【答案】证明：∵ AE ⊥ BD， CF ⊥ BD，
∴∠DFC=∠AEB=90°，
∴ BF=DE，
∴ BF+EF=DE+EF，
∴DF=BE，
在△ABE和△CDF中
∵
∴ △ABE≌△CDF （SAS）.
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据“SAS”证明 △ABE≌△CDF .
19．（2025八上·杭州期末）已知x＝；
（1）求x2+y2﹣xy的值；
（2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求（a+b）2+的值．
【答案】解：（1）∵x=，
∴x+y=（2－）+（2+）=4，
xy=（2－）×（2+）=4－3=1，
∴x2+y2－xy
=（x+y）2－3xy
=42－3×1
=16－3
=13；
（2）∵1，
∴b＝2+－3＝－1，
∴a＝2－，
∴a+b＝（2－）+（－1）＝1，
a－b＝（2－）－（－1）＝3－2＝3－＜0，
∴（a+b）2+＝12+|3－2|
=1+2－3
=2－2．
【知识点】无理数的估值；分母有理化；二次根式的化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）先分母有理化，求出x、y值，求出x+y和xy的值，再代入求出即可；
（2）求出a、b的值，再求出a+b和a-b的值，再代入求出即可．
20．（2024八上·九台期中）某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度．他们是这样做的：
①在河流的岸边点B处，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直行处有一棵树C，继续前行到达点D处；
③从点D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时，停止行走；
④测得的长为．
根据测量数据求河的宽度．
【答案】解：由题意知，，
在和中，
，
∴，
，
∵，
∴，
答：河宽为．
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【分析】由题意知，，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
21．（2025八上·拱墅期末）如图，在中，，，是斜边上的高线，是斜边上的中线．
（1）若，求证：．
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：在中，，是斜中线，
，
，，
，
是等边三角形，
，；
（2）解：，，
，，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】
（1）先由线段垂直平分线的性质可得CB＝CE、再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE＝BE，即可证是等边三角形，则，最后由直角三角形两锐角互余即可得；
（2）先利用线段的和差倍积关系求出AB，再由直角三角形斜边上的中线性质求出CE和AE，则ED可求，最后再利用勾股定理即可．
（1）证明：因为在中，，是斜中线，
所以，
因为，，
所以，所以是等边三角形，
所以，；
（2）解：因为，，
所以，，
所以，
由勾股定理，可得．
22．（2025八上·兰州期中）阅读下列材料，并回答问题
；
；
；
…
（1）填空： ；
（2）观察上述算式规律，请直接写出算式（n是正整数）的结果；
（3）计算：（提示：）．
【答案】（1）
（2）
（3）解：
．
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：（1）根据材料中的方法，分子分母同乘：
原式=
=
=
=（）
（2）根据材料中的方法，分子分母同乘：
原式=
=
=
【分析】 （1）根据材料中的方法，分子分母同乘，然后利用平方差公式化简分母即可；
（2）根据材料中的方法，分子分母同乘，然后利用平方差公式化简分母即可；
（3）通过分母有理化将通项转化为裂项形式（如)，利用相邻项相消的特性简化求和即可；
23．（2025八上·路桥期末）某农场将800千克的葡萄平均分给甲、乙两家水果店销售，甲店不分类直接销售，乙店分为小、中、大果进行销售，其中小果免费品尝，大果的售价是中果的倍，两家水果店的销售信息如表所示．已知用60元钱在乙店购买中果的质量比购买大果的质量多0.5千克，当甲、乙两家水果店的葡萄全部售完时，乙店的总售价比甲店多260元．
水果店 销售方式 质量 单价
甲 不分类 400千克 25元／千克
乙 小果 免费
中果 240千克
大果
（1）乙店大果和中果的售价各是多少元／千克？
（2）求乙店小果的质量；
（3）若甲店先以元／千克的批发价售卖千克的葡萄，再以元／千克的零售价卖完剩下的葡萄，总售价恰好与乙店相等，若均为正整数，求的值．
【答案】（1）解：设乙店中的中果的售价为元/千克，则大果的售价为元/千克，
则，
解得
经检验，是方程的解且符合题意，
，
答；乙店中的大果的售价为元/千克，中果的售价为元/千克；
（2）解：设乙店的大果有千克，则，
解得，
∴，
答：乙店小果的质量为千克；
（3）解：由题意可得，
方程可化为，
∵均为正整数，，
∴.
【知识点】二元一次方程的解；一元一次方程的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）可设乙店中的中果的售价为元/千克，则大果的售价为元/千克，再根据等量关系“ 用60元钱在乙店购买中果的质量比购买大果的质量多0.5千克 ”列分式方程，再解方程并检验即可；
（2）设乙店的大果有千克，再根据等量关系“乙店的总售价比甲店多260元”列方程并求解即可；
（3）根据等量关系“ 总售价恰好与乙店相等 ”列方程关于二元一次方程并求其满足条件的正整数解即可．
（1）解：设乙店中的中果的售价为元/千克，则大果的售价为元/千克，
则，
解得
经检验，是方程的解且符合题意，
，
答；乙店中的大果的售价为元/千克，中果的售价为元/千克；
（2）设乙店的大果有千克，
则，
解得，
∴，
答：乙店小果的质量为千克；
（3）由题意可得，
方程可化为，
∵均为正整数，，
∴
24．（2025八上·宝安期末）如图1是第七届国际数学教育大会会徽，它可以近似地看成由一组具有公共顶点的“螺旋式直角三角形”演化而来。数学兴趣小组对图形的生成过程很感兴趣，尝试研究其蕴藏的秘密。如图2所示，他们选取四个直角三角形做进一步的探究，其中AB=BC=CD=DE=EF，
（1）若，则 ， ；
（2）数学小组准备绘制具有公共顶点的两个＂螺旋式直角三角形＂，如图3所示，Rt中，，射线于点，请在射线NP上作点，连接GK，使得。（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（3）数学小组在（2）的条件下继续进行探究，将Rt绕点按逆时针方向旋转得到Rt（如图4），连接，若的面积为2，求的度数。
【答案】（1）；
（2）解：如图所示，GK为所作
方法一：
方法二：
（3）解：过点作于点已知
的面积为于点
①如图1，当90°a+45°=90°+45
a=90
②如图2，当180°≤a+45°<270°时，
a+45°=270°-45°
a=180
③如图3，当270°≤a+45°<360°时，
a+45°=270°+45°
a=270°
综上所述，a的度数是90°，180°或270°
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（1），，
．
同理，，
．
故答案为：，
【分析】（1）根据勾股定理结合题意即可求解；
（2）方法一：作的中垂线，作，进而即可求解；
方法二：作的中垂线，作，进而即可求解；
（3）过点作于点，根据题意得到，进而运用勾股定理得到
，，从而根据三角形的面积得到M'H，再根据勾股定理求出NH，从而根据等腰直角三角形的性质得到，进而分类讨论：①当90°1 / 1
