北师大版八年级数学上册期末考试高频考题（含解析）
文档属性
| 名称 | 北师大版八年级数学上册期末考试高频考题（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-09 14:58:52 | ||
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文档简介
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北师大版八年级数学上册期末考试高频考题
一．选择题（共14小题）
1．下列各数：，，，0.1，，2.1010010001…（相邻两个1之间的0的个数逐次加1），3.1234567891011…（小数部分由相继的正整数组成）中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ）
①a＝6，b＝8，c＝10；
②a：b：c＝1：2：2；
③∠A＝32°，∠B＝58°；
④a＝7，b＝24，c＝25．
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
3．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，30，120．这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．120，50 B．50，20 C．50，30 D．50，50
4．某射击运动队进行选拔赛，对甲、乙两名选手的五次射击选拔赛测试成绩进行统计分析，得出，，，．则应确定（ ）去参赛
A．甲 B．乙
C．谁去都一样 D．无法确定
5．下列命题中的假命题是（ ）
A．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c
B．若x2＝y2，则|x|＝|y|
C．立方根等于本身的数有0和±1
D．两直线平行，同旁内角相等
6．已知点（﹣1，y1），（4，y2）在一次函数y＝3x﹣2的图象上，则y1，y2，0的大小关系是（ ）
A．0＜y1＜y2 B．y1＜0＜y2 C．y1＜y2＜0 D．y2＜0＜y1
7．如图，将△ABC沿着DE翻折，使B点与B′点重合，若∠1+∠2＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
8．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．三个正比例函数的表达式分别为①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a
10．如图1，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点．动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（ ）
A．（4，2） B．（4，4） C．（4，2） D．（4，5）
11．如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；……以此类推得到∠A2024，则∠A2024的度数是（ ）
A． B． C． D．
12．A，B两地相距640km，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲车出发1h后，乙车出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距skm，甲车行驶的时间为th，s与t的关系如图所示，下列说法：①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h；②甲车出发4h后被乙车追上；③甲车比乙车晚到；④甲车行驶8h或时，甲、乙两车相距80km．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参加学习．图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S（km）随时间t（分）变化的函数图象．以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了8km后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
14．如图，在长方形ABCD中，点E为AB上一点，且CD＝5，AD＝2，AE＝3，动点P从点E出发，沿路径E﹣B﹣C﹣D运动，则△DPE的面积y与点P运动的路径长x之间的关系用图象表示大致为（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共20小题）
15．的算术平方根是 ．
16．函数y中自变量x的取值范围是 ．
17．已知直角三角形两边的长分别为3cm，4cm，则以第三边为边长的正方形的面积为 ．
18．将命题“对顶角相等”改为“如果…那么…”的形式为： ．
19．小明某学期的数学平时成绩90分，期中考试80分，期末考试95分，若计算学期总评成绩的方法如下：平时：期中：期末＝3：3：4，则小明总评成绩是 分．
20．若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是 ．
21．小明某学期的数学平时成绩70分，期中考试80分，期末考试85分，若计算学期总评成绩的方法如下：平时：期中：期末＝3：3：4，则小明总评成绩是 分．
22．一组从小到大排列的数据：a，2，2，5，5的极差是4，则这组数据的方差为 ．
23．已知点M（m+3，6﹣2m）到x，y轴的距离相等，则点M的坐标为 ．
24．一次函数y＝5x+3的图象沿y轴向下平移2个单位长度后的函数表达式为： ．
25．若最简二次根式与是同类二次根式．则ab＝ ．
26．若，则m﹣20242＝ ．
27．如图，在数轴上点A表示的实数是 ．
28．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2；交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小18．设十位上的数字为x，个位上的数字为y；列方程组为 ．
29．如图，五角星ABCDE的五个内角之和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ 度．
30．对于任意正数m，n，定义运算※如下：m※n计算（3※2）×（8※12）的结果为 ．
31．如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+8的图象相交于点P（m，2），则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
32．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4）、B（6，0）．现将△A0B折叠，使点A落在OB边的中点A′处，折痕为CD，其中点C在y轴上，点D在AB边上，则点C的坐标为 ．
33．如图1，在△ABC中，AB＝AC．动点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C→A匀速运动回到点A．图2是点P运动过程中，线段AP的长度y（单位：cm）随时间t（单位：s）变化的图象，其中点Q为曲线部分的最低点．则图2中m的值为 ．
34．如图，正方形A1B1C1O、A2B2C2C1…按照如图所示的方式放置，点A1、A2、A3、…和点C1、C2、C3、…分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上，已知B1（1，1），B2（3，2），B3（7，4），则B2024的坐标是 ．
三．解答题（共20小题）
35．计算：
（1）；
（2）4；
（3）；
（4）（﹣2）2﹣||．
36．计算：
（1）；
（2）．
37．计算：
（1）
（2）
38．（1）计算：；
（2）计算：；
（3）解方程组；
（4）解方程组．
39．解方程组：．
40．解方程组：
（1）．
（2）已知二元一次方程组的解是，求方程组的解．
41．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后△ABC的顶点均在格点上．
（1）写出点A、B、C的坐标；
（2）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的图形；
（3）求S△ABC．
42．已知三角形的三边长分别为x，y，z，化简：|x﹣y﹣z|+|y+z﹣x|﹣|z﹣x﹣y|．
43．已知点M（3m﹣2，2m+1），解答下列问题：
（1）若点M与（﹣7，﹣7）关于原点对称，求点m的值；
（2）若点N（3，9），且直线MN平行于x轴，求点M的坐标．
44．甘肃省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
甲 10 8 9 8 10 9
乙 10 10 10 9 8
（1）求甲的平均成绩的环数；
（2）已知乙的平均成绩是9环，试计算其第二次测试成绩的环数；
（3）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由．
45．为落实“双减”政策，优化作业管理．某中学在八年级随机抽取部分学生对作业完成时间进行调查，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟），按照完成时间分成五组：A组“t≤45”；B组“45＜t≤60”；C组“60＜t≤75”；D组“75＜t≤90”；E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求本这次调查的总人数．
（2）请补全条形统计图．
（3）求A组人数占本次调查人数的百分比．
（4）在扇形统计图中，B组所对应的圆心角度数为 度．
46．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
47．已知方程组和方程组的解相同，求（2a+b）2024的值．
48．已知：如图，AE⊥BC于M，FG⊥BC于N，∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠D＝∠3+50°，∠CBD＝60°，求∠C的度数．
49．某工厂生产一种产品，当生产数量至少为20吨，但不超过60吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）之间是一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求出y关于x的函数解析式；
（2）如果每吨的成本是4.8万元，求该产品的生产数量．
50．某校七年级400名学生到郊外参加植树活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满：
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
51．综合与实践
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，若∠A＝50°，则∠BPC＝ ．
（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC的度数（用α表示∠BEC）．
（3）如图3，BQ平分外角∠CBM，CQ平分外角∠BCN．试确定∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．
52．综合与探究
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与直线l2交于点A，且点A的横坐标为2，直线l1与x轴交于点B，直线l2与x轴、y轴分别交于点C（4，0），点D．
（1）求直线l2的函数表达式和点D的坐标；
（2）设P（x，y）是直线上一点，当△BCP的面积为10时，求点P的坐标；
（3）直线l2上是否存在一点Q，使得△BCQ是以CQ为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
53．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于D点，AC＝8，OD＝3OC．
（1）求直线CD的解析式；
（2）点Q为直线AB上一动点，若有，请求出Q点坐标；
（3）点M为直线AB上一动点，点N为y轴上一动点，是否存在以点M，N，C为顶点且以MN为直角边的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程，若不存在，请说明理由．
54．【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD⊥DE于点D．过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】已知：直线y＝kx+3（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）如图2，当时，在第一象限构造等腰直角△ABE，∠ABE＝90°；
①直接写出OA＝ ，OB＝ ；
②求点E的坐标；
（2）如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作BN⊥AB，并且BN＝AB，连接ON，问△OBN的面积是否为定值，请说明理由；
（3）【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系内，当k＝﹣3时，设直线l与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线PQ绕P点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．
北师大版八年级数学上册期末考试高频考题
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B D A D B C D C C C
题号 12 13 14
答案 C B C
一．选择题（共14小题）
1．下列各数：，，，0.1，，2.1010010001…（相邻两个1之间的0的个数逐次加1），3.1234567891011…（小数部分由相继的正整数组成）中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：，，2.1010010001…（相邻两个1之间的0的个数逐次加1），3.1234567891011…（小数部分由相继的正整数组成）是无理数，
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ）
①a＝6，b＝8，c＝10；
②a：b：c＝1：2：2；
③∠A＝32°，∠B＝58°；
④a＝7，b＝24，c＝25．
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理解答即可．
【解答】解：①∵a＝6，b＝8，c＝10，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，符合题意；
②∵a：b：c＝1：2：2，
∴a2+c2≠b2，
∴△ABC不是直角三角形，不符合题意；
③∵∠A＝32°，∠B＝58°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，符合题意；
④∵a＝7，b＝24，c＝25，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形；三角形内角和是180°是解题的关键．
3．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，30，120．这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．120，50 B．50，20 C．50，30 D．50，50
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．
【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中50是出现次数最多的，故众数是50；
将这组数据从小到大的顺序排列为：20，30，30，50，50，50，120，处于中间位置的那个数是50，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是50．
故选：D．
【点评】本题为统计题，考查了众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数30当作中位数，因而误选C．
命题立意：本题以给地震灾区捐款为背景，考核了统计概率的相关知识．本题在考核数学知识的基础上向学生渗透爱心教育，是一道很不错的题目．
4．某射击运动队进行选拔赛，对甲、乙两名选手的五次射击选拔赛测试成绩进行统计分析，得出，，，．则应确定（ ）去参赛
A．甲 B．乙
C．谁去都一样 D．无法确定
【分析】根据平均成绩相同，选成绩稳定的参加比赛即可．
【解答】解：从两人平均数看，，
从两人方差看，，方差小成绩发挥稳定，所以应选甲去参加比赛．
故选：A．
【点评】本题考查方差的意义．解决问题的关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．下列命题中的假命题是（ ）
A．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c
B．若x2＝y2，则|x|＝|y|
C．立方根等于本身的数有0和±1
D．两直线平行，同旁内角相等
【分析】根据平行线的性质以及平行公理的推论，平方根与立方根的定义，逐项分析判断，即可求解．
【解答】解：A．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c；原命题是真命题；
B．若x2＝y2，则|x|＝|y|，原命题是真命题；
C．立方根等于本身的数有0和±1，原命题是真命题；
D．两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题．
故选：D．
【点评】本题考查了命题的真假，关键是根据平行线的性质以及平行公理的推论，平方根与立方根的定义解答．
6．已知点（﹣1，y1），（4，y2）在一次函数y＝3x﹣2的图象上，则y1，y2，0的大小关系是（ ）
A．0＜y1＜y2 B．y1＜0＜y2 C．y1＜y2＜0 D．y2＜0＜y1
【分析】根据点的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出y1、y2的值，将其与0比较大小后即可得出结论．
【解答】解：∵点（﹣1，y1），（4，y2）在一次函数y＝3x﹣2的图象上，
∴y1＝﹣5，y2＝10，
∵10＞0＞﹣5，
∴y1＜0＜y2．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据点的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征求出y1、y2的值是解题的关键．
7．如图，将△ABC沿着DE翻折，使B点与B′点重合，若∠1+∠2＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】根据翻折的性质可得∠BED＝∠B'ED，∠BDE＝∠B'DE，结合平角的定义可求解∠BED+∠BDE的度数，再利用三角形的内角和定理可求解∠B的度数．
【解答】解：由翻折可知：∠BED＝∠B'ED，∠BDE＝∠B'DE，
∵∠1+∠BED+∠B'ED＝180°，∠2+∠BDE+∠B'DE＝180°，
∴∠1+2∠BED+∠2+2∠BDE＝360°，
∵∠1+∠2＝80°，
∴2∠BED+2∠BDE＝280°，
∴∠BED+∠BDE＝140°，
∵∠BED+∠BDE+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣140°＝40°．
故选：C．
【点评】本题主要考查翻折问题，三角形的内角和定理，利用翻折的性质得到∠BED＝∠B'ED，∠BDE＝∠B'DE是解题的关键．
8．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设该店有客房x间，房客y人，根据“一房七客多七客，一房八客一房空”得出方程组即可．
【解答】解：设该店有客房x间，房客y人，
根据题意得：，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据题意得出方程组是解决问题的关键．
9．三个正比例函数的表达式分别为①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a
【分析】根据所在象限判断出a、b、c的符号，再根据直线越陡，则|k|越大可得答案．
【解答】解：∵y＝ax，y＝bx的图象都在第一三象限，y＝cx在第二四象限，
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∵直线越陡，则|k|越大，
∴b＞a＞c，
故选：C．
【点评】此题主要考查了正比例函数图象的性质，y＝kx中，当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．同时注意直线越陡，则|k|越大．
10．如图1，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点．动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（ ）
A．（4，2） B．（4，4） C．（4，2） D．（4，5）
【分析】根据图2确定M点的横坐标为AB的长度，纵坐标为BE的长度，然后求值即可．
【解答】解：由题意可知，当点P在边AB上时，y的值先减小后增大，
当点P在边BC上时，y的值逐渐减小，
∴M点的横坐标为AB的长度，纵坐标为BE的长度，
∵AB＝4，EC＝EDAB4＝2，
∴BE2，
∴M（4，2），
故选：C．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，关键是根据图2确定M点的坐标与正方形的边之间的关系．
11．如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；……以此类推得到∠A2024，则∠A2024的度数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，整理即可求出∠A1的度数，同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解．
【解答】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴，，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，
∴，
∴，
∵∠A＝α，
∴；
同理可得，， ，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质，角平分线的定义，熟知三角形的外角的性质是解答此题的关键．
12．A，B两地相距640km，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲车出发1h后，乙车出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距skm，甲车行驶的时间为th，s与t的关系如图所示，下列说法：①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h；②甲车出发4h后被乙车追上；③甲车比乙车晚到；④甲车行驶8h或时，甲、乙两车相距80km．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据函数图象即可得到甲车行驶的速度，甲车出发4小时被追上，则甲、乙两车行驶的路程相等，以此可求出乙车的行驶速度，以此可判断①②；当乙车到达B地时，甲、乙两车相距100km，利用“时间＝路程÷速度”即可判断③；根据甲，乙两车相距80km列出方程，求解即可判断④．
【解答】解：由图可知，甲车的行驶速度为60（km/h），
∵t＝1时，乙车出发，当t＝4时，乙车追上甲车，
∴乙车追上甲车时，行驶的路程为60×4＝240（km），
∴乙车的速度为：80（km/h），故①②正确；
由图可知，当乙车到达B地时，甲、乙两车相距100km，
∴甲车比乙车晚到（h），故③正确；
当乙车未到达B地，两车相距80km时，
根据题意得：60t+80＝80（t﹣1），
解得：t＝8，
当乙车到达B地，两车相距80km时，
根据题意得：60t+80＝640，
解得：t，
∴甲车行驶8h或9h，两车相距80km，故④错误．
故正确的说法有：①②③．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的图象，根据函数图象获取关键的信息，利用行程问题的数量关系列式计算是解题关键．
13．甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参加学习．图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S（km）随时间t（分）变化的函数图象．以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了8km后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，然后根据图象上特殊点的意义进行解答．
【解答】解：①乙在28分时到达，甲在40分时到达，所以乙比甲提前了12分钟到达；故①正确；
②根据甲到达目的地时的路程和时间知：甲的平均速度＝1015（千米/时）；故②正确；
④设乙出发x分钟后追上甲，则有：x（18+x），解得x＝6，故④正确；
③由④知：乙第一次遇到甲时，所走的距离为：66（km），故③错误；
所以正确的结论有三个：①②④，
故选：B．
【点评】读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
14．如图，在长方形ABCD中，点E为AB上一点，且CD＝5，AD＝2，AE＝3，动点P从点E出发，沿路径E﹣B﹣C﹣D运动，则△DPE的面积y与点P运动的路径长x之间的关系用图象表示大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据动点的运动过程可以分三种情况讨论：①当点P在BE上运动时，可得y＝x（0≤x≤2）；②当点P在BC上运动时，可得yx﹣1（2＜x≤4）；③当点P在CD上运动时，可得y＝﹣x+9（4＜x≤9）．进而对照选项即可判断．
【解答】解：长方形ABCD中，
AB＝CD＝5，AD＝BC＝2，
∵AE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝2，
①当点P在BE上运动时，
y2 x＝x（0≤x≤2）；
②当点P在BC上运动时，
BP＝x﹣2，则CP＝4﹣x，
∴y＝S矩形ABCD﹣S△ADE﹣S△BEP﹣S△DPC
＝2×53×22×（x﹣2）5×（4﹣x）
x﹣1，
即yx﹣1（2＜x≤4）；
③当点P在CD上运动时，
y2×（9﹣x）
即y＝﹣x+9（4＜x≤9）．
所以△DPE的面积y与点P运动的路径长x之间的关系用图象表示大致为选项C．
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据动点的运动过程分三种情况讨论．
二．填空题（共20小题）
15．的算术平方根是 2 ．
【分析】根据算术平方根的概念进行解题即可．
【解答】解：∵8，
∴的算术平方根是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
16．函数y中自变量x的取值范围是 x≥﹣2且x≠1 ．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+2≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣2且x≠1．
故答案为：x≥﹣2且x≠1．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
17．已知直角三角形两边的长分别为3cm，4cm，则以第三边为边长的正方形的面积为 7cm2或25cm2 ．
【分析】分两种情况考虑：当4cm为直角三角形的斜边时，利用勾股定理求出第三边的平方，即为以第三边为边长的正方形的面积；当第三边为直角三角形的斜边时，利用勾股定理求出第三边的平方，即为以第三边为边长的正方形的面积．
【解答】解：若4cm为直角三角形的斜边，此时以第三边为边长的正方形的面积为42﹣32＝16﹣9＝7cm2；
若x为直角三角形的斜边，根据勾股定理得：x2＝32+42＝9+16＝25，
此时以斜边为边长的正方形的面积为x2＝25，
综上，以第三边为边长的正方形的面积为7cm2或25cm2．
故答案为：7cm2或25cm2．
【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，以及正方形的面积，利用了分类讨论的思想，分类讨论时注意考虑问题要全面，做到不重不漏．
18．将命题“对顶角相等”改为“如果…那么…”的形式为： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 ．
【分析】先找到命题的题设和结论，再写成“如果…，那么…”的形式．
【解答】解：原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”，
命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【点评】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
19．小明某学期的数学平时成绩90分，期中考试80分，期末考试95分，若计算学期总评成绩的方法如下：平时：期中：期末＝3：3：4，则小明总评成绩是 89 分．
【分析】利用加权平均数公式计算即可．
【解答】解：小明总评成绩是89（分）．
故答案为：89．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
20．若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是 1 ．
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得．
【解答】解：∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，
∴1+m＝3、1﹣n＝2，
解得：m＝2、n＝﹣1，
所以m+n＝2﹣1＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查关于x、y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数．
21．小明某学期的数学平时成绩70分，期中考试80分，期末考试85分，若计算学期总评成绩的方法如下：平时：期中：期末＝3：3：4，则小明总评成绩是 79 分．
【分析】按3：3：4的比例算出本学期数学总评分即可．
【解答】解：本学期数学总评分＝70×30%+80×30%+85×40%＝79（分）．
故答案为：79．
【点评】本题考查了加权成绩的计算，平时成绩：期中考试成绩：期末考试成绩＝3：3：4的含义就是分别占总数的30%、30%、40%．
22．一组从小到大排列的数据：a，2，2，5，5的极差是4，则这组数据的方差为 2.8 ．
【分析】极差是数据中最大数与最小数的差，要求方差，首先求这组数据的平均数，求出平均数后，再利用方差公式解答即可．
【解答】解：∵数据：a，2，2，5，5的极差是4，
∴5﹣a＝4，
∴a＝1，
∴这组数据的平均数是：3，
∴方差为S2[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2+（5﹣3）2]＝2.8，
∴这组数据的方差为2.8；
故答案为：2.8．
【点评】此题主要考查了极差与方差的有关知识，方差大小代表数据的波动大小，方差越大代表这组数据波动越大，方差越小波动越小，极差则是最值之间的差值，方差与极差在中考中是热点问题．
23．已知点M（m+3，6﹣2m）到x，y轴的距离相等，则点M的坐标为 （4，4）或（12，﹣12） ．
【分析】根据题意可得|m+3|＝|6﹣2m|，从而可得m+3＝6﹣2m或m+3＝﹣（6﹣2m），然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵点M（m+3，6﹣2m）到x，y轴的距离相等，
∴|m+3|＝|6﹣2m|，
∴m+3＝6﹣2m或m+3＝﹣（6﹣2m），
∴m＝1或m＝9，
当m＝1时，m+3＝4，6﹣2m＝4，
∴点M的坐标为（4，4），
当m＝9时，m+3＝12，6﹣2m＝﹣12，
∴点M的坐标为（12，﹣12），
综上所述：点M的坐标为（4，4）或（12，﹣12），
故答案为：（4，4）或（12，﹣12）．
【点评】本题考查了点的坐标，准确熟练地进行计算是解题的关键．
24．一次函数y＝5x+3的图象沿y轴向下平移2个单位长度后的函数表达式为：y＝5x+1 ．
【分析】根据“上加下减”的平移法则即可解决问题．
【解答】解：由题知，
将一次函数y＝5x+3的图象沿y轴向下平移2个单位长度后所得函数的表达式为y＝5x+1．
故答案为：y＝5x+1．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟知“上加下减”的平移法则是解题的关键．
25．若最简二次根式与是同类二次根式．则ab＝ ﹣2 ．
【分析】利用同类二次根式的定义求解即可．
【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴b+3＝2，7a+b＝6a﹣b，解得，a＝2，b＝﹣1，
∴ab＝﹣2．
故答案为：﹣2
【点评】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是熟记同类二次根式的定义，
26．若，则m﹣20242＝ 2025 ．
【分析】根据有意义，得出m≥2025，进而化简已知等式得出m﹣2025＝20242，即可求解．
【解答】解：由条件可知m﹣2025≥0，
∴m≥2025，
∴2024﹣m＜0，
∵，
∴，
∴即m﹣2025＝20242，
∴m﹣20242＝2025，
故答案为：2025．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握该知识点是关键．
27．如图，在数轴上点A表示的实数是 ．
【分析】根据勾股定理，求出半径即可．
【解答】解：∵半径，
∴点A表示的数为，
故答案为：．
【点评】本题考查了实数与数轴，体现了数形结合的数学思想，解题时注意点A在数轴的负半轴上．
28．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2；交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小18．设十位上的数字为x，个位上的数字为y；列方程组为 ．
【分析】根据十位上的数字比个位上的数字大2得x﹣y＝2，根据新数比原数小18得10x+y﹣（10y+x）＝18．
【解答】解：∵十位上的数字比个位上的数字大2，
∴x﹣y＝2，
∵对调前个位上的数字为y，十位上的数字为x，
∴原数为：10x+y，
∵对调后个位上的数字为x，十位上的数字为y，
∴新数为：10y+x，
∵新数比原数小18，
∴10x+y﹣（10y+x）＝18，
方程组为：．
故答案为：．
【点评】本题考查从实际问题抽象出二元一次方程组，找出等量关系是解答本题的关键．
29．如图，五角星ABCDE的五个内角之和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ 180 度．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和把五个角转化为一个三角形的内角的和，再根据三角形内角和定理解答．
【解答】解：如图，∵∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，
∴∠1+∠2＝∠A+∠C+∠B+∠D，
∵∠1+∠2+∠E＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
故答案为：180．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，把五个角转化为一个三角形的三个内角的和是解题的关键．
30．对于任意正数m，n，定义运算※如下：m※n计算（3※2）×（8※12）的结果为 2 ．
【分析】根据定义新运算可得：（）×（），然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
（3※2）×（8※12）
＝（）×（）
＝（）×（22）
＝2×（）（）
＝2×（3﹣2）
＝2×1
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，理解定义新运算是解题的关键．
31．如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+8的图象相交于点P（m，2），则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
【分析】先利用y＝﹣x+8确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
【解答】解：把P（m，2）代入y＝﹣x+8，
得2＝﹣m+8，解得m＝6，
所以P点坐标为（6，2），
所以关于x，y的二元一次方程组的解是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）的综合应用，理解方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题关键．
32．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4）、B（6，0）．现将△A0B折叠，使点A落在OB边的中点A′处，折痕为CD，其中点C在y轴上，点D在AB边上，则点C的坐标为 （0，） ．
【分析】由A（0，4）、B（6，0），A'是OB中点，可得OA'OB＝3，设C（0，m），则OC＝m，AC＝4﹣m，在Rt△A'OC中，用勾股定理可得m，即可得答案．
【解答】解：∵A（0，4）、B（6，0），
∴OA＝4，OB＝6，
∵A'是OB中点，
∴OA'OB＝3，
设C（0，m），则OC＝m，AC＝4﹣m，
∵将△AOB折叠，使点A落在OB边的中点A′处，折痕为CD，
∴A'C＝AC＝4﹣m，
在Rt△A'OC中，OC2+OA'2＝A'C2，
∴m2+32＝（4﹣m）2，
解得m，
∴C（0，），
故答案为：（0，）．
【点评】本题考查直角三角形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用勾股定理列方程．
33．如图1，在△ABC中，AB＝AC．动点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C→A匀速运动回到点A．图2是点P运动过程中，线段AP的长度y（单位：cm）随时间t（单位：s）变化的图象，其中点Q为曲线部分的最低点．则图2中m的值为 6+2 ．
【分析】由题意可知△ABC中AB＝AC＝6cm，BC边上的高为4cm，由勾股定理可求得BC，即可求解．
【解答】解：由题意得，AB的长是y的最大值6cm，
作AD⊥BC于点D，
由题意可知AB＝AC＝6cm，BC边上的高AD＝4cm，由勾股定理可求得BD2，
∴BC＝2BD＝4，
∴m6+2，
故答案为：6+2．
【点评】此题考查了图形与函数图象间关系，关键是根据图象求解出BC的长．
34．如图，正方形A1B1C1O、A2B2C2C1…按照如图所示的方式放置，点A1、A2、A3、…和点C1、C2、C3、…分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上，已知B1（1，1），B2（3，2），B3（7，4），则B2024的坐标是 （22024﹣1，22023） ．
【分析】先求出直线A1A2的解析式，通过罗列点的坐标可得到规律Bn（2n﹣1，2n﹣1），继而求出则B2024的坐标．
【解答】解：∵B1（1，1），B2（3，2），
∴A1（0，1），A2（1，2），
∵A1（0，1），A2（1，2）在直线y＝kx+b图象上，
，
解得，
∴y＝x+1，
∵B2（3，2），
∴A3（3，4），
∴B3（7，4），
∴A4（7，8），
∴B4（15，8），
……，
∴Bn（2n﹣1，2n﹣1），
∴B2024的坐标为（22024﹣1，22023），
故答案为：（22024﹣1，22023）．
【点评】本题考查了点的坐标规律探究、一次函数图象上点的坐标特征，发现点的坐标规律是关键．
三．解答题（共20小题）
35．计算：
（1）；
（2）4；
（3）；
（4）（﹣2）2﹣||．
【分析】（1）利用二次根式的性质及去括号法则先化简，再相加减即可；
（2）利用二次根式的性质先化简，再进行除法运算，最后进行减法运算即可；
（3）利用完全平方公式和平方差公式展开，再相加减即可；
（4）根据乘方的定义、绝对值的性质及二次根式的除法法则先化简，再相加减即可．
【解答】解：（1）
；
（2）4
＝3﹣4
＝﹣1；
（3）
；
（4）（﹣2）2﹣||
．
【点评】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式，平方差公式，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
36．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘除运算法则，进而化简得出答案．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
＝1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
37．计算：
（1）
（2）
【分析】（1）先化简二次根式和计算立方根，再进行合并即可；
（2）直接利用二次根式的乘法运算法则，最后利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
38．（1）计算：；
（2）计算：；
（3）解方程组；
（4）解方程组．
【分析】（1）先把二次根式化简，再合并同类二次根式即可；
（2）根据算术平方根、立方根、零指数幂和绝对值的性质先化简，再合并即可；
（3）利用加减法消元法解答即可；
（4）利用加减法消元法解答即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式＝9﹣（﹣3）+1﹣4
＝9+3+1﹣4
＝13﹣4
＝9；
（3），
①×2得：2x﹣2y＝8③，
③+②得：x＝6，
把x＝6代入①得y＝2，
∴方程组的解为；
（4），
①×4得：8x﹣20y＝36③，
②×5得：25x+20y＝30④，
③+④得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝﹣1，
∴方程组的解为．
【点评】本题考查了二次根式的加减运算，实数的混合运算，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键．
39．解方程组：．
【分析】先将方程组化简得，再利用加减消元法即可求解．
【解答】解：将原方程组化简整理得：，
①+②×2得，3x+4x＝﹣1+16，
∴7x＝15，
解得，，
把代入②得，，
解得，，
∴原方程的解为．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
40．解方程组：
（1）．
（2）已知二元一次方程组的解是，求方程组的解．
【分析】（1）根据加减消元法解方程组即可；
（2）根据题意列出，从而求出原方程组的解．
【解答】解：（1），
原方程组可化为，
①+②得，6x＝12，
解得x＝2，
把x＝2代入①得，y＝﹣1，
∴原方程组的解是；
（2）根据题意得，
解得．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组是解题的关键．
41．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后△ABC的顶点均在格点上．
（1）写出点A、B、C的坐标；
（2）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的图形；
（3）求S△ABC．
【分析】（1）根据坐标系内点的位置可得点的坐标；
（2）根据关于x轴对称的两个点的坐标关系，可得A1（1，﹣3），B1（﹣1，﹣2），C1（2，0），再顺次连接A1、B1、C1即可；
（3）利用割补法求解三角形的面积即可．
【解答】解：（1）由题意可得：A（1，3），B（﹣1，2），C（2，0）；
（2）△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，如图即为所求；
（3）S△ABC＝3×32×13×23×1．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积，解答本题的关键是熟练掌握轴对称的性质．
42．已知三角形的三边长分别为x，y，z，化简：|x﹣y﹣z|+|y+z﹣x|﹣|z﹣x﹣y|．
【分析】＝根据三角形三边关系得到x，y，z的不等式，再去绝对值后计算即可．
【解答】解：∵三角形的三边长分别为x，y，z，
∴y+z＞x，x+y＞z，
∴x﹣y﹣z＜0，y+z﹣x＞0，z﹣x﹣y＜0
∴|x﹣y﹣z|+|y+z﹣x|﹣|z﹣x﹣y|＝y+z﹣x+y+z﹣x+z﹣x﹣y＝﹣3x+y+3z．
【点评】本题考查三角形的三边关系，绝对值，解题的关键是掌握绝对值化简的方法．
43．已知点M（3m﹣2，2m+1），解答下列问题：
（1）若点M与（﹣7，﹣7）关于原点对称，求点m的值；
（2）若点N（3，9），且直线MN平行于x轴，求点M的坐标．
【分析】（1）根据原点对称的两点横纵坐标都互为相反数求解即可；
（2）根据直线MN平行于x轴可得M、N两点纵坐标相等列方程计算即可．
【解答】解：（1）∵点M（3m﹣2，2m+1）与（﹣7，﹣7）关于原点对称，
∴，
解得m＝3；
（2）∵点N（3，9），且直线MN平行于x轴，
∴M点纵坐标为9，
∴2m+1＝9，解得m＝4，
∴M（10，9）．
【点评】本题考查直角坐标系中点的特征，关于原点对称的点坐标特征，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
44．甘肃省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
甲 10 8 9 8 10 9
乙 10 10 10 9 8
（1）求甲的平均成绩的环数；
（2）已知乙的平均成绩是9环，试计算其第二次测试成绩的环数；
（3）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由．
【分析】（1）根据算术平均数的计算公式进行计算即可；
（2）用总成绩减去其余5次的成绩即可得乙第二次测试成绩的环数；
（3）根据方差的计算公式分别计算出甲、乙两人六次测试成绩的方差，再进行比较大小，根据方差小的成绩较稳定确定人选．
【解答】解：（1）（环）．
答：甲的平均成绩是9环．
（2）9×6﹣10﹣10﹣10﹣9﹣8＝7（环）．
答：乙第二次测试成绩为7环．
（3），
，
，甲的成绩较稳定，
因此推荐甲参加全国比赛更合适．
【点评】此题主要考查了计算平均数和方差，关键是掌握平均数和方差的计算公式．
45．为落实“双减”政策，优化作业管理．某中学在八年级随机抽取部分学生对作业完成时间进行调查，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟），按照完成时间分成五组：A组“t≤45”；B组“45＜t≤60”；C组“60＜t≤75”；D组“75＜t≤90”；E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求本这次调查的总人数．
（2）请补全条形统计图．
（3）求A组人数占本次调查人数的百分比．
（4）在扇形统计图中，B组所对应的圆心角度数为 72 度．
【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，
（2）计算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据A组的人数和求出的总人数，即可计算A组所占的百分比；
（4）再进一步计算B组所占的圆心角度数360°即可．
【解答】解：（1）这次调查的学生人数是：25÷25%＝100（人），
答：本这次调查的总人数为100人．
（2）D组的人数为：100﹣10﹣20﹣25﹣5＝40（人）．
（3）A所占的百分比为：100%＝10%，
（4）B组所占的圆心角是：360°72°．
故答案为：72．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
46．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
【分析】根据数轴上点的位置判断出a+1，b﹣1，a﹣b的正负，原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：﹣1＜a＜0＜b＜1，
∴a+1＞0，b﹣1＜0，a﹣b＜0，
则原式＝|a+1|﹣|b﹣1|﹣|a﹣b|＝a+1+b﹣1+a﹣b＝2a．
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，以及实数与数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
47．已知方程组和方程组的解相同，求（2a+b）2024的值．
【分析】由题意可得，解得x，y的值后分别代入ax﹣by＝﹣4，bx+ay＝﹣8中得到关于a，b的方程组，解得a，b的值后代入（2a+b）2024中计算即可．
【解答】解：由题意可得，
解得：，
将分别代入ax﹣by＝﹣4，bx+ay＝﹣8中得，
解得：，
则（2a+b）2024＝（2×1﹣3）2024＝（﹣1）2024＝1．
【点评】本题考查解二元一次方程组，结合已知条件列得并求得它的解是解题的关键．
48．已知：如图，AE⊥BC于M，FG⊥BC于N，∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠D＝∠3+50°，∠CBD＝60°，求∠C的度数．
【分析】（1）根据平行线的判定与性质求解即可；
（2）根据平行线的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴∠AMB＝∠GNB＝90°，
∴AE∥FG，
∴∠A＝∠2，
又∵∠2＝∠1，
∴∠A＝∠1，
∴AB∥CD；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠D+∠CBD+∠3＝180°，
∵∠D＝∠3+50°，∠CBD＝60°，
∴∠3＝35°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠3＝35°．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
49．某工厂生产一种产品，当生产数量至少为20吨，但不超过60吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）之间是一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求出y关于x的函数解析式；
（2）如果每吨的成本是4.8万元，求该产品的生产数量．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出y关于x的函数解析式；
（2）将y＝4.8代入（1）中的函数解析式，即可求得每吨的成本是4.8万元时该产品的生产数量．
【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式是y＝kx+b，
∵点（20，6），（28，5.6）在该函数图象上，
∴，
解得，
即y关于x的函数解析式是y＝﹣0.05x+7；
（2）当y＝4.8时，
4.8＝﹣0.05x+7，
解得x＝44，
答：如果每吨的成本是4.8万元，该产品的生产数量是44吨．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
50．某校七年级400名学生到郊外参加植树活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满：
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
【分析】（1）设每辆小客车能坐x人，每辆大客车能坐y人，根据题意可得等量关系：3辆小客车座的人数+1辆大客车座的人数＝105人；1辆小客车座的人数+2辆大客车座的人数＝110人，根据等量关系列出方程组，再解即可；
（2）①根据题意可得小客车m辆运的人数+大客车n辆运的人数＝400，然后求出整数解即可；②根据①所得方案和小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元分别计算出租金即可．
【解答】解：（1）设每辆小客车能坐x人，每辆大客车能坐y人，
据题意：，
解得：，
答：每辆小客车能坐20人，每辆大客车能坐45人；
（2）①由题意得：20m+45n＝400，
∴n，
∵m、n为非负整数，
∴或 或，
∴租车方案有三种：
方案一：小客车20车、大客车0辆，
方案二：小客车11辆，大客车4辆，
方案三：小客车2辆，大客车8辆；
②方案一租金：150×20＝3000（元），
方案二租金：150×11+250×4＝2650（元），
方案三租金：150×2+250×8＝2300（元），
∴方案三租金最少，最少租金为2300元．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出二元一次方程或方程组．
51．综合与实践
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，若∠A＝50°，则∠BPC＝ 115° ．
（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC的度数（用α表示∠BEC）．
（3）如图3，BQ平分外角∠CBM，CQ平分外角∠BCN．试确定∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；
（2）由角平分线得出∠ECB∠ACB，∠EBD∠ABD．由三角形外角的性质知∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，根据∠EBD∠ABD（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB可得答案；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠QBC与∠QCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【解答】解：（1）∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠PBCABC，∠PCB∠ACB（角平分线的定义），
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（ ∠ABC∠ACB）
＝180°（∠ABC+∠ACB）
＝180°（180°﹣∠A）
＝180°﹣90°∠A
＝90°∠A
＝90
＝115°．
故答案为：115°；
（2）∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，
∴∠ECB∠ACB，∠EBD∠ABD．
∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，
∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，
∴∠EBD∠ABD（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC，
∴∠BEC∠Aα；
（3）结论：∠BQC＝90°∠A．
理由如下：∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，
∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，
∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，
∴∠QBC（∠A+∠ACB），∠QCB（∠A+∠ABC）．
∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，
∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB，
＝180°（∠A+∠ACB）（∠A+∠ABC）
＝180°∠A（∠A+∠ABC+∠ACB）
＝180°∠A﹣90°
＝90°∠A．
【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
52．综合与探究
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与直线l2交于点A，且点A的横坐标为2，直线l1与x轴交于点B，直线l2与x轴、y轴分别交于点C（4，0），点D．
（1）求直线l2的函数表达式和点D的坐标；
（2）设P（x，y）是直线上一点，当△BCP的面积为10时，求点P的坐标；
（3）直线l2上是否存在一点Q，使得△BCQ是以CQ为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出A点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）由P（x，y）是直线l1：yx上一点，根据△BCP的面积为10，可得S△BCP5×|x|＝10，求出x＝7或﹣9，即可得点P的坐标；
（3）设Q（m，m+3），分两种情况讨论，①当CQ＝CB时，②当CQ＝BQ时，分别求解即可即可．
【解答】解：（1）当x＝2时，yx，
∴A（2，），
设直线l2的函数表达式为y＝kx+b，
将点C（4，0），A（2，）代入y＝kx+b得，
∴，
∴直线l2的函数表达式为yx+3，
当x＝0时，y＝3，
∴D（0，3）；
（2）当y＝0时，0x，解得x＝﹣1，
∴B（﹣1，0），
∵C（4，0），
∴BC＝5，
∵P（x，y）是直线l1：yx上一点，
∴yx，
∵△BCP的面积为10，
∴S△BCP5×|x|＝10，
∴x＝7或﹣9，
∴点P的坐标为（7，4）或（﹣9，﹣4）；
（3）设Q（m，m+3），
∵B（﹣1，0），C（4，0），
∴BC2＝52＝25，
BQ2＝（m+1）2+（m+3）2m2m+10，
CQ2＝（m﹣4）2+（m+3）2m2m+25，
①当CQ＝CB时，
m2m+25＝25，解得m＝0或8，
∴点Q的坐标为（0，3）或（8，﹣3）；
②当CQ＝BQ时，
m2m+25m2m+10，解得m，
∴点Q的坐标为（，）；
综上所述：点Q的坐标为（0，3）或（8，﹣3）或（，）．
【点评】本题是一次函数的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数表达式，三角形的面积，等腰三角形的性质．解题关键是能够掌握待定系数法，等腰三角形的性质，利用分类思想解决问题．
53．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于D点，AC＝8，OD＝3OC．
（1）求直线CD的解析式；
（2）点Q为直线AB上一动点，若有，请求出Q点坐标；
（3）点M为直线AB上一动点，点N为y轴上一动点，是否存在以点M，N，C为顶点且以MN为直角边的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点A，B的坐标，再求出点C，D的坐标，然后用待定系数法求解即可；
（2）作QE⊥OD交CD于点E，设，，，表示出QE的长，根据列式求解即可；
（3）分∠CMN＝90°和∠CNM＝90°两种情况求解即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝2，
∴B（0，2）．
当y＝0时，，x＝6，
∴A（6，0）．
∵AC＝8，
∴OC＝2，
∴C（﹣2，0）．
∵OD＝3OC，
∴OD＝6，
∴D（0，6）．
设直线CD的解析式为y＝kx+b，
则，解得：，
∴y＝3x+6；
（2）作QE⊥OD交CD于点E，设，，
∴．
∵A（6，0），B（0，2），
∴．
∵，
∴，
解得或，
∴或；
（3）存在，理由：
当∠CMN＝90°时，如图，作ME⊥OC于点E，作NF⊥EM于点F．
∴∠CEM＝∠MFN＝90°．
∵△CMN是等腰直角三角形，
∴MN＝CM．
∵∠CME+∠ECM＝90°，∠CME+∠FMN＝90°，
∴∠ECM＝∠FMN，
∴△CEM≌△FMN（AAS），
∴ME＝NF．
设，则E（a，0），
∴，
解得或a＝﹣3，
∴M（﹣3，3）或．
当∠CNM＝90°时，如图过点N作EF∥OA，作ME⊥EF于点E，作CF⊥EF于点F．
同理可证：△CEM≌△FMN（AAS），
∴CE＝FM，ME＝NF．
设N（0，n），，则E（a，0），
∴，|n|＝|a|，
解得a＝3或a＝0或a＝﹣6（此时∠CNM≠90°，舍去），
∴M（3，1）．
综上可知，点M的坐标为（﹣3，3）或或（3，1）．
【点评】本题考查了一次函数与几何综合，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的定义，数形结合是解答本题的关键．
54．【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD⊥DE于点D．过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】已知：直线y＝kx+3（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）如图2，当时，在第一象限构造等腰直角△ABE，∠ABE＝90°；
①直接写出OA＝ 2 ，OB＝ 3 ；
②求点E的坐标；
（2）如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作BN⊥AB，并且BN＝AB，连接ON，问△OBN的面积是否为定值，请说明理由；
（3）【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系内，当k＝﹣3时，设直线l与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线PQ绕P点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．
【分析】（1）①若，则直线与x轴，y轴分别交于A（2，0），B（0，3）两点，即可求解；
②作ED⊥OB于D，则△BED≌△ABO．由全等三角形的性质得DE＝OB＝3，BD＝OA＝2，即可求解；
（2）由点A随之在x轴负半轴上运动时，可知k＞0，过点N作NM⊥OB于M，则△BMN≌△AOB．由全等三角形的性质得MN＝OB＝3，根据三角形的面积公式即可求解；
（3）先求出OP＝3，由y＝0得x＝1，进而得出Q（1，0），OQ＝1，再判断出PQ＝SQ，即可判断出OH＝4，SH＝OQ＝1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论．
【解答】解：（1）①若，
则直线y＝kx+3（k≠0）为直线，
当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
当y＝0时，x＝2，
∴A（2，0），
∴OA＝2，OB＝3，
故答案为：2，3；
②作ED⊥OB于D，
∴∠BDE＝∠AOB＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵△ABE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AB＝BE，∠ABE＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴△BED≌△ABO（AAS），
∴DE＝OB＝3，BD＝OA＝2，
∴OD＝OB+BD＝5，
∴点E的坐标为（3，5）；
（2）当k变化时，△OBN的面积是定值，，
理由如下：
∵当k变化时，点A随之在x轴负半轴上运动时，
∴k＞0，
过点N作NM⊥OB于M，
∴∠NMB＝∠AOB＝90°，
∵∠1+∠3＝90°，
∵BN⊥AB，
∴∠ABN＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3，
∵BN＝BA，∠NMB＝∠AOB＝90°，
∴△BMN≌△AOB（AAS）．
∴MN＝OB＝3，
∴，
∴k变化时，△OBN的面积是定值，；
（3）如图4，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，
当k＝﹣3时，设直线l函数关系式为y＝﹣3x+3，
对于直线y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3，
∴P（0，3），
∴OP＝3，
由y＝0得x＝1，
∴Q（1，0），OQ＝1，
∵∠QPR＝45°，
∴∠PSQ＝45°＝∠QPS，
∴PQ＝SQ，
∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP，
∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝3+1＝4，SH＝OQ＝1，
∴S（4，1），
设直线PR为y＝kx+b，则，
解得，
∴直线PR为，
由y＝0得，x＝6，
∴R（6，0）．
【点评】本题是一次函数的综合题，一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确地作出是解题的关键．
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北师大版八年级数学上册期末考试高频考题
一．选择题（共14小题）
1．下列各数：，，，0.1，，2.1010010001…（相邻两个1之间的0的个数逐次加1），3.1234567891011…（小数部分由相继的正整数组成）中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ）
①a＝6，b＝8，c＝10；
②a：b：c＝1：2：2；
③∠A＝32°，∠B＝58°；
④a＝7，b＝24，c＝25．
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
3．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，30，120．这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．120，50 B．50，20 C．50，30 D．50，50
4．某射击运动队进行选拔赛，对甲、乙两名选手的五次射击选拔赛测试成绩进行统计分析，得出，，，．则应确定（ ）去参赛
A．甲 B．乙
C．谁去都一样 D．无法确定
5．下列命题中的假命题是（ ）
A．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c
B．若x2＝y2，则|x|＝|y|
C．立方根等于本身的数有0和±1
D．两直线平行，同旁内角相等
6．已知点（﹣1，y1），（4，y2）在一次函数y＝3x﹣2的图象上，则y1，y2，0的大小关系是（ ）
A．0＜y1＜y2 B．y1＜0＜y2 C．y1＜y2＜0 D．y2＜0＜y1
7．如图，将△ABC沿着DE翻折，使B点与B′点重合，若∠1+∠2＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
8．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．三个正比例函数的表达式分别为①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a
10．如图1，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点．动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（ ）
A．（4，2） B．（4，4） C．（4，2） D．（4，5）
11．如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；……以此类推得到∠A2024，则∠A2024的度数是（ ）
A． B． C． D．
12．A，B两地相距640km，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲车出发1h后，乙车出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距skm，甲车行驶的时间为th，s与t的关系如图所示，下列说法：①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h；②甲车出发4h后被乙车追上；③甲车比乙车晚到；④甲车行驶8h或时，甲、乙两车相距80km．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参加学习．图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S（km）随时间t（分）变化的函数图象．以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了8km后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
14．如图，在长方形ABCD中，点E为AB上一点，且CD＝5，AD＝2，AE＝3，动点P从点E出发，沿路径E﹣B﹣C﹣D运动，则△DPE的面积y与点P运动的路径长x之间的关系用图象表示大致为（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共20小题）
15．的算术平方根是 ．
16．函数y中自变量x的取值范围是 ．
17．已知直角三角形两边的长分别为3cm，4cm，则以第三边为边长的正方形的面积为 ．
18．将命题“对顶角相等”改为“如果…那么…”的形式为： ．
19．小明某学期的数学平时成绩90分，期中考试80分，期末考试95分，若计算学期总评成绩的方法如下：平时：期中：期末＝3：3：4，则小明总评成绩是 分．
20．若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是 ．
21．小明某学期的数学平时成绩70分，期中考试80分，期末考试85分，若计算学期总评成绩的方法如下：平时：期中：期末＝3：3：4，则小明总评成绩是 分．
22．一组从小到大排列的数据：a，2，2，5，5的极差是4，则这组数据的方差为 ．
23．已知点M（m+3，6﹣2m）到x，y轴的距离相等，则点M的坐标为 ．
24．一次函数y＝5x+3的图象沿y轴向下平移2个单位长度后的函数表达式为： ．
25．若最简二次根式与是同类二次根式．则ab＝ ．
26．若，则m﹣20242＝ ．
27．如图，在数轴上点A表示的实数是 ．
28．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2；交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小18．设十位上的数字为x，个位上的数字为y；列方程组为 ．
29．如图，五角星ABCDE的五个内角之和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ 度．
30．对于任意正数m，n，定义运算※如下：m※n计算（3※2）×（8※12）的结果为 ．
31．如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+8的图象相交于点P（m，2），则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
32．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4）、B（6，0）．现将△A0B折叠，使点A落在OB边的中点A′处，折痕为CD，其中点C在y轴上，点D在AB边上，则点C的坐标为 ．
33．如图1，在△ABC中，AB＝AC．动点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C→A匀速运动回到点A．图2是点P运动过程中，线段AP的长度y（单位：cm）随时间t（单位：s）变化的图象，其中点Q为曲线部分的最低点．则图2中m的值为 ．
34．如图，正方形A1B1C1O、A2B2C2C1…按照如图所示的方式放置，点A1、A2、A3、…和点C1、C2、C3、…分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上，已知B1（1，1），B2（3，2），B3（7，4），则B2024的坐标是 ．
三．解答题（共20小题）
35．计算：
（1）；
（2）4；
（3）；
（4）（﹣2）2﹣||．
36．计算：
（1）；
（2）．
37．计算：
（1）
（2）
38．（1）计算：；
（2）计算：；
（3）解方程组；
（4）解方程组．
39．解方程组：．
40．解方程组：
（1）．
（2）已知二元一次方程组的解是，求方程组的解．
41．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后△ABC的顶点均在格点上．
（1）写出点A、B、C的坐标；
（2）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的图形；
（3）求S△ABC．
42．已知三角形的三边长分别为x，y，z，化简：|x﹣y﹣z|+|y+z﹣x|﹣|z﹣x﹣y|．
43．已知点M（3m﹣2，2m+1），解答下列问题：
（1）若点M与（﹣7，﹣7）关于原点对称，求点m的值；
（2）若点N（3，9），且直线MN平行于x轴，求点M的坐标．
44．甘肃省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
甲 10 8 9 8 10 9
乙 10 10 10 9 8
（1）求甲的平均成绩的环数；
（2）已知乙的平均成绩是9环，试计算其第二次测试成绩的环数；
（3）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由．
45．为落实“双减”政策，优化作业管理．某中学在八年级随机抽取部分学生对作业完成时间进行调查，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟），按照完成时间分成五组：A组“t≤45”；B组“45＜t≤60”；C组“60＜t≤75”；D组“75＜t≤90”；E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求本这次调查的总人数．
（2）请补全条形统计图．
（3）求A组人数占本次调查人数的百分比．
（4）在扇形统计图中，B组所对应的圆心角度数为 度．
46．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
47．已知方程组和方程组的解相同，求（2a+b）2024的值．
48．已知：如图，AE⊥BC于M，FG⊥BC于N，∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠D＝∠3+50°，∠CBD＝60°，求∠C的度数．
49．某工厂生产一种产品，当生产数量至少为20吨，但不超过60吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）之间是一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求出y关于x的函数解析式；
（2）如果每吨的成本是4.8万元，求该产品的生产数量．
50．某校七年级400名学生到郊外参加植树活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满：
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
51．综合与实践
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，若∠A＝50°，则∠BPC＝ ．
（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC的度数（用α表示∠BEC）．
（3）如图3，BQ平分外角∠CBM，CQ平分外角∠BCN．试确定∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．
52．综合与探究
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与直线l2交于点A，且点A的横坐标为2，直线l1与x轴交于点B，直线l2与x轴、y轴分别交于点C（4，0），点D．
（1）求直线l2的函数表达式和点D的坐标；
（2）设P（x，y）是直线上一点，当△BCP的面积为10时，求点P的坐标；
（3）直线l2上是否存在一点Q，使得△BCQ是以CQ为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
53．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于D点，AC＝8，OD＝3OC．
（1）求直线CD的解析式；
（2）点Q为直线AB上一动点，若有，请求出Q点坐标；
（3）点M为直线AB上一动点，点N为y轴上一动点，是否存在以点M，N，C为顶点且以MN为直角边的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程，若不存在，请说明理由．
54．【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD⊥DE于点D．过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】已知：直线y＝kx+3（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）如图2，当时，在第一象限构造等腰直角△ABE，∠ABE＝90°；
①直接写出OA＝ ，OB＝ ；
②求点E的坐标；
（2）如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作BN⊥AB，并且BN＝AB，连接ON，问△OBN的面积是否为定值，请说明理由；
（3）【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系内，当k＝﹣3时，设直线l与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线PQ绕P点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．
北师大版八年级数学上册期末考试高频考题
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B D A D B C D C C C
题号 12 13 14
答案 C B C
一．选择题（共14小题）
1．下列各数：，，，0.1，，2.1010010001…（相邻两个1之间的0的个数逐次加1），3.1234567891011…（小数部分由相继的正整数组成）中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：，，2.1010010001…（相邻两个1之间的0的个数逐次加1），3.1234567891011…（小数部分由相继的正整数组成）是无理数，
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ）
①a＝6，b＝8，c＝10；
②a：b：c＝1：2：2；
③∠A＝32°，∠B＝58°；
④a＝7，b＝24，c＝25．
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理解答即可．
【解答】解：①∵a＝6，b＝8，c＝10，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，符合题意；
②∵a：b：c＝1：2：2，
∴a2+c2≠b2，
∴△ABC不是直角三角形，不符合题意；
③∵∠A＝32°，∠B＝58°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，符合题意；
④∵a＝7，b＝24，c＝25，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形；三角形内角和是180°是解题的关键．
3．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，30，120．这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．120，50 B．50，20 C．50，30 D．50，50
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．
【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中50是出现次数最多的，故众数是50；
将这组数据从小到大的顺序排列为：20，30，30，50，50，50，120，处于中间位置的那个数是50，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是50．
故选：D．
【点评】本题为统计题，考查了众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数30当作中位数，因而误选C．
命题立意：本题以给地震灾区捐款为背景，考核了统计概率的相关知识．本题在考核数学知识的基础上向学生渗透爱心教育，是一道很不错的题目．
4．某射击运动队进行选拔赛，对甲、乙两名选手的五次射击选拔赛测试成绩进行统计分析，得出，，，．则应确定（ ）去参赛
A．甲 B．乙
C．谁去都一样 D．无法确定
【分析】根据平均成绩相同，选成绩稳定的参加比赛即可．
【解答】解：从两人平均数看，，
从两人方差看，，方差小成绩发挥稳定，所以应选甲去参加比赛．
故选：A．
【点评】本题考查方差的意义．解决问题的关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．下列命题中的假命题是（ ）
A．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c
B．若x2＝y2，则|x|＝|y|
C．立方根等于本身的数有0和±1
D．两直线平行，同旁内角相等
【分析】根据平行线的性质以及平行公理的推论，平方根与立方根的定义，逐项分析判断，即可求解．
【解答】解：A．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c；原命题是真命题；
B．若x2＝y2，则|x|＝|y|，原命题是真命题；
C．立方根等于本身的数有0和±1，原命题是真命题；
D．两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题．
故选：D．
【点评】本题考查了命题的真假，关键是根据平行线的性质以及平行公理的推论，平方根与立方根的定义解答．
6．已知点（﹣1，y1），（4，y2）在一次函数y＝3x﹣2的图象上，则y1，y2，0的大小关系是（ ）
A．0＜y1＜y2 B．y1＜0＜y2 C．y1＜y2＜0 D．y2＜0＜y1
【分析】根据点的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出y1、y2的值，将其与0比较大小后即可得出结论．
【解答】解：∵点（﹣1，y1），（4，y2）在一次函数y＝3x﹣2的图象上，
∴y1＝﹣5，y2＝10，
∵10＞0＞﹣5，
∴y1＜0＜y2．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据点的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征求出y1、y2的值是解题的关键．
7．如图，将△ABC沿着DE翻折，使B点与B′点重合，若∠1+∠2＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】根据翻折的性质可得∠BED＝∠B'ED，∠BDE＝∠B'DE，结合平角的定义可求解∠BED+∠BDE的度数，再利用三角形的内角和定理可求解∠B的度数．
【解答】解：由翻折可知：∠BED＝∠B'ED，∠BDE＝∠B'DE，
∵∠1+∠BED+∠B'ED＝180°，∠2+∠BDE+∠B'DE＝180°，
∴∠1+2∠BED+∠2+2∠BDE＝360°，
∵∠1+∠2＝80°，
∴2∠BED+2∠BDE＝280°，
∴∠BED+∠BDE＝140°，
∵∠BED+∠BDE+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣140°＝40°．
故选：C．
【点评】本题主要考查翻折问题，三角形的内角和定理，利用翻折的性质得到∠BED＝∠B'ED，∠BDE＝∠B'DE是解题的关键．
8．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设该店有客房x间，房客y人，根据“一房七客多七客，一房八客一房空”得出方程组即可．
【解答】解：设该店有客房x间，房客y人，
根据题意得：，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据题意得出方程组是解决问题的关键．
9．三个正比例函数的表达式分别为①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a
【分析】根据所在象限判断出a、b、c的符号，再根据直线越陡，则|k|越大可得答案．
【解答】解：∵y＝ax，y＝bx的图象都在第一三象限，y＝cx在第二四象限，
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∵直线越陡，则|k|越大，
∴b＞a＞c，
故选：C．
【点评】此题主要考查了正比例函数图象的性质，y＝kx中，当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．同时注意直线越陡，则|k|越大．
10．如图1，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点．动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（ ）
A．（4，2） B．（4，4） C．（4，2） D．（4，5）
【分析】根据图2确定M点的横坐标为AB的长度，纵坐标为BE的长度，然后求值即可．
【解答】解：由题意可知，当点P在边AB上时，y的值先减小后增大，
当点P在边BC上时，y的值逐渐减小，
∴M点的横坐标为AB的长度，纵坐标为BE的长度，
∵AB＝4，EC＝EDAB4＝2，
∴BE2，
∴M（4，2），
故选：C．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，关键是根据图2确定M点的坐标与正方形的边之间的关系．
11．如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；……以此类推得到∠A2024，则∠A2024的度数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，整理即可求出∠A1的度数，同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解．
【解答】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴，，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，
∴，
∴，
∵∠A＝α，
∴；
同理可得，， ，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质，角平分线的定义，熟知三角形的外角的性质是解答此题的关键．
12．A，B两地相距640km，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲车出发1h后，乙车出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距skm，甲车行驶的时间为th，s与t的关系如图所示，下列说法：①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h；②甲车出发4h后被乙车追上；③甲车比乙车晚到；④甲车行驶8h或时，甲、乙两车相距80km．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据函数图象即可得到甲车行驶的速度，甲车出发4小时被追上，则甲、乙两车行驶的路程相等，以此可求出乙车的行驶速度，以此可判断①②；当乙车到达B地时，甲、乙两车相距100km，利用“时间＝路程÷速度”即可判断③；根据甲，乙两车相距80km列出方程，求解即可判断④．
【解答】解：由图可知，甲车的行驶速度为60（km/h），
∵t＝1时，乙车出发，当t＝4时，乙车追上甲车，
∴乙车追上甲车时，行驶的路程为60×4＝240（km），
∴乙车的速度为：80（km/h），故①②正确；
由图可知，当乙车到达B地时，甲、乙两车相距100km，
∴甲车比乙车晚到（h），故③正确；
当乙车未到达B地，两车相距80km时，
根据题意得：60t+80＝80（t﹣1），
解得：t＝8，
当乙车到达B地，两车相距80km时，
根据题意得：60t+80＝640，
解得：t，
∴甲车行驶8h或9h，两车相距80km，故④错误．
故正确的说法有：①②③．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的图象，根据函数图象获取关键的信息，利用行程问题的数量关系列式计算是解题关键．
13．甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参加学习．图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S（km）随时间t（分）变化的函数图象．以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了8km后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，然后根据图象上特殊点的意义进行解答．
【解答】解：①乙在28分时到达，甲在40分时到达，所以乙比甲提前了12分钟到达；故①正确；
②根据甲到达目的地时的路程和时间知：甲的平均速度＝1015（千米/时）；故②正确；
④设乙出发x分钟后追上甲，则有：x（18+x），解得x＝6，故④正确；
③由④知：乙第一次遇到甲时，所走的距离为：66（km），故③错误；
所以正确的结论有三个：①②④，
故选：B．
【点评】读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
14．如图，在长方形ABCD中，点E为AB上一点，且CD＝5，AD＝2，AE＝3，动点P从点E出发，沿路径E﹣B﹣C﹣D运动，则△DPE的面积y与点P运动的路径长x之间的关系用图象表示大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据动点的运动过程可以分三种情况讨论：①当点P在BE上运动时，可得y＝x（0≤x≤2）；②当点P在BC上运动时，可得yx﹣1（2＜x≤4）；③当点P在CD上运动时，可得y＝﹣x+9（4＜x≤9）．进而对照选项即可判断．
【解答】解：长方形ABCD中，
AB＝CD＝5，AD＝BC＝2，
∵AE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝2，
①当点P在BE上运动时，
y2 x＝x（0≤x≤2）；
②当点P在BC上运动时，
BP＝x﹣2，则CP＝4﹣x，
∴y＝S矩形ABCD﹣S△ADE﹣S△BEP﹣S△DPC
＝2×53×22×（x﹣2）5×（4﹣x）
x﹣1，
即yx﹣1（2＜x≤4）；
③当点P在CD上运动时，
y2×（9﹣x）
即y＝﹣x+9（4＜x≤9）．
所以△DPE的面积y与点P运动的路径长x之间的关系用图象表示大致为选项C．
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据动点的运动过程分三种情况讨论．
二．填空题（共20小题）
15．的算术平方根是 2 ．
【分析】根据算术平方根的概念进行解题即可．
【解答】解：∵8，
∴的算术平方根是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
16．函数y中自变量x的取值范围是 x≥﹣2且x≠1 ．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+2≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣2且x≠1．
故答案为：x≥﹣2且x≠1．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
17．已知直角三角形两边的长分别为3cm，4cm，则以第三边为边长的正方形的面积为 7cm2或25cm2 ．
【分析】分两种情况考虑：当4cm为直角三角形的斜边时，利用勾股定理求出第三边的平方，即为以第三边为边长的正方形的面积；当第三边为直角三角形的斜边时，利用勾股定理求出第三边的平方，即为以第三边为边长的正方形的面积．
【解答】解：若4cm为直角三角形的斜边，此时以第三边为边长的正方形的面积为42﹣32＝16﹣9＝7cm2；
若x为直角三角形的斜边，根据勾股定理得：x2＝32+42＝9+16＝25，
此时以斜边为边长的正方形的面积为x2＝25，
综上，以第三边为边长的正方形的面积为7cm2或25cm2．
故答案为：7cm2或25cm2．
【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，以及正方形的面积，利用了分类讨论的思想，分类讨论时注意考虑问题要全面，做到不重不漏．
18．将命题“对顶角相等”改为“如果…那么…”的形式为： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 ．
【分析】先找到命题的题设和结论，再写成“如果…，那么…”的形式．
【解答】解：原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”，
命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【点评】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
19．小明某学期的数学平时成绩90分，期中考试80分，期末考试95分，若计算学期总评成绩的方法如下：平时：期中：期末＝3：3：4，则小明总评成绩是 89 分．
【分析】利用加权平均数公式计算即可．
【解答】解：小明总评成绩是89（分）．
故答案为：89．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
20．若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是 1 ．
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得．
【解答】解：∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，
∴1+m＝3、1﹣n＝2，
解得：m＝2、n＝﹣1，
所以m+n＝2﹣1＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查关于x、y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数．
21．小明某学期的数学平时成绩70分，期中考试80分，期末考试85分，若计算学期总评成绩的方法如下：平时：期中：期末＝3：3：4，则小明总评成绩是 79 分．
【分析】按3：3：4的比例算出本学期数学总评分即可．
【解答】解：本学期数学总评分＝70×30%+80×30%+85×40%＝79（分）．
故答案为：79．
【点评】本题考查了加权成绩的计算，平时成绩：期中考试成绩：期末考试成绩＝3：3：4的含义就是分别占总数的30%、30%、40%．
22．一组从小到大排列的数据：a，2，2，5，5的极差是4，则这组数据的方差为 2.8 ．
【分析】极差是数据中最大数与最小数的差，要求方差，首先求这组数据的平均数，求出平均数后，再利用方差公式解答即可．
【解答】解：∵数据：a，2，2，5，5的极差是4，
∴5﹣a＝4，
∴a＝1，
∴这组数据的平均数是：3，
∴方差为S2[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2+（5﹣3）2]＝2.8，
∴这组数据的方差为2.8；
故答案为：2.8．
【点评】此题主要考查了极差与方差的有关知识，方差大小代表数据的波动大小，方差越大代表这组数据波动越大，方差越小波动越小，极差则是最值之间的差值，方差与极差在中考中是热点问题．
23．已知点M（m+3，6﹣2m）到x，y轴的距离相等，则点M的坐标为 （4，4）或（12，﹣12） ．
【分析】根据题意可得|m+3|＝|6﹣2m|，从而可得m+3＝6﹣2m或m+3＝﹣（6﹣2m），然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵点M（m+3，6﹣2m）到x，y轴的距离相等，
∴|m+3|＝|6﹣2m|，
∴m+3＝6﹣2m或m+3＝﹣（6﹣2m），
∴m＝1或m＝9，
当m＝1时，m+3＝4，6﹣2m＝4，
∴点M的坐标为（4，4），
当m＝9时，m+3＝12，6﹣2m＝﹣12，
∴点M的坐标为（12，﹣12），
综上所述：点M的坐标为（4，4）或（12，﹣12），
故答案为：（4，4）或（12，﹣12）．
【点评】本题考查了点的坐标，准确熟练地进行计算是解题的关键．
24．一次函数y＝5x+3的图象沿y轴向下平移2个单位长度后的函数表达式为：y＝5x+1 ．
【分析】根据“上加下减”的平移法则即可解决问题．
【解答】解：由题知，
将一次函数y＝5x+3的图象沿y轴向下平移2个单位长度后所得函数的表达式为y＝5x+1．
故答案为：y＝5x+1．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟知“上加下减”的平移法则是解题的关键．
25．若最简二次根式与是同类二次根式．则ab＝ ﹣2 ．
【分析】利用同类二次根式的定义求解即可．
【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴b+3＝2，7a+b＝6a﹣b，解得，a＝2，b＝﹣1，
∴ab＝﹣2．
故答案为：﹣2
【点评】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是熟记同类二次根式的定义，
26．若，则m﹣20242＝ 2025 ．
【分析】根据有意义，得出m≥2025，进而化简已知等式得出m﹣2025＝20242，即可求解．
【解答】解：由条件可知m﹣2025≥0，
∴m≥2025，
∴2024﹣m＜0，
∵，
∴，
∴即m﹣2025＝20242，
∴m﹣20242＝2025，
故答案为：2025．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握该知识点是关键．
27．如图，在数轴上点A表示的实数是 ．
【分析】根据勾股定理，求出半径即可．
【解答】解：∵半径，
∴点A表示的数为，
故答案为：．
【点评】本题考查了实数与数轴，体现了数形结合的数学思想，解题时注意点A在数轴的负半轴上．
28．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2；交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小18．设十位上的数字为x，个位上的数字为y；列方程组为 ．
【分析】根据十位上的数字比个位上的数字大2得x﹣y＝2，根据新数比原数小18得10x+y﹣（10y+x）＝18．
【解答】解：∵十位上的数字比个位上的数字大2，
∴x﹣y＝2，
∵对调前个位上的数字为y，十位上的数字为x，
∴原数为：10x+y，
∵对调后个位上的数字为x，十位上的数字为y，
∴新数为：10y+x，
∵新数比原数小18，
∴10x+y﹣（10y+x）＝18，
方程组为：．
故答案为：．
【点评】本题考查从实际问题抽象出二元一次方程组，找出等量关系是解答本题的关键．
29．如图，五角星ABCDE的五个内角之和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ 180 度．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和把五个角转化为一个三角形的内角的和，再根据三角形内角和定理解答．
【解答】解：如图，∵∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，
∴∠1+∠2＝∠A+∠C+∠B+∠D，
∵∠1+∠2+∠E＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
故答案为：180．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，把五个角转化为一个三角形的三个内角的和是解题的关键．
30．对于任意正数m，n，定义运算※如下：m※n计算（3※2）×（8※12）的结果为 2 ．
【分析】根据定义新运算可得：（）×（），然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
（3※2）×（8※12）
＝（）×（）
＝（）×（22）
＝2×（）（）
＝2×（3﹣2）
＝2×1
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，理解定义新运算是解题的关键．
31．如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+8的图象相交于点P（m，2），则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
【分析】先利用y＝﹣x+8确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
【解答】解：把P（m，2）代入y＝﹣x+8，
得2＝﹣m+8，解得m＝6，
所以P点坐标为（6，2），
所以关于x，y的二元一次方程组的解是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）的综合应用，理解方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题关键．
32．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4）、B（6，0）．现将△A0B折叠，使点A落在OB边的中点A′处，折痕为CD，其中点C在y轴上，点D在AB边上，则点C的坐标为 （0，） ．
【分析】由A（0，4）、B（6，0），A'是OB中点，可得OA'OB＝3，设C（0，m），则OC＝m，AC＝4﹣m，在Rt△A'OC中，用勾股定理可得m，即可得答案．
【解答】解：∵A（0，4）、B（6，0），
∴OA＝4，OB＝6，
∵A'是OB中点，
∴OA'OB＝3，
设C（0，m），则OC＝m，AC＝4﹣m，
∵将△AOB折叠，使点A落在OB边的中点A′处，折痕为CD，
∴A'C＝AC＝4﹣m，
在Rt△A'OC中，OC2+OA'2＝A'C2，
∴m2+32＝（4﹣m）2，
解得m，
∴C（0，），
故答案为：（0，）．
【点评】本题考查直角三角形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用勾股定理列方程．
33．如图1，在△ABC中，AB＝AC．动点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C→A匀速运动回到点A．图2是点P运动过程中，线段AP的长度y（单位：cm）随时间t（单位：s）变化的图象，其中点Q为曲线部分的最低点．则图2中m的值为 6+2 ．
【分析】由题意可知△ABC中AB＝AC＝6cm，BC边上的高为4cm，由勾股定理可求得BC，即可求解．
【解答】解：由题意得，AB的长是y的最大值6cm，
作AD⊥BC于点D，
由题意可知AB＝AC＝6cm，BC边上的高AD＝4cm，由勾股定理可求得BD2，
∴BC＝2BD＝4，
∴m6+2，
故答案为：6+2．
【点评】此题考查了图形与函数图象间关系，关键是根据图象求解出BC的长．
34．如图，正方形A1B1C1O、A2B2C2C1…按照如图所示的方式放置，点A1、A2、A3、…和点C1、C2、C3、…分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上，已知B1（1，1），B2（3，2），B3（7，4），则B2024的坐标是 （22024﹣1，22023） ．
【分析】先求出直线A1A2的解析式，通过罗列点的坐标可得到规律Bn（2n﹣1，2n﹣1），继而求出则B2024的坐标．
【解答】解：∵B1（1，1），B2（3，2），
∴A1（0，1），A2（1，2），
∵A1（0，1），A2（1，2）在直线y＝kx+b图象上，
，
解得，
∴y＝x+1，
∵B2（3，2），
∴A3（3，4），
∴B3（7，4），
∴A4（7，8），
∴B4（15，8），
……，
∴Bn（2n﹣1，2n﹣1），
∴B2024的坐标为（22024﹣1，22023），
故答案为：（22024﹣1，22023）．
【点评】本题考查了点的坐标规律探究、一次函数图象上点的坐标特征，发现点的坐标规律是关键．
三．解答题（共20小题）
35．计算：
（1）；
（2）4；
（3）；
（4）（﹣2）2﹣||．
【分析】（1）利用二次根式的性质及去括号法则先化简，再相加减即可；
（2）利用二次根式的性质先化简，再进行除法运算，最后进行减法运算即可；
（3）利用完全平方公式和平方差公式展开，再相加减即可；
（4）根据乘方的定义、绝对值的性质及二次根式的除法法则先化简，再相加减即可．
【解答】解：（1）
；
（2）4
＝3﹣4
＝﹣1；
（3）
；
（4）（﹣2）2﹣||
．
【点评】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式，平方差公式，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
36．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘除运算法则，进而化简得出答案．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
＝1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
37．计算：
（1）
（2）
【分析】（1）先化简二次根式和计算立方根，再进行合并即可；
（2）直接利用二次根式的乘法运算法则，最后利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
38．（1）计算：；
（2）计算：；
（3）解方程组；
（4）解方程组．
【分析】（1）先把二次根式化简，再合并同类二次根式即可；
（2）根据算术平方根、立方根、零指数幂和绝对值的性质先化简，再合并即可；
（3）利用加减法消元法解答即可；
（4）利用加减法消元法解答即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式＝9﹣（﹣3）+1﹣4
＝9+3+1﹣4
＝13﹣4
＝9；
（3），
①×2得：2x﹣2y＝8③，
③+②得：x＝6，
把x＝6代入①得y＝2，
∴方程组的解为；
（4），
①×4得：8x﹣20y＝36③，
②×5得：25x+20y＝30④，
③+④得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝﹣1，
∴方程组的解为．
【点评】本题考查了二次根式的加减运算，实数的混合运算，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键．
39．解方程组：．
【分析】先将方程组化简得，再利用加减消元法即可求解．
【解答】解：将原方程组化简整理得：，
①+②×2得，3x+4x＝﹣1+16，
∴7x＝15，
解得，，
把代入②得，，
解得，，
∴原方程的解为．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
40．解方程组：
（1）．
（2）已知二元一次方程组的解是，求方程组的解．
【分析】（1）根据加减消元法解方程组即可；
（2）根据题意列出，从而求出原方程组的解．
【解答】解：（1），
原方程组可化为，
①+②得，6x＝12，
解得x＝2，
把x＝2代入①得，y＝﹣1，
∴原方程组的解是；
（2）根据题意得，
解得．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组是解题的关键．
41．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后△ABC的顶点均在格点上．
（1）写出点A、B、C的坐标；
（2）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的图形；
（3）求S△ABC．
【分析】（1）根据坐标系内点的位置可得点的坐标；
（2）根据关于x轴对称的两个点的坐标关系，可得A1（1，﹣3），B1（﹣1，﹣2），C1（2，0），再顺次连接A1、B1、C1即可；
（3）利用割补法求解三角形的面积即可．
【解答】解：（1）由题意可得：A（1，3），B（﹣1，2），C（2，0）；
（2）△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，如图即为所求；
（3）S△ABC＝3×32×13×23×1．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积，解答本题的关键是熟练掌握轴对称的性质．
42．已知三角形的三边长分别为x，y，z，化简：|x﹣y﹣z|+|y+z﹣x|﹣|z﹣x﹣y|．
【分析】＝根据三角形三边关系得到x，y，z的不等式，再去绝对值后计算即可．
【解答】解：∵三角形的三边长分别为x，y，z，
∴y+z＞x，x+y＞z，
∴x﹣y﹣z＜0，y+z﹣x＞0，z﹣x﹣y＜0
∴|x﹣y﹣z|+|y+z﹣x|﹣|z﹣x﹣y|＝y+z﹣x+y+z﹣x+z﹣x﹣y＝﹣3x+y+3z．
【点评】本题考查三角形的三边关系，绝对值，解题的关键是掌握绝对值化简的方法．
43．已知点M（3m﹣2，2m+1），解答下列问题：
（1）若点M与（﹣7，﹣7）关于原点对称，求点m的值；
（2）若点N（3，9），且直线MN平行于x轴，求点M的坐标．
【分析】（1）根据原点对称的两点横纵坐标都互为相反数求解即可；
（2）根据直线MN平行于x轴可得M、N两点纵坐标相等列方程计算即可．
【解答】解：（1）∵点M（3m﹣2，2m+1）与（﹣7，﹣7）关于原点对称，
∴，
解得m＝3；
（2）∵点N（3，9），且直线MN平行于x轴，
∴M点纵坐标为9，
∴2m+1＝9，解得m＝4，
∴M（10，9）．
【点评】本题考查直角坐标系中点的特征，关于原点对称的点坐标特征，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
44．甘肃省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
甲 10 8 9 8 10 9
乙 10 10 10 9 8
（1）求甲的平均成绩的环数；
（2）已知乙的平均成绩是9环，试计算其第二次测试成绩的环数；
（3）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由．
【分析】（1）根据算术平均数的计算公式进行计算即可；
（2）用总成绩减去其余5次的成绩即可得乙第二次测试成绩的环数；
（3）根据方差的计算公式分别计算出甲、乙两人六次测试成绩的方差，再进行比较大小，根据方差小的成绩较稳定确定人选．
【解答】解：（1）（环）．
答：甲的平均成绩是9环．
（2）9×6﹣10﹣10﹣10﹣9﹣8＝7（环）．
答：乙第二次测试成绩为7环．
（3），
，
，甲的成绩较稳定，
因此推荐甲参加全国比赛更合适．
【点评】此题主要考查了计算平均数和方差，关键是掌握平均数和方差的计算公式．
45．为落实“双减”政策，优化作业管理．某中学在八年级随机抽取部分学生对作业完成时间进行调查，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟），按照完成时间分成五组：A组“t≤45”；B组“45＜t≤60”；C组“60＜t≤75”；D组“75＜t≤90”；E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求本这次调查的总人数．
（2）请补全条形统计图．
（3）求A组人数占本次调查人数的百分比．
（4）在扇形统计图中，B组所对应的圆心角度数为 72 度．
【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，
（2）计算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据A组的人数和求出的总人数，即可计算A组所占的百分比；
（4）再进一步计算B组所占的圆心角度数360°即可．
【解答】解：（1）这次调查的学生人数是：25÷25%＝100（人），
答：本这次调查的总人数为100人．
（2）D组的人数为：100﹣10﹣20﹣25﹣5＝40（人）．
（3）A所占的百分比为：100%＝10%，
（4）B组所占的圆心角是：360°72°．
故答案为：72．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
46．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
【分析】根据数轴上点的位置判断出a+1，b﹣1，a﹣b的正负，原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：﹣1＜a＜0＜b＜1，
∴a+1＞0，b﹣1＜0，a﹣b＜0，
则原式＝|a+1|﹣|b﹣1|﹣|a﹣b|＝a+1+b﹣1+a﹣b＝2a．
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，以及实数与数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
47．已知方程组和方程组的解相同，求（2a+b）2024的值．
【分析】由题意可得，解得x，y的值后分别代入ax﹣by＝﹣4，bx+ay＝﹣8中得到关于a，b的方程组，解得a，b的值后代入（2a+b）2024中计算即可．
【解答】解：由题意可得，
解得：，
将分别代入ax﹣by＝﹣4，bx+ay＝﹣8中得，
解得：，
则（2a+b）2024＝（2×1﹣3）2024＝（﹣1）2024＝1．
【点评】本题考查解二元一次方程组，结合已知条件列得并求得它的解是解题的关键．
48．已知：如图，AE⊥BC于M，FG⊥BC于N，∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠D＝∠3+50°，∠CBD＝60°，求∠C的度数．
【分析】（1）根据平行线的判定与性质求解即可；
（2）根据平行线的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴∠AMB＝∠GNB＝90°，
∴AE∥FG，
∴∠A＝∠2，
又∵∠2＝∠1，
∴∠A＝∠1，
∴AB∥CD；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠D+∠CBD+∠3＝180°，
∵∠D＝∠3+50°，∠CBD＝60°，
∴∠3＝35°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠3＝35°．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
49．某工厂生产一种产品，当生产数量至少为20吨，但不超过60吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）之间是一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求出y关于x的函数解析式；
（2）如果每吨的成本是4.8万元，求该产品的生产数量．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出y关于x的函数解析式；
（2）将y＝4.8代入（1）中的函数解析式，即可求得每吨的成本是4.8万元时该产品的生产数量．
【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式是y＝kx+b，
∵点（20，6），（28，5.6）在该函数图象上，
∴，
解得，
即y关于x的函数解析式是y＝﹣0.05x+7；
（2）当y＝4.8时，
4.8＝﹣0.05x+7，
解得x＝44，
答：如果每吨的成本是4.8万元，该产品的生产数量是44吨．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
50．某校七年级400名学生到郊外参加植树活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满：
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
【分析】（1）设每辆小客车能坐x人，每辆大客车能坐y人，根据题意可得等量关系：3辆小客车座的人数+1辆大客车座的人数＝105人；1辆小客车座的人数+2辆大客车座的人数＝110人，根据等量关系列出方程组，再解即可；
（2）①根据题意可得小客车m辆运的人数+大客车n辆运的人数＝400，然后求出整数解即可；②根据①所得方案和小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元分别计算出租金即可．
【解答】解：（1）设每辆小客车能坐x人，每辆大客车能坐y人，
据题意：，
解得：，
答：每辆小客车能坐20人，每辆大客车能坐45人；
（2）①由题意得：20m+45n＝400，
∴n，
∵m、n为非负整数，
∴或 或，
∴租车方案有三种：
方案一：小客车20车、大客车0辆，
方案二：小客车11辆，大客车4辆，
方案三：小客车2辆，大客车8辆；
②方案一租金：150×20＝3000（元），
方案二租金：150×11+250×4＝2650（元），
方案三租金：150×2+250×8＝2300（元），
∴方案三租金最少，最少租金为2300元．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出二元一次方程或方程组．
51．综合与实践
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，若∠A＝50°，则∠BPC＝ 115° ．
（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC的度数（用α表示∠BEC）．
（3）如图3，BQ平分外角∠CBM，CQ平分外角∠BCN．试确定∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；
（2）由角平分线得出∠ECB∠ACB，∠EBD∠ABD．由三角形外角的性质知∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，根据∠EBD∠ABD（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB可得答案；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠QBC与∠QCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【解答】解：（1）∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠PBCABC，∠PCB∠ACB（角平分线的定义），
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（ ∠ABC∠ACB）
＝180°（∠ABC+∠ACB）
＝180°（180°﹣∠A）
＝180°﹣90°∠A
＝90°∠A
＝90
＝115°．
故答案为：115°；
（2）∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，
∴∠ECB∠ACB，∠EBD∠ABD．
∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，
∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，
∴∠EBD∠ABD（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC，
∴∠BEC∠Aα；
（3）结论：∠BQC＝90°∠A．
理由如下：∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，
∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，
∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，
∴∠QBC（∠A+∠ACB），∠QCB（∠A+∠ABC）．
∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，
∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB，
＝180°（∠A+∠ACB）（∠A+∠ABC）
＝180°∠A（∠A+∠ABC+∠ACB）
＝180°∠A﹣90°
＝90°∠A．
【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
52．综合与探究
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与直线l2交于点A，且点A的横坐标为2，直线l1与x轴交于点B，直线l2与x轴、y轴分别交于点C（4，0），点D．
（1）求直线l2的函数表达式和点D的坐标；
（2）设P（x，y）是直线上一点，当△BCP的面积为10时，求点P的坐标；
（3）直线l2上是否存在一点Q，使得△BCQ是以CQ为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出A点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）由P（x，y）是直线l1：yx上一点，根据△BCP的面积为10，可得S△BCP5×|x|＝10，求出x＝7或﹣9，即可得点P的坐标；
（3）设Q（m，m+3），分两种情况讨论，①当CQ＝CB时，②当CQ＝BQ时，分别求解即可即可．
【解答】解：（1）当x＝2时，yx，
∴A（2，），
设直线l2的函数表达式为y＝kx+b，
将点C（4，0），A（2，）代入y＝kx+b得，
∴，
∴直线l2的函数表达式为yx+3，
当x＝0时，y＝3，
∴D（0，3）；
（2）当y＝0时，0x，解得x＝﹣1，
∴B（﹣1，0），
∵C（4，0），
∴BC＝5，
∵P（x，y）是直线l1：yx上一点，
∴yx，
∵△BCP的面积为10，
∴S△BCP5×|x|＝10，
∴x＝7或﹣9，
∴点P的坐标为（7，4）或（﹣9，﹣4）；
（3）设Q（m，m+3），
∵B（﹣1，0），C（4，0），
∴BC2＝52＝25，
BQ2＝（m+1）2+（m+3）2m2m+10，
CQ2＝（m﹣4）2+（m+3）2m2m+25，
①当CQ＝CB时，
m2m+25＝25，解得m＝0或8，
∴点Q的坐标为（0，3）或（8，﹣3）；
②当CQ＝BQ时，
m2m+25m2m+10，解得m，
∴点Q的坐标为（，）；
综上所述：点Q的坐标为（0，3）或（8，﹣3）或（，）．
【点评】本题是一次函数的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数表达式，三角形的面积，等腰三角形的性质．解题关键是能够掌握待定系数法，等腰三角形的性质，利用分类思想解决问题．
53．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于D点，AC＝8，OD＝3OC．
（1）求直线CD的解析式；
（2）点Q为直线AB上一动点，若有，请求出Q点坐标；
（3）点M为直线AB上一动点，点N为y轴上一动点，是否存在以点M，N，C为顶点且以MN为直角边的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点A，B的坐标，再求出点C，D的坐标，然后用待定系数法求解即可；
（2）作QE⊥OD交CD于点E，设，，，表示出QE的长，根据列式求解即可；
（3）分∠CMN＝90°和∠CNM＝90°两种情况求解即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝2，
∴B（0，2）．
当y＝0时，，x＝6，
∴A（6，0）．
∵AC＝8，
∴OC＝2，
∴C（﹣2，0）．
∵OD＝3OC，
∴OD＝6，
∴D（0，6）．
设直线CD的解析式为y＝kx+b，
则，解得：，
∴y＝3x+6；
（2）作QE⊥OD交CD于点E，设，，
∴．
∵A（6，0），B（0，2），
∴．
∵，
∴，
解得或，
∴或；
（3）存在，理由：
当∠CMN＝90°时，如图，作ME⊥OC于点E，作NF⊥EM于点F．
∴∠CEM＝∠MFN＝90°．
∵△CMN是等腰直角三角形，
∴MN＝CM．
∵∠CME+∠ECM＝90°，∠CME+∠FMN＝90°，
∴∠ECM＝∠FMN，
∴△CEM≌△FMN（AAS），
∴ME＝NF．
设，则E（a，0），
∴，
解得或a＝﹣3，
∴M（﹣3，3）或．
当∠CNM＝90°时，如图过点N作EF∥OA，作ME⊥EF于点E，作CF⊥EF于点F．
同理可证：△CEM≌△FMN（AAS），
∴CE＝FM，ME＝NF．
设N（0，n），，则E（a，0），
∴，|n|＝|a|，
解得a＝3或a＝0或a＝﹣6（此时∠CNM≠90°，舍去），
∴M（3，1）．
综上可知，点M的坐标为（﹣3，3）或或（3，1）．
【点评】本题考查了一次函数与几何综合，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的定义，数形结合是解答本题的关键．
54．【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD⊥DE于点D．过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】已知：直线y＝kx+3（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）如图2，当时，在第一象限构造等腰直角△ABE，∠ABE＝90°；
①直接写出OA＝ 2 ，OB＝ 3 ；
②求点E的坐标；
（2）如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作BN⊥AB，并且BN＝AB，连接ON，问△OBN的面积是否为定值，请说明理由；
（3）【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系内，当k＝﹣3时，设直线l与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线PQ绕P点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．
【分析】（1）①若，则直线与x轴，y轴分别交于A（2，0），B（0，3）两点，即可求解；
②作ED⊥OB于D，则△BED≌△ABO．由全等三角形的性质得DE＝OB＝3，BD＝OA＝2，即可求解；
（2）由点A随之在x轴负半轴上运动时，可知k＞0，过点N作NM⊥OB于M，则△BMN≌△AOB．由全等三角形的性质得MN＝OB＝3，根据三角形的面积公式即可求解；
（3）先求出OP＝3，由y＝0得x＝1，进而得出Q（1，0），OQ＝1，再判断出PQ＝SQ，即可判断出OH＝4，SH＝OQ＝1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论．
【解答】解：（1）①若，
则直线y＝kx+3（k≠0）为直线，
当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
当y＝0时，x＝2，
∴A（2，0），
∴OA＝2，OB＝3，
故答案为：2，3；
②作ED⊥OB于D，
∴∠BDE＝∠AOB＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵△ABE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AB＝BE，∠ABE＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴△BED≌△ABO（AAS），
∴DE＝OB＝3，BD＝OA＝2，
∴OD＝OB+BD＝5，
∴点E的坐标为（3，5）；
（2）当k变化时，△OBN的面积是定值，，
理由如下：
∵当k变化时，点A随之在x轴负半轴上运动时，
∴k＞0，
过点N作NM⊥OB于M，
∴∠NMB＝∠AOB＝90°，
∵∠1+∠3＝90°，
∵BN⊥AB，
∴∠ABN＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3，
∵BN＝BA，∠NMB＝∠AOB＝90°，
∴△BMN≌△AOB（AAS）．
∴MN＝OB＝3，
∴，
∴k变化时，△OBN的面积是定值，；
（3）如图4，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，
当k＝﹣3时，设直线l函数关系式为y＝﹣3x+3，
对于直线y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3，
∴P（0，3），
∴OP＝3，
由y＝0得x＝1，
∴Q（1，0），OQ＝1，
∵∠QPR＝45°，
∴∠PSQ＝45°＝∠QPS，
∴PQ＝SQ，
∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP，
∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝3+1＝4，SH＝OQ＝1，
∴S（4，1），
设直线PR为y＝kx+b，则，
解得，
∴直线PR为，
由y＝0得，x＝6，
∴R（6，0）．
【点评】本题是一次函数的综合题，一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确地作出是解题的关键．
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