7.1《为什么要证明》—北师大版数学八年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．在上完数学课后，王磊发现操场上的旗杆与旁边一棵大树的影子好像平行，但他不敢肯定，此时他最好的办法是( )
A．找来三角板、直尺，通过平移三角板来验证影子是否平行
B．作一直线截两影子，并用量角器测出同位角的度数，若相等则影子平行
C．构造几何模型，用已学过的知识证明
D．相信自己，两个影子就是平行的
【答案】B
【知识点】平行线的判定；猜想与证明
【解析】【解答】解：A项，平移三角板，实际不容易操作，比较麻烦，并且不很准确，故本选项不符合题意；
B项，根据同位角相等，两直线平行得出方法正确，并且操作简便，故本选项符合题意；
C项，没有具体的操作方法，故本选项不符合题意；
D项，没有理论依据，故本选项不符合题意．
故选：B．
【分析】根据平行线的判定方法，结合各选项进行判定即可.
2．通过观察，你能肯定的是( )
A．图形中线段是否相等 B．图形中线段是否平行
C．图形中线段是否相交 D．图形中线段是否垂直
【答案】C
【知识点】平面中直线位置关系；线段的长短比较；观察与实验
【解析】【解答】解：图形中的线段是否相等、平行、垂直往往目测不准，但是能判断线段是否相交，
故选 C.
【分析】平面内两直线的位置关系有：平行或相交.线段是否相等、平行、垂直往往目测不准，但是能判断线段是否相交.
3．如图，点P是直线l外一点，过点P 画直线PA，PB，PC，分别交已知直线l于点A，B，C，请你用量角器量∠1，∠2，∠3 的度数，并量线段 PA，PB，PC 的长度，你发现的规律是 °
【答案】在三角形中，随着角度数的增大，角所对着的线段的长度减小.
【知识点】观察与实验
【解析】【解答】解：根据测量得，∠2>∠1>∠3，PC>PA>PB，
故在三角形中，随着角度数的增大，角所对着的线段的长度减小.
故答案为：在三角形中，随着角度数的增大，角所对着的线段的长度减小..
【分析】在三角形中，大角对大边.
4．旋转是一种图形变换，在图形的旋转过程中会产生数量和位置关系的变与不变．如图，∠AOB＝90°，将∠AOB绕点O旋转，∠AOB的边OA始终在直线CD的上方，设∠AOC＝α，∠BOD＝β，甲、乙、丙三位同学给出了如下猜想：甲：α与β一定互余；乙：α与β有可能互补；丙：若α增大，则β一定减小．你认为猜想正确的是( )
A．甲 B．乙 C．甲、丙 D．乙、丙
【答案】B
【知识点】角的运算；猜想与证明
【解析】【解答】解：如图，当OB在直线CD的上方时，、
∵∠AOB＝90°，
∴α+β+∠AOB＝180°，即α+β＝90°，
∴此时α与β互余，α增大，β减小，
如图，当OB在直线CD的下方时且∠BOD＝β＝45°时，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD＝β＝45°，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴α+β＝180°，即α与β有可能互补，故甲错误，乙正确.
如图，当OB在直线CD的下方时，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD＝90°﹣β，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴α﹣β＝90°，即β＝α﹣90°，此时α增大，β增大，故丙错误．
故选：B．
【分析】分OB在直线CD的上方、OB在直线CD的下方时且∠BOD=∠β=45°和OB在直线CD的下方三种情况，分别画图解答即可.
5．（7.1 为什么要证明 分层练习—数学北师大版八年级上册）小明花整数元网购了一本课外书，让同学们猜书的价格.甲说：“至少15元.”乙说：“至多13元.”丙说：“至多10元”.小明说：“你们都猜错了.”这本书的价格为( )
A．12元 B．13元 C．14元 D．无法确定
【答案】C
【知识点】猜想与证明
【解析】【解答】解：由题意可得，
甲、乙、丙的说法都是错误的，
甲的说法错误，说明这本书的价格少于15元；
乙、丙的说法错误，说明这本书的价格高于13元，
所以这本书的价格是14元.
故选：C.
【分析】根据题目中的说法，可以利用排除法，求得《趣数学》的价格，从而可以解答本题.
6．（7.1为什么要证明—数学北师大版八年级上册）下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述中，正确的是（ ）
A．只需观察就可以得出 B．只需依靠经验获得
C．通过亲自实验得出 D．必须进行有根据的推理
【答案】D
【知识点】观察与实验；归纳与类比；猜想与证明
【解析】【解答】解：经验，观察或实验只能为数学活动提供思路，要想得到正确结论，每一步都要有严密的逻辑推理过程，
故选：D.
【分析】先分析每个选项的正确性，再根据数学结论判断的严谨性确定正确选项.
7．（北师大版数学八年级上册7.1 第1课时 为什么要证明 同步练习）先观察再验证：
⑴图1中的实线是 (填“直的”或“弯的”)；
⑵图2中两条线段a，b (填“一样”或“不一样”)长；
⑶图3中的直线AB与CD (填“平行”或“不平行”).
【答案】直的；一样；平行
【知识点】观察与实验
【解析】【解答】（1）图1中的实线是直的，
故答案为：直的.
（2）图2中两条线段a，b一样长，
故答案为：一样.
（3）图3中的直线AB与CD平行，
故答案为：平行.
【分析】（1）在图①中一条黑色的边取两点EF，并延长，通过观察可得出黑色边是直的结论；
（2）测量给定线段长度，得出线段a与b一样长的结论；
（3）判断图③中直线AB与CD是否平行人任在AB上取两点，利用三角板过这两点作CD的垂线，量出两条垂线长度，根据平行线间距离处处相等，得出AB平行CD的结论.
8．在量筒中倒入一定量的水，然后向量筒中投入同一种围棋子.随着投入围棋子数量的增加，量筒中水面会升高.
（1）不做实验，你认为这样的升高是“均匀”的吗 说说你的理由.
（2）实际做一做实验，验证你的想法.
【答案】（1）答：水位升高是均匀的。因为每枚围棋子的体积相同，投入后排开水的体积固定，因此水位每次升高的幅度相同。
（2）答：通过实验记录每次投入相同数量围棋子后的水位变化，发现水位升高的幅度保持一致，验证了水位升高的均匀性。
【知识点】一次函数的概念；猜想与证明
【解析】【分析】（1）根据围棋子的体积相同解答即可；
（2）根据实验的过程验证即可.
二、能力提升
9．（北师大版数学八年级上册7.1 第1课时 为什么要证明 同步练习）当n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10时，代数式n2＋3n＋2的值总是一个合数，那么对于所有的自然数n，代数式n2＋3n＋2的值 (填“一定”或“不一定”)是合数.
【答案】不一定
【知识点】归纳与类比；猜想与证明
【解析】【解答】解：合数是除了它本身和1之外，还有别的约数的数，
当自然数n=0时，代数式n2+3n+2的值为：02+3×0+2=2.
而2的约数只有它本身和1，它是质数
∴对于所有的自然数n，代数式n2+3n-2的值不一定是合数，
故答案为：不一定.
【分析】先明确自然数的范围，再通过代入特殊值判断代数式的值是否一定为合数.
10．（北师大版数学八年级上册7.1 第1课时 为什么要证明 同步练习）下列说法正确的是( )
A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否
B．推理是数学家的事，与我们学生没有多大关系
C．对于自然数n，代数式n2＋n＋3的值一定是质数
D．有10个人订了9个房间，则至少有一个房间的人数不少于2
【答案】D
【知识点】观察与实验；归纳与类比；猜想与证明
【解析】【解答】解：判断一个数学结论的正确与否还要进行推理论证，A不符合题意；
推理对于每个人都很重要，B不符合题意；
当n=2时，n2+n+3=9，9不是质数，C不符合题意；
有10个人订了9个房间，则至少有一个房间的人数不少于2，D符合题意；
故选：D.
【分析】根据推理的意义、质数的概念、抽屉原则对各个选项进行分析判断.
11．在计算机程序中，二叉树是一种表示数据结构的方法.如图，一层二叉树的结点总数为1，二层二叉树的结点总数为3，三层二叉树的结点总数为7……照此规律，七层二叉树的结点总数为( ).
A．63 B．64 C．127 D．128
【答案】C
【知识点】用代数式表示图形变化规律；归纳与类比
【解析】【解答】解： 根据图形观察得：
一层二叉树的结点总数 为：，
二层二叉树的结点总数为：，
三层二叉树的结点总数为 ：
层二叉树的结点总数为：
七层二叉树的结点总数为：
故答案为：Ｃ
【分析】根据图形，找出规律便可求解．
12．（2024七下·中山期中）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为，宽为，，两点在网格格点上，若点也在网格格点上，以，，为顶点的三角形的面积为，则满足条件的点有 个．
【答案】4
【知识点】三角形的面积；三角形相关概念；观察与实验
【解析】【解答】根据题意，遍历网络中的所有点，发现符合条件的点C点，如下图：
故答案为：4．
【分析】本题考查在格点中找寻符合要求的点，根据题意，逐一尝试在网格中寻找符合条件的点，得到符合条件的点的个数，即可得到答案.
13．（2024七上·北京市期中）一组按规律排列的代数式为：，，，，，…，则第7个代数式为 ，第n个代数式为 ．
【答案】；
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则；单项式的次数与系数；归纳与类比
【解析】【解答】解：由题意知，
所给代数式的系数依次为：，，，，，…，
所以第个代数式的系数为；
所给代数式的次数依次为：，，，，，…，
所以第个代数式的次数为，
所以第个代数式可表示为：．
当时，
第个代数式为．
故答案为：，．
【分析】根据所给单项式，观察其系数及次数的变化，发现规律 观察给定的代数式序列： a 2 ， a 4 3 ， a 6 5 ， a 8 7 ， a 10 9 。可以得出以下规律：
符号：第奇数个项是负数，第偶数个项是正数。
分母：分母是一个奇数序列，从 1 开始，每次加 2 ，即分母为 2 n 1 。
分子的幂次：分子是 a 的幂次，幂次随着项数的增加而增加，且为偶数，每次增加 2 ，即幂次为 2 n 。
基于上述规律，得出第 n 个代数式的表达式为：
将n = 7 代入表达式求解．
14．（7.1为什么要证明—数学北师大版八年级上册）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动，已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
工序 A B C D E F G
所需时间/分 9 9 7 9 7 10 2
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 分钟.
【答案】53；28
【知识点】观察与实验；归纳与类比；猜想与证明
【解析】【解答】解：由题意得：9+9+7+9+7+10+2=53(分钟)，
即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；
假设这两名学生为甲、乙，
∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟
完成，
∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟，
然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟，最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟，
∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要9+9+10=28(分钟)，
故答案为：53，28.
【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，然后可得答案.
15．（2025七上·凉州期中）某学校在布置食堂时，购置了一批餐桌和餐椅，现有以下两种摆放方式：
（1）当有4张餐桌时，方案一能摆_____把餐椅，方案二能摆_____把餐椅；
（2）当有张餐桌时，方案一能摆_____把餐椅，方案二能摆_____把餐椅；（用含的代数式表示）
（3）午休时有320名学生需要就餐，但学校只有150张这样的餐桌，如果只选择一种方案来摆放桌椅，应选择哪种方案？请说明理由．
【答案】（1）18，12
（2），
（3）解：应选择方案一，理由如下：
方案一：当时，，
方案二：当时，，
所以应选择方案一．
【知识点】有理数的加法实际应用；用代数式表示实际问题中的数量关系；用代数式表示图形变化规律；求代数式的值-直接代入求值；归纳与类比
【解析】【解答】（1）解：由图可知，方案一：每增加一张餐桌，可以多摆4把餐椅；
方案二：每增加一张餐桌，可以多摆2把餐椅；
则当有4张餐桌时，方案一能摆餐椅的数量为（把）；方案二能摆餐椅的数量为（把），
故答案为：18，12．
（2）解：方案一：当有1张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把），
当有2张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把），
当有3张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把），
归纳类推得：当有张餐桌时，方案一能摆把餐椅．
方案二：当有1张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把），
当有2张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把），
当有3张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把），
归纳类推得：当有张餐桌时，方案二能摆把餐椅．
故答案为：，．
【分析】（1）根据图形得方案一：每增加一张餐桌，多摆4把餐椅；方案二：每增加一张餐桌，多摆2把餐椅；列式计算；
（2）根据图形得方案一：每增加一张餐桌，可以多摆4把餐椅，当有张餐桌时，摆把餐椅；
方案二：每增加一张餐桌，可以多摆2把餐椅，当有张餐桌时，摆把餐椅；
（3）将代入（2）的结论中，比较大小确定方案．
（1）解：由图可知，方案一：每增加一张餐桌，可以多摆4把餐椅；
方案二：每增加一张餐桌，可以多摆2把餐椅；
则当有4张餐桌时，方案一能摆餐椅的数量为（把）；方案二能摆餐椅的数量为（把），
故答案为：18，12．
（2）解：方案一：当有1张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把），
当有2张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把），
当有3张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把），
归纳类推得：当有张餐桌时，方案一能摆把餐椅．
方案二：当有1张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把），
当有2张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把），
当有3张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把），
归纳类推得：当有张餐桌时，方案二能摆把餐椅．
故答案为：，．
（3）解：应选择方案一，理由如下：
方案一：当时，，
方案二：当时，，
所以应选择方案一．
16．（2025八上·武安期中）在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为共边偏差三角形．如图1，AB是公共边，，．则△ABC与△ABD是共边偏差三角形．
（1）如图2，在线段AD上找一点E，连接CE，使得△ACE与△ACD是共边偏差三角形，并简要说明理由；
（2）在图2中，已知，，求证：△ACB与△ACD是共边偏差三角形．
【答案】（1）解：在AD上取点E，使得，则点E即为所求．
理由：
∵AC是公共边，，
∴△ACE与△ACD是共边偏差三角形．
（2）证明：由（1）作法可知，∴．
又∵，，
∴，
又∵，，
∴△ABC≌△AEC（AAS）．
∴．
∴．
在△ACB与△ACD中，
∵AC是公共边，，，
∴△ACB与△ACD是共边偏差三角形．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；归纳与类比
【解析】【分析】（1）要使△ACE与△ACD是共边偏差三角形，根据定义：需有一组公共边，另一组边相等且对应角相等。观察到AC是公共边，因此需构造CE=CD，此时∠A为公共角（即另一组等边CE与CD所对的角均为∠A），故在线段AD上取点E，使CE=CD，连接CE即可；
（2）根据AC是公共边，∠1=∠2，可证△ABC≌△AEC，再证BC=CD，即可得出结论．
（1）解：在AD上取点E，使得，则点E即为所求．
理由：
∵AC是公共边，，
∴△ACE与△ACD是共边偏差三角形．
（2）证明：由（1）作法可知，
∴．
又∵，，
∴，
又∵，，
∴△ABC≌△AEC（AAS）．
∴．
∴．
在△ACB与△ACD中，
∵AC是公共边，，，
∴△ACB与△ACD是共边偏差三角形．
17．（北师大版数学八年级上册7.1 第1课时 为什么要证明 同步练习）请仔细观察下面的图形，回答下列问题：
（1）如图1，小棒中间部分比两端宽吗？如图2，六条纵向直线互相平行吗？
（2）你对自己的结论有十分的把握吗？此时你应该怎样做？经过验证后的结论是什么？
（3）谈一谈解答这一题目的体会.
【答案】（1）解：小棒中间部分比两端宽
（2）解：没有.用直尺测量.用直尺测量后，发现小棒中间与两端一样宽
（3）解：可以看出，仅由观察、猜想获得的结论不一定正确，必须经过验证
【知识点】观察与实验
【解析】【分析】(1)观察图形，根据视觉感受判断小棒中间部分比两端荒；
（2）由于仅靠观察结论不一定准确，所以使用直尺测量通过测量数据判断小棒中间与两端的宽度情况；
（3）从测量结果得出仅由观察、猜想获得的结论不一定正确，必须经过验证的体会.
1 / 17.1《为什么要证明》—北师大版数学八年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．在上完数学课后，王磊发现操场上的旗杆与旁边一棵大树的影子好像平行，但他不敢肯定，此时他最好的办法是( )
A．找来三角板、直尺，通过平移三角板来验证影子是否平行
B．作一直线截两影子，并用量角器测出同位角的度数，若相等则影子平行
C．构造几何模型，用已学过的知识证明
D．相信自己，两个影子就是平行的
2．通过观察，你能肯定的是( )
A．图形中线段是否相等 B．图形中线段是否平行
C．图形中线段是否相交 D．图形中线段是否垂直
3．如图，点P是直线l外一点，过点P 画直线PA，PB，PC，分别交已知直线l于点A，B，C，请你用量角器量∠1，∠2，∠3 的度数，并量线段 PA，PB，PC 的长度，你发现的规律是 °
4．旋转是一种图形变换，在图形的旋转过程中会产生数量和位置关系的变与不变．如图，∠AOB＝90°，将∠AOB绕点O旋转，∠AOB的边OA始终在直线CD的上方，设∠AOC＝α，∠BOD＝β，甲、乙、丙三位同学给出了如下猜想：甲：α与β一定互余；乙：α与β有可能互补；丙：若α增大，则β一定减小．你认为猜想正确的是( )
A．甲 B．乙 C．甲、丙 D．乙、丙
5．（7.1 为什么要证明 分层练习—数学北师大版八年级上册）小明花整数元网购了一本课外书，让同学们猜书的价格.甲说：“至少15元.”乙说：“至多13元.”丙说：“至多10元”.小明说：“你们都猜错了.”这本书的价格为( )
A．12元 B．13元 C．14元 D．无法确定
6．（7.1为什么要证明—数学北师大版八年级上册）下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述中，正确的是（ ）
A．只需观察就可以得出 B．只需依靠经验获得
C．通过亲自实验得出 D．必须进行有根据的推理
7．（北师大版数学八年级上册7.1 第1课时 为什么要证明 同步练习）先观察再验证：
⑴图1中的实线是 (填“直的”或“弯的”)；
⑵图2中两条线段a，b (填“一样”或“不一样”)长；
⑶图3中的直线AB与CD (填“平行”或“不平行”).
8．在量筒中倒入一定量的水，然后向量筒中投入同一种围棋子.随着投入围棋子数量的增加，量筒中水面会升高.
（1）不做实验，你认为这样的升高是“均匀”的吗 说说你的理由.
（2）实际做一做实验，验证你的想法.
二、能力提升
9．（北师大版数学八年级上册7.1 第1课时 为什么要证明 同步练习）当n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10时，代数式n2＋3n＋2的值总是一个合数，那么对于所有的自然数n，代数式n2＋3n＋2的值 (填“一定”或“不一定”)是合数.
10．（北师大版数学八年级上册7.1 第1课时 为什么要证明 同步练习）下列说法正确的是( )
A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否
B．推理是数学家的事，与我们学生没有多大关系
C．对于自然数n，代数式n2＋n＋3的值一定是质数
D．有10个人订了9个房间，则至少有一个房间的人数不少于2
11．在计算机程序中，二叉树是一种表示数据结构的方法.如图，一层二叉树的结点总数为1，二层二叉树的结点总数为3，三层二叉树的结点总数为7……照此规律，七层二叉树的结点总数为( ).
A．63 B．64 C．127 D．128
12．（2024七下·中山期中）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为，宽为，，两点在网格格点上，若点也在网格格点上，以，，为顶点的三角形的面积为，则满足条件的点有 个．
13．（2024七上·北京市期中）一组按规律排列的代数式为：，，，，，…，则第7个代数式为 ，第n个代数式为 ．
14．（7.1为什么要证明—数学北师大版八年级上册）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动，已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
工序 A B C D E F G
所需时间/分 9 9 7 9 7 10 2
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 分钟.
15．（2025七上·凉州期中）某学校在布置食堂时，购置了一批餐桌和餐椅，现有以下两种摆放方式：
（1）当有4张餐桌时，方案一能摆_____把餐椅，方案二能摆_____把餐椅；
（2）当有张餐桌时，方案一能摆_____把餐椅，方案二能摆_____把餐椅；（用含的代数式表示）
（3）午休时有320名学生需要就餐，但学校只有150张这样的餐桌，如果只选择一种方案来摆放桌椅，应选择哪种方案？请说明理由．
16．（2025八上·武安期中）在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为共边偏差三角形．如图1，AB是公共边，，．则△ABC与△ABD是共边偏差三角形．
（1）如图2，在线段AD上找一点E，连接CE，使得△ACE与△ACD是共边偏差三角形，并简要说明理由；
（2）在图2中，已知，，求证：△ACB与△ACD是共边偏差三角形．
17．（北师大版数学八年级上册7.1 第1课时 为什么要证明 同步练习）请仔细观察下面的图形，回答下列问题：
（1）如图1，小棒中间部分比两端宽吗？如图2，六条纵向直线互相平行吗？
（2）你对自己的结论有十分的把握吗？此时你应该怎样做？经过验证后的结论是什么？
（3）谈一谈解答这一题目的体会.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的判定；猜想与证明
【解析】【解答】解：A项，平移三角板，实际不容易操作，比较麻烦，并且不很准确，故本选项不符合题意；
B项，根据同位角相等，两直线平行得出方法正确，并且操作简便，故本选项符合题意；
C项，没有具体的操作方法，故本选项不符合题意；
D项，没有理论依据，故本选项不符合题意．
故选：B．
【分析】根据平行线的判定方法，结合各选项进行判定即可.
2．【答案】C
【知识点】平面中直线位置关系；线段的长短比较；观察与实验
【解析】【解答】解：图形中的线段是否相等、平行、垂直往往目测不准，但是能判断线段是否相交，
故选 C.
【分析】平面内两直线的位置关系有：平行或相交.线段是否相等、平行、垂直往往目测不准，但是能判断线段是否相交.
3．【答案】在三角形中，随着角度数的增大，角所对着的线段的长度减小.
【知识点】观察与实验
【解析】【解答】解：根据测量得，∠2>∠1>∠3，PC>PA>PB，
故在三角形中，随着角度数的增大，角所对着的线段的长度减小.
故答案为：在三角形中，随着角度数的增大，角所对着的线段的长度减小..
【分析】在三角形中，大角对大边.
4．【答案】B
【知识点】角的运算；猜想与证明
【解析】【解答】解：如图，当OB在直线CD的上方时，、
∵∠AOB＝90°，
∴α+β+∠AOB＝180°，即α+β＝90°，
∴此时α与β互余，α增大，β减小，
如图，当OB在直线CD的下方时且∠BOD＝β＝45°时，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD＝β＝45°，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴α+β＝180°，即α与β有可能互补，故甲错误，乙正确.
如图，当OB在直线CD的下方时，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD＝90°﹣β，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴α﹣β＝90°，即β＝α﹣90°，此时α增大，β增大，故丙错误．
故选：B．
【分析】分OB在直线CD的上方、OB在直线CD的下方时且∠BOD=∠β=45°和OB在直线CD的下方三种情况，分别画图解答即可.
5．【答案】C
【知识点】猜想与证明
【解析】【解答】解：由题意可得，
甲、乙、丙的说法都是错误的，
甲的说法错误，说明这本书的价格少于15元；
乙、丙的说法错误，说明这本书的价格高于13元，
所以这本书的价格是14元.
故选：C.
【分析】根据题目中的说法，可以利用排除法，求得《趣数学》的价格，从而可以解答本题.
6．【答案】D
【知识点】观察与实验；归纳与类比；猜想与证明
【解析】【解答】解：经验，观察或实验只能为数学活动提供思路，要想得到正确结论，每一步都要有严密的逻辑推理过程，
故选：D.
【分析】先分析每个选项的正确性，再根据数学结论判断的严谨性确定正确选项.
7．【答案】直的；一样；平行
【知识点】观察与实验
【解析】【解答】（1）图1中的实线是直的，
故答案为：直的.
（2）图2中两条线段a，b一样长，
故答案为：一样.
（3）图3中的直线AB与CD平行，
故答案为：平行.
【分析】（1）在图①中一条黑色的边取两点EF，并延长，通过观察可得出黑色边是直的结论；
（2）测量给定线段长度，得出线段a与b一样长的结论；
（3）判断图③中直线AB与CD是否平行人任在AB上取两点，利用三角板过这两点作CD的垂线，量出两条垂线长度，根据平行线间距离处处相等，得出AB平行CD的结论.
8．【答案】（1）答：水位升高是均匀的。因为每枚围棋子的体积相同，投入后排开水的体积固定，因此水位每次升高的幅度相同。
（2）答：通过实验记录每次投入相同数量围棋子后的水位变化，发现水位升高的幅度保持一致，验证了水位升高的均匀性。
【知识点】一次函数的概念；猜想与证明
【解析】【分析】（1）根据围棋子的体积相同解答即可；
（2）根据实验的过程验证即可.
9．【答案】不一定
【知识点】归纳与类比；猜想与证明
【解析】【解答】解：合数是除了它本身和1之外，还有别的约数的数，
当自然数n=0时，代数式n2+3n+2的值为：02+3×0+2=2.
而2的约数只有它本身和1，它是质数
∴对于所有的自然数n，代数式n2+3n-2的值不一定是合数，
故答案为：不一定.
【分析】先明确自然数的范围，再通过代入特殊值判断代数式的值是否一定为合数.
10．【答案】D
【知识点】观察与实验；归纳与类比；猜想与证明
【解析】【解答】解：判断一个数学结论的正确与否还要进行推理论证，A不符合题意；
推理对于每个人都很重要，B不符合题意；
当n=2时，n2+n+3=9，9不是质数，C不符合题意；
有10个人订了9个房间，则至少有一个房间的人数不少于2，D符合题意；
故选：D.
【分析】根据推理的意义、质数的概念、抽屉原则对各个选项进行分析判断.
11．【答案】C
【知识点】用代数式表示图形变化规律；归纳与类比
【解析】【解答】解： 根据图形观察得：
一层二叉树的结点总数 为：，
二层二叉树的结点总数为：，
三层二叉树的结点总数为 ：
层二叉树的结点总数为：
七层二叉树的结点总数为：
故答案为：Ｃ
【分析】根据图形，找出规律便可求解．
12．【答案】4
【知识点】三角形的面积；三角形相关概念；观察与实验
【解析】【解答】根据题意，遍历网络中的所有点，发现符合条件的点C点，如下图：
故答案为：4．
【分析】本题考查在格点中找寻符合要求的点，根据题意，逐一尝试在网格中寻找符合条件的点，得到符合条件的点的个数，即可得到答案.
13．【答案】；
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则；单项式的次数与系数；归纳与类比
【解析】【解答】解：由题意知，
所给代数式的系数依次为：，，，，，…，
所以第个代数式的系数为；
所给代数式的次数依次为：，，，，，…，
所以第个代数式的次数为，
所以第个代数式可表示为：．
当时，
第个代数式为．
故答案为：，．
【分析】根据所给单项式，观察其系数及次数的变化，发现规律 观察给定的代数式序列： a 2 ， a 4 3 ， a 6 5 ， a 8 7 ， a 10 9 。可以得出以下规律：
符号：第奇数个项是负数，第偶数个项是正数。
分母：分母是一个奇数序列，从 1 开始，每次加 2 ，即分母为 2 n 1 。
分子的幂次：分子是 a 的幂次，幂次随着项数的增加而增加，且为偶数，每次增加 2 ，即幂次为 2 n 。
基于上述规律，得出第 n 个代数式的表达式为：
将n = 7 代入表达式求解．
14．【答案】53；28
【知识点】观察与实验；归纳与类比；猜想与证明
【解析】【解答】解：由题意得：9+9+7+9+7+10+2=53(分钟)，
即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；
假设这两名学生为甲、乙，
∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟
完成，
∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟，
然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟，最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟，
∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要9+9+10=28(分钟)，
故答案为：53，28.
【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，然后可得答案.
15．【答案】（1）18，12
（2），
（3）解：应选择方案一，理由如下：
方案一：当时，，
方案二：当时，，
所以应选择方案一．
【知识点】有理数的加法实际应用；用代数式表示实际问题中的数量关系；用代数式表示图形变化规律；求代数式的值-直接代入求值；归纳与类比
【解析】【解答】（1）解：由图可知，方案一：每增加一张餐桌，可以多摆4把餐椅；
方案二：每增加一张餐桌，可以多摆2把餐椅；
则当有4张餐桌时，方案一能摆餐椅的数量为（把）；方案二能摆餐椅的数量为（把），
故答案为：18，12．
（2）解：方案一：当有1张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把），
当有2张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把），
当有3张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把），
归纳类推得：当有张餐桌时，方案一能摆把餐椅．
方案二：当有1张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把），
当有2张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把），
当有3张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把），
归纳类推得：当有张餐桌时，方案二能摆把餐椅．
故答案为：，．
【分析】（1）根据图形得方案一：每增加一张餐桌，多摆4把餐椅；方案二：每增加一张餐桌，多摆2把餐椅；列式计算；
（2）根据图形得方案一：每增加一张餐桌，可以多摆4把餐椅，当有张餐桌时，摆把餐椅；
方案二：每增加一张餐桌，可以多摆2把餐椅，当有张餐桌时，摆把餐椅；
（3）将代入（2）的结论中，比较大小确定方案．
（1）解：由图可知，方案一：每增加一张餐桌，可以多摆4把餐椅；
方案二：每增加一张餐桌，可以多摆2把餐椅；
则当有4张餐桌时，方案一能摆餐椅的数量为（把）；方案二能摆餐椅的数量为（把），
故答案为：18，12．
（2）解：方案一：当有1张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把），
当有2张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把），
当有3张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把），
归纳类推得：当有张餐桌时，方案一能摆把餐椅．
方案二：当有1张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把），
当有2张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把），
当有3张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把），
归纳类推得：当有张餐桌时，方案二能摆把餐椅．
故答案为：，．
（3）解：应选择方案一，理由如下：
方案一：当时，，
方案二：当时，，
所以应选择方案一．
16．【答案】（1）解：在AD上取点E，使得，则点E即为所求．
理由：
∵AC是公共边，，
∴△ACE与△ACD是共边偏差三角形．
（2）证明：由（1）作法可知，∴．
又∵，，
∴，
又∵，，
∴△ABC≌△AEC（AAS）．
∴．
∴．
在△ACB与△ACD中，
∵AC是公共边，，，
∴△ACB与△ACD是共边偏差三角形．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；归纳与类比
【解析】【分析】（1）要使△ACE与△ACD是共边偏差三角形，根据定义：需有一组公共边，另一组边相等且对应角相等。观察到AC是公共边，因此需构造CE=CD，此时∠A为公共角（即另一组等边CE与CD所对的角均为∠A），故在线段AD上取点E，使CE=CD，连接CE即可；
（2）根据AC是公共边，∠1=∠2，可证△ABC≌△AEC，再证BC=CD，即可得出结论．
（1）解：在AD上取点E，使得，则点E即为所求．
理由：
∵AC是公共边，，
∴△ACE与△ACD是共边偏差三角形．
（2）证明：由（1）作法可知，
∴．
又∵，，
∴，
又∵，，
∴△ABC≌△AEC（AAS）．
∴．
∴．
在△ACB与△ACD中，
∵AC是公共边，，，
∴△ACB与△ACD是共边偏差三角形．
17．【答案】（1）解：小棒中间部分比两端宽
（2）解：没有.用直尺测量.用直尺测量后，发现小棒中间与两端一样宽
（3）解：可以看出，仅由观察、猜想获得的结论不一定正确，必须经过验证
【知识点】观察与实验
【解析】【分析】(1)观察图形，根据视觉感受判断小棒中间部分比两端荒；
（2）由于仅靠观察结论不一定准确，所以使用直尺测量通过测量数据判断小棒中间与两端的宽度情况；
（3）从测量结果得出仅由观察、猜想获得的结论不一定正确，必须经过验证的体会.
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