7.2《认识证明》（1）—北师大版数学八年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．（2025八上·绍兴期中）下列句子中，属于命题的是（ ）
A．垂线段最短 B．作一个角等于已知角
C．将16开平方 D．负数小于正数吗？
2．（2025八上·玉环期中） 对于命题“如果∠1+∠2>90°， 那么∠1， ∠2都大于45°°能说明它是假命题的反例是 ( )
A．∠1=∠2=45° B．∠1=50°， ∠2=50°
C．∠1=45°， ∠2=50° D．∠1=46°， ∠2=40°
3．（2025八上·慈溪期中）下列句子是命题的是（ ）
A．画 B．小于直角的角是锐角吗？
C．连接 D．三角形的内角和为
4．（2025八上·新昌期中） 对于命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以
是（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．（2025八上·柯桥期中）下面的语句是假命题的是（ ）
A．同旁内角互补
B．数轴上每一个点都有一个实数与之对应
C．垂线段最短
D．直角的补角是直角
6．（2025八上·永康期中）已知命题 ，则a>b”是假命题，请举出一个反例
7．（北师大版数学八年级上册7.2认识证明 同步练习）下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ③a，b为实数，若 ；④同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；⑤同旁内角互补，两直线平行．请把你认为是这真命题的序号填在横线上 ．
8．要说明命题“无限小数都是无理数”是假命题，可以举的反例是 ．
9．（2025八上·杭州月考）把命题“两直线平行，同位角相等”改写成“如果···那么···”的形式是： .
10．下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题 请说说你的理由.
（1）绝对值最小的数是0；
（2）相等的角是对顶角；
（3）一个角的补角大于这个角；
（4）在同一平面内，如果直线a⊥l，b⊥l，那么a∥b.
二、能力提升
11．（2025七上·绍兴期中）下列说法正确的个数是（ ）
①最小的负整数是-1； ②所有无理数都能用数轴上的点表示；
③所有实数的绝对值都大于0； ④两个无理数的和是无理数
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
12．（2024八上·遂川期末）下列句子中不是命题的是（ ）
A．明天会下雨 B．两直线平行，同旁内角互补
C．三角形的内角和是180度吗 D．同角的余角相等
13．（2025八上·鄞州期中） 对于命题“如果，那么”，能说明该命题为假命题的反例是（ ）
A．， B．， C．， D．，
14．下列命题：①一个锐角与一个钝角的和等于平角；②互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；③若｜a－2｜＋｜b＋3｜＝0，则a＝2，b＝－3；④两条直线相交，有2对对顶角.其中是真命题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．下列命题是假命题的有（ ）
①若a2＝b2，则a＝b；②一个角的余角大于这个角；③若a，b是有理数，则｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜；④如果∠A＝∠B，那么∠A与∠B是对顶角.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．对于命题“若a＞b，则a2＞b2”，举出能说明这个命题是假命题的一组a，b的值，则a＝ ，b＝ ．
17．（2022八上·长安期末）把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式： .
18．（2024七下·洪山月考）有下列四个命题：①开方开不尽的数是无理数；②同位角相等；③0.01是0.1的一个平方根；④无理数和有理数的乘积可能是无理数；⑤；⑥直线外一点到该直线的所有线段中垂线最短；⑦不相交的两条直线叫做平行线；⑧过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．是真命题的命题有 ．
19．（2024七下·石家庄期末）命题“若中的，则是直角三角形”是 .（填“真命题”或“假命题”）
20．
（1）如图，DE∥BC，∠1=∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB.
（2）若把(1)中的题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是不是真命题 试说明理由.
21．如图，已知直线 EF∥GH，给出下列信息：①AC⊥BC；②CB 平分∠DCH；③∠ACD=∠DAC.
（1）请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，剩余的一条信息作为结论组成一个命题，你选择的条件是 ▲ ，结论是 ▲ (只需填写序号)，并加以证明；
（2）在(1)的条件下，若∠ACG 比∠BCH 的2倍少3°，求∠DAC的度数.
22．（2025九上·婺城期末）对于一个任意的四位数，若的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，我们称这样的四位数为“稳定数”．例如：四位数3197，因为，所以四位数3197是稳定数．
（1）填空：2025 稳定数（填“是”或“不是”）；
（2）已知一个稳定数的千位数字为1，百位数字为9，求这个稳定数；
（3）命题“两个稳定数的和仍是稳定数”是真命题还是假命题？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：A、是命题，故本选项符合题意；
B、不是命题，故本选项不符合题意；
C、不是命题，故本选项不符合题意；
D、不是命题，故本选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据命题的定义逐一判断即可.
2．【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、∠1=∠2=45°时， ∠1+∠2=90°，不能说明如果∠1+∠2>90°，那么∠1、∠2都大于45°是假命题，不符合题意；
B、∠1=50°， ∠2=50°时， ∠1+∠2>90°， ∠1、∠2都大于45°，不能说明如果∠1+∠2>90°，那么∠1、∠2都大于45°是假命题，不符合题意；
C、∠1=45°， ∠2=50°时， ∠1+∠2>90°， ∠1、∠2不都大于45°，说明如果∠1+∠2>90°，那么∠1、∠2都大于45°是假命题，符合题意；
D、∠1=46°， ∠2=40°时， ∠1+∠2<90°，不能说明如果∠1+∠2>90°，那么∠1、∠2都大于45°是假命题，不符合题意；
故答案为：C .
【分析】根据反例是举出的例子能够使得题设成立，而结论不成立的例子逐项判断解答即可.
3．【答案】D
【知识点】命题的概念与组成
【解析】【解答】解：三角形内角和等于 是命题；
小于直角的角是锐角吗，是询问的语句；
画 联结CD是描述性语句，都不是命题，
正确的只有D.
故选：D.
【分析】根据命题的定义“判断一件事情的语句是命题”即可作出判断.
4．【答案】B
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：∵命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，
∴当，时，若，则，A不符合题意，
∴当，时，若，则，B符合题意，
∴当，时，若，则，C不符合题意，
∴当，时，不符合若，不符合题意，
故选：B．
【分析】根据举反例是举出的例子使得条件成立而结论不成立，由此逐一判断解答即可．
5．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；垂线段最短及其应用；真命题与假命题；补角
【解析】【解答】解：对A选项，两直线平行，同旁内角互补，为假命题，故A符合题意；
对B选项，数轴上每一个点都有一个实数与之对应，为真命题，故B不符合题意；
对C选项，垂线段最短，为真命题，故C不符合题意；
对D选项，直角的补角是直角，为真命题，故D不符合题意；
故答案：A.
【分析】分别判断各选项中命题的真假，即可得结果.
6．【答案】a=-1，b=0
【知识点】有理数的乘方法则；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：∵命题 ，则a>b”，
∴当a=-1，b=0时，a2=1，b2=0，
∴a2>b2
此时a∴命题 ，则a>b”是假命题的反例可以是a=-1，b=0.
故答案为：a=-1，b=0 .
【分析】根据反例的定义给出符合题意的例子即可.
7．【答案】④⑤
【知识点】垂线的概念；平行线的判定；真命题与假命题；相反数的意义与性质；平行公理
【解析】【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①是假命题；
②两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故②是假命题；
③a，b为实数，若a2=b2，如22=(-2)2，但，故是假命题；
④同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故④是真命题；
⑤同旁内角互补，两条直线平行，故是真命题；
故答案为：④⑤.
【分析】对于①，根据平行公理判断即可；对于②根据平行线的判定定理判断即可；对于③，举a、b互为相反数的例子判断即可；对于④，结合垂直定义，根据平行线的判定定理即可作出判断；对于⑤，根据平行线的判定定理作出判断即可.
8．【答案】0.101 010…(答案不唯一)
【知识点】无理数的概念；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：0.101 010…是无限循环小数，是有理数，不是无理数，
∴命题“无限小数都是无理数”是假命题，
故答案为：0.101 010…(答案不唯一)．
【分析】根据无限不循环小数是无理数判断.
9．【答案】如果两直线平行，那么同位角相等
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：“两直线平行，同位角相等”的条件是：“两直线平行”，结论为：“同位角相等”.
写成“如果...，那么...”的形式为：“如果两直线平行，那么同位角相等”，
故答案为：如果两直线平行，那么同位角相等.
【分析】一个命题都能写成“如果...那么...”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论.
10．【答案】（1）解：真命题.
理由：0的绝对值是0，正数和负数的绝对值都是正数，都大于0.
（2）解：假命题.
反例：两直线平行，同位角相等，而同位角不是对顶角.
（3）解：假命题.
反例：120°角的补角是60°，而60°小于120°.
（4）解：真命题.
理由：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行.
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】(1)任何实数的绝对值为非负数，故绝对值最小的是0；
(2)举出平行线间的同位角，即可判断；
(3)举反例，可判断为假命题；
(4)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.
11．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的加减法；绝对值的非负性；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解： 最大的负整数是-1 ，即①不正确；实数与数轴上的点一 一对应，故②正确；0的绝对值为0，故③不正确；，故④不正确.
因此正确的个数为1，
故答案为：A.
【分析】举反例验证①③④错误.
12．【答案】C
【知识点】命题的概念与组成
【解析】【解答】解：能够判断真假的陈述句叫做命题，故
A：明天会下雨，陈述，是命题，不符合题意
B：两直线平行，同旁内角互补，是命题，不符合题意
C：三角形的内角和是180度吗，是疑问句，不是表示判定的陈述，不是命题，符合要求
D：同角的余角相等，是命题，不符合题意
故答案为：C
【分析】根据命题的定义进行判定即可，能够判断真假的陈述句叫做命题，C是问句可直接选出。
13．【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：若，则
故答案为：C .
【分析】如果两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数.
14．【答案】C
【知识点】真命题与假命题；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解： 一个锐角（小于90°）与一个钝角（大于90°但小于180°）的和不一定等于平角（180°）。例如，锐角为30°，钝角为100°，和为130°≠180°。因此命题①是假命题；
互为邻补角的两个角之和为180°，其平分线将各自角分为两半。设邻补角为 α 和 180 α ，则平分线形成的夹角为α +(180 α )= 90 ，即两平分线垂直。因此命题②是真命题；
根据绝对值的非负性知： | a 2 | = 0 且 | b + 3 | = 0 ，解得 a = 2 ， b = 3 ，因此命题③是真命题；
如图，
两条直线相交形成4个角，对顶角有2对（如 ∠ 1 与 ∠ 3 ， ∠ 2 与 ∠ 4 ）。因此命题④是真命题。
因此， 真命题为②、③、④，共3个 ，
故答案为：C.
【分析】根据锐角与钝角和的不确定性知①是假命题，根据邻补角平分线的垂直关系 、绝对值的非负性、对顶角的定义知②、③、④为真命题.
15．【答案】D
【知识点】真命题与假命题；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解： 命题①：若 a2 = b2，则 a = b .
当 a = 1 ， b = 1 时， a2 = b2 = 1 ，但 a ≠b ，因此命题①是假命题；
命题②：“一个角的余角大于这个角。”
设角为 α ，其余角为 90 α .若 α = 45 ，则余角为 45 ，与α相等；若 α = 60 ，余角为 30 ，小于原角，因此命题②是假命题；
命题③：“若 a ， b 是有理数，则 | a + b | = | a | + | b | ”
当 a = 1 ， b = 1 时， | a + b | = | 0 | = 0 ，而 | a | + | b | = 1 + 1 = 2 ，显然不等，因此命题③是假命题；
命题④：“如果 ∠ A = ∠ B ，那么 ∠ A 与 ∠ B 是对顶角”
对顶角需满足两边互为反向延长线，但相等的角可以是同位角、等腰三角形的底角等，不一定是对顶角。例如，两个直角相等但非对顶角，因此命题④是假命题。
因此假命题有①②③④，
故答案为：D.
【分析】 逐一分析每个命题的真假，结合数学定义和反例进行验证，最后统计假命题的数量并选择正确选项.
16．【答案】﹣2；﹣3
【知识点】有理数的乘方法则；举反例判断命题真假；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：当a＝﹣2，b＝﹣3时，﹣2＞﹣3，而＜，
说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，
故答案为：﹣2；﹣3(答案不唯一).
【分析】根据有理数的大小比较、有理数的乘方法则判断即可.
17．【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零.
故答案为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零.
【分析】原命题的条件为：两个数互为相反数，结论为这两个数的和为零，然后根据如果后面是条件，那么后面是结论进行解答.
18．【答案】①④
【知识点】垂线的概念；垂线段最短及其应用；平行线的性质；无理数的概念；算术平方根的性质（双重非负性）；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①开方开不尽的数是无理数，故原命题为真命题；
②同位角不一定相等，两直线平行，同位角相等，故原命题为假命题；
③0.1是0.01的一个平方根，故原命题为假命题；
④无理数和有理数的乘积可能是无理数，如，故原命题为真命题；
⑤，故原命题为假命题；
⑥直线外一点到该直线的所有线段中垂线段最短，故原命题为假命题；
⑦在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原命题为假命题；
⑧在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题为假命题；
故答案为：①④.
【分析】根据无理数的定义，平行线的性质，平方根的定义，算术平方根的非负数性质，垂线段最短等，判断命题的真假，即可求得.
19．【答案】真命题
【知识点】三角形内角和定理；真命题与假命题
【解析】【解答】解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，
则，
∴△ABC是直角三角形，
所以命题正确，是真命题.
故答案为：真命题；
【分析】利用三角形的内角和定理求出最大的角，再判断三角形的形状即可。
20．【答案】（1）解：∵DE∥BC，
∴∠1=∠2.
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴CD∥FG，
∴∠BFG=∠BDC.
又∵CD⊥AB，
∴∠BFG=∠BDC=90°，
∴FG⊥AB.
（2）解：所得命题是真命题.理由：
∵FG⊥AB，CD⊥AB，
∴∠BFG=∠BDC=90°，
∴FG∥CD，
∴∠2=∠3.
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∴DE∥BC.
【知识点】真命题与假命题；证明的含义与一般步骤；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)由DE||BC得∠1=∠2，结合∠1=∠3得CD||FG，由CD⊥AB得FG⊥AB；
(2)由FG⊥AB，CD⊥AB得FG||CD，由此得∠2=∠3，又∠1=∠3得∠1=∠2，即得DE||BC.
21．【答案】（1）解：(答案不唯一)选择的条件是①②，结论是③.证明如下：
∵BC平分∠DCH，
∴∠BCD=∠BCH，
∵AC⊥BC，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACG+∠BCH=90°，
∴∠ACD=∠ACG，
∵EF//GH，
∴∠ACG=∠DAC，
∠ACD=∠DAC.
（2）解：由(1)得：∠ACG+∠BCH=90°，
∵∠ACG比∠BCH的2倍少3度，
∴∠ACG=2∠BCH=3°，
∴2∠BCH-3°+∠BCH=90°，
解得：∠BCH=31°，
∴∠ACG=90°-∠BCH=59°，
∴∠DAC=∠ACG=59°，
∴∠DAC的度数59°
【知识点】角平分线的概念；证明的含义与一般步骤；两直线平行，内错角相等；命题的概念与组成
【解析】【分析】(1)由角平分线的定义可得∠BCD=∠BCH，再根据等角的余角相等可得出∠ACD=∠ACG，再由平行线的性质可得∠ACG=∠DAC，从而结论得证；
(2)由(1)得：∠ACG+∠BCH=90°，根据∠ACG比∠BCH的2倍少3度，可得关系式∠ACG=2∠BCH=3°，求得∠BCH=31°，∠ACG=59°，再根据∠DAC=∠ACG即可得到∠DAC的度数.
22．【答案】（1）不是
（2）解：设十位数字为，个位数字为，根据题意，得
∴或
所求的稳定数为1908或1919．
答：这个稳定数为1908或1919
（3）解：是假命题，反例如下：四位数2817与2222都是稳定数，它们的和等于5039
然而四位数5039不是稳定数
“两个稳定数的和仍是稳定数”是假命题
【知识点】二元一次方程的解；真命题与假命题
【解析】【解答】解：（1）∵，∴2025不是稳定数；
所以应填“不是”；
【分析】（1）由稳定数的定义知，千位数字+个位数字＝百位数字+十位数字，2025显然不符合；（2）分别设十位数字和个位数字为a和b，则可得到关于a、b的二元一次方程，由于a、b都是小于10的自然数，写出满足条件的自然数解即可；（3）由于不好直接证明该结论，可利用反证法来印证．
（1）解：∵，
∴2025不是稳定数；
（2）解：设十位数字为，个位数字为，根据题意，得
∴或
所求的稳定数为1908或1919．
（3）解：是假命题，反例如下：
四位数2817与2222都是稳定数，它们的和等于5039
然而四位数5039不是稳定数
“两个稳定数的和仍是稳定数”是假命题
1 / 17.2《认识证明》（1）—北师大版数学八年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．（2025八上·绍兴期中）下列句子中，属于命题的是（ ）
A．垂线段最短 B．作一个角等于已知角
C．将16开平方 D．负数小于正数吗？
【答案】A
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：A、是命题，故本选项符合题意；
B、不是命题，故本选项不符合题意；
C、不是命题，故本选项不符合题意；
D、不是命题，故本选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据命题的定义逐一判断即可.
2．（2025八上·玉环期中） 对于命题“如果∠1+∠2>90°， 那么∠1， ∠2都大于45°°能说明它是假命题的反例是 ( )
A．∠1=∠2=45° B．∠1=50°， ∠2=50°
C．∠1=45°， ∠2=50° D．∠1=46°， ∠2=40°
【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、∠1=∠2=45°时， ∠1+∠2=90°，不能说明如果∠1+∠2>90°，那么∠1、∠2都大于45°是假命题，不符合题意；
B、∠1=50°， ∠2=50°时， ∠1+∠2>90°， ∠1、∠2都大于45°，不能说明如果∠1+∠2>90°，那么∠1、∠2都大于45°是假命题，不符合题意；
C、∠1=45°， ∠2=50°时， ∠1+∠2>90°， ∠1、∠2不都大于45°，说明如果∠1+∠2>90°，那么∠1、∠2都大于45°是假命题，符合题意；
D、∠1=46°， ∠2=40°时， ∠1+∠2<90°，不能说明如果∠1+∠2>90°，那么∠1、∠2都大于45°是假命题，不符合题意；
故答案为：C .
【分析】根据反例是举出的例子能够使得题设成立，而结论不成立的例子逐项判断解答即可.
3．（2025八上·慈溪期中）下列句子是命题的是（ ）
A．画 B．小于直角的角是锐角吗？
C．连接 D．三角形的内角和为
【答案】D
【知识点】命题的概念与组成
【解析】【解答】解：三角形内角和等于 是命题；
小于直角的角是锐角吗，是询问的语句；
画 联结CD是描述性语句，都不是命题，
正确的只有D.
故选：D.
【分析】根据命题的定义“判断一件事情的语句是命题”即可作出判断.
4．（2025八上·新昌期中） 对于命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以
是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：∵命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，
∴当，时，若，则，A不符合题意，
∴当，时，若，则，B符合题意，
∴当，时，若，则，C不符合题意，
∴当，时，不符合若，不符合题意，
故选：B．
【分析】根据举反例是举出的例子使得条件成立而结论不成立，由此逐一判断解答即可．
5．（2025八上·柯桥期中）下面的语句是假命题的是（ ）
A．同旁内角互补
B．数轴上每一个点都有一个实数与之对应
C．垂线段最短
D．直角的补角是直角
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；垂线段最短及其应用；真命题与假命题；补角
【解析】【解答】解：对A选项，两直线平行，同旁内角互补，为假命题，故A符合题意；
对B选项，数轴上每一个点都有一个实数与之对应，为真命题，故B不符合题意；
对C选项，垂线段最短，为真命题，故C不符合题意；
对D选项，直角的补角是直角，为真命题，故D不符合题意；
故答案：A.
【分析】分别判断各选项中命题的真假，即可得结果.
6．（2025八上·永康期中）已知命题 ，则a>b”是假命题，请举出一个反例
【答案】a=-1，b=0
【知识点】有理数的乘方法则；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：∵命题 ，则a>b”，
∴当a=-1，b=0时，a2=1，b2=0，
∴a2>b2
此时a∴命题 ，则a>b”是假命题的反例可以是a=-1，b=0.
故答案为：a=-1，b=0 .
【分析】根据反例的定义给出符合题意的例子即可.
7．（北师大版数学八年级上册7.2认识证明 同步练习）下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ③a，b为实数，若 ；④同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；⑤同旁内角互补，两直线平行．请把你认为是这真命题的序号填在横线上 ．
【答案】④⑤
【知识点】垂线的概念；平行线的判定；真命题与假命题；相反数的意义与性质；平行公理
【解析】【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①是假命题；
②两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故②是假命题；
③a，b为实数，若a2=b2，如22=(-2)2，但，故是假命题；
④同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故④是真命题；
⑤同旁内角互补，两条直线平行，故是真命题；
故答案为：④⑤.
【分析】对于①，根据平行公理判断即可；对于②根据平行线的判定定理判断即可；对于③，举a、b互为相反数的例子判断即可；对于④，结合垂直定义，根据平行线的判定定理即可作出判断；对于⑤，根据平行线的判定定理作出判断即可.
8．要说明命题“无限小数都是无理数”是假命题，可以举的反例是 ．
【答案】0.101 010…(答案不唯一)
【知识点】无理数的概念；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：0.101 010…是无限循环小数，是有理数，不是无理数，
∴命题“无限小数都是无理数”是假命题，
故答案为：0.101 010…(答案不唯一)．
【分析】根据无限不循环小数是无理数判断.
9．（2025八上·杭州月考）把命题“两直线平行，同位角相等”改写成“如果···那么···”的形式是： .
【答案】如果两直线平行，那么同位角相等
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：“两直线平行，同位角相等”的条件是：“两直线平行”，结论为：“同位角相等”.
写成“如果...，那么...”的形式为：“如果两直线平行，那么同位角相等”，
故答案为：如果两直线平行，那么同位角相等.
【分析】一个命题都能写成“如果...那么...”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论.
10．下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题 请说说你的理由.
（1）绝对值最小的数是0；
（2）相等的角是对顶角；
（3）一个角的补角大于这个角；
（4）在同一平面内，如果直线a⊥l，b⊥l，那么a∥b.
【答案】（1）解：真命题.
理由：0的绝对值是0，正数和负数的绝对值都是正数，都大于0.
（2）解：假命题.
反例：两直线平行，同位角相等，而同位角不是对顶角.
（3）解：假命题.
反例：120°角的补角是60°，而60°小于120°.
（4）解：真命题.
理由：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行.
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】(1)任何实数的绝对值为非负数，故绝对值最小的是0；
(2)举出平行线间的同位角，即可判断；
(3)举反例，可判断为假命题；
(4)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.
二、能力提升
11．（2025七上·绍兴期中）下列说法正确的个数是（ ）
①最小的负整数是-1； ②所有无理数都能用数轴上的点表示；
③所有实数的绝对值都大于0； ④两个无理数的和是无理数
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的加减法；绝对值的非负性；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解： 最大的负整数是-1 ，即①不正确；实数与数轴上的点一 一对应，故②正确；0的绝对值为0，故③不正确；，故④不正确.
因此正确的个数为1，
故答案为：A.
【分析】举反例验证①③④错误.
12．（2024八上·遂川期末）下列句子中不是命题的是（ ）
A．明天会下雨 B．两直线平行，同旁内角互补
C．三角形的内角和是180度吗 D．同角的余角相等
【答案】C
【知识点】命题的概念与组成
【解析】【解答】解：能够判断真假的陈述句叫做命题，故
A：明天会下雨，陈述，是命题，不符合题意
B：两直线平行，同旁内角互补，是命题，不符合题意
C：三角形的内角和是180度吗，是疑问句，不是表示判定的陈述，不是命题，符合要求
D：同角的余角相等，是命题，不符合题意
故答案为：C
【分析】根据命题的定义进行判定即可，能够判断真假的陈述句叫做命题，C是问句可直接选出。
13．（2025八上·鄞州期中） 对于命题“如果，那么”，能说明该命题为假命题的反例是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：若，则
故答案为：C .
【分析】如果两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数.
14．下列命题：①一个锐角与一个钝角的和等于平角；②互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；③若｜a－2｜＋｜b＋3｜＝0，则a＝2，b＝－3；④两条直线相交，有2对对顶角.其中是真命题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】真命题与假命题；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解： 一个锐角（小于90°）与一个钝角（大于90°但小于180°）的和不一定等于平角（180°）。例如，锐角为30°，钝角为100°，和为130°≠180°。因此命题①是假命题；
互为邻补角的两个角之和为180°，其平分线将各自角分为两半。设邻补角为 α 和 180 α ，则平分线形成的夹角为α +(180 α )= 90 ，即两平分线垂直。因此命题②是真命题；
根据绝对值的非负性知： | a 2 | = 0 且 | b + 3 | = 0 ，解得 a = 2 ， b = 3 ，因此命题③是真命题；
如图，
两条直线相交形成4个角，对顶角有2对（如 ∠ 1 与 ∠ 3 ， ∠ 2 与 ∠ 4 ）。因此命题④是真命题。
因此， 真命题为②、③、④，共3个 ，
故答案为：C.
【分析】根据锐角与钝角和的不确定性知①是假命题，根据邻补角平分线的垂直关系 、绝对值的非负性、对顶角的定义知②、③、④为真命题.
15．下列命题是假命题的有（ ）
①若a2＝b2，则a＝b；②一个角的余角大于这个角；③若a，b是有理数，则｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜；④如果∠A＝∠B，那么∠A与∠B是对顶角.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】真命题与假命题；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解： 命题①：若 a2 = b2，则 a = b .
当 a = 1 ， b = 1 时， a2 = b2 = 1 ，但 a ≠b ，因此命题①是假命题；
命题②：“一个角的余角大于这个角。”
设角为 α ，其余角为 90 α .若 α = 45 ，则余角为 45 ，与α相等；若 α = 60 ，余角为 30 ，小于原角，因此命题②是假命题；
命题③：“若 a ， b 是有理数，则 | a + b | = | a | + | b | ”
当 a = 1 ， b = 1 时， | a + b | = | 0 | = 0 ，而 | a | + | b | = 1 + 1 = 2 ，显然不等，因此命题③是假命题；
命题④：“如果 ∠ A = ∠ B ，那么 ∠ A 与 ∠ B 是对顶角”
对顶角需满足两边互为反向延长线，但相等的角可以是同位角、等腰三角形的底角等，不一定是对顶角。例如，两个直角相等但非对顶角，因此命题④是假命题。
因此假命题有①②③④，
故答案为：D.
【分析】 逐一分析每个命题的真假，结合数学定义和反例进行验证，最后统计假命题的数量并选择正确选项.
16．对于命题“若a＞b，则a2＞b2”，举出能说明这个命题是假命题的一组a，b的值，则a＝ ，b＝ ．
【答案】﹣2；﹣3
【知识点】有理数的乘方法则；举反例判断命题真假；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：当a＝﹣2，b＝﹣3时，﹣2＞﹣3，而＜，
说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，
故答案为：﹣2；﹣3(答案不唯一).
【分析】根据有理数的大小比较、有理数的乘方法则判断即可.
17．（2022八上·长安期末）把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式： .
【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零.
故答案为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零.
【分析】原命题的条件为：两个数互为相反数，结论为这两个数的和为零，然后根据如果后面是条件，那么后面是结论进行解答.
18．（2024七下·洪山月考）有下列四个命题：①开方开不尽的数是无理数；②同位角相等；③0.01是0.1的一个平方根；④无理数和有理数的乘积可能是无理数；⑤；⑥直线外一点到该直线的所有线段中垂线最短；⑦不相交的两条直线叫做平行线；⑧过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．是真命题的命题有 ．
【答案】①④
【知识点】垂线的概念；垂线段最短及其应用；平行线的性质；无理数的概念；算术平方根的性质（双重非负性）；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①开方开不尽的数是无理数，故原命题为真命题；
②同位角不一定相等，两直线平行，同位角相等，故原命题为假命题；
③0.1是0.01的一个平方根，故原命题为假命题；
④无理数和有理数的乘积可能是无理数，如，故原命题为真命题；
⑤，故原命题为假命题；
⑥直线外一点到该直线的所有线段中垂线段最短，故原命题为假命题；
⑦在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原命题为假命题；
⑧在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题为假命题；
故答案为：①④.
【分析】根据无理数的定义，平行线的性质，平方根的定义，算术平方根的非负数性质，垂线段最短等，判断命题的真假，即可求得.
19．（2024七下·石家庄期末）命题“若中的，则是直角三角形”是 .（填“真命题”或“假命题”）
【答案】真命题
【知识点】三角形内角和定理；真命题与假命题
【解析】【解答】解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，
则，
∴△ABC是直角三角形，
所以命题正确，是真命题.
故答案为：真命题；
【分析】利用三角形的内角和定理求出最大的角，再判断三角形的形状即可。
20．
（1）如图，DE∥BC，∠1=∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB.
（2）若把(1)中的题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是不是真命题 试说明理由.
【答案】（1）解：∵DE∥BC，
∴∠1=∠2.
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴CD∥FG，
∴∠BFG=∠BDC.
又∵CD⊥AB，
∴∠BFG=∠BDC=90°，
∴FG⊥AB.
（2）解：所得命题是真命题.理由：
∵FG⊥AB，CD⊥AB，
∴∠BFG=∠BDC=90°，
∴FG∥CD，
∴∠2=∠3.
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∴DE∥BC.
【知识点】真命题与假命题；证明的含义与一般步骤；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)由DE||BC得∠1=∠2，结合∠1=∠3得CD||FG，由CD⊥AB得FG⊥AB；
(2)由FG⊥AB，CD⊥AB得FG||CD，由此得∠2=∠3，又∠1=∠3得∠1=∠2，即得DE||BC.
21．如图，已知直线 EF∥GH，给出下列信息：①AC⊥BC；②CB 平分∠DCH；③∠ACD=∠DAC.
（1）请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，剩余的一条信息作为结论组成一个命题，你选择的条件是 ▲ ，结论是 ▲ (只需填写序号)，并加以证明；
（2）在(1)的条件下，若∠ACG 比∠BCH 的2倍少3°，求∠DAC的度数.
【答案】（1）解：(答案不唯一)选择的条件是①②，结论是③.证明如下：
∵BC平分∠DCH，
∴∠BCD=∠BCH，
∵AC⊥BC，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACG+∠BCH=90°，
∴∠ACD=∠ACG，
∵EF//GH，
∴∠ACG=∠DAC，
∠ACD=∠DAC.
（2）解：由(1)得：∠ACG+∠BCH=90°，
∵∠ACG比∠BCH的2倍少3度，
∴∠ACG=2∠BCH=3°，
∴2∠BCH-3°+∠BCH=90°，
解得：∠BCH=31°，
∴∠ACG=90°-∠BCH=59°，
∴∠DAC=∠ACG=59°，
∴∠DAC的度数59°
【知识点】角平分线的概念；证明的含义与一般步骤；两直线平行，内错角相等；命题的概念与组成
【解析】【分析】(1)由角平分线的定义可得∠BCD=∠BCH，再根据等角的余角相等可得出∠ACD=∠ACG，再由平行线的性质可得∠ACG=∠DAC，从而结论得证；
(2)由(1)得：∠ACG+∠BCH=90°，根据∠ACG比∠BCH的2倍少3度，可得关系式∠ACG=2∠BCH=3°，求得∠BCH=31°，∠ACG=59°，再根据∠DAC=∠ACG即可得到∠DAC的度数.
22．（2025九上·婺城期末）对于一个任意的四位数，若的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，我们称这样的四位数为“稳定数”．例如：四位数3197，因为，所以四位数3197是稳定数．
（1）填空：2025 稳定数（填“是”或“不是”）；
（2）已知一个稳定数的千位数字为1，百位数字为9，求这个稳定数；
（3）命题“两个稳定数的和仍是稳定数”是真命题还是假命题？请说明理由．
【答案】（1）不是
（2）解：设十位数字为，个位数字为，根据题意，得
∴或
所求的稳定数为1908或1919．
答：这个稳定数为1908或1919
（3）解：是假命题，反例如下：四位数2817与2222都是稳定数，它们的和等于5039
然而四位数5039不是稳定数
“两个稳定数的和仍是稳定数”是假命题
【知识点】二元一次方程的解；真命题与假命题
【解析】【解答】解：（1）∵，∴2025不是稳定数；
所以应填“不是”；
【分析】（1）由稳定数的定义知，千位数字+个位数字＝百位数字+十位数字，2025显然不符合；（2）分别设十位数字和个位数字为a和b，则可得到关于a、b的二元一次方程，由于a、b都是小于10的自然数，写出满足条件的自然数解即可；（3）由于不好直接证明该结论，可利用反证法来印证．
（1）解：∵，
∴2025不是稳定数；
（2）解：设十位数字为，个位数字为，根据题意，得
∴或
所求的稳定数为1908或1919．
（3）解：是假命题，反例如下：
四位数2817与2222都是稳定数，它们的和等于5039
然而四位数5039不是稳定数
“两个稳定数的和仍是稳定数”是假命题
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