7.2《认识证明》（2）—北师大版数学八年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．（2023七下·大埔期中）下列说法正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．相等的角是对顶角
C．三角形的角平分线在三角形的内部
D．三条线段组成的图形叫三角形
【答案】C
【知识点】三角形相关概念；对顶角及其性质；平行公理
【解析】【解答】解：、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项错误，不符合题意；
、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误，不符合题意；
、三角形的角平分线在三角形的内部正确，故本选项正确；
、三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫三角形，此选项错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据平行公理“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”可判断A选项；根据对顶角定义“有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线的两个角互为对顶角”，对顶角相等，可判断B选项；三角形一个内角角平分线与其对边相交，交点与顶点之间的线段就是三角形的角平分线，一个三角形有三条角平分线，三条角平分线相交于一点，这点叫做三角形的内心，据此可判断C选项；根据三角形定义“三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫三角形”可判断D选项.
2．（2025七下·榕城期末）下列事件中，属于必然事件的是( )
A．明天的最高气温将达35℃
B．任意购买一张动车票，座位刚好挨着窗口
C．掷两次质地均匀的硬币，其中有一次正面朝上
D．对顶角相等
【答案】D
【知识点】事件的分类；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A： 明天的最高气温将达35℃ 是随机事件；
B： 任意购买一张动车票，座位刚好挨着窗口 是随机事件；
C： 掷两次质地均匀的硬币，其中有一次正面朝上 是随机事件；
D： 对顶角相等 使必然事件。
故答案为：D。
【分析】根据事件的可能性进行分类，即可得出答案。
3．（2025·揭东模拟）下列语句中，不是命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．两条直线不平行
C．延长AB到C使BC=AB D．两点之间线段最短
【答案】C
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：A.、相等的角是对顶角是命题，故A不符合题意；
B.、两条直线不平行是命题，故B不符合题意；
C.、延长AB到C使BC=AB不是命题，故C符合题意；
D.、两点之间线段最短是命题，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，据此逐项进行判断即可.
4．（2025七下·广州期中）下列语句中，是定义的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线
C．对顶角相等
D．同角的余角相等
【答案】B
【知识点】两点确定一条直线；对顶角及其性质；定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：A．两点确定一条直线是性质不是定义，故A不符合题意；
B．在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线是定义，故B符合题意；
C．对顶角相等是性质，不是定义，故C不符合题意；
D．同角的余角相等是性质，不是定义，故D不符合题意．
故选：B．
【分析】根据课本中的定义与性质、公理的异同等对每个选项逐一判断求解即可。
5．下列推理正确的是 （ ）
A．因为a∥d，b∥c，所以c∥d B．因为a∥c，b∥d，所以c∥d
C．因为a∥b，a∥c，所以b∥c D．因为a∥b，d∥c，所以a∥c
【答案】C
【知识点】平行线的判定；推理与论证
【解析】【分析】本题考查的是平行的传递性
根据平行的传递性依次分析各项即可得到结果。
A、a∥d，b∥c，无法得到c∥d，故本选项错误；
B、a∥c，b∥d，无法得到c∥d ，故本选项错误；
C、因为a∥b，a∥c，所以b∥c，本选项正确；
D、a∥b，d∥c，无法得到a∥c，故本选项错误；
故选C.
思路拓展：解答本题的关键是掌握好平行的传递性.
6．（2024八上·秦都期末）下列四个n的值，能说明命题“对于任意的实数n，均能被5整除”是假命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、是5的整数倍，是5的整数倍，故A不能说明命题“对于任意的实数n，均能被5整除”是假命题，不符合题意；
B、是5的整数倍，是5的整数倍，故B不能说明命题“对于任意的实数n，均能被5整除”是假命题，不符合题意；
C、不是5的整数倍，不是5的整数倍，故C能说明命题“对于任意的实数n，均能被5整除”是假命题，符合题意；
D、是5的整数倍，是5的整数倍，故D不能说明命题“对于任意的实数n，均能被5整除”是假命题，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】将选项给出的n的值分别代入2n+5计算后，找到不能被5整除的即可.
7．下列命题中正确的是 .
①一个有理数与一个无理数的和一定是无理数；
②两个无理数的和一定是无理数；
③一个有理数与一个无理数的积一定是无理数；
④两个无理数的积一定是无理数．
【答案】①
【知识点】无理数的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①有理数与无理数之和一定是无理数，是对的，例如，是无理数．
②无理数与无理数之和一定是无理数，是错误的，例如，，0是有理数．
③有理数与无理数之积一定是无理数，是错误的，例如，，0是有理数．
④无理数与无理数之积一定是无理数，是错误的，例如，，2是有理数．
故正确的只有①.
故答案为：①．
【分析】根据无理数的性质可对每一个结论进行分析，举出反例，即可进行判断.
8．（2024七下·惠阳月考）补全下面的证明过程和理由；
如图，和相交于点O，，，，求证：．
证明：，，且．
（ ）．
（ ），
（ ）．
，
（ ）．
．
【答案】证明：，，且．
（等量代换）．
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等）．
，
（两直线平行，同位角相等）．
．
【知识点】平行线的判定与性质；证明的含义与一般步骤
【解析】【分析】本题考查几何命题的推理和证明，运用所学等式性质，平行线的性质和判定，即可填空.
二、能力提升
9．（2024七下·新会期中）在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小培和小粹三个同学，其中有一个小球颜色是红色，小雅说：“红色球在我手上”；小培说：“红色球不在我手上”；小粹说：“红色球肯定不在小雅手上”，三个同学只有一个说对了，则红色球在 的手上.
【答案】小培
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】1.当小雅说对，则小培也说对的，故小雅并没有说对；
2.当小培说对，则红色球不在小雅手上，小粹也说对的，与题设不符；故小培没有说对；
3.当小粹说对，则红色球不在小雅身上，小雅说错，小培也说错，故小球在小培手上.
故答案为：小培.
【分析】分别假设小雅、小培、小粹说对，推理其它两人是否与题设相符，得出结果.
10．（2025七下·龙湖期中）阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是（ ）
如图：已知直线，，求证：． 证明：①∵（已知） ∴（垂直的定义） ②又∵（已知） ③∴（同位角相等，两直线平行） ∴（等量代换） ④∴（垂直的定义）．
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【知识点】垂线的概念；推理与论证；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】证明：∵（已知），
∴（垂直的定义）．
又∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换），
∴（垂直的定义）．
所以数学依据错误的是③．
故答案为：C．
【分析】利用平行线的判定方法、垂线的判定及推理方法分析求解即可.
11．（北师大版数学八年级上册第七章《为什么要证明》同步练习）某旅行团在一城市游览，有甲、乙、丙、丁四个景点，导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去；”根据导游的说法，在下列选项中，该旅行团可能游览的景点是（ ）
A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丁 D．丙、丁
【答案】D
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙只能去一个，；③丙、丁要么都去，要么都不去”，
①假设要去甲，就得去乙，就不能去丙，不去丙，就不能去丁，因此可以只去甲和乙；
②假设去丙，就得去丁，就不能去乙，不去乙也不能去甲，因此可以只去丙丁；
故选：D．
【分析】根据导游说的分两种情况进行分析：①假设要去甲；②假设去丙；然后分析可得答案．
12．小强在证明“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”给出如下过程：
关于这个证明，下面说法正确的是( )
A．小强用到了从特殊到一般的方法证明该定理
B．只要测量一百个到角的两边的距离相等的点都在角的平分线上，就能证明该定理
C．不能只用这个角，还需要用其它角度进行测量验证，该定理的证明才完整
D．小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；证明的含义与一般步骤；猜想与证明
【解析】【解答】解：小强通过测量得∠AOC＝23°，∠BOC＝23°，得出∠AOC＝∠BOC，这种测量的方法证明结论，具有偶然性，缺少推理的依据，不严谨，
所以小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明．
故选：D．
【分析】根据“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的推理过程即可求解.
13．（2020七下·栖霞期中）某班四个小组进行辩论比赛，赛前三位同学预测比赛结果如下：
甲说：“第二组得第一，第四组得第三”；
乙说：“第一组得第四，第三组得第二”；
丙说：“第三组得第三，第四组得第一”；
赛后得知，三人各猜对一半，则冠军是（ ）
A．第一组 B．第二组 C．第三组 D．第四组
【答案】B
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：假设甲说的第一句对，第二组得第一对，则第四组得第三错；
由此可知，丙说的第四组得第一错，则第三组得第三对；
则乙说的：第一组得第四对，第三组得第二错，
由此可推知：第二组第一，第四组第二，第三组第三，第一组第4，符合题意；
假设甲说的第一句错，第二组得第一错，则第四组得第三对；
由此可知，丙说的第四组得第一错，则第三组得第三错；与已知出现矛盾，故此推理错误；
故选：B．
【分析】分别假设甲、乙、丙三人所说的其中一句话正确，进而分析得出符合题意的答案．
14．．A、B、C、D四人的年龄各不相同，他们各说了一句话：
A说：B比D大； B说：A比C小 C说：我比D小；D说：C比B小．
已知这四句话只有一句是真话，且说真话的人的年龄最大，这人是谁
【答案】A
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：若A说的是对的，那么B、C、D就是错的，所以A所说的是对的；
若B说的是对的，那么A、C、D就是错的，那么D＞B，与说真话的人的年龄最大相矛盾；
若C说的是对的，那么A、B、D就是错的，那么A＞C，与说真话的人的年龄最大相矛盾；
若D说的是对的，那么C就是对的，那么与这四句话只有一句是真话相矛盾．
所以A所说的是对的，即年龄最大的是A．
故答案为：A．
【分析】方法就是假设一个人说的对，其他的人说的都是错的，看看有没有矛盾，有矛盾的话 就说明开始的假设是错误的．
15．（2025七下·龙湖期中）填空完成推理过程：
如图：已知，，求证：．
证明：∵（__________）
∴__________（____________________）
∴（____________________）
∵
∴__________（____________________）
∴ （____________________）
∴．（____________________）
【答案】证明：∵（已知）
∴（同旁内角互补，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
∴．（等量代换）
【知识点】推理与论证；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质及推理步骤分析求解即可.
16．（2024八上·花都期末）【阅读材料】
观察下列式子：
①；
②；
③；
④；
根据上面材料回答以下问题：
（1）根据阅读材料猜想：式子⑥：（ ）（ ）
（2）探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并证明你的结论．
（3）应用你发现的规律计算：
【答案】（1）7；8
（2）解：由题意可得规律为，证明如下：
∵左边=
∵右边=
∴左边=右边
∴
（3）解：
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；多项式乘多项式；推理与论证；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，，
故答案为：
【分析】本题主要考查数字规律的探究与应用，善于观察式子之间的数字关系，归纳出规律：
（1）通过观察前面式子的规律，可知等式右边因数为等式左边因数的两个中间数，因此可得出结果；
（2）通过对前面式子的分析归纳出一般规律，并用代数方法对左右两边代数式进行拆分化简，得出左边等于右边，便可证明规律；
（3）根据（2）中归纳出的规律，将分子分母进行转化，然后约分得出结果．
17．（2024七下·盐田期末）如何仅用刻度尺平分一个角？
【提出问题】仅用一把刻度尺，平分．
【设计方案】如图，已知，用刻度尺分别在，上截取，，连结，相交于点，过点，作射线，则射线平分．
【解决问题】在和中，
，
（______）（填写全等的依据）
，
，
即______，
又，
____________，
______，
又，
，
____________，
即射线平分．
★请同学们补全缺失的证明过程．
【答案】证明：在和中，
，
（填写全等的依据）
，
，
即，
又，
，
，
又，
，
，
即射线平分．
【知识点】推理与论证；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】利用“SAS”证明三角形全等的判定方法及步骤，全等三角形的性质及线段的和差及等量代换和推理步骤分析求解即可.
1 / 17.2《认识证明》（2）—北师大版数学八年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．（2023七下·大埔期中）下列说法正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．相等的角是对顶角
C．三角形的角平分线在三角形的内部
D．三条线段组成的图形叫三角形
2．（2025七下·榕城期末）下列事件中，属于必然事件的是( )
A．明天的最高气温将达35℃
B．任意购买一张动车票，座位刚好挨着窗口
C．掷两次质地均匀的硬币，其中有一次正面朝上
D．对顶角相等
3．（2025·揭东模拟）下列语句中，不是命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．两条直线不平行
C．延长AB到C使BC=AB D．两点之间线段最短
4．（2025七下·广州期中）下列语句中，是定义的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线
C．对顶角相等
D．同角的余角相等
5．下列推理正确的是 （ ）
A．因为a∥d，b∥c，所以c∥d B．因为a∥c，b∥d，所以c∥d
C．因为a∥b，a∥c，所以b∥c D．因为a∥b，d∥c，所以a∥c
6．（2024八上·秦都期末）下列四个n的值，能说明命题“对于任意的实数n，均能被5整除”是假命题的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列命题中正确的是 .
①一个有理数与一个无理数的和一定是无理数；
②两个无理数的和一定是无理数；
③一个有理数与一个无理数的积一定是无理数；
④两个无理数的积一定是无理数．
8．（2024七下·惠阳月考）补全下面的证明过程和理由；
如图，和相交于点O，，，，求证：．
证明：，，且．
（ ）．
（ ），
（ ）．
，
（ ）．
．
二、能力提升
9．（2024七下·新会期中）在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小培和小粹三个同学，其中有一个小球颜色是红色，小雅说：“红色球在我手上”；小培说：“红色球不在我手上”；小粹说：“红色球肯定不在小雅手上”，三个同学只有一个说对了，则红色球在 的手上.
10．（2025七下·龙湖期中）阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是（ ）
如图：已知直线，，求证：． 证明：①∵（已知） ∴（垂直的定义） ②又∵（已知） ③∴（同位角相等，两直线平行） ∴（等量代换） ④∴（垂直的定义）．
A．① B．② C．③ D．④
11．（北师大版数学八年级上册第七章《为什么要证明》同步练习）某旅行团在一城市游览，有甲、乙、丙、丁四个景点，导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去；”根据导游的说法，在下列选项中，该旅行团可能游览的景点是（ ）
A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丁 D．丙、丁
12．小强在证明“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”给出如下过程：
关于这个证明，下面说法正确的是( )
A．小强用到了从特殊到一般的方法证明该定理
B．只要测量一百个到角的两边的距离相等的点都在角的平分线上，就能证明该定理
C．不能只用这个角，还需要用其它角度进行测量验证，该定理的证明才完整
D．小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明
13．（2020七下·栖霞期中）某班四个小组进行辩论比赛，赛前三位同学预测比赛结果如下：
甲说：“第二组得第一，第四组得第三”；
乙说：“第一组得第四，第三组得第二”；
丙说：“第三组得第三，第四组得第一”；
赛后得知，三人各猜对一半，则冠军是（ ）
A．第一组 B．第二组 C．第三组 D．第四组
14．．A、B、C、D四人的年龄各不相同，他们各说了一句话：
A说：B比D大； B说：A比C小 C说：我比D小；D说：C比B小．
已知这四句话只有一句是真话，且说真话的人的年龄最大，这人是谁
15．（2025七下·龙湖期中）填空完成推理过程：
如图：已知，，求证：．
证明：∵（__________）
∴__________（____________________）
∴（____________________）
∵
∴__________（____________________）
∴ （____________________）
∴．（____________________）
16．（2024八上·花都期末）【阅读材料】
观察下列式子：
①；
②；
③；
④；
根据上面材料回答以下问题：
（1）根据阅读材料猜想：式子⑥：（ ）（ ）
（2）探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并证明你的结论．
（3）应用你发现的规律计算：
17．（2024七下·盐田期末）如何仅用刻度尺平分一个角？
【提出问题】仅用一把刻度尺，平分．
【设计方案】如图，已知，用刻度尺分别在，上截取，，连结，相交于点，过点，作射线，则射线平分．
【解决问题】在和中，
，
（______）（填写全等的依据）
，
，
即______，
又，
____________，
______，
又，
，
____________，
即射线平分．
★请同学们补全缺失的证明过程．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形相关概念；对顶角及其性质；平行公理
【解析】【解答】解：、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项错误，不符合题意；
、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误，不符合题意；
、三角形的角平分线在三角形的内部正确，故本选项正确；
、三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫三角形，此选项错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据平行公理“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”可判断A选项；根据对顶角定义“有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线的两个角互为对顶角”，对顶角相等，可判断B选项；三角形一个内角角平分线与其对边相交，交点与顶点之间的线段就是三角形的角平分线，一个三角形有三条角平分线，三条角平分线相交于一点，这点叫做三角形的内心，据此可判断C选项；根据三角形定义“三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫三角形”可判断D选项.
2．【答案】D
【知识点】事件的分类；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A： 明天的最高气温将达35℃ 是随机事件；
B： 任意购买一张动车票，座位刚好挨着窗口 是随机事件；
C： 掷两次质地均匀的硬币，其中有一次正面朝上 是随机事件；
D： 对顶角相等 使必然事件。
故答案为：D。
【分析】根据事件的可能性进行分类，即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：A.、相等的角是对顶角是命题，故A不符合题意；
B.、两条直线不平行是命题，故B不符合题意；
C.、延长AB到C使BC=AB不是命题，故C符合题意；
D.、两点之间线段最短是命题，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，据此逐项进行判断即可.
4．【答案】B
【知识点】两点确定一条直线；对顶角及其性质；定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：A．两点确定一条直线是性质不是定义，故A不符合题意；
B．在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线是定义，故B符合题意；
C．对顶角相等是性质，不是定义，故C不符合题意；
D．同角的余角相等是性质，不是定义，故D不符合题意．
故选：B．
【分析】根据课本中的定义与性质、公理的异同等对每个选项逐一判断求解即可。
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定；推理与论证
【解析】【分析】本题考查的是平行的传递性
根据平行的传递性依次分析各项即可得到结果。
A、a∥d，b∥c，无法得到c∥d，故本选项错误；
B、a∥c，b∥d，无法得到c∥d ，故本选项错误；
C、因为a∥b，a∥c，所以b∥c，本选项正确；
D、a∥b，d∥c，无法得到a∥c，故本选项错误；
故选C.
思路拓展：解答本题的关键是掌握好平行的传递性.
6．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、是5的整数倍，是5的整数倍，故A不能说明命题“对于任意的实数n，均能被5整除”是假命题，不符合题意；
B、是5的整数倍，是5的整数倍，故B不能说明命题“对于任意的实数n，均能被5整除”是假命题，不符合题意；
C、不是5的整数倍，不是5的整数倍，故C能说明命题“对于任意的实数n，均能被5整除”是假命题，符合题意；
D、是5的整数倍，是5的整数倍，故D不能说明命题“对于任意的实数n，均能被5整除”是假命题，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】将选项给出的n的值分别代入2n+5计算后，找到不能被5整除的即可.
7．【答案】①
【知识点】无理数的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①有理数与无理数之和一定是无理数，是对的，例如，是无理数．
②无理数与无理数之和一定是无理数，是错误的，例如，，0是有理数．
③有理数与无理数之积一定是无理数，是错误的，例如，，0是有理数．
④无理数与无理数之积一定是无理数，是错误的，例如，，2是有理数．
故正确的只有①.
故答案为：①．
【分析】根据无理数的性质可对每一个结论进行分析，举出反例，即可进行判断.
8．【答案】证明：，，且．
（等量代换）．
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等）．
，
（两直线平行，同位角相等）．
．
【知识点】平行线的判定与性质；证明的含义与一般步骤
【解析】【分析】本题考查几何命题的推理和证明，运用所学等式性质，平行线的性质和判定，即可填空.
9．【答案】小培
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】1.当小雅说对，则小培也说对的，故小雅并没有说对；
2.当小培说对，则红色球不在小雅手上，小粹也说对的，与题设不符；故小培没有说对；
3.当小粹说对，则红色球不在小雅身上，小雅说错，小培也说错，故小球在小培手上.
故答案为：小培.
【分析】分别假设小雅、小培、小粹说对，推理其它两人是否与题设相符，得出结果.
10．【答案】C
【知识点】垂线的概念；推理与论证；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】证明：∵（已知），
∴（垂直的定义）．
又∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换），
∴（垂直的定义）．
所以数学依据错误的是③．
故答案为：C．
【分析】利用平行线的判定方法、垂线的判定及推理方法分析求解即可.
11．【答案】D
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙只能去一个，；③丙、丁要么都去，要么都不去”，
①假设要去甲，就得去乙，就不能去丙，不去丙，就不能去丁，因此可以只去甲和乙；
②假设去丙，就得去丁，就不能去乙，不去乙也不能去甲，因此可以只去丙丁；
故选：D．
【分析】根据导游说的分两种情况进行分析：①假设要去甲；②假设去丙；然后分析可得答案．
12．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；证明的含义与一般步骤；猜想与证明
【解析】【解答】解：小强通过测量得∠AOC＝23°，∠BOC＝23°，得出∠AOC＝∠BOC，这种测量的方法证明结论，具有偶然性，缺少推理的依据，不严谨，
所以小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明．
故选：D．
【分析】根据“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的推理过程即可求解.
13．【答案】B
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：假设甲说的第一句对，第二组得第一对，则第四组得第三错；
由此可知，丙说的第四组得第一错，则第三组得第三对；
则乙说的：第一组得第四对，第三组得第二错，
由此可推知：第二组第一，第四组第二，第三组第三，第一组第4，符合题意；
假设甲说的第一句错，第二组得第一错，则第四组得第三对；
由此可知，丙说的第四组得第一错，则第三组得第三错；与已知出现矛盾，故此推理错误；
故选：B．
【分析】分别假设甲、乙、丙三人所说的其中一句话正确，进而分析得出符合题意的答案．
14．【答案】A
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：若A说的是对的，那么B、C、D就是错的，所以A所说的是对的；
若B说的是对的，那么A、C、D就是错的，那么D＞B，与说真话的人的年龄最大相矛盾；
若C说的是对的，那么A、B、D就是错的，那么A＞C，与说真话的人的年龄最大相矛盾；
若D说的是对的，那么C就是对的，那么与这四句话只有一句是真话相矛盾．
所以A所说的是对的，即年龄最大的是A．
故答案为：A．
【分析】方法就是假设一个人说的对，其他的人说的都是错的，看看有没有矛盾，有矛盾的话 就说明开始的假设是错误的．
15．【答案】证明：∵（已知）
∴（同旁内角互补，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
∴．（等量代换）
【知识点】推理与论证；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质及推理步骤分析求解即可.
16．【答案】（1）7；8
（2）解：由题意可得规律为，证明如下：
∵左边=
∵右边=
∴左边=右边
∴
（3）解：
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；多项式乘多项式；推理与论证；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，，
故答案为：
【分析】本题主要考查数字规律的探究与应用，善于观察式子之间的数字关系，归纳出规律：
（1）通过观察前面式子的规律，可知等式右边因数为等式左边因数的两个中间数，因此可得出结果；
（2）通过对前面式子的分析归纳出一般规律，并用代数方法对左右两边代数式进行拆分化简，得出左边等于右边，便可证明规律；
（3）根据（2）中归纳出的规律，将分子分母进行转化，然后约分得出结果．
17．【答案】证明：在和中，
，
（填写全等的依据）
，
，
即，
又，
，
，
又，
，
，
即射线平分．
【知识点】推理与论证；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】利用“SAS”证明三角形全等的判定方法及步骤，全等三角形的性质及线段的和差及等量代换和推理步骤分析求解即可.
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