7.3《平行线的证明》（1）—北师大版数学八年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2025七下·北川期末）如图，添加下列一个条件后，不能判定BC∥AD的是（ ）
A．∠1=∠2+∠3 B．∠2=∠4
C．∠3=∠5 D．∠D+∠4+∠5=180°
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A：∵∠1＝∠2＋∠3，∴AD∥BC，故A不符合题意；
B：∵∠2＝∠4，∴AB∥CD，故B符合题意；
C：∵∠3＝∠5，∴AD∥BC，故C不符合题意；
D：∵∠D＋∠4＋∠5＝180°，∴AD∥BC，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平行线判定的条件，对各个选项逐一判断，即可解答．
2．如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是 ( )
A．∠A=∠3 B．∠A+∠2=180°
C．∠1=∠4 D．∠1=∠A
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=∠3，∴AB∥DF(同位角相等，两直线平行)，故A 选项不符合题意.
∵∠A+∠2=180°， ∴ AB∥DF(同旁内角互补，两直线平行)，故B 选项不符合题意.
∵ ∠1=∠4， ∴ AB∥DF(内错角相等，两直线平行)，故C 选项不符合题意.
∵ ∠1=∠A， ∴ AC∥DE(同位角相等，两直线平行)，不能判定AB∥DF，故D 选项符合题意.
故选D.
【分析】根据平行线判定定理作答.
3．如图(1)是生活中常见的晾衣架，将其侧面抽象成平面图形，如图(2)所示，则使 EG∥BH成立的条件是 ( )
A．∠1=∠5 B．∠1=∠2 C．∠3=∠4 D．∠4=∠5
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠5，
∴AE∥GH，不能判定EG∥BH，故A选项不符合题意；
∵∠1=∠2，
∴EG∥BH，故B 选项符合题意；
∵∠3=∠4，
∴GN∥EH，不能判定 EG∥BH，故C 选项不符合题意；
由∠4=∠5不能判定 EG∥BH，故 D选项不符合题意.
故选B.
【分析】根据平行线判定定理作答.
4．如图，下列条件不能判定直线AD∥BC的是( ).
A．∠1=∠3 B．∠3=∠E
C．∠2=∠B D．∠BCD+∠D=180°
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】对A选项， ∠1与 ∠3不是内错角，也不是同位角，无法判断AD||BC，故A错误；
对B选项， ∠3与 ∠E是AD与BC间的内错角， ∠3= ∠E，可得AD||BC，故B正确；
对C选项， ∠2与 ∠B是AD与BC间的同位角， ∠2= ∠B可得AD||BC，故C正确；
对D选项， ∠BCD、 ∠D是AD与BC间的同旁内角， ∠BCD+∠D=180° 可得AD||BC，故D正确；
故选：A.
【分析】由平行线的判定定理依次根据各选项的角度判断即可.
5．现有四个命题：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②三角形的三条角平分线交于一点；
③如果a⊥b，a⊥c，那么b∥c；
④在同一平面内，如果两直线不相交，那么它们就平行．
其中是假命题的是 ．
【答案】①③
【知识点】平行线的判定与性质；平行公理；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；
②三角形的三条角平分线交于一点，是真命题；
③在同一平面内，如果a⊥b，a⊥c，那么b∥c，原命题是假命题；
④在同一平面内，如果两直线不相交，那么它们就平行，是真命题.
故答案为：①③．
【分析】根据平行线的判定及性质、平行公理、三角形角平分线判断即可.
6．小明和小颖在做三角形摆放游戏，他们将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，使CE位于∠ACB内部，三角板ABC的位置保持不变，改变三角板CDE的位置，则当∠ECB＝ 时，DE∥BC.
【答案】30°
【知识点】内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】根据三角板特性知：∠E=30°，
又∠E与 ∠ECB 是内错角，
∴当 ∠ECB＝∠E=30°时，DE∥BC.
故答案为：30°.
【分析】 本题需要利用平行线的判定条件，结合三角板的角度特性求解。
7．一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA 垂直地面AE 于点A，CD 平行于地面AE.若∠BCD=150°，则∠ABC= .
【答案】120°
【知识点】角的运算；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过点B作BF|| CD，
∵CD || AE，
∴CD|| BF || AE，
∴∠1+∠BCD= 180°，∠2+∠BAE= 180°
∵∠BCD= 150°，∠BAE= 90° ，
∴∠1 = 30°，∠2= 90°，
∴∠ABC=∠1+∠2= 120°.
故答案为：120°.
【分析】过点B作BF|| CD，由平行公理及推论可得CD|| BF || AE，根据平行线的性质得到∠1+∠BCD= 180°，∠2+∠BAE= 180°，结合已知条件计算即可解答.
8．（2025七下·绍兴期末） 学行线后，小明想出了过直线外一点画这条直线的平行线的方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知小明画平行线的依据可以是 .（把所有正确的序号填上）
①同位角相等，两直线平行；
②两直线平行，内错角相等；
③同旁内角互补，两直线平行；
④如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行.
【答案】①③
【知识点】同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：如图。
第一次折叠后，得到的折痕AB与直线a之间的位置关系是垂直。
将正方形纸展开，再进行第二次折叠如图（4）所示，得到的折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直。
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：①③ .
【分析】根据折叠可直接得到折痕AB与直线a之间的位置关系是垂直，折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直，然后根据平行线的判定条件求解即可。
9．（2025八上·邢台月考）如图，已知，且点D在边上．
（1）求证∶；
（2）若，求 的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
即的长为10．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）根据全等三角形性质可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
即的长为10．
10．（2025七上·衡阳期末）将一副直角三角尺和按如图所示方式放置，其中，若，试判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】解：，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴.
【知识点】角的运算；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】先根据平角的定义求出，从而得，进而根据内错角相等，两直线平行得证结论.
二、能力提升
11．（2025八上·鄞州期中）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；尺规作图-作角的平分线；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】图1：连接PC、PD.
图2：
又
图3：
图4：、
故正确答案为：D
【分析】图1是利用基本尺规作图作角的平分线；图2可先利用SAS证明，再利用全等三角形的对应角相等可结合AAS证明，则，再利用即可；图3，先利用同位角相等证明两直线平行，再利用两直线平行内错角相等可得，再利用等边对等角并等量代换即可；图4利用等腰三角形三线合一即可.
12．（2025八上·江阳期末）如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘，三角板中角的顶点在上，直角顶点在上，三角板与直尺边缘形成的，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点作，且点在点的右侧，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
故选：．
【分析】根据平行公理推论，，当AD平行时，AD也会平行，再根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，及角度之间的等量关系可算出答案．
13．如图，一次数学活动中，检验两条纸带(1)(2)的上下边线是否平行，明明和小丽采用两种不同的方法：明明把纸带(1)沿AB 折叠，量得∠1=∠2=60°；小丽把纸带(2)沿 GH 折叠，发现GD与GC 重合，HF 与HE 重合.下列判断正确的是 ( )
A．纸带(1)的上下边线平行，纸带(2)的上下边线不平行
B．纸带(1)的上下边线不平行，纸带(2)的上下边线平行
C．纸带(1)(2)的上下边线都平行
D．纸带(1)(2)的上下边线都不平行
【答案】C
【知识点】平行线的应用-折叠问题；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：如图，在纸带(1)中，∵∠1=∠2=60°，∠3=∠1=60°，
∴∠3=∠2=60°，
∴∠4=∠5=180°-60°-60°=60°，
∴∠2=∠4，
∴纸带(1)的上下边线平行.
在纸带(2)中，
∵GD与GC 重合，HF 与HE 重合，
∴∠CGH=∠DGH=90°，∠EHG=∠FHG=90°，
∴∠CGH+∠EHG=180°，
∴纸带(2)的上下边线平行.
故答案为：C.
【分析】根据“内错角相等，两直线平行”得纸带(1)的上下边线平行；根据“同旁内角互补，两直线平行”得纸带(2)的上下边线平行.
14．（2024八上·新宾期末）如图，在和中，，．连接，连接并延长交于点，若恰好平分，则下列结论：①；②；③；④中，正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①，
，即，
在和中，
，
，
，故①选项符合题意；
，
②，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
故②选项符合题意；
，
，
，
∴，
故③选项符合题意；
根据已知条件无法证明，故④选项不符合题意．
故选：C．
【分析】根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质可判断①；根据等边对等角可得，根据角平分线定义可得，再根据直线平行判定定理可判断②；根据三角形内角和定理可得∠CFB，再根据等角对等边可得CB=BF，可判断③，根据边之间的关系可判断④.
15．如图，AB∥EG，CD∥EF，BC∥DE，若∠α=50°，∠β=26°，则∠γ的度数为 .
【答案】24°
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点C作CI||AB交DE延长线于点H，如图所示
∵CI||AB
∴∠BCH=ABC
∵AB||EG
∴CI||EG
∴∠CDG=∠DHI
∵BC||DE
∴∠BCH=∠DHI
∴∠DEG=∠ABC=50°
∵CD||EF
∴∠DEF=∠CDE=36°
∴∠FEG=∠DEG-∠DEF
∴∠FEG=50°-26°=24°
即 ∠γ=24°.
答案：24°
【分析】过点C作CI||AB交DE延长线于点H，由平行线的性质知∠ABC=∠BCH=∠DHI=∠DEG，∠DEF=∠CDE，由此得∠FEG的度数.
16．如图，已知，则的关系是 ．
【答案】
【知识点】平行公理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点作，过点作，
，
，
，，，
，，
由整理得：．
故答案为：．
【分析】过点C作CM//AB，过点D作DN//AB，由AB//EF，即可得AB//CM//DN//EF，然后由两直线平行，内错角相等，即可求得答案.
17．如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角，第二次拐的角，则第三次拐的角 时，道路才能恰好与平行．
【答案】145°
【知识点】平行公理；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过点B作BF//AD，
∵AD//CE，
∴BF//AD//CE
∴∠1=∠A=110°，∠2+∠C=180°
∵∠B=∠1+∠2=145°
∴∠2=35°
∴∠C=145°
故答案为：145°.
【分析】过点B作BF//AD，由AD//CE，即可得BF//AD//CE，然后根据两直线平行，内错角相等与两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠C的大小.
18．（2025七下·德清期末） 如图，小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，，交于点，，，平分，若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】角平分线的概念；平行公理；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
过点A作AM∥DE，
∵FG∥DE，
∴AM∥FG∥DE，
∵AM∥DE，
∴∠MAD+∠ADE = 180°，
∵∠ADE = 100°，
∴∠MAD =180°-∠ADE =80°，
∵AM∥FG，
∴∠GAM=∠G，
∵∠FAG=40°，
∴∠BAC=∠FAG=40°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAD=2∠BAC=80°，
∴∠GAD=180°-∠BAD=180°-80°=100°，
∵∠GAD=∠GAM+∠MAD，
∴∠GAM=∠G=∠GAD-∠MAD=20°.
故答案为： 20°.
【分析】过点A作AM∥DE，由平行公理得AM∥FG∥DE，根据平行线的性质得∠MAD+∠ADE=180°，∠GAM =∠G， 由角平分线的定义得∠BAD=2∠BAC， 由∠GAD=∠GAM+∠MAD， 即可求解.
19．（2025七下·鄞州竞赛）如图，AB//CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E-∠F=33°，∠E的度数为 .
【答案】82°
【知识点】角平分线的概念；平行公理；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过F作FH//AB，
∵AB//CD.
∴FH//AB//CD，
∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，
∴可设∠ABF=∠EBF=α=∠BFH，∠DCG=∠ECG=β=∠CFH，
∴∠ECF=180°-β，∠BFC=∠BFH-∠CFH=α-β，
∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC=360°-α-(180°-β)=180°-(α-β)=180°-∠BFC
即∠E+2∠BFC=180°，①
又∵∠E-∠BFC=33°，
∴∠BFC=∠E-33°，②
∴由①②可得，∠E+2(∠E-33°)=180°
解得∠E=82°.
故答案为：82°.
【分析】过F作EH//AB，依据平行线的性质，可设∠ABE=∠EBF=α=∠BFH，∠DCG=∠ECG=β=∠CFH，根据四边形内角和以及∠E-∠F=33°，即可得到∠E的度数.
20．在△ABC 中，D 是BC边上一点，且∠CDA=∠CAB，MN 是经过点D的一条直线.
（1）若直线MN⊥AC，垂足为点 E.
①依题意补全图(1).
②若∠CAB = 70°，∠DAB = 20°， 则 ∠CAD = ，∠CDE= .
（2）如图(2)，若直线 MN 交 AC 边于点 F，且∠CDF=∠CAD，求证：FD∥AB.
【答案】（1）解：①如图所示.
②50°，30°
（2）证明：∵ ∠CDA = ∠CAB，
∴ ∠CDF+∠ADF=∠CAD+∠BAD.
∵ ∠CDF=∠CAD，
∴∠ADF=∠BAD，
∴FD∥AB.
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；内错角相等，两直线平行；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：（1）②
∵∠CAB=70°，∠DAB=20°，
∴∠CAD=50°.
∵∠CDA= ∠CAB = 70°，
∴ ∠C = 180° ∠CAD-∠CDA=60°.
∵ DE⊥AC，
∴∠CDE=90°-∠C=30°.
故答案为50°，30°.
【分析】⑴根据题意绘图，再利用已知条件、三角形内角和及直角三角形两锐角互余进行角的运算.
⑵ 根据∠CDA=∠CAB， ∠CDF=∠CAD 得∠ADF=∠BAD，从而知FD∥AB.
21．如图，已知．
（1）求证：；
（2）若平分于点，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：平分，
，，
由知，
，
，
，
，
，，
，
，
．
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】(1)由已知可证得∠2=∠FHC，根据平行线的判定得到FA//CD，根据平行线的性质即可得到∠FAB=∠BDC；
(2)根据角平分线的定义得到∠FHD=2∠FHC，即∠FAD=2∠2，由平行线的性质可求得∠2，再平行线的判定和性质定理求出∠ACB，继而求出∠BCD.
22．如图，点在线段的异侧，点分别是线段上的点，已知．
（1）求证：；
（2）若，求证：；
（3）在的条件下，若，求的度数．
【答案】（1）证明：，，，
，
；
（2）证明：，，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】对顶角及其性质；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】(1)根据对顶角相等结合已知条件得出∠1=∠C，根据内错角相等两直线平行即可证得结论；
(2)根据对顶角相等结合已知得出∠3+∠4=180°，证得BF//EC，即可得解；
(3)根据平行线的性质和已知得出∠BFC=130°，最后根据平行线的性质即可求得∠B=50°.
三、综合拓展
23．（2025七下·雨花期末）如图
【阅读理解】我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．
例如：如图①，已知，点E，F分别在直线上，点在直线之间，设，求证：．
证明：如图②，过点作，
，
，即．
【类比应用】可以运用以上结论解答下列问题：
（1）如图③，已知，求的度数．
（2）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，则之间有何数量关系？请说明理由．
（3）【拓展应用】
如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值．
【答案】（1）解：如图③，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：如图④，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵的平分线与的平分线所在直线交于点Q，
∴，，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论；三角形的角平分线
【解析】【分析】（1）通过作辅助线将∠P分割为，利用平行线的性质将∠APQ与∠QPD分别转换为∠GAB与∠D，从而可求出结果为85°；（2）由可知，，将转化为，则可得；
（3）利用平行线的性质可知，，于是，根据角平分线的定义以及邻补角的关系将∠QED转化，而，故，结合（2）的结论可知，整体代换到∠AQE中可得。
24．（2025七下·上城期中）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM=∠FME.
（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合)，EH平分∠FEG交
CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN=α，∠EGF=β.
①当点G在点F的右侧时，若∠BEG=70°，求∠MEH的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并加以证明。
【答案】（1）解：AB∥CD.理由如下：
∵EM平分∠AEF交CD于点M，
∴∠AEM=∠MEF，
∵∠FEM=∠FME.
∴∠AEM=∠FME，
∴AB∥CD
（2）解：∵∠BEG=70°，
∴∠AEH=180°-∠BEG=180°-70°=110°，
∵ EM平分∠AEF， EH平分∠FEG，
∴，，
∴∠CEH=∠MEF+∠HEF=；
②猜想： 或
理由：当点G在F的右侧时，
∵AB∥CD，
∴∠BEG=∠EGH=β，
∴∠AEG=180°-β，
∵∠AEM =∠EMF， ∠HEF =∠HEG，
∵HN⊥EM，
∴∠HNE= 90°，
∴ α=∠EHN=90°-∠HEN=.
当点G在F的左侧时，
∵AB∥CD，
，
综上所述， 或
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)根据角平分线的性质及等量代换证明 即可.
(2)①根据三角形内角和定理得出 ，根据角平分线的定义得到 利用平角的定义求出. 的度数，根据平行线的性质求 即可解决问题；
②分为当点G在F的右侧时及当点G在F的左侧时，这两种情况进行讨论，根据平行线的性质求 ，利用平角的定义表示. 的度数，根据角平分线的定义表示. 即可解决问题.
1 / 17.3《平行线的证明》（1）—北师大版数学八年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2025七下·北川期末）如图，添加下列一个条件后，不能判定BC∥AD的是（ ）
A．∠1=∠2+∠3 B．∠2=∠4
C．∠3=∠5 D．∠D+∠4+∠5=180°
2．如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是 ( )
A．∠A=∠3 B．∠A+∠2=180°
C．∠1=∠4 D．∠1=∠A
3．如图(1)是生活中常见的晾衣架，将其侧面抽象成平面图形，如图(2)所示，则使 EG∥BH成立的条件是 ( )
A．∠1=∠5 B．∠1=∠2 C．∠3=∠4 D．∠4=∠5
4．如图，下列条件不能判定直线AD∥BC的是( ).
A．∠1=∠3 B．∠3=∠E
C．∠2=∠B D．∠BCD+∠D=180°
5．现有四个命题：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②三角形的三条角平分线交于一点；
③如果a⊥b，a⊥c，那么b∥c；
④在同一平面内，如果两直线不相交，那么它们就平行．
其中是假命题的是 ．
6．小明和小颖在做三角形摆放游戏，他们将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，使CE位于∠ACB内部，三角板ABC的位置保持不变，改变三角板CDE的位置，则当∠ECB＝ 时，DE∥BC.
7．一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA 垂直地面AE 于点A，CD 平行于地面AE.若∠BCD=150°，则∠ABC= .
8．（2025七下·绍兴期末） 学行线后，小明想出了过直线外一点画这条直线的平行线的方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知小明画平行线的依据可以是 .（把所有正确的序号填上）
①同位角相等，两直线平行；
②两直线平行，内错角相等；
③同旁内角互补，两直线平行；
④如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行.
9．（2025八上·邢台月考）如图，已知，且点D在边上．
（1）求证∶；
（2）若，求 的长．
10．（2025七上·衡阳期末）将一副直角三角尺和按如图所示方式放置，其中，若，试判断与的位置关系，并说明理由．
二、能力提升
11．（2025八上·鄞州期中）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2025八上·江阳期末）如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘，三角板中角的顶点在上，直角顶点在上，三角板与直尺边缘形成的，则（ ）
A． B． C． D．
13．如图，一次数学活动中，检验两条纸带(1)(2)的上下边线是否平行，明明和小丽采用两种不同的方法：明明把纸带(1)沿AB 折叠，量得∠1=∠2=60°；小丽把纸带(2)沿 GH 折叠，发现GD与GC 重合，HF 与HE 重合.下列判断正确的是 ( )
A．纸带(1)的上下边线平行，纸带(2)的上下边线不平行
B．纸带(1)的上下边线不平行，纸带(2)的上下边线平行
C．纸带(1)(2)的上下边线都平行
D．纸带(1)(2)的上下边线都不平行
14．（2024八上·新宾期末）如图，在和中，，．连接，连接并延长交于点，若恰好平分，则下列结论：①；②；③；④中，正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
15．如图，AB∥EG，CD∥EF，BC∥DE，若∠α=50°，∠β=26°，则∠γ的度数为 .
16．如图，已知，则的关系是 ．
17．如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角，第二次拐的角，则第三次拐的角 时，道路才能恰好与平行．
18．（2025七下·德清期末） 如图，小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，，交于点，，，平分，若，则的度数为 ．
19．（2025七下·鄞州竞赛）如图，AB//CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E-∠F=33°，∠E的度数为 .
20．在△ABC 中，D 是BC边上一点，且∠CDA=∠CAB，MN 是经过点D的一条直线.
（1）若直线MN⊥AC，垂足为点 E.
①依题意补全图(1).
②若∠CAB = 70°，∠DAB = 20°， 则 ∠CAD = ，∠CDE= .
（2）如图(2)，若直线 MN 交 AC 边于点 F，且∠CDF=∠CAD，求证：FD∥AB.
21．如图，已知．
（1）求证：；
（2）若平分于点，求的度数．
22．如图，点在线段的异侧，点分别是线段上的点，已知．
（1）求证：；
（2）若，求证：；
（3）在的条件下，若，求的度数．
三、综合拓展
23．（2025七下·雨花期末）如图
【阅读理解】我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．
例如：如图①，已知，点E，F分别在直线上，点在直线之间，设，求证：．
证明：如图②，过点作，
，
，即．
【类比应用】可以运用以上结论解答下列问题：
（1）如图③，已知，求的度数．
（2）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，则之间有何数量关系？请说明理由．
（3）【拓展应用】
如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值．
24．（2025七下·上城期中）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM=∠FME.
（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合)，EH平分∠FEG交
CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN=α，∠EGF=β.
①当点G在点F的右侧时，若∠BEG=70°，求∠MEH的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并加以证明。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A：∵∠1＝∠2＋∠3，∴AD∥BC，故A不符合题意；
B：∵∠2＝∠4，∴AB∥CD，故B符合题意；
C：∵∠3＝∠5，∴AD∥BC，故C不符合题意；
D：∵∠D＋∠4＋∠5＝180°，∴AD∥BC，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平行线判定的条件，对各个选项逐一判断，即可解答．
2．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=∠3，∴AB∥DF(同位角相等，两直线平行)，故A 选项不符合题意.
∵∠A+∠2=180°， ∴ AB∥DF(同旁内角互补，两直线平行)，故B 选项不符合题意.
∵ ∠1=∠4， ∴ AB∥DF(内错角相等，两直线平行)，故C 选项不符合题意.
∵ ∠1=∠A， ∴ AC∥DE(同位角相等，两直线平行)，不能判定AB∥DF，故D 选项符合题意.
故选D.
【分析】根据平行线判定定理作答.
3．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠5，
∴AE∥GH，不能判定EG∥BH，故A选项不符合题意；
∵∠1=∠2，
∴EG∥BH，故B 选项符合题意；
∵∠3=∠4，
∴GN∥EH，不能判定 EG∥BH，故C 选项不符合题意；
由∠4=∠5不能判定 EG∥BH，故 D选项不符合题意.
故选B.
【分析】根据平行线判定定理作答.
4．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】对A选项， ∠1与 ∠3不是内错角，也不是同位角，无法判断AD||BC，故A错误；
对B选项， ∠3与 ∠E是AD与BC间的内错角， ∠3= ∠E，可得AD||BC，故B正确；
对C选项， ∠2与 ∠B是AD与BC间的同位角， ∠2= ∠B可得AD||BC，故C正确；
对D选项， ∠BCD、 ∠D是AD与BC间的同旁内角， ∠BCD+∠D=180° 可得AD||BC，故D正确；
故选：A.
【分析】由平行线的判定定理依次根据各选项的角度判断即可.
5．【答案】①③
【知识点】平行线的判定与性质；平行公理；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；
②三角形的三条角平分线交于一点，是真命题；
③在同一平面内，如果a⊥b，a⊥c，那么b∥c，原命题是假命题；
④在同一平面内，如果两直线不相交，那么它们就平行，是真命题.
故答案为：①③．
【分析】根据平行线的判定及性质、平行公理、三角形角平分线判断即可.
6．【答案】30°
【知识点】内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】根据三角板特性知：∠E=30°，
又∠E与 ∠ECB 是内错角，
∴当 ∠ECB＝∠E=30°时，DE∥BC.
故答案为：30°.
【分析】 本题需要利用平行线的判定条件，结合三角板的角度特性求解。
7．【答案】120°
【知识点】角的运算；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过点B作BF|| CD，
∵CD || AE，
∴CD|| BF || AE，
∴∠1+∠BCD= 180°，∠2+∠BAE= 180°
∵∠BCD= 150°，∠BAE= 90° ，
∴∠1 = 30°，∠2= 90°，
∴∠ABC=∠1+∠2= 120°.
故答案为：120°.
【分析】过点B作BF|| CD，由平行公理及推论可得CD|| BF || AE，根据平行线的性质得到∠1+∠BCD= 180°，∠2+∠BAE= 180°，结合已知条件计算即可解答.
8．【答案】①③
【知识点】同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：如图。
第一次折叠后，得到的折痕AB与直线a之间的位置关系是垂直。
将正方形纸展开，再进行第二次折叠如图（4）所示，得到的折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直。
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：①③ .
【分析】根据折叠可直接得到折痕AB与直线a之间的位置关系是垂直，折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直，然后根据平行线的判定条件求解即可。
9．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
即的长为10．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）根据全等三角形性质可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
即的长为10．
10．【答案】解：，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴.
【知识点】角的运算；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】先根据平角的定义求出，从而得，进而根据内错角相等，两直线平行得证结论.
11．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；尺规作图-作角的平分线；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】图1：连接PC、PD.
图2：
又
图3：
图4：、
故正确答案为：D
【分析】图1是利用基本尺规作图作角的平分线；图2可先利用SAS证明，再利用全等三角形的对应角相等可结合AAS证明，则，再利用即可；图3，先利用同位角相等证明两直线平行，再利用两直线平行内错角相等可得，再利用等边对等角并等量代换即可；图4利用等腰三角形三线合一即可.
12．【答案】A
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点作，且点在点的右侧，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
故选：．
【分析】根据平行公理推论，，当AD平行时，AD也会平行，再根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，及角度之间的等量关系可算出答案．
13．【答案】C
【知识点】平行线的应用-折叠问题；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：如图，在纸带(1)中，∵∠1=∠2=60°，∠3=∠1=60°，
∴∠3=∠2=60°，
∴∠4=∠5=180°-60°-60°=60°，
∴∠2=∠4，
∴纸带(1)的上下边线平行.
在纸带(2)中，
∵GD与GC 重合，HF 与HE 重合，
∴∠CGH=∠DGH=90°，∠EHG=∠FHG=90°，
∴∠CGH+∠EHG=180°，
∴纸带(2)的上下边线平行.
故答案为：C.
【分析】根据“内错角相等，两直线平行”得纸带(1)的上下边线平行；根据“同旁内角互补，两直线平行”得纸带(2)的上下边线平行.
14．【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①，
，即，
在和中，
，
，
，故①选项符合题意；
，
②，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
故②选项符合题意；
，
，
，
∴，
故③选项符合题意；
根据已知条件无法证明，故④选项不符合题意．
故选：C．
【分析】根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质可判断①；根据等边对等角可得，根据角平分线定义可得，再根据直线平行判定定理可判断②；根据三角形内角和定理可得∠CFB，再根据等角对等边可得CB=BF，可判断③，根据边之间的关系可判断④.
15．【答案】24°
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点C作CI||AB交DE延长线于点H，如图所示
∵CI||AB
∴∠BCH=ABC
∵AB||EG
∴CI||EG
∴∠CDG=∠DHI
∵BC||DE
∴∠BCH=∠DHI
∴∠DEG=∠ABC=50°
∵CD||EF
∴∠DEF=∠CDE=36°
∴∠FEG=∠DEG-∠DEF
∴∠FEG=50°-26°=24°
即 ∠γ=24°.
答案：24°
【分析】过点C作CI||AB交DE延长线于点H，由平行线的性质知∠ABC=∠BCH=∠DHI=∠DEG，∠DEF=∠CDE，由此得∠FEG的度数.
16．【答案】
【知识点】平行公理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点作，过点作，
，
，
，，，
，，
由整理得：．
故答案为：．
【分析】过点C作CM//AB，过点D作DN//AB，由AB//EF，即可得AB//CM//DN//EF，然后由两直线平行，内错角相等，即可求得答案.
17．【答案】145°
【知识点】平行公理；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过点B作BF//AD，
∵AD//CE，
∴BF//AD//CE
∴∠1=∠A=110°，∠2+∠C=180°
∵∠B=∠1+∠2=145°
∴∠2=35°
∴∠C=145°
故答案为：145°.
【分析】过点B作BF//AD，由AD//CE，即可得BF//AD//CE，然后根据两直线平行，内错角相等与两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠C的大小.
18．【答案】
【知识点】角平分线的概念；平行公理；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
过点A作AM∥DE，
∵FG∥DE，
∴AM∥FG∥DE，
∵AM∥DE，
∴∠MAD+∠ADE = 180°，
∵∠ADE = 100°，
∴∠MAD =180°-∠ADE =80°，
∵AM∥FG，
∴∠GAM=∠G，
∵∠FAG=40°，
∴∠BAC=∠FAG=40°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAD=2∠BAC=80°，
∴∠GAD=180°-∠BAD=180°-80°=100°，
∵∠GAD=∠GAM+∠MAD，
∴∠GAM=∠G=∠GAD-∠MAD=20°.
故答案为： 20°.
【分析】过点A作AM∥DE，由平行公理得AM∥FG∥DE，根据平行线的性质得∠MAD+∠ADE=180°，∠GAM =∠G， 由角平分线的定义得∠BAD=2∠BAC， 由∠GAD=∠GAM+∠MAD， 即可求解.
19．【答案】82°
【知识点】角平分线的概念；平行公理；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过F作FH//AB，
∵AB//CD.
∴FH//AB//CD，
∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，
∴可设∠ABF=∠EBF=α=∠BFH，∠DCG=∠ECG=β=∠CFH，
∴∠ECF=180°-β，∠BFC=∠BFH-∠CFH=α-β，
∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC=360°-α-(180°-β)=180°-(α-β)=180°-∠BFC
即∠E+2∠BFC=180°，①
又∵∠E-∠BFC=33°，
∴∠BFC=∠E-33°，②
∴由①②可得，∠E+2(∠E-33°)=180°
解得∠E=82°.
故答案为：82°.
【分析】过F作EH//AB，依据平行线的性质，可设∠ABE=∠EBF=α=∠BFH，∠DCG=∠ECG=β=∠CFH，根据四边形内角和以及∠E-∠F=33°，即可得到∠E的度数.
20．【答案】（1）解：①如图所示.
②50°，30°
（2）证明：∵ ∠CDA = ∠CAB，
∴ ∠CDF+∠ADF=∠CAD+∠BAD.
∵ ∠CDF=∠CAD，
∴∠ADF=∠BAD，
∴FD∥AB.
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；内错角相等，两直线平行；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：（1）②
∵∠CAB=70°，∠DAB=20°，
∴∠CAD=50°.
∵∠CDA= ∠CAB = 70°，
∴ ∠C = 180° ∠CAD-∠CDA=60°.
∵ DE⊥AC，
∴∠CDE=90°-∠C=30°.
故答案为50°，30°.
【分析】⑴根据题意绘图，再利用已知条件、三角形内角和及直角三角形两锐角互余进行角的运算.
⑵ 根据∠CDA=∠CAB， ∠CDF=∠CAD 得∠ADF=∠BAD，从而知FD∥AB.
21．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：平分，
，，
由知，
，
，
，
，
，，
，
，
．
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】(1)由已知可证得∠2=∠FHC，根据平行线的判定得到FA//CD，根据平行线的性质即可得到∠FAB=∠BDC；
(2)根据角平分线的定义得到∠FHD=2∠FHC，即∠FAD=2∠2，由平行线的性质可求得∠2，再平行线的判定和性质定理求出∠ACB，继而求出∠BCD.
22．【答案】（1）证明：，，，
，
；
（2）证明：，，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】对顶角及其性质；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】(1)根据对顶角相等结合已知条件得出∠1=∠C，根据内错角相等两直线平行即可证得结论；
(2)根据对顶角相等结合已知得出∠3+∠4=180°，证得BF//EC，即可得解；
(3)根据平行线的性质和已知得出∠BFC=130°，最后根据平行线的性质即可求得∠B=50°.
23．【答案】（1）解：如图③，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：如图④，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵的平分线与的平分线所在直线交于点Q，
∴，，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论；三角形的角平分线
【解析】【分析】（1）通过作辅助线将∠P分割为，利用平行线的性质将∠APQ与∠QPD分别转换为∠GAB与∠D，从而可求出结果为85°；（2）由可知，，将转化为，则可得；
（3）利用平行线的性质可知，，于是，根据角平分线的定义以及邻补角的关系将∠QED转化，而，故，结合（2）的结论可知，整体代换到∠AQE中可得。
24．【答案】（1）解：AB∥CD.理由如下：
∵EM平分∠AEF交CD于点M，
∴∠AEM=∠MEF，
∵∠FEM=∠FME.
∴∠AEM=∠FME，
∴AB∥CD
（2）解：∵∠BEG=70°，
∴∠AEH=180°-∠BEG=180°-70°=110°，
∵ EM平分∠AEF， EH平分∠FEG，
∴，，
∴∠CEH=∠MEF+∠HEF=；
②猜想： 或
理由：当点G在F的右侧时，
∵AB∥CD，
∴∠BEG=∠EGH=β，
∴∠AEG=180°-β，
∵∠AEM =∠EMF， ∠HEF =∠HEG，
∵HN⊥EM，
∴∠HNE= 90°，
∴ α=∠EHN=90°-∠HEN=.
当点G在F的左侧时，
∵AB∥CD，
，
综上所述， 或
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)根据角平分线的性质及等量代换证明 即可.
(2)①根据三角形内角和定理得出 ，根据角平分线的定义得到 利用平角的定义求出. 的度数，根据平行线的性质求 即可解决问题；
②分为当点G在F的右侧时及当点G在F的左侧时，这两种情况进行讨论，根据平行线的性质求 ，利用平角的定义表示. 的度数，根据角平分线的定义表示. 即可解决问题.
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