7.3《平行线的证明》（2）—北师大版数学八年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．（2025·巴中）如图，，，则
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图
∵∠1与∠3是对顶角
∴∠3=∠1=60°
∵
∴∠2=∠3=60°
故答案为：D
【分析】利用对顶角的性质和平行线的性质解答即可。
2．（2025·自贡）如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若、则的度数为（ ）
A．75° B．90° C．100° D．115°
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=115°，a//b，
∴∠3=∠1=115°，
∵c//d，
∴∠4=∠3=115°，
∴∠2=∠4=115°；
故答案为：D.
【分析】先证明∠3=∠1=115°，再证明∠4=∠3=115°，再结合对顶角的性质可得答案.
3．（2025·白银）如图1，三根木条a，b，c相交成∠1=80°，∠2=110°，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条α与木条b平行，则可将木条旋转（ ）
A．30° B．40° C．60° D．80°
【答案】A
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴可将木条绕点顺时针旋转的度数为：110°-80°=30°，
故答案为：A.
【分析】根据两直线平行，同位角相等，得，然后结合题意得将木条绕点顺时针旋转的度数.
4．（2025·苏州）如图，在A，B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东 若A，B两地同时开工，要使公路准确接通，则 的度数应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：根据题意，得，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，即可得到的度数.
5．（2025·绥化）如图，AD是∠EAC的平分线，AD//BC，∠B=38°，则∠C的度数是（ ）
A．16° B．30° C．38° D．76°
【答案】C
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵AD// BC，∠B=38°，
∴∠DAE=∠B=38°，∠DAC=∠C，
∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠DAC=∠DAE =38° ，
∴∠C=∠DAC = 38°.
故答案为：C.
【分析】由平行线的性质可得∠DAE=∠B=38°，∠DAC=∠C，再根据角平分线的定义可得∠DAC=∠DAE = 38°，最后代换即可解答.
6．（2025·齐齐哈尔）将一个含30°角的三角尺和直尺按如图摆放，若∠1=50°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质；补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵a// b， ∠1=50°，
∴∠3=∠1=50°，
∴ ∠2=∠4=180°- 60°-∠3= 70°，
∴∠2= 70°，
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质得到∠3=∠1=50°，∠2=∠4，利用三角板的特殊角度计算即可解答.
7．（2025·河北）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴180°-∠ABC=110°
故答案为：C
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
8．（2025·湖南）如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时∠CAB＝145°，则∠ABD＝ ．
【答案】145°
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：
故答案为：145°.
【分析】两直线平行，内错角相等.
9．（2025·连云港）如图，AB//CD，直线AB与射线DE相交于点O.若∠D=50°，则∠BOE= °
【答案】130
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠AOE=∠D=50°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-50°=130°.
故答案为：130.
【分析】利用两直线平行同位角相等，可求出∠AOE的度数；再根据邻补角的定义求出∠BOE的度数.
10．（2025·内江） 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵AB//DE，
∴∠B=∠E，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(AAS)；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，即BF+CF=EC+CF，
∴BF=EC，
∵BF=4，FC=3，
∴EC=4，
∴BE=BF+EF+EC=4+3+4=11．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由两直线平行，内错角相等，得∠B=∠E，从而利用AAS可判断出△ABC≌△DEF；
（2）由全等三角形的对应边相等得BC=EF，由等量减去等量差相等得BF=CE=4，然后根据BE=BF+EF+EC，代值计算可得答案.
二、能力提升
11．（2025·甘孜）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝40°，∠2＝120°，则∠3+∠4＝（ ）
A．120° B．140° C．160° D．170°
【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：
故正确答案为：C
【分析】两直线平行，同位角相等.
12．（2025·长沙） 如图， AB∥CD， 直线EF 与直线AB， CD分别交于点E， F， 直线EG 与直线CD交于点G. 若∠1=70°， ∠2=50°， 则∠GEF的度数为( )
A．50° B．60° C．65° D．70°
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠2=50°，
又∵∠BEF=∠1=70°，
∴∠GEF=180°-∠AEG-∠BEF=180°-50°-70°=60°，
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行得到∠AEG=∠2=50°，然后根据对顶角相等得到∠BEF=∠1=70°，再根据平角的定义解答即可.
13．（2025·内蒙古自治区）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由作图过程可知：EG平分∠AEF，∠AEF=80°，
∴∠AEG=40°，
∵AB∥CD，
∴∠EGF=∠AEG=40°.
故答案为：D.
【分析】根据题意可知EG平分∠AEF，从而得出∠AEG=40°，再根据平行线的性质可得出GEF=∠AEG=40°.
14．（2025·扬州）如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若∠ABE＝130°，∠CDF＝150°，则∠EGF的度数是（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：由题意可知： AB∥PQ∥CD，
∵AB∥PQ，
∴∠ABE+∠BGP=180°，
∵∠ABE=130°，
∴∠BGP=180°-130°=50°，
∵PQ∥CD，
∴∠PGD+∠CDF =180°，
∵∠CDF=150°，
∴∠PGD=180°-150°= 30°，
∴∠BGD=∠BGP+∠PGD=50°+30°=80°，
∴∠EGF =∠BGD=80°，
故答案为：C.
【分析】根据物理学原理可知：AB∥PQ∥CD，再根据平行线的性质求出∠BGP和∠PGD， 从而求出∠BGD，最后根据对顶角相等求出答案即可.
15．（2025·凉山州）如图，，，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图所示，过点C作CG//AB
故答案为：B.
【分析】如图所示，过点C作CG//AB，则同两直线平行同旁内角互补可得的度数，即可得；再由平行公理知CG//DF，则由两直线平行内错角相等得.
16．（2024九上·吉林月考）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，过点C作直线平行于直线m，
∵直线，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据平行公理的推论可得，根据平行线的性质可得，∠2=∠4，由可求出，即可求得∠2.
17．（2025·常州）如图AB∥CD，AC⊥AD，∠ACD=50°，则∠α= .
【答案】
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用平行线的性质得到得出，结合，再利用平角的性质解答即可．
18．如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P.已知∠ABE=140°，∠CDF=150°，则∠EPF的度数是 .
【答案】70°
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵CD||MN
∴∠MPD=∠CDF
∵∠MPD+∠NPD=180°
∴∠NPD=180°-∠MPD=180°-150°=30°
∵AB||MN
∴∠ABE=∠MPB
∵∠NPE+∠MPB=180°
∴∠NPE=180°-140°=40°
∴∠EPF=∠NPE+∠NPF=40°+30°=70°
∴∠EFP=70°
故填：70°.
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得CD||MN得∠NPF的度数，由AB||MN可得∠NPE的度数，即可得∠EPF的度数.
19．如图，在长方形纸带ABCD中，AB∥CD，将纸带沿EF折叠，点A，D分别落在点A'，D'处，若∠1＝62°，则∠2的大小是 .
【答案】56°
【知识点】平行线的应用-折叠问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由折叠知：∠AEF=∠A'EF，
在长方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AEF=∠1=62°，
∴∠A'EF=62°，
∴ ∠2 =180°-∠AEF-∠A'EF=56°.
故答案为：56°.
【分析】根据折叠知∠AEF=∠A'EF，根据平行线性质知∠AEF=∠1，借助平角定义计算出∠2的大小即可.
20．图1是一张足够长的纸条，其中PN∥QM，点A、B分别在PN、QM上，如图2，将纸条折叠，使BM与BA重合，得折痕BR1，若记∠α＝40°，则∠AR1N＝ ．
【答案】140°
【知识点】对顶角及其性质；平行线的应用-折叠问题；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图1所示，
∵PN∥QM，
∴∠PAB＝∠ABM＝40°，
∴如图2所示，∠MAR1＝∠PAB＝40°，
∵AM∥R1N，
∴∠AR1N＝180°﹣∠MAR1＝140°，
故答案为：140°．
【分析】在图1中，由平行线的性质得到∠PAB=∠ABM=40°，在图2中，由对顶角线段得到∠MAR=∠PAB=40°，则由平行线的性质进而即可得出结论.
21．（2025八上·兰溪月考）如图，在四边形ABCD中，P为CD边上的一点，BC∥AD.AP、BP分别是∠BAD、∠ABC的角平分线.
（1）若∠BAD=64°，求∠APB的度数；
（2）求证：AB=BC+AD；
（3）若BP=3，AP=4，过点P作一条直线，分别与AD，BC所在直线交于点E、F，若AB=EF，求AE的长。
【答案】（1）解：∵BC//AD，
∴∠ABC+∠BAD=180°
∵AP、BP分别是∠BAD、∠ABC的角平分线
∴，
∴
∴∠APB=180°-(∠ABP+∠BAP)=90°
（2）证明：如图，延长BP交AD的延长线于点G，
由(1)得∠APB=90°
∴BP⊥AP
在△ABP和△AGP中，
∴△ABP≌△AGP(ASA)
∴BA=GA，BP=GP
∵BC//AD，
∴∠CBP=∠DGP
在△BCP和△GDP中，
∴△BCP≌△GDP(ASA)
∴BC=GD
∴AB=GA=AD+GD=AD+BC
（3）解：①将AB沿AD向右平移到EF，且经过点P，交AD于点E，交BC的延长线于点F，则BF=AE，
同法可证△BPF≌△GPE
∴BF=EG.
∴，
∵BP=3，AP=4，BP⊥AP
在Rt△ABP中，AB2=BP2+AP2
解得，AB=5
由(2)可知，AG=AB=5，
∴
②若点F在BC上，EF=AB，过点P作PN⊥AD与点N，PM⊥AB与点M，
由角平分线性质定理可得PM=PN，
在Rt△ABP中，，
∴，
则，
在Rt△APN和Rt△EPN中，
∵AP=4，，，
由勾股定理可得出，
∴
综上所述，或
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】(1)利用平行线的性质求得∠ABC+∠BAD=180°，根据角平分线的定义得到，，据此即可求解；
(2)延长BP交AD的延长线于点G，证明△ABP≌△AGP(ASA)，推出BA=GA，BP=GP，再证明△BCP≌△GDP，据此即可证明AB=BC+AD；
(3)分两种情况讨论，①将AB沿AD向右平移到EF，②若点F在BC上，EF=AB，利用勾股定理求解即可.
22．已知：如图，点C在∠AOB的一边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于C．
（1）若∠O＝40°，求∠ECF的度数；
（2）求证：CG平分∠OCD；
（3）当∠O为多少度时，CD平分∠OCF，并说明理由．
【答案】（1）解：∵DE∥OB，
∴∠O＝∠ACE，（两直线平行，同位角相等）
∵∠O＝40°，
∴∠ACE＝40°，
∵∠ACD+∠ACE＝180°，（平角的定义）
∴∠ACD＝140°，
又∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF＝70°，（角平分线定义）
∴∠ECF＝70°+40°＝110°；
（2）证明：∵CG⊥CF，
∴∠FCG＝90°，
∴∠DCG+∠DCF＝90°，
又∵∠AOC＝180°，（平角的定义）
∴∠GCO+∠FCA＝90°，
∵∠ACF＝∠DCF，
∴∠GCO＝∠GCD，（等角的余角相等）
即CG平分∠OCD．
（3）解：结论：当∠O＝60°时，CD平分∠OCF．
理由：当∠O＝60°时，
∵DE∥OB，
∴∠DCO＝∠O＝60°．
∴∠ACD＝120°．
又∵CF平分∠ACD，
∴∠DCF＝60°，
∴∠DCO＝∠DCF，
即CD平分∠OCF．
【知识点】角平分线的概念；余角；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质，得到∠ACE=40°，根据平角的定义以及角平分线的定义，即可得到∠ACF=70°，进而得出∠ECF的度数；
(2)根据∠DCG+∠DCF＝90°，∠GCO+∠FCA＝90°，以及∠ACF＝∠DCF，运用等角的余角相等，即可得到∠GCO＝∠GCD，即CC平分∠OCD；
(3)当∠O＝60°时，根据平行线的性质，得出∠DCO＝∠O＝60°，再根据角平分线的概念，即可得到∠DCF＝60°，进而即可得出结论.
23．（2025七下·源城期末）高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板，将小桌板放下后，桌面与车厢的底部AE平行，从侧面观察得到如图①所示图形，BA⊥AE，垂足为A，CD∥AE，有同学认为在这种情况下，∠ABC与∠BCD的和是个定值，下面是小林同学计算∠ABC+∠BCD的度数的过程，请你将解答过程补充完整．
解：如图②，过点B作BF∥AE，
因为CD∥AE（ ），
所以（ ）∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
所以∠BCD+∠CBF＝（ ）°（ ），
因为AB⊥AE（ ），
所以∠EAB＝（ ）°（垂直定义），
因为BF∥AE，
所以（ ）+∠EAB＝180°，
所以∠ABF＝180°﹣90°＝（ ）°，
所以∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝（ ）°．
【答案】解：如图②，过点B作BF∥AE，
因为CD∥AE（ 已知 ），
所以（ BF ）∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
所以∠BCD+∠CBF＝（ 180 ）°（ 两直线平行，同旁内角互补 ），
因为AB⊥AE（已知 ），
所以∠EAB＝（ 90 ）°（垂直定义），
因为BF∥AE，
所以（ ∠ABF ）+∠EAB＝180°，
所以∠ABF＝180°﹣90°＝（ 90 ）°，
所以∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝（ 270 ）°．
故答案为：已知；BF；180；两直线平行，同旁内角互补；已知；90；∠ABF；90；270
【知识点】垂线的概念；平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【分析】 如图②，过点B作BF∥AE， 根据平行公理，平行线的性质以及垂直定义可推理的出结论，根据每一步推理的依据，可得出答案。
三、综合拓展
24．（2025·兰州） “三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下：
操作步骤与演示图形
如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线l1构成的锐角α．按照以下步骤进行操作： 任意折出一条水平折痕l2，l2与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与l2重合得到折痕l3，l3与纸片左边交点为N，如图②．→折痕使点Q，P分别落在l1和l3上，得到折痕m，对应点为Q’，P’，m交l3于M，如图③④．→保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕l4的一部分，如图⑤．→将纸片展开，再沿l4折叠得到经过点P的完整折痕l4，如图⑥．→将纸片折叠使边PK与l4重合，折痕为l5，则直线l4和l5就是锐角α的三等分线，如图⑦⑧．
解决问题 ⑴请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹，不写作法） 任务一：在图③中，利用已给定的点Q'作出点P'； 任务二：在图⑥中作出折痕l3． ⑵若锐角α为75°，则图⑤中l2与l4相交所成的锐角是 ▲ °．
【答案】解：⑴任务一：如图，点P为所求．
任务二：如图，折痕l5为所求．
⑵50.
【知识点】角的运算；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】
解：（2）
由题意可知l4，l5是∠的三等分线，
∴∠CPK =∠=x 75°= 50°，
∵l2//PK，
∴∠CDE=∠CPK= 50°，
∴l2与l4相交所成的锐角是50°；
故答案为： 50.
【分析】
(1)任务一：连接QQ'，作QQ'的垂直平分线m， 过点P作直线m的垂线，交边PK于点A，以点A为圆心，AP的长为半径作弧，交直线l3于点P'，则点P'为所求；
任务二：作出l4与PK所成夹角的角平分线，即为折痕l5；
(2)根据三等分线得到∠CPK =∠，再根据两直线平行，同位角相等，计算即可解答.
25．（2025七下·宁海期中）已知直线AB//CD，直线EF分别与AB、CD相交于E、F.
（1）【阅读理解】
如图1，PE、PF分别平分∠BEF和∠EFD，求证；PE⊥PF.请在下面的括号里填写相应的依据.
解：∵PE、PF分别平分∠BEF和∠EFD.
∴可设∠BEP=∠FEP=x， ∠EFP=∠PFD=y（ ）.
∵AB//CD，
∴2x+2y= 180°（ ）
∴x+y=90°.
又∵x+y+∠P=180°，
∴90°+∠P=180°
∴∠P=90°，即EP⊥PF.
（2）【推广应用】
如图2，点G在射线EA上，点H在射线FD上，GP、FP分别平分∠BGH和∠EFH，若∠P=54°、∠GQF=70°，请模仿（1）设元的方法，求∠EGH和∠EFH的度数.
（3）[拓展提升]
如图3，点G在线段EF上，点H是直线 CD上的动点（不与F重合），FP、HP分别平分∠EFH和∠GHD，设∠EGH=m°，请直接用含m的代数式表示∠FPH的度数.
【答案】（1）解：∵PE、PF分别平分∠BEF和∠EFD.
∴可设∠BEP=∠FEP=x， ∠EFP=∠PFD=y（角平分线的定义）.
∵AB//CD，
∴2x+2y= 180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴x+y=90°.
又∵x+y+∠P=180°，
∴90°+∠P=180°
∴∠P=90°，即EP⊥PF.
（2）解：GP、FP分别平分∠BGH和∠EFH
∴可设∠EGP=∠PGH=x，∠EFP=∠PFH=y
解得
∴∠EGP=∠PGH=16°.
∴∠EFP=∠PFH=38°
∴∠EGH= 32°，∠EFH=76°.
（3）解：当点H在点F的右边时，如图所示，
设∠GFP=∠PFH=x，∠GHP=∠PHD=y.
∴，整理得.
∴
.
当点H在点F的左边时，如图所示，
∵FP、HP分别平分∠EFH和∠GHD，
∴可设∠EFP=∠PFH=a，∠GHP=∠PHD-b，
∴∠EGH=∠GFH+∠GHF = 2a + 2b = m°
∴a+b=m°
∴∠P+∠PHF+∠PFH=180°，
∴∠P=180°-(∠PHF+∠PFH)=180°-(a-m°+b)=180°-m°。
∴∠FPH=90°-m°或∠FPH=180°-m°
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）根据角平分以及平行的条件，可得到在△EPF里，∠PEF+∠PFE=90°，因此∠P为90°，即 PE⊥PF得证；
（2）可设∠EGP=∠PGH=x，∠EFP=∠PFH=y，根据平行性质列出关于x、y的二元一次方程组，求解并得出 ∠EGH和∠EFH的度数；
（3）分当点H在点F的右边和点H在点F的左边两种情况，然后列式表示即可。
1 / 17.3《平行线的证明》（2）—北师大版数学八年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．（2025·巴中）如图，，，则
A． B． C． D．
2．（2025·自贡）如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若、则的度数为（ ）
A．75° B．90° C．100° D．115°
3．（2025·白银）如图1，三根木条a，b，c相交成∠1=80°，∠2=110°，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条α与木条b平行，则可将木条旋转（ ）
A．30° B．40° C．60° D．80°
4．（2025·苏州）如图，在A，B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东 若A，B两地同时开工，要使公路准确接通，则 的度数应为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·绥化）如图，AD是∠EAC的平分线，AD//BC，∠B=38°，则∠C的度数是（ ）
A．16° B．30° C．38° D．76°
6．（2025·齐齐哈尔）将一个含30°角的三角尺和直尺按如图摆放，若∠1=50°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
7．（2025·河北）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·湖南）如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时∠CAB＝145°，则∠ABD＝ ．
9．（2025·连云港）如图，AB//CD，直线AB与射线DE相交于点O.若∠D=50°，则∠BOE= °
10．（2025·内江） 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
二、能力提升
11．（2025·甘孜）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝40°，∠2＝120°，则∠3+∠4＝（ ）
A．120° B．140° C．160° D．170°
12．（2025·长沙） 如图， AB∥CD， 直线EF 与直线AB， CD分别交于点E， F， 直线EG 与直线CD交于点G. 若∠1=70°， ∠2=50°， 则∠GEF的度数为( )
A．50° B．60° C．65° D．70°
13．（2025·内蒙古自治区）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
14．（2025·扬州）如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若∠ABE＝130°，∠CDF＝150°，则∠EGF的度数是（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
15．（2025·凉山州）如图，，，，则
A． B． C． D．
16．（2024九上·吉林月考）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
17．（2025·常州）如图AB∥CD，AC⊥AD，∠ACD=50°，则∠α= .
18．如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P.已知∠ABE=140°，∠CDF=150°，则∠EPF的度数是 .
19．如图，在长方形纸带ABCD中，AB∥CD，将纸带沿EF折叠，点A，D分别落在点A'，D'处，若∠1＝62°，则∠2的大小是 .
20．图1是一张足够长的纸条，其中PN∥QM，点A、B分别在PN、QM上，如图2，将纸条折叠，使BM与BA重合，得折痕BR1，若记∠α＝40°，则∠AR1N＝ ．
21．（2025八上·兰溪月考）如图，在四边形ABCD中，P为CD边上的一点，BC∥AD.AP、BP分别是∠BAD、∠ABC的角平分线.
（1）若∠BAD=64°，求∠APB的度数；
（2）求证：AB=BC+AD；
（3）若BP=3，AP=4，过点P作一条直线，分别与AD，BC所在直线交于点E、F，若AB=EF，求AE的长。
22．已知：如图，点C在∠AOB的一边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于C．
（1）若∠O＝40°，求∠ECF的度数；
（2）求证：CG平分∠OCD；
（3）当∠O为多少度时，CD平分∠OCF，并说明理由．
23．（2025七下·源城期末）高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板，将小桌板放下后，桌面与车厢的底部AE平行，从侧面观察得到如图①所示图形，BA⊥AE，垂足为A，CD∥AE，有同学认为在这种情况下，∠ABC与∠BCD的和是个定值，下面是小林同学计算∠ABC+∠BCD的度数的过程，请你将解答过程补充完整．
解：如图②，过点B作BF∥AE，
因为CD∥AE（ ），
所以（ ）∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
所以∠BCD+∠CBF＝（ ）°（ ），
因为AB⊥AE（ ），
所以∠EAB＝（ ）°（垂直定义），
因为BF∥AE，
所以（ ）+∠EAB＝180°，
所以∠ABF＝180°﹣90°＝（ ）°，
所以∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝（ ）°．
三、综合拓展
24．（2025·兰州） “三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下：
操作步骤与演示图形
如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线l1构成的锐角α．按照以下步骤进行操作： 任意折出一条水平折痕l2，l2与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与l2重合得到折痕l3，l3与纸片左边交点为N，如图②．→折痕使点Q，P分别落在l1和l3上，得到折痕m，对应点为Q’，P’，m交l3于M，如图③④．→保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕l4的一部分，如图⑤．→将纸片展开，再沿l4折叠得到经过点P的完整折痕l4，如图⑥．→将纸片折叠使边PK与l4重合，折痕为l5，则直线l4和l5就是锐角α的三等分线，如图⑦⑧．
解决问题 ⑴请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹，不写作法） 任务一：在图③中，利用已给定的点Q'作出点P'； 任务二：在图⑥中作出折痕l3． ⑵若锐角α为75°，则图⑤中l2与l4相交所成的锐角是 ▲ °．
25．（2025七下·宁海期中）已知直线AB//CD，直线EF分别与AB、CD相交于E、F.
（1）【阅读理解】
如图1，PE、PF分别平分∠BEF和∠EFD，求证；PE⊥PF.请在下面的括号里填写相应的依据.
解：∵PE、PF分别平分∠BEF和∠EFD.
∴可设∠BEP=∠FEP=x， ∠EFP=∠PFD=y（ ）.
∵AB//CD，
∴2x+2y= 180°（ ）
∴x+y=90°.
又∵x+y+∠P=180°，
∴90°+∠P=180°
∴∠P=90°，即EP⊥PF.
（2）【推广应用】
如图2，点G在射线EA上，点H在射线FD上，GP、FP分别平分∠BGH和∠EFH，若∠P=54°、∠GQF=70°，请模仿（1）设元的方法，求∠EGH和∠EFH的度数.
（3）[拓展提升]
如图3，点G在线段EF上，点H是直线 CD上的动点（不与F重合），FP、HP分别平分∠EFH和∠GHD，设∠EGH=m°，请直接用含m的代数式表示∠FPH的度数.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图
∵∠1与∠3是对顶角
∴∠3=∠1=60°
∵
∴∠2=∠3=60°
故答案为：D
【分析】利用对顶角的性质和平行线的性质解答即可。
2．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=115°，a//b，
∴∠3=∠1=115°，
∵c//d，
∴∠4=∠3=115°，
∴∠2=∠4=115°；
故答案为：D.
【分析】先证明∠3=∠1=115°，再证明∠4=∠3=115°，再结合对顶角的性质可得答案.
3．【答案】A
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴可将木条绕点顺时针旋转的度数为：110°-80°=30°，
故答案为：A.
【分析】根据两直线平行，同位角相等，得，然后结合题意得将木条绕点顺时针旋转的度数.
4．【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：根据题意，得，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，即可得到的度数.
5．【答案】C
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵AD// BC，∠B=38°，
∴∠DAE=∠B=38°，∠DAC=∠C，
∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠DAC=∠DAE =38° ，
∴∠C=∠DAC = 38°.
故答案为：C.
【分析】由平行线的性质可得∠DAE=∠B=38°，∠DAC=∠C，再根据角平分线的定义可得∠DAC=∠DAE = 38°，最后代换即可解答.
6．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质；补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵a// b， ∠1=50°，
∴∠3=∠1=50°，
∴ ∠2=∠4=180°- 60°-∠3= 70°，
∴∠2= 70°，
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质得到∠3=∠1=50°，∠2=∠4，利用三角板的特殊角度计算即可解答.
7．【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴180°-∠ABC=110°
故答案为：C
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
8．【答案】145°
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：
故答案为：145°.
【分析】两直线平行，内错角相等.
9．【答案】130
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠AOE=∠D=50°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-50°=130°.
故答案为：130.
【分析】利用两直线平行同位角相等，可求出∠AOE的度数；再根据邻补角的定义求出∠BOE的度数.
10．【答案】（1）证明：∵AB//DE，
∴∠B=∠E，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(AAS)；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，即BF+CF=EC+CF，
∴BF=EC，
∵BF=4，FC=3，
∴EC=4，
∴BE=BF+EF+EC=4+3+4=11．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由两直线平行，内错角相等，得∠B=∠E，从而利用AAS可判断出△ABC≌△DEF；
（2）由全等三角形的对应边相等得BC=EF，由等量减去等量差相等得BF=CE=4，然后根据BE=BF+EF+EC，代值计算可得答案.
11．【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：
故正确答案为：C
【分析】两直线平行，同位角相等.
12．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠2=50°，
又∵∠BEF=∠1=70°，
∴∠GEF=180°-∠AEG-∠BEF=180°-50°-70°=60°，
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行得到∠AEG=∠2=50°，然后根据对顶角相等得到∠BEF=∠1=70°，再根据平角的定义解答即可.
13．【答案】D
【知识点】角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由作图过程可知：EG平分∠AEF，∠AEF=80°，
∴∠AEG=40°，
∵AB∥CD，
∴∠EGF=∠AEG=40°.
故答案为：D.
【分析】根据题意可知EG平分∠AEF，从而得出∠AEG=40°，再根据平行线的性质可得出GEF=∠AEG=40°.
14．【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：由题意可知： AB∥PQ∥CD，
∵AB∥PQ，
∴∠ABE+∠BGP=180°，
∵∠ABE=130°，
∴∠BGP=180°-130°=50°，
∵PQ∥CD，
∴∠PGD+∠CDF =180°，
∵∠CDF=150°，
∴∠PGD=180°-150°= 30°，
∴∠BGD=∠BGP+∠PGD=50°+30°=80°，
∴∠EGF =∠BGD=80°，
故答案为：C.
【分析】根据物理学原理可知：AB∥PQ∥CD，再根据平行线的性质求出∠BGP和∠PGD， 从而求出∠BGD，最后根据对顶角相等求出答案即可.
15．【答案】B
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图所示，过点C作CG//AB
故答案为：B.
【分析】如图所示，过点C作CG//AB，则同两直线平行同旁内角互补可得的度数，即可得；再由平行公理知CG//DF，则由两直线平行内错角相等得.
16．【答案】D
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，过点C作直线平行于直线m，
∵直线，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据平行公理的推论可得，根据平行线的性质可得，∠2=∠4，由可求出，即可求得∠2.
17．【答案】
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用平行线的性质得到得出，结合，再利用平角的性质解答即可．
18．【答案】70°
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵CD||MN
∴∠MPD=∠CDF
∵∠MPD+∠NPD=180°
∴∠NPD=180°-∠MPD=180°-150°=30°
∵AB||MN
∴∠ABE=∠MPB
∵∠NPE+∠MPB=180°
∴∠NPE=180°-140°=40°
∴∠EPF=∠NPE+∠NPF=40°+30°=70°
∴∠EFP=70°
故填：70°.
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得CD||MN得∠NPF的度数，由AB||MN可得∠NPE的度数，即可得∠EPF的度数.
19．【答案】56°
【知识点】平行线的应用-折叠问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由折叠知：∠AEF=∠A'EF，
在长方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AEF=∠1=62°，
∴∠A'EF=62°，
∴ ∠2 =180°-∠AEF-∠A'EF=56°.
故答案为：56°.
【分析】根据折叠知∠AEF=∠A'EF，根据平行线性质知∠AEF=∠1，借助平角定义计算出∠2的大小即可.
20．【答案】140°
【知识点】对顶角及其性质；平行线的应用-折叠问题；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图1所示，
∵PN∥QM，
∴∠PAB＝∠ABM＝40°，
∴如图2所示，∠MAR1＝∠PAB＝40°，
∵AM∥R1N，
∴∠AR1N＝180°﹣∠MAR1＝140°，
故答案为：140°．
【分析】在图1中，由平行线的性质得到∠PAB=∠ABM=40°，在图2中，由对顶角线段得到∠MAR=∠PAB=40°，则由平行线的性质进而即可得出结论.
21．【答案】（1）解：∵BC//AD，
∴∠ABC+∠BAD=180°
∵AP、BP分别是∠BAD、∠ABC的角平分线
∴，
∴
∴∠APB=180°-(∠ABP+∠BAP)=90°
（2）证明：如图，延长BP交AD的延长线于点G，
由(1)得∠APB=90°
∴BP⊥AP
在△ABP和△AGP中，
∴△ABP≌△AGP(ASA)
∴BA=GA，BP=GP
∵BC//AD，
∴∠CBP=∠DGP
在△BCP和△GDP中，
∴△BCP≌△GDP(ASA)
∴BC=GD
∴AB=GA=AD+GD=AD+BC
（3）解：①将AB沿AD向右平移到EF，且经过点P，交AD于点E，交BC的延长线于点F，则BF=AE，
同法可证△BPF≌△GPE
∴BF=EG.
∴，
∵BP=3，AP=4，BP⊥AP
在Rt△ABP中，AB2=BP2+AP2
解得，AB=5
由(2)可知，AG=AB=5，
∴
②若点F在BC上，EF=AB，过点P作PN⊥AD与点N，PM⊥AB与点M，
由角平分线性质定理可得PM=PN，
在Rt△ABP中，，
∴，
则，
在Rt△APN和Rt△EPN中，
∵AP=4，，，
由勾股定理可得出，
∴
综上所述，或
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】(1)利用平行线的性质求得∠ABC+∠BAD=180°，根据角平分线的定义得到，，据此即可求解；
(2)延长BP交AD的延长线于点G，证明△ABP≌△AGP(ASA)，推出BA=GA，BP=GP，再证明△BCP≌△GDP，据此即可证明AB=BC+AD；
(3)分两种情况讨论，①将AB沿AD向右平移到EF，②若点F在BC上，EF=AB，利用勾股定理求解即可.
22．【答案】（1）解：∵DE∥OB，
∴∠O＝∠ACE，（两直线平行，同位角相等）
∵∠O＝40°，
∴∠ACE＝40°，
∵∠ACD+∠ACE＝180°，（平角的定义）
∴∠ACD＝140°，
又∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF＝70°，（角平分线定义）
∴∠ECF＝70°+40°＝110°；
（2）证明：∵CG⊥CF，
∴∠FCG＝90°，
∴∠DCG+∠DCF＝90°，
又∵∠AOC＝180°，（平角的定义）
∴∠GCO+∠FCA＝90°，
∵∠ACF＝∠DCF，
∴∠GCO＝∠GCD，（等角的余角相等）
即CG平分∠OCD．
（3）解：结论：当∠O＝60°时，CD平分∠OCF．
理由：当∠O＝60°时，
∵DE∥OB，
∴∠DCO＝∠O＝60°．
∴∠ACD＝120°．
又∵CF平分∠ACD，
∴∠DCF＝60°，
∴∠DCO＝∠DCF，
即CD平分∠OCF．
【知识点】角平分线的概念；余角；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质，得到∠ACE=40°，根据平角的定义以及角平分线的定义，即可得到∠ACF=70°，进而得出∠ECF的度数；
(2)根据∠DCG+∠DCF＝90°，∠GCO+∠FCA＝90°，以及∠ACF＝∠DCF，运用等角的余角相等，即可得到∠GCO＝∠GCD，即CC平分∠OCD；
(3)当∠O＝60°时，根据平行线的性质，得出∠DCO＝∠O＝60°，再根据角平分线的概念，即可得到∠DCF＝60°，进而即可得出结论.
23．【答案】解：如图②，过点B作BF∥AE，
因为CD∥AE（ 已知 ），
所以（ BF ）∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
所以∠BCD+∠CBF＝（ 180 ）°（ 两直线平行，同旁内角互补 ），
因为AB⊥AE（已知 ），
所以∠EAB＝（ 90 ）°（垂直定义），
因为BF∥AE，
所以（ ∠ABF ）+∠EAB＝180°，
所以∠ABF＝180°﹣90°＝（ 90 ）°，
所以∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝（ 270 ）°．
故答案为：已知；BF；180；两直线平行，同旁内角互补；已知；90；∠ABF；90；270
【知识点】垂线的概念；平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【分析】 如图②，过点B作BF∥AE， 根据平行公理，平行线的性质以及垂直定义可推理的出结论，根据每一步推理的依据，可得出答案。
24．【答案】解：⑴任务一：如图，点P为所求．
任务二：如图，折痕l5为所求．
⑵50.
【知识点】角的运算；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】
解：（2）
由题意可知l4，l5是∠的三等分线，
∴∠CPK =∠=x 75°= 50°，
∵l2//PK，
∴∠CDE=∠CPK= 50°，
∴l2与l4相交所成的锐角是50°；
故答案为： 50.
【分析】
(1)任务一：连接QQ'，作QQ'的垂直平分线m， 过点P作直线m的垂线，交边PK于点A，以点A为圆心，AP的长为半径作弧，交直线l3于点P'，则点P'为所求；
任务二：作出l4与PK所成夹角的角平分线，即为折痕l5；
(2)根据三等分线得到∠CPK =∠，再根据两直线平行，同位角相等，计算即可解答.
25．【答案】（1）解：∵PE、PF分别平分∠BEF和∠EFD.
∴可设∠BEP=∠FEP=x， ∠EFP=∠PFD=y（角平分线的定义）.
∵AB//CD，
∴2x+2y= 180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴x+y=90°.
又∵x+y+∠P=180°，
∴90°+∠P=180°
∴∠P=90°，即EP⊥PF.
（2）解：GP、FP分别平分∠BGH和∠EFH
∴可设∠EGP=∠PGH=x，∠EFP=∠PFH=y
解得
∴∠EGP=∠PGH=16°.
∴∠EFP=∠PFH=38°
∴∠EGH= 32°，∠EFH=76°.
（3）解：当点H在点F的右边时，如图所示，
设∠GFP=∠PFH=x，∠GHP=∠PHD=y.
∴，整理得.
∴
.
当点H在点F的左边时，如图所示，
∵FP、HP分别平分∠EFH和∠GHD，
∴可设∠EFP=∠PFH=a，∠GHP=∠PHD-b，
∴∠EGH=∠GFH+∠GHF = 2a + 2b = m°
∴a+b=m°
∴∠P+∠PHF+∠PFH=180°，
∴∠P=180°-(∠PHF+∠PFH)=180°-(a-m°+b)=180°-m°。
∴∠FPH=90°-m°或∠FPH=180°-m°
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）根据角平分以及平行的条件，可得到在△EPF里，∠PEF+∠PFE=90°，因此∠P为90°，即 PE⊥PF得证；
（2）可设∠EGP=∠PGH=x，∠EFP=∠PFH=y，根据平行性质列出关于x、y的二元一次方程组，求解并得出 ∠EGH和∠EFH的度数；
（3）分当点H在点F的右边和点H在点F的左边两种情况，然后列式表示即可。
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