北师大版数八年级上册单元分层检测卷第七章 《命题与证明》A卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024七下·香洲期中）下列语句是命题的是（ ）
A．你喜欢数学吗？ B．小明是男生
C．城阳世纪公园 D．加强体育锻炼
2．（2021七下·陵城期末）下列命题中是假命题的是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．同旁内角互补
C．等角的补角相等 D．垂线段最短
3．（2019·禅城模拟）如图两平行线a、b被直线l所截，且∠1=60°，则∠2的度数为
A．30° B．45° C．60° D．120°
4．（2025七下·福田期末） 图1 是视觉错觉艺术风格的作品，这种设计利用背景线条、图案的干扰，制造出视觉认知偏差的冲突，具有很强的趣味性与迷惑性.如图2，现将其中的一组背景线条与直线a，b抽象出来，下列说法能判断出的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025七下·榕城期末） 下列图形中， 由∠1=∠2， 能得到AB∥CD的是( )
A． B．
C． D．
6．（2025七下·南山期末）如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A，B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接最出A，B间的距离。为此，小明和小华两位同学提供了如下测量方案：
方案1 ①如图1，选定点O； ②连接AO，并延长到点C，使OC=OA，连接BO，并延长到点D，使OD=OB： ③连接DC，测量DC的长度即可。 方案2 ①如图2，选定点O： ②连接AO，BO，并分别延长到点F，E，使OF=OB，OE=OA： ③连接EF，测量EF的长度即可。
对于方案1和方案2，下列说法正确的是（ ）
A．1、2都不可行 B．1不可行、2可行
C．1可行、2不可行 D．1、2都可行
7．（2024七下·福田期末）如图，A，D，E三点共线，下列条件中能判断直线的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020七下·肇庆月考）下列语句中，是命题的是（ ）
①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2；②同位角相等吗？③画线段AB＝CD；④如果a>b，b>c，那么a>c；⑤直角都相等．
A．①④⑤ B．①②④ C．①②⑤ D．②③④⑤
9．（2024八上·揭阳期末）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法(图中三角形是三角板)，其依据是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同旁内角互补
C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
10．（2022八上·龙湖开学考）如图，直线，一直角三角板ABC(∠ACB=90° )放在平行线上，两直角边分别l1与l2、交于点D、E，现测得∠1=75°，则∠2的度数为（ ）
A．15° B．25° C．30° D．35°
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024八上·赤坎开学考）如图，，，图中两个三角形是否全等？ （填“是”或“否”），如果全等，请写出与边相等的对应边 ．
12．（2023八上·惠城开学考）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为 ．
13．（2024八上·惠来期末）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”）
14．（2025七下·深圳期中）如图是小颖同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，则的度数为 ．
15．（2017七下·钦南期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：
16．（2017七下·东莞期末）如图，直线a与直线b、c分别相交于点A、B，将直线b绕点A转动，当∠1=∠ 时，c∥b
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025七下·肇庆月考）将下列证明过程补充完整：
已知：如图，点分别在上，分别交于点，．
求证：．
证明：因为（已知）
又因为（____________），
所以___________（等量代换）．
所以（ ）
所以（____________）．
又因为（已知），
所以（____________）．
所以__________（ ）．
所以（ ）．
18．（2024八上·赤坎开学考）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得．
（1）求证：；
（2）连接，若平分平分，且，求的度数．
19．（2024七下·深圳期中）如图1，点为边上一点，
（1）利用直尺和圆规：过点作直线，使．（用黑色水笔描出作图痕迹，不要求写作法）
（2）如图2，在（1）的前提下，为上一点，过作，求证：．
20．（2024八上·深圳期末）如图，已知点在直线上，点在线段上，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
21．（2022八上·电白期末）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接DE并延长至点F，使得，连接．
（1）求证：；
（2）若，连接平分平分，求的度数．
22．（2025八上·福田期末）如图，．
（1）求证：．
小颖同学是这样做的，请你将证明过程补充完整．
证明：如图1，过点作，
（2）如图2，若，分别平分和，则与之间的等量关系为_________．
23．（2020八上·英德期末）如图，CD∥EF，AC⊥AE，且∠α和∠β的度数满足方程组
（1）求∠α和∠β的度数．
（2）求证：AB∥CD．
（3）求∠C的度数．
24．（2023七下·禅城期中）将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起如图，其中，，．
（1）若，求的度数；
（2）试猜想与的数量关系，请说明理由；
（3）若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，试探究等于多少度时，，并简要说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】命题的概念与组成
【解析】【解答】解：A中，你喜欢数学吗？是疑问句，没有对事情做出判断，不是命题，所以A不符合题意；
B中，小明是男生是命题，所以A符合题意；
C中，城阳世纪公园是陈述性的句子，没有做出判断，不是命题，所以C不符合题意；
D中，加强体育锻炼是陈述性的句子，没有做出判断，不是命题，所以D不符合题意．
故选：B．
【分析】本题考查了命题定义及其判定，对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题，结合选项，据此分析判断，即可得到答案.
2．【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两点之间，线段最短，是真命题；
B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；
C、等角的补角相等，是真命题；
D、垂线段最短，是真命题；
故答案为：B．
【分析】根据线段，垂线段的公理，平行线的性质以及补角的性质判断即可。
3．【答案】C
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】如图，∵a∥b，
∴∠3=∠1=60°。
∵∠2和∠3是对顶角，∴∠2=∠3=60°。
故答案为：C。
【分析】运用“两直线平行，同位角相等”定理即可。
4．【答案】A
【知识点】平行线的判定；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解： 、与是同位角，同位角相等，两直线平行，可判断，A正确.
、与是对顶角，对顶角相等不能判定，B错误.
、与是邻补角，和为是必然，不能判定，C错误.
、与无直接平行判定关系，D错误.
故答案为：A .
【分析】根据平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 ），逐一分析选项中角的关系是否符合判定条件.
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A：∠1和∠2不是三线八角，不能判定两直线平行，故A不符合题意；
B： 由∠1=∠2， 能判定AD∥BC，故B不符合题意；
C：∠1和∠2的对顶角是直线AB和CD被MN所截得到的一组同位角，所以 由∠1=∠2， 可以得到 AB∥CD ，故C符合题意；
.D：∠1和∠2不是AB，CD被第三条直线截得的角，所以不能判定AB∥CD，故D不符合题意。
故答案为：C.
【分析】根据平行线的判定定理，分别进行判定，即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：方案1：在△AOB与△COD中，
AO=OC，AOB=COD，OB= OD，
∴△AOB△COD(SAS)，
∴AB=CD.
方案2：在△AOB与△EOF中，
AO=EО，
AOB=EOF，
OB=OF
∴△AOB△EOF(SAS)，
∴AB=EF.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件发现方案1，方案2都可以利用SAS证明两个三角形全等，即两种方案都可行，由此即可解答.
7．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、由，对顶角相等，不能判断，错误；
B、由，两角的关系不是同位角或内错角，不能判断，错误；
C、由，根据“内错角相等，两直线平行”可判断，正确；
D、由，∠D与∠1对于直线AD与BC不是同旁内角，不能通过互补判断，错误；
故答案为：C．
【分析】本题解题的关键是掌握平行线的判定及三线八角的位置关系.
8．【答案】A
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2，是命题，故①符合题意；
②对顶角相等吗？不是命题，故②不符合题意；
③画线段AB＝CD，不是命题，故③不符合题意；
④如果a＞b，b＞c，那么a＞c，是命题，故④符合题意；
⑤直角都相等，是命题，故⑤符合题意．
故答案为：A．
【分析】 可以判断真假的陈述句叫做命题，判断命题主要有两点：①能判断真假；②是陈述句.
9．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：由图形知：∠2=∠1，
∴a∥b（ 同位角相等，两直线平行 ）.
故答案为：C.
【分析】根据“同位角相等，两直线平行”可得a∥b.
10．【答案】A
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CF∥l1，
∵l1∥l2，
∴CF∥l1∥l2，
∴∠FCD=∠1=75°，∠BCF=∠2，
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=90°-75°=15°，
故答案为：A.
【分析】过点C作CF∥l1，根据平行公理得出CF∥l1∥l2，得出∠FCD=∠1=75°，∠BCF=∠2，再根据∠ACB=90°得出∠1+∠2=90°，即可得出∠2=90°-75°=15°.
11．【答案】是；CB
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-ASA；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，，
，，
在和中，
，
．
，
综上可知，图中两个三角形全等，与边相等的对应边为．
故答案为：是；
【分析】根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得，， ，易证，据此即可求解。
12．【答案】67°
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示，
∵，
∴
∵，
∴，
故答案为：67°．
【分析】根据平角的定义及三角尺的性质得出∠3=67°，继而根据平行线的性质“来那个专项培训，同位角相等”即可求解．
13．【答案】假
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：当a=-3，b=1时，|a|=|-3|=3＞|b|=|1|=1，-3＜1，即a＜b，故原命题是假命题.
故答案为：假.
【分析】利用举反例的方法，举出符合命题题设，但又不满足命题结论的例子即可判断原命题的真假.
14．【答案】
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴=，
故答案为：65°.
【分析】利用两直线平行，内错角相等的性质分析求解即可.
15．【答案】如果两个角是对顶角，那么它们相等
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：题设为：对顶角，结论为：相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．
【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．
16．【答案】3
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：根据同位角相等，两直线平行可得，当∠1=∠3时，c∥b.
故答案为3
【分析】
17．【答案】证明：∵（已知），
又∵（对顶角相等），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∴（等量代换）．
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质及推理步骤分析求解即可.
18．【答案】（1）证明：为中点，
，
．
，
在和中，
（2）解：平分
，
．
平分，
，
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）根据中点的定义，可得AE=CE，然后再根据平行线的性质，可得，根据ASA，即可证明；
（2）利用角平分线的定义，求出的度数，再根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，以及两直线平行，内错角相等，可得，进而可得的度数，最后再根据角平分线的定义，可得，代入数据即可求解。
（1）证明：为中点，
，
．
，
在和中，
；
（2）解：平分
，
．
平分，
，
．
19．【答案】（1）解：如图，EF就是所求的与AB平行得直线；
（2）证明：∵∠FMN=∠B，∠ABC=∠FEC，
∴∠FEC=∠FMN，
∴MN∥BC.
【知识点】平行线的判定；作图-平行线
【解析】【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，作∠FEC=∠ABC即可得出EF∥AB；
（2）根据（1）的作图过程及已知，由等量代换可得∠FEC=∠FMN，进而根据同位角相等，两直线平行，可得结论.
20．【答案】（1）证明：∵
∴
∴
∵
∵
∴
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【分析】(1)根据平行线的判定，同位角相等，即可得到两直线平行；
(2)依据平行线的性质，可得出∠CED=∠GHD，可知EC//GF， 又因为问题1已证AB//CD，即可得出∠FED =∠D=30°，∠CED =∠EHFD=80°；进而可求∠AEM =∠CEF=110°.
21．【答案】（1）证明：∵E为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得：，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△ADE≌△CFE，可得∠A=∠ECF，根据平行线的判定即证；
（2）由（1）知∠A=∠ECF，由角平分线的定义可得，利用等量代换即可求解.
22．【答案】（1）证明：过点作，
，
又∵，，
，
，
；
（2）或
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】（2）解：过点作，
，
，
，
∴，
又∵，
，
∵，分别平分和，
，
，
又∵，
，
故答案为：．
【分析】（1） 过点作， 根据直线平行性质可得，根据角之间的关系可得，再根据直线平行判定定理及性质即可求出答案.
（2）过点作，根据直线平行性质可得，，再根据角之间的关系可得，再根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）证明：过点作，
，
又∵，，
，
，
；
（2）解：过点作，
，
，
，
∴，
又∵，
，
∵，分别平分和，
，
，
又∵，
，
故答案为：．
23．【答案】（1）解： ，
①﹣②，得
3∠α＝165°，
解得，∠α＝55°，
把∠α＝55°代入②，得
∠β＝125°，
即∠α和∠β的度数分别为55°，125°
（2）证明：由（1）知，∠α＝55°，∠β＝125°，
则∠α+∠β＝180°，
故AB∥EF，
又∵CD∥EF，
∴AB∥CD
（3）解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠C＝180°，
∵AC⊥AE，
∴∠CAE＝90°，
又∵∠α＝55°，
∴∠BAC＝145°，
∴∠C＝35°．
【知识点】解二元一次方程组；角的运算；平行线的判定
【解析】【分析】（1）根据方程组 ，可以得到∠α和∠β的度数；（2）根据（1）∠α和∠β的度数，可以得到AB∥EF，再根据CD∥EF，即可得到AB∥CD；（3）根据AB∥CD，可得∠BAC+∠C=180°，再根据AC⊥AE和∠α的度数可以得到∠BAC的度数，从而可以得到∠C的度数．
24．【答案】（1）解：，，
，
．
（2）解：理由如下：
，
，
；
（3）解：当或时，．
如图，根据同旁内角互补，两直线平行，
当时，，此时；
如图，根据内错角相等，两直线平行，
时，．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】（1）由角的和差关系可得∠DCA=∠BCD-∠BCA=60°，然后根据∠ACE=∠ECD-∠DCA进行计算；
（2）由角的和差关系可得∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，∠ACE=∠DCE-∠ACD=90°-∠ACD，然后将两式相加即可；
（3）当∠B+∠BCD=180°时，CD∥AB，求解可得∠BCD的度数；当∠B=∠BCD时，CD∥AB，据此求解.
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一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024七下·香洲期中）下列语句是命题的是（ ）
A．你喜欢数学吗？ B．小明是男生
C．城阳世纪公园 D．加强体育锻炼
【答案】B
【知识点】命题的概念与组成
【解析】【解答】解：A中，你喜欢数学吗？是疑问句，没有对事情做出判断，不是命题，所以A不符合题意；
B中，小明是男生是命题，所以A符合题意；
C中，城阳世纪公园是陈述性的句子，没有做出判断，不是命题，所以C不符合题意；
D中，加强体育锻炼是陈述性的句子，没有做出判断，不是命题，所以D不符合题意．
故选：B．
【分析】本题考查了命题定义及其判定，对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题，结合选项，据此分析判断，即可得到答案.
2．（2021七下·陵城期末）下列命题中是假命题的是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．同旁内角互补
C．等角的补角相等 D．垂线段最短
【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两点之间，线段最短，是真命题；
B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；
C、等角的补角相等，是真命题；
D、垂线段最短，是真命题；
故答案为：B．
【分析】根据线段，垂线段的公理，平行线的性质以及补角的性质判断即可。
3．（2019·禅城模拟）如图两平行线a、b被直线l所截，且∠1=60°，则∠2的度数为
A．30° B．45° C．60° D．120°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】如图，∵a∥b，
∴∠3=∠1=60°。
∵∠2和∠3是对顶角，∴∠2=∠3=60°。
故答案为：C。
【分析】运用“两直线平行，同位角相等”定理即可。
4．（2025七下·福田期末） 图1 是视觉错觉艺术风格的作品，这种设计利用背景线条、图案的干扰，制造出视觉认知偏差的冲突，具有很强的趣味性与迷惑性.如图2，现将其中的一组背景线条与直线a，b抽象出来，下列说法能判断出的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解： 、与是同位角，同位角相等，两直线平行，可判断，A正确.
、与是对顶角，对顶角相等不能判定，B错误.
、与是邻补角，和为是必然，不能判定，C错误.
、与无直接平行判定关系，D错误.
故答案为：A .
【分析】根据平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 ），逐一分析选项中角的关系是否符合判定条件.
5．（2025七下·榕城期末） 下列图形中， 由∠1=∠2， 能得到AB∥CD的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A：∠1和∠2不是三线八角，不能判定两直线平行，故A不符合题意；
B： 由∠1=∠2， 能判定AD∥BC，故B不符合题意；
C：∠1和∠2的对顶角是直线AB和CD被MN所截得到的一组同位角，所以 由∠1=∠2， 可以得到 AB∥CD ，故C符合题意；
.D：∠1和∠2不是AB，CD被第三条直线截得的角，所以不能判定AB∥CD，故D不符合题意。
故答案为：C.
【分析】根据平行线的判定定理，分别进行判定，即可得出答案。
6．（2025七下·南山期末）如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A，B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接最出A，B间的距离。为此，小明和小华两位同学提供了如下测量方案：
方案1 ①如图1，选定点O； ②连接AO，并延长到点C，使OC=OA，连接BO，并延长到点D，使OD=OB： ③连接DC，测量DC的长度即可。 方案2 ①如图2，选定点O： ②连接AO，BO，并分别延长到点F，E，使OF=OB，OE=OA： ③连接EF，测量EF的长度即可。
对于方案1和方案2，下列说法正确的是（ ）
A．1、2都不可行 B．1不可行、2可行
C．1可行、2不可行 D．1、2都可行
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：方案1：在△AOB与△COD中，
AO=OC，AOB=COD，OB= OD，
∴△AOB△COD(SAS)，
∴AB=CD.
方案2：在△AOB与△EOF中，
AO=EО，
AOB=EOF，
OB=OF
∴△AOB△EOF(SAS)，
∴AB=EF.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件发现方案1，方案2都可以利用SAS证明两个三角形全等，即两种方案都可行，由此即可解答.
7．（2024七下·福田期末）如图，A，D，E三点共线，下列条件中能判断直线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、由，对顶角相等，不能判断，错误；
B、由，两角的关系不是同位角或内错角，不能判断，错误；
C、由，根据“内错角相等，两直线平行”可判断，正确；
D、由，∠D与∠1对于直线AD与BC不是同旁内角，不能通过互补判断，错误；
故答案为：C．
【分析】本题解题的关键是掌握平行线的判定及三线八角的位置关系.
8．（2020七下·肇庆月考）下列语句中，是命题的是（ ）
①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2；②同位角相等吗？③画线段AB＝CD；④如果a>b，b>c，那么a>c；⑤直角都相等．
A．①④⑤ B．①②④ C．①②⑤ D．②③④⑤
【答案】A
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2，是命题，故①符合题意；
②对顶角相等吗？不是命题，故②不符合题意；
③画线段AB＝CD，不是命题，故③不符合题意；
④如果a＞b，b＞c，那么a＞c，是命题，故④符合题意；
⑤直角都相等，是命题，故⑤符合题意．
故答案为：A．
【分析】 可以判断真假的陈述句叫做命题，判断命题主要有两点：①能判断真假；②是陈述句.
9．（2024八上·揭阳期末）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法(图中三角形是三角板)，其依据是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同旁内角互补
C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：由图形知：∠2=∠1，
∴a∥b（ 同位角相等，两直线平行 ）.
故答案为：C.
【分析】根据“同位角相等，两直线平行”可得a∥b.
10．（2022八上·龙湖开学考）如图，直线，一直角三角板ABC(∠ACB=90° )放在平行线上，两直角边分别l1与l2、交于点D、E，现测得∠1=75°，则∠2的度数为（ ）
A．15° B．25° C．30° D．35°
【答案】A
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CF∥l1，
∵l1∥l2，
∴CF∥l1∥l2，
∴∠FCD=∠1=75°，∠BCF=∠2，
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=90°-75°=15°，
故答案为：A.
【分析】过点C作CF∥l1，根据平行公理得出CF∥l1∥l2，得出∠FCD=∠1=75°，∠BCF=∠2，再根据∠ACB=90°得出∠1+∠2=90°，即可得出∠2=90°-75°=15°.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024八上·赤坎开学考）如图，，，图中两个三角形是否全等？ （填“是”或“否”），如果全等，请写出与边相等的对应边 ．
【答案】是；CB
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-ASA；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，，
，，
在和中，
，
．
，
综上可知，图中两个三角形全等，与边相等的对应边为．
故答案为：是；
【分析】根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得，， ，易证，据此即可求解。
12．（2023八上·惠城开学考）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为 ．
【答案】67°
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示，
∵，
∴
∵，
∴，
故答案为：67°．
【分析】根据平角的定义及三角尺的性质得出∠3=67°，继而根据平行线的性质“来那个专项培训，同位角相等”即可求解．
13．（2024八上·惠来期末）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：当a=-3，b=1时，|a|=|-3|=3＞|b|=|1|=1，-3＜1，即a＜b，故原命题是假命题.
故答案为：假.
【分析】利用举反例的方法，举出符合命题题设，但又不满足命题结论的例子即可判断原命题的真假.
14．（2025七下·深圳期中）如图是小颖同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴=，
故答案为：65°.
【分析】利用两直线平行，内错角相等的性质分析求解即可.
15．（2017七下·钦南期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：
【答案】如果两个角是对顶角，那么它们相等
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：题设为：对顶角，结论为：相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．
【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．
16．（2017七下·东莞期末）如图，直线a与直线b、c分别相交于点A、B，将直线b绕点A转动，当∠1=∠ 时，c∥b
【答案】3
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：根据同位角相等，两直线平行可得，当∠1=∠3时，c∥b.
故答案为3
【分析】
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025七下·肇庆月考）将下列证明过程补充完整：
已知：如图，点分别在上，分别交于点，．
求证：．
证明：因为（已知）
又因为（____________），
所以___________（等量代换）．
所以（ ）
所以（____________）．
又因为（已知），
所以（____________）．
所以__________（ ）．
所以（ ）．
【答案】证明：∵（已知），
又∵（对顶角相等），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∴（等量代换）．
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质及推理步骤分析求解即可.
18．（2024八上·赤坎开学考）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得．
（1）求证：；
（2）连接，若平分平分，且，求的度数．
【答案】（1）证明：为中点，
，
．
，
在和中，
（2）解：平分
，
．
平分，
，
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）根据中点的定义，可得AE=CE，然后再根据平行线的性质，可得，根据ASA，即可证明；
（2）利用角平分线的定义，求出的度数，再根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，以及两直线平行，内错角相等，可得，进而可得的度数，最后再根据角平分线的定义，可得，代入数据即可求解。
（1）证明：为中点，
，
．
，
在和中，
；
（2）解：平分
，
．
平分，
，
．
19．（2024七下·深圳期中）如图1，点为边上一点，
（1）利用直尺和圆规：过点作直线，使．（用黑色水笔描出作图痕迹，不要求写作法）
（2）如图2，在（1）的前提下，为上一点，过作，求证：．
【答案】（1）解：如图，EF就是所求的与AB平行得直线；
（2）证明：∵∠FMN=∠B，∠ABC=∠FEC，
∴∠FEC=∠FMN，
∴MN∥BC.
【知识点】平行线的判定；作图-平行线
【解析】【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，作∠FEC=∠ABC即可得出EF∥AB；
（2）根据（1）的作图过程及已知，由等量代换可得∠FEC=∠FMN，进而根据同位角相等，两直线平行，可得结论.
20．（2024八上·深圳期末）如图，已知点在直线上，点在线段上，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵
∴
∴
∵
∵
∴
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【分析】(1)根据平行线的判定，同位角相等，即可得到两直线平行；
(2)依据平行线的性质，可得出∠CED=∠GHD，可知EC//GF， 又因为问题1已证AB//CD，即可得出∠FED =∠D=30°，∠CED =∠EHFD=80°；进而可求∠AEM =∠CEF=110°.
21．（2022八上·电白期末）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接DE并延长至点F，使得，连接．
（1）求证：；
（2）若，连接平分平分，求的度数．
【答案】（1）证明：∵E为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得：，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△ADE≌△CFE，可得∠A=∠ECF，根据平行线的判定即证；
（2）由（1）知∠A=∠ECF，由角平分线的定义可得，利用等量代换即可求解.
22．（2025八上·福田期末）如图，．
（1）求证：．
小颖同学是这样做的，请你将证明过程补充完整．
证明：如图1，过点作，
（2）如图2，若，分别平分和，则与之间的等量关系为_________．
【答案】（1）证明：过点作，
，
又∵，，
，
，
；
（2）或
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】（2）解：过点作，
，
，
，
∴，
又∵，
，
∵，分别平分和，
，
，
又∵，
，
故答案为：．
【分析】（1） 过点作， 根据直线平行性质可得，根据角之间的关系可得，再根据直线平行判定定理及性质即可求出答案.
（2）过点作，根据直线平行性质可得，，再根据角之间的关系可得，再根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）证明：过点作，
，
又∵，，
，
，
；
（2）解：过点作，
，
，
，
∴，
又∵，
，
∵，分别平分和，
，
，
又∵，
，
故答案为：．
23．（2020八上·英德期末）如图，CD∥EF，AC⊥AE，且∠α和∠β的度数满足方程组
（1）求∠α和∠β的度数．
（2）求证：AB∥CD．
（3）求∠C的度数．
【答案】（1）解： ，
①﹣②，得
3∠α＝165°，
解得，∠α＝55°，
把∠α＝55°代入②，得
∠β＝125°，
即∠α和∠β的度数分别为55°，125°
（2）证明：由（1）知，∠α＝55°，∠β＝125°，
则∠α+∠β＝180°，
故AB∥EF，
又∵CD∥EF，
∴AB∥CD
（3）解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠C＝180°，
∵AC⊥AE，
∴∠CAE＝90°，
又∵∠α＝55°，
∴∠BAC＝145°，
∴∠C＝35°．
【知识点】解二元一次方程组；角的运算；平行线的判定
【解析】【分析】（1）根据方程组 ，可以得到∠α和∠β的度数；（2）根据（1）∠α和∠β的度数，可以得到AB∥EF，再根据CD∥EF，即可得到AB∥CD；（3）根据AB∥CD，可得∠BAC+∠C=180°，再根据AC⊥AE和∠α的度数可以得到∠BAC的度数，从而可以得到∠C的度数．
24．（2023七下·禅城期中）将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起如图，其中，，．
（1）若，求的度数；
（2）试猜想与的数量关系，请说明理由；
（3）若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，试探究等于多少度时，，并简要说明理由．
【答案】（1）解：，，
，
．
（2）解：理由如下：
，
，
；
（3）解：当或时，．
如图，根据同旁内角互补，两直线平行，
当时，，此时；
如图，根据内错角相等，两直线平行，
时，．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】（1）由角的和差关系可得∠DCA=∠BCD-∠BCA=60°，然后根据∠ACE=∠ECD-∠DCA进行计算；
（2）由角的和差关系可得∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，∠ACE=∠DCE-∠ACD=90°-∠ACD，然后将两式相加即可；
（3）当∠B+∠BCD=180°时，CD∥AB，求解可得∠BCD的度数；当∠B=∠BCD时，CD∥AB，据此求解.
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