北师大版数八年级上册单元分层检测卷-第七章 《命题与证明》B卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列说法中，正确的是( )
A．过直线外一点作直线的垂线段，叫做点到直线的距离
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D．平行于同一条直线的两条直线平行
2．（2025·乐山）如图，两条平行线a、b被第三条直线c所截．若∠1＝70°，则∠2＝（ ）
A．130° B．110° C．90° D．70°
3．（2024·南充）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九上·大埔期末）如图，已知直线，于点D，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．小强在证明“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”给出如下过程：
关于这个证明，下面说法正确的是( )
A．小强用到了从特殊到一般的方法证明该定理
B．只要测量一百个到角的两边的距离相等的点都在角的平分线上，就能证明该定理
C．不能只用这个角，还需要用其它角度进行测量验证，该定理的证明才完整
D．小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明
6．（2025八上·浙江月考）热爱帆船运动的聪聪同学用一副三角板拼成一幅“帆船图”.如图，已知∠D=∠BCA=90°，∠E=45°，若 ， 连接AF ， 则∠CAF的度数为( )
A．45° B．60° C．67.5° D．135°
7．已知，一块含角的直角三角板如图所示放置，，则等于( )
A． B． C． D．
8．如图是某吸管杯的大致结构示意图，，吸管底部上，将吸管沿点处折弯，使得，若，则的度数为
A． B． C． D．
9．（2024八上·翔安期中）如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
10．将一副三角板按如图方式放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有AC∥DE；③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C.其中正确的有( )
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025·广安） 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射. 由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的. 如图，a，b为两条平行的光线，，则的度数为 .
12．如图，∠1=140°，∠2=40°，∠3=108°，则∠4= 时，AB∥EF.
13．（2024八上·睢宁期末）如图，直线mn，以直线m上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m，n于点B、C，连接AC、BC，若∠1＝30°，则∠2＝ ．
14．如图是一把椅子的侧面图，椅面 DE 与地面 AB 平行，∠DEC=60°，∠DCE=70°，则∠DBA的度数为 .
15．（2025七下·广安月考）如图，AB∥CD，∠BOC＝100°，BE，CF分别平分∠ABO，∠OCD，则∠2﹣∠1＝ ．
16．（2025七下·绍兴期末） 如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成，在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行，当，时， 度；如图3为了参与另外一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且，则这时 度.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·柳州）如图，点 ， ， ， 在同一条直线上， ， 有下列三个条件： ， ， ．
（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得 ≌ ．
你选取的条件为 ( 填写序号 ) ( 只需选一个条件，多选不得分 )，你判定 ≌ 的依据是 (填“ ”或“ ”或“ ”或“ ”)；
（2）利用 的结论 ≌ 求证： ．
18．如图，直线AB，CD交于点O，OE，OF分别平分∠AOD和∠BOD，已知∠1＋∠2＝90°，且∠1∶∠3＝1∶8.(注：∠1＝∠AOE，∠2＝∠OFE，∠3＝∠AOC)
（1）求∠AOF的度数；
（2）求证：AB∥EF.
19．如图，点A在MN上，点B在PQ上，连接AB，过点A作AC⊥AB交PQ于点C，过点B作BD平分∠ABC交AC于点D，且∠NAC＋∠ABC＝90°.
（1）求证：MN∥PQ；
（2）若∠ABC＝∠NAC＋10°，求∠ADB的度数.
20．（2025七下·潮南期末） 如图，，，.
（1） 求证：.
（2） 探索与的数量关系，并说明理由.
21．（2025七下·慈溪期末） 已知 ，点 A，D 在直线 PQ 上，点 E，B 在直线 MN 上，，BA 平分 ，F 是直线 MN 上方一点，且 .
（1） EF 与 AB 平行吗？请说明理由.
（2） 若 ，求 的度数.
22．如图，已知点在直线上，点在线段上，交于点．
（1）求证：；
（2）试判断之间的数量关系，并说明理由；
（3）若，求的度数．
23．（2025七下·浙江期中）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线、反射光线与平面镜所夹的锐角．
（1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜的工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，请判断入射光线和反射光钱是否平行，并说明理由．
（2）显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系、经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线和光线平行，且，则 °， °．
（3）试猜想：在图3中，当两平面镜AB，CD的夹角的度数是多少时，可以使任何入射光线经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线平行？请说明理由．
24．（2025七下·三水期中）在一次综合与实践课上，李老师让同学们以“两条平行线、和一块含角的直角三角尺的不同方式摆放”为主题开展数学探究活动．
【初步体验】
（1）如图①，三角尺的角的顶点在上．，则的度数为_____．
【基础巩固】
（2）如图②，彬彬把三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，请你探索与之间的数量关系，并说明理由．
【强化应用】
（3）如图③，强强把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点在上．若，，请写出与的数量关系（用含，的式子表示），并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】点到直线的距离；平行线的判定与性质；平行公理
【解析】【解答】解：、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故A选项错误；
B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故B选项错误；
C、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故C选项错误；
D、平行于同一条直线的两条直线平行，故D选项正确；
故选：．
【分析】根据平行线的判定与性质，平行公理等进行判断.
2．【答案】D
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】如图。
∵
∴
∵互为对顶角
∴
故答案选：D
【分析】首先根据两直线平行，同位角相等得到，再利用对顶角的性质求出。
3．【答案】C
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=∠2=40°，
∴∠4=180°-∠1-∠2=100°，
∵两个平面镜平行放置，
∴ 光线经过平面镜两次反射后的光线与入射光线平行，
∴∠3=∠4=100°.
故答案为：C.
【分析】根据平角的定义求出∠4的度数。再根据光线经过平面镜两次反射后的光线与入射光线平行得∠3=∠4可求解.
4．【答案】A
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故A正确．
故答案为：A．
【分析】由两直线平行内错角相等可把转移到的位置上，再利用直角三角形两锐角互余即可．
5．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；证明的含义与一般步骤；猜想与证明
【解析】【解答】解：小强通过测量得∠AOC＝23°，∠BOC＝23°，得出∠AOC＝∠BOC，这种测量的方法证明结论，具有偶然性，缺少推理的依据，不严谨，
所以小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明．
故选：D．
【分析】根据“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的推理过程即可求解.
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵∠D=∠BCA=90°，∠E=45°，
∴∠DFE=45°，
∵AC//EF，
∴∠ACF=∠DFE=45°，
∵CA=CF，
∴
故答案为：C.
【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠DFE=45°，由平行线的性质，求出∠ACF=45°，由等边对等角，求出∠CAF即可.
7．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，过P作PQ//a，
∵a//b，
∴PQ//b，
∴∠BPQ=∠2=45°
∵∠APB=60°
∴∠APQ=15°
∴∠3=180°-∠APQ=165°
∴∠1=165°
故选：D.
【分析】先过P作PQ//a，则PQ//b，根据平行线的性质即可得到∠3的度数，再根据对顶角相等即可得出结论.
8．【答案】C
【知识点】平行公理；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】由平行线的性质即可求解.
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；两直线平行，同旁内角互补；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理得，
故选：．
【分析】根据全等三角形的性质可得，，即可得到，求出，再根据平行线的性质求出，然后根据得到结论即可．
10．【答案】B
【知识点】平行线的判定；余角；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：∵∠1+∠2=90°， ∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3， ①正确；
∵∠2=30°，
∴∠1=60°，
又∵∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，②正确；
∵∠2=30°，
∴∠1+∠2+∠3=150°，
又∵∠C=45°，
∴BC与AD不平行， ③错误；
∵∠2=30°
∴AC∥DE，
∴∠4=∠C， ④正确.
故选： B.
【分析】根据同角的余角相等判断①；根据内错角相等，两直线平行判断②；根据同旁内角互补，两直线平行判断③；先判断直线AC∥DE，然后根据两直线平行，同位角相等判断④解答即可.
11．【答案】45°
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图
∵ 光线从水中射向空气时，要发生折射. 由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，
∴c∥d，
∴∠1=∠2=45°.
故答案为：45° .
【分析】抓住关键已知条件：光线从水中射向空气时，要发生折射. 由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的，可知c∥d，利用两直线平行，同位角相等可求出∠2的度数.
12．【答案】108°
【知识点】内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵ ∠1=140°，∠1+∠5=180°，
∴ ∠5=40°.
∵∠2=40°，
∴∠2=∠5，
∴AB∥CD.
当∠4 = 108°时，
∵ ∠3=108°，
∴ ∠3 =∠4，
∴CD∥EF，
∴AB∥EF，
故答案为：108°
【分析】根据 ∠2=∠5 ，两直线平行得AB∥CD，根据∠3 =∠4得CD∥EF，再根据平行线的传递性知AB∥EF.
13．【答案】75°
【知识点】等腰三角形的性质；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵直线m∥n，
∴∠BAC＝∠1＝30°，
由作图知AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝75°，
∵直线m∥n，
∴∠2＝∠ABC＝75°，
故答案为：75°．
【分析】本题主要利用平行线的性质和等腰三角形的性质来求解角的度数，首先根据平行线的性质确定的度数，然后利用等腰三角形的性质求解的度数，最后得出的度数.
14．【答案】50°
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】由三角形内角和定理求出 ，根据两直线平行，内错角相等解答即可
15．【答案】40°
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过点O作OG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OG∥CD，
∵BE平分∠ABO，
∴∠4=∠ABO=2∠1，∠5=∠3，
∵∠BOC=100°，即∠4+∠5=2∠1+∠3=100°，
∴∠3=100°-2∠1，
∵CF平分∠OCD，
∴2∠2=180°-∠3=180°-(100°-2∠1)=80°+2∠1，
∴2∠2-2∠1=80°，
∴∠2-∠1=40°．
故答案为：40°．
【分析】通过作辅助线，利用平行线的传递性得到，再结合角平分线的定义和平行线的性质，推导与的数量关系.
16．【答案】125；168
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：在图2中，延长CB，HG，相交于点K。
∵，
∴
∵
∴
∴
在图3中，延长BC，FE，相交于点P，则可得，延长AB交FE的延长线于点Q。
∵，
∴
∵延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直
∴
∴
故答案为：125；168 .
【分析】在图2中，延长CB，HG，相交于点K，由平行线的性质可知，再利用可得的度数，从而可求的度数；在图3中，延长BC，FE，相交于点P，则可得，延长AB交FE的延长线于点Q，利用平行线的性质可求得，再利用三角形的外角定理求得的度数。
17．【答案】（1）；
（2）证明： ≌ ．
，
．
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：（1）在 和 中，
，
≌ ，
在上述三个条件中选取一个条件，使得 ≌ ，
选取的条件为 ，判定 ≌ 的依据是 ．
故答案为： ， ；
【分析】（1）由已知条件可知AB=DE、BC=EF，然后结合全等三角形的判定定理进行解答；
（2）根据全等三角形的性质可得∠A=∠EDF，然后根据平行线的判定定理进行证明.
18．【答案】（1）解：∵OE，OF分别平分∠AOD和∠BOD，
∴，，
∵∠AOB=180°
∴
∵∠1：∠3=1：8，
∴设∠1=α，∠3=8α，
∴α+α+8α=180°
∴α=18°
∴∠1=18°
∴∠AOF=18°+90°=108°
（2）解：∵∠EOF=90°，
∴∠2+∠E=90°
∵∠1+∠2=90°
∴∠1=∠E
∴AB//EF
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】(1)根据角平分线定义得到，，设∠1=α，∠3=8α，根据平角的定义得到α=18°，求得∠1=18°，于是得到结论；
(2)根据余角的性质和平行线的判定定理即可得到结论.
19．【答案】（1）证明：∵AC⊥AB，∴∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠ACB＝90°.∵∠NAC＋∠ABC＝90°，∴∠NAC＝∠ACB，∴MN∥PQ.
（2）解：∵∠ABC＝∠NAC＋10°＝∠ACB＋10°，∠ACB＋∠ABC＝90°，∴∠ACB＋∠ACB＋10°＝90°，∴∠ACB＝40°，∴∠ABC＝50°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝25°.∵∠BAC＝90°，∴∠ADB＝90°－25°＝65°.
【知识点】垂线的概念；角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】(1)根据垂直的定义得到 推出 根据平行线的判定定理即可得到结论；
(2)根据三角形的内角和列方程得到 根据角平分线的定义得到 于是得到结论.
20．【答案】（1）证明：，，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴.
【知识点】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）通过，同旁内角互补，两直线平行，即可解答；
(2)根据平行线的性质：由得到，替换后得到，再由，即可解答.
21．【答案】（1）解：EF与AB平行，理由如下：
∵
∴
又∵
∴
∴
（2）解：
，
而BA平分，
由（1） 得
【知识点】平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】(1)由条件结合图形证出，根据内错角相等，两直线平行即可得出结论；
（2）由平角是，，易得，然后利用平行转移角，结合角平分线即可得到，再由（1）的结论即可得到结果.
22．【答案】（1）证明：，，
，
；
（2）解：；
理由：，
，
，
，
，
；
（3）解：，，
，
又，
，
，
又，
，
．
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】(1)根据同位角相等，两直线平行，可证CE//GF；
(2)根据平行线的性质可得∠C=∠FGD，根据等量关系可得∠FGD=∠EFG，根据内错角相等，两直线平行可得AB//CD，再根据平行线的性质可得∠AED与∠D之间的数量关系；
(3)根据平行线的性质可得∠FED，根据三角形内角和可求∠EFG，再根据平行可得∠AEC，即可得出结论.
23．【答案】（1）平行；理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3，
∵，
∴，
∴，即∠5=∠6，
∴m∥n
（2）94；90
（3）解：∠ABC=90°，理由如下：
∵∠ABC=90°，
∴∠2+∠3=180°-90°=90°，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠5+∠6=180°+180°-180°=180°，
∴m∥n
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】解：(2)∵∠1=∠2=47°，
∴∠5=180°-∠1-∠2=180°-47°-47°=86°，
∵m∥n，
∴∠5+∠6=180°，
∴∠6=94°，
∴∠3+∠4=180°-∠6=86°，
∴∠3=∠4=43°，
∴∠ABC=180-2-∠3=90°，
故答案为：94，90.
【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠2=∠3，再根据已知条件及三角形内角和可得∠5=∠6，再根据根据平行线的判定即可得证；
（2）根据已知条件及平行线的性质可得出∠6的度数，再根据平角的定义即可求解；
（3）当∠ABC=90°时，及已知条件可得出∠5与∠6=互补，再根据平行线的判断即可得出结论.
24．【答案】（1）40；
（2）解：，理由如下：
如图，过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的判定与性质；补角
【解析】【解答】解：（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据补角即可求出答案.
（2）过点作，根据直线平行性质可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
1 / 1北师大版数八年级上册单元分层检测卷-第七章 《命题与证明》B卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列说法中，正确的是( )
A．过直线外一点作直线的垂线段，叫做点到直线的距离
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】D
【知识点】点到直线的距离；平行线的判定与性质；平行公理
【解析】【解答】解：、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故A选项错误；
B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故B选项错误；
C、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故C选项错误；
D、平行于同一条直线的两条直线平行，故D选项正确；
故选：．
【分析】根据平行线的判定与性质，平行公理等进行判断.
2．（2025·乐山）如图，两条平行线a、b被第三条直线c所截．若∠1＝70°，则∠2＝（ ）
A．130° B．110° C．90° D．70°
【答案】D
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】如图。
∵
∴
∵互为对顶角
∴
故答案选：D
【分析】首先根据两直线平行，同位角相等得到，再利用对顶角的性质求出。
3．（2024·南充）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=∠2=40°，
∴∠4=180°-∠1-∠2=100°，
∵两个平面镜平行放置，
∴ 光线经过平面镜两次反射后的光线与入射光线平行，
∴∠3=∠4=100°.
故答案为：C.
【分析】根据平角的定义求出∠4的度数。再根据光线经过平面镜两次反射后的光线与入射光线平行得∠3=∠4可求解.
4．（2025九上·大埔期末）如图，已知直线，于点D，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故A正确．
故答案为：A．
【分析】由两直线平行内错角相等可把转移到的位置上，再利用直角三角形两锐角互余即可．
5．小强在证明“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”给出如下过程：
关于这个证明，下面说法正确的是( )
A．小强用到了从特殊到一般的方法证明该定理
B．只要测量一百个到角的两边的距离相等的点都在角的平分线上，就能证明该定理
C．不能只用这个角，还需要用其它角度进行测量验证，该定理的证明才完整
D．小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；证明的含义与一般步骤；猜想与证明
【解析】【解答】解：小强通过测量得∠AOC＝23°，∠BOC＝23°，得出∠AOC＝∠BOC，这种测量的方法证明结论，具有偶然性，缺少推理的依据，不严谨，
所以小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明．
故选：D．
【分析】根据“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的推理过程即可求解.
6．（2025八上·浙江月考）热爱帆船运动的聪聪同学用一副三角板拼成一幅“帆船图”.如图，已知∠D=∠BCA=90°，∠E=45°，若 ， 连接AF ， 则∠CAF的度数为( )
A．45° B．60° C．67.5° D．135°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵∠D=∠BCA=90°，∠E=45°，
∴∠DFE=45°，
∵AC//EF，
∴∠ACF=∠DFE=45°，
∵CA=CF，
∴
故答案为：C.
【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠DFE=45°，由平行线的性质，求出∠ACF=45°，由等边对等角，求出∠CAF即可.
7．已知，一块含角的直角三角板如图所示放置，，则等于( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，过P作PQ//a，
∵a//b，
∴PQ//b，
∴∠BPQ=∠2=45°
∵∠APB=60°
∴∠APQ=15°
∴∠3=180°-∠APQ=165°
∴∠1=165°
故选：D.
【分析】先过P作PQ//a，则PQ//b，根据平行线的性质即可得到∠3的度数，再根据对顶角相等即可得出结论.
8．如图是某吸管杯的大致结构示意图，，吸管底部上，将吸管沿点处折弯，使得，若，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行公理；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】由平行线的性质即可求解.
9．（2024八上·翔安期中）如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；两直线平行，同旁内角互补；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理得，
故选：．
【分析】根据全等三角形的性质可得，，即可得到，求出，再根据平行线的性质求出，然后根据得到结论即可．
10．将一副三角板按如图方式放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有AC∥DE；③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C.其中正确的有( )
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】平行线的判定；余角；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：∵∠1+∠2=90°， ∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3， ①正确；
∵∠2=30°，
∴∠1=60°，
又∵∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，②正确；
∵∠2=30°，
∴∠1+∠2+∠3=150°，
又∵∠C=45°，
∴BC与AD不平行， ③错误；
∵∠2=30°
∴AC∥DE，
∴∠4=∠C， ④正确.
故选： B.
【分析】根据同角的余角相等判断①；根据内错角相等，两直线平行判断②；根据同旁内角互补，两直线平行判断③；先判断直线AC∥DE，然后根据两直线平行，同位角相等判断④解答即可.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025·广安） 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射. 由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的. 如图，a，b为两条平行的光线，，则的度数为 .
【答案】45°
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图
∵ 光线从水中射向空气时，要发生折射. 由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，
∴c∥d，
∴∠1=∠2=45°.
故答案为：45° .
【分析】抓住关键已知条件：光线从水中射向空气时，要发生折射. 由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的，可知c∥d，利用两直线平行，同位角相等可求出∠2的度数.
12．如图，∠1=140°，∠2=40°，∠3=108°，则∠4= 时，AB∥EF.
【答案】108°
【知识点】内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵ ∠1=140°，∠1+∠5=180°，
∴ ∠5=40°.
∵∠2=40°，
∴∠2=∠5，
∴AB∥CD.
当∠4 = 108°时，
∵ ∠3=108°，
∴ ∠3 =∠4，
∴CD∥EF，
∴AB∥EF，
故答案为：108°
【分析】根据 ∠2=∠5 ，两直线平行得AB∥CD，根据∠3 =∠4得CD∥EF，再根据平行线的传递性知AB∥EF.
13．（2024八上·睢宁期末）如图，直线mn，以直线m上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m，n于点B、C，连接AC、BC，若∠1＝30°，则∠2＝ ．
【答案】75°
【知识点】等腰三角形的性质；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵直线m∥n，
∴∠BAC＝∠1＝30°，
由作图知AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝75°，
∵直线m∥n，
∴∠2＝∠ABC＝75°，
故答案为：75°．
【分析】本题主要利用平行线的性质和等腰三角形的性质来求解角的度数，首先根据平行线的性质确定的度数，然后利用等腰三角形的性质求解的度数，最后得出的度数.
14．如图是一把椅子的侧面图，椅面 DE 与地面 AB 平行，∠DEC=60°，∠DCE=70°，则∠DBA的度数为 .
【答案】50°
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】由三角形内角和定理求出 ，根据两直线平行，内错角相等解答即可
15．（2025七下·广安月考）如图，AB∥CD，∠BOC＝100°，BE，CF分别平分∠ABO，∠OCD，则∠2﹣∠1＝ ．
【答案】40°
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过点O作OG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OG∥CD，
∵BE平分∠ABO，
∴∠4=∠ABO=2∠1，∠5=∠3，
∵∠BOC=100°，即∠4+∠5=2∠1+∠3=100°，
∴∠3=100°-2∠1，
∵CF平分∠OCD，
∴2∠2=180°-∠3=180°-(100°-2∠1)=80°+2∠1，
∴2∠2-2∠1=80°，
∴∠2-∠1=40°．
故答案为：40°．
【分析】通过作辅助线，利用平行线的传递性得到，再结合角平分线的定义和平行线的性质，推导与的数量关系.
16．（2025七下·绍兴期末） 如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成，在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行，当，时， 度；如图3为了参与另外一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且，则这时 度.
【答案】125；168
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：在图2中，延长CB，HG，相交于点K。
∵，
∴
∵
∴
∴
在图3中，延长BC，FE，相交于点P，则可得，延长AB交FE的延长线于点Q。
∵，
∴
∵延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直
∴
∴
故答案为：125；168 .
【分析】在图2中，延长CB，HG，相交于点K，由平行线的性质可知，再利用可得的度数，从而可求的度数；在图3中，延长BC，FE，相交于点P，则可得，延长AB交FE的延长线于点Q，利用平行线的性质可求得，再利用三角形的外角定理求得的度数。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·柳州）如图，点 ， ， ， 在同一条直线上， ， 有下列三个条件： ， ， ．
（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得 ≌ ．
你选取的条件为 ( 填写序号 ) ( 只需选一个条件，多选不得分 )，你判定 ≌ 的依据是 (填“ ”或“ ”或“ ”或“ ”)；
（2）利用 的结论 ≌ 求证： ．
【答案】（1）；
（2）证明： ≌ ．
，
．
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：（1）在 和 中，
，
≌ ，
在上述三个条件中选取一个条件，使得 ≌ ，
选取的条件为 ，判定 ≌ 的依据是 ．
故答案为： ， ；
【分析】（1）由已知条件可知AB=DE、BC=EF，然后结合全等三角形的判定定理进行解答；
（2）根据全等三角形的性质可得∠A=∠EDF，然后根据平行线的判定定理进行证明.
18．如图，直线AB，CD交于点O，OE，OF分别平分∠AOD和∠BOD，已知∠1＋∠2＝90°，且∠1∶∠3＝1∶8.(注：∠1＝∠AOE，∠2＝∠OFE，∠3＝∠AOC)
（1）求∠AOF的度数；
（2）求证：AB∥EF.
【答案】（1）解：∵OE，OF分别平分∠AOD和∠BOD，
∴，，
∵∠AOB=180°
∴
∵∠1：∠3=1：8，
∴设∠1=α，∠3=8α，
∴α+α+8α=180°
∴α=18°
∴∠1=18°
∴∠AOF=18°+90°=108°
（2）解：∵∠EOF=90°，
∴∠2+∠E=90°
∵∠1+∠2=90°
∴∠1=∠E
∴AB//EF
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】(1)根据角平分线定义得到，，设∠1=α，∠3=8α，根据平角的定义得到α=18°，求得∠1=18°，于是得到结论；
(2)根据余角的性质和平行线的判定定理即可得到结论.
19．如图，点A在MN上，点B在PQ上，连接AB，过点A作AC⊥AB交PQ于点C，过点B作BD平分∠ABC交AC于点D，且∠NAC＋∠ABC＝90°.
（1）求证：MN∥PQ；
（2）若∠ABC＝∠NAC＋10°，求∠ADB的度数.
【答案】（1）证明：∵AC⊥AB，∴∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠ACB＝90°.∵∠NAC＋∠ABC＝90°，∴∠NAC＝∠ACB，∴MN∥PQ.
（2）解：∵∠ABC＝∠NAC＋10°＝∠ACB＋10°，∠ACB＋∠ABC＝90°，∴∠ACB＋∠ACB＋10°＝90°，∴∠ACB＝40°，∴∠ABC＝50°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝25°.∵∠BAC＝90°，∴∠ADB＝90°－25°＝65°.
【知识点】垂线的概念；角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】(1)根据垂直的定义得到 推出 根据平行线的判定定理即可得到结论；
(2)根据三角形的内角和列方程得到 根据角平分线的定义得到 于是得到结论.
20．（2025七下·潮南期末） 如图，，，.
（1） 求证：.
（2） 探索与的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：，，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴.
【知识点】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）通过，同旁内角互补，两直线平行，即可解答；
(2)根据平行线的性质：由得到，替换后得到，再由，即可解答.
21．（2025七下·慈溪期末） 已知 ，点 A，D 在直线 PQ 上，点 E，B 在直线 MN 上，，BA 平分 ，F 是直线 MN 上方一点，且 .
（1） EF 与 AB 平行吗？请说明理由.
（2） 若 ，求 的度数.
【答案】（1）解：EF与AB平行，理由如下：
∵
∴
又∵
∴
∴
（2）解：
，
而BA平分，
由（1） 得
【知识点】平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】(1)由条件结合图形证出，根据内错角相等，两直线平行即可得出结论；
（2）由平角是，，易得，然后利用平行转移角，结合角平分线即可得到，再由（1）的结论即可得到结果.
22．如图，已知点在直线上，点在线段上，交于点．
（1）求证：；
（2）试判断之间的数量关系，并说明理由；
（3）若，求的度数．
【答案】（1）证明：，，
，
；
（2）解：；
理由：，
，
，
，
，
；
（3）解：，，
，
又，
，
，
又，
，
．
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】(1)根据同位角相等，两直线平行，可证CE//GF；
(2)根据平行线的性质可得∠C=∠FGD，根据等量关系可得∠FGD=∠EFG，根据内错角相等，两直线平行可得AB//CD，再根据平行线的性质可得∠AED与∠D之间的数量关系；
(3)根据平行线的性质可得∠FED，根据三角形内角和可求∠EFG，再根据平行可得∠AEC，即可得出结论.
23．（2025七下·浙江期中）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线、反射光线与平面镜所夹的锐角．
（1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜的工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，请判断入射光线和反射光钱是否平行，并说明理由．
（2）显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系、经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线和光线平行，且，则 °， °．
（3）试猜想：在图3中，当两平面镜AB，CD的夹角的度数是多少时，可以使任何入射光线经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线平行？请说明理由．
【答案】（1）平行；理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3，
∵，
∴，
∴，即∠5=∠6，
∴m∥n
（2）94；90
（3）解：∠ABC=90°，理由如下：
∵∠ABC=90°，
∴∠2+∠3=180°-90°=90°，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠5+∠6=180°+180°-180°=180°，
∴m∥n
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】解：(2)∵∠1=∠2=47°，
∴∠5=180°-∠1-∠2=180°-47°-47°=86°，
∵m∥n，
∴∠5+∠6=180°，
∴∠6=94°，
∴∠3+∠4=180°-∠6=86°，
∴∠3=∠4=43°，
∴∠ABC=180-2-∠3=90°，
故答案为：94，90.
【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠2=∠3，再根据已知条件及三角形内角和可得∠5=∠6，再根据根据平行线的判定即可得证；
（2）根据已知条件及平行线的性质可得出∠6的度数，再根据平角的定义即可求解；
（3）当∠ABC=90°时，及已知条件可得出∠5与∠6=互补，再根据平行线的判断即可得出结论.
24．（2025七下·三水期中）在一次综合与实践课上，李老师让同学们以“两条平行线、和一块含角的直角三角尺的不同方式摆放”为主题开展数学探究活动．
【初步体验】
（1）如图①，三角尺的角的顶点在上．，则的度数为_____．
【基础巩固】
（2）如图②，彬彬把三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，请你探索与之间的数量关系，并说明理由．
【强化应用】
（3）如图③，强强把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点在上．若，，请写出与的数量关系（用含，的式子表示），并说明理由．
【答案】（1）40；
（2）解：，理由如下：
如图，过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的判定与性质；补角
【解析】【解答】解：（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据补角即可求出答案.
（2）过点作，根据直线平行性质可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
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