沪科版数学七年级下册6.1平方根、立方根分层练习
一、基础夯实
1．（2023七下·贡井月考）的平方根是（ ）
A．±2 B．4 C．±2 D．±8
【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵=8，8的平方根为±2，
∴的平方根是±2，
故选：C．
【分析】由算术平方根的性质可得，，再根据平方根的性质求解即可．
2．（2025七下·涪城期末）下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；算术平方根的概念与表示；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A：，故A选项错误；
B：，故B选项错误；
C：，故C选项正确；
D：，故D选项错误；
故答案为：C.
【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根和立方根的定义，理解定义，对选项进行逐一判断，尤其要理解表示的是算术平方根，表示的是平方根，任何数只有一个立方根.
3．（2024七下·巧家期末）下列说法正确的是（ ）
A．4的算术平方根是 B．3的平方根是
C．27的立方根是 D．的平方根是
【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、4的算术平方根是，
∴此选项不符合题意；
B、3的平方根是，
∴此选项不符合题意；
C、∵，，
∴27的立方根是3，
∴此选项不符合题意；
D、，因为，则4的平方根为，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据算术平方根和立方根，根据平方根、立方根的概念依次判断即可求解.
4．（2025七下·韶山月考）一个数值转换器原理如图所示，当输入时，输出的y的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念；有理数的概念；求算术平方根；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：输入，4的算术平方根是2，2是有理数，还需再求2的算术平方根，2的算术平方根是，是无理数，输出的y值是．
故答案为：D．
【分析】根据程序规定，可得出只有所求算术平方根为无理数时，才能成为输出值，故而得出答案为.
5．（2025七下·海淀月考）已知，，那么 .
【答案】
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解∶ ∵，
==10×1.414=14.14，
故答案为∶．
【分析】
本题考查了算术平方根的概念，根据计算即可。
6．（2025七下·游仙期末）若一个正数的平方根是-a+2和2a-1，则a= ．
【答案】–1
【知识点】解一元一次方程；平方根的性质
【解析】【解答】解：正数有两个平方根，它们互为相反数
因此，(-a+2)+(2a-1)=0，解得a=-1
故答案为：-1.
【分析】根据正数平方根的特点可知，正数的两个平方根互为相反数，互为相反数的两数相加得零，即可解得a的值。
7． 用计算器求下列各式的值（结果保留小数点后两位）：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】计算器在数的开方中的应用
【解析】【分析】根据利用计算器求解算术平方根的计算方法和步骤分析求解即可.
8．（2025七下·潮南期末） 计算：.
【答案】解：原式=4+(-3)×(-1)-2+2
=4+3-2+2
=7
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；求有理数的绝对值的方法；有理数乘法与乘方的互化；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先计算乘方得，.，再开方计算得，，再算绝对值，最后计算加减即可解答.
9．（2024七下·庄浪期末）已知的平方根是，的立方根是2，求的值．
【答案】解：∵的平方根是，的立方根是2，∴，，
解得，，
∴．
【知识点】平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【分析】 已知一个数的平方根，求这个数的方法是，将其平方根进行平方运算；同理，已知一个数的立方根求这个数，方法是将其立方根进行立方运算，由此可求得a和b的值，代入计算即可.
10．（2025七下·浏阳期末）学方根之后，我们可以解一些简单的二次方程．以下是自信同学给出的解法示范，请你类比思路完成另外两题的解答．
例如：求x2＝0.01．
分析：要求x，也就是找出一个数，使得它的平方等于0.01．
解答：因为（±0.1）2＝0.01，所以这个数是±0.1，即．
题目：求下列各式中x的值．
（1）；
（2）4x2＝9．
【答案】（1）解：
x＝±
（2）解：4x2＝9，
x2＝，
x＝±．
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【分析】模仿示范，根据平方根的定义进行计算即可.
二、能力提升
11．如果 那么(a+b)2023的值为( )
A．-1 B．1 C．32023 D．
【答案】A
【知识点】有理数的乘方法则；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：因为
所以a+2=0，b-1=0，
解得a=-2，b=1，
所以(
故答案为：A.
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解.
12．（2024七下·东坡期末）若，，且，则的值为（ ）
A． B．或5 C．1或 D．或
【答案】D
【知识点】求有理数的绝对值的方法；有理数的加法法则；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，或，，
∴或，
故答案为：D．
【分析】根据绝对值的意义可得m=±3，由平方根的定义可得n=±2，由绝对值的非负性可得n≥m，于是可得m，n的值，再把m、n的值代入所求代数式计算即可求解．
13．（2024七下·凤凰期末）物体自由下落的高度h（单位：米）与下落时间t（单位：秒）的关系是．有一物体从米高的建筑物上自由落下，到达地面需要的时间为 秒．
【答案】5
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：把代入中可得：，则，
∵25的算术平方根为5，即，
∴到达地面需要的时间为5秒．
故答案为：5．
【分析】把代入求得t的值即可求出答案.
14．（2024七下·广州期中）已知，则 ．
【答案】1
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵
∴，
解得，
∴，
∴．
故答案为：1．
【分析】由算术平方根的被开方数是非负数，得到x值，再求出y，然后代入计算即可．
15．（2025七下·江城期中）直田七亩半，忘了长和短．记得立契时，长阔争一半．今问俊明公，此法如何算．意思是有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少．只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半．则田的宽是 步．（一亩=240平方步）
【答案】30
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：设此矩形田的宽为步，
依据题意，可列方程为，
解得（负值舍去），
则田的宽为30步，
故答案为：30．
【分析】设此矩形田的宽为步，根据“ 面积为7.5亩（换算为平方步），且宽是长的一半 ”列出方程，再求解即可.
16．（2025七下·义乌开学考）如果为的算术平方根，为的立方根，求的平方根．
【答案】
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得，
∴，
∴的平方根是．
故答案为：.
【分析】根据算术平方根与立方根的定义，列出方程组求出、的值，进而求出2a-3b的平方根．
17．（2025七下·平武月考）已知关于x的一元一次方程
（1）求m的值；
（2）若是这个方程的解，
①求的值；
②若，求k的平方根．
【答案】（1）解：∵关于x的一元一次方程，
∴，
解得；
（2）解：由（1）得，
∴
∵是这个方程的解，
∴，
∴，
①；
②．
∴k的平方根是．
【知识点】一元一次方程的概念；一元一次方程的解；开平方（求平方根）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）由一元一次方程的定义可得关于m的不等式和一元一次方程并求解即可；
（2）由方程解的概念可得，
①整体代入得即可；
②先利用乘方的概念求出的值，再求其平方根即可．
（1）解：∵关于x的一元一次方程，
∴，
解得，
（2）解：由（1）得，
∴
∵是这个方程的解，
∴，
∴，
①；
②．
∴k的平方根是．
18．（2025七下·来宾期末）端午前夕的劳动课上，由于制作香包的需要，小红想用一块面积为的正方形绸布，沿着边的方向裁剪出一块面积为的长方形绸布，使它的长宽比为．她不知道能否裁剪出来，正在发愁．小花见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的绸布裁剪出一块面积小的绸布．”你赞同小花的说法吗？小红能用这块面积为的正方形绸布载剪出符合要求的绸布吗？请给出理由，根据题意列出数量关系式并解答．
【答案】解：设长方形绸布的长为，宽，
由面积公式，得，
化简，得，解得，
∴长方形绸布的长为，宽，
∵正方形绸布的边长为，而长方形绸布的长为，
又∵，
∴不赞同小花的说法；小红不能用这块面积为的正方形绸布裁剪出符合要求的绸布．
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【分析】本题围绕正方形与长方形的边长、面积关系展开，解题关键在于通过设未知数，利用长方形面积公式列出方程，求出长方形长和宽，再与正方形边长比较，判断能否裁剪，核心是算术平方根的计算与大小比较 .
19．（2025七下·江城期中）定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”．
（1）点，，中，不是“理想点”的是_____．
（2）若点是“理想点”，求x的值．
（3）是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）和
（2）解：∵点是“理想点”，
∴，
∴，
解得：.
（3）解：∵点是“理想点”，
∴，
整理可得，
∴或，
当时，，
当时，．
综上所述，的值为0或．
【知识点】算术平方根的实际应用；开立方（求立方根）
【解析】【解答】（1）解：∵，，
又∵，
∴点是“理想点”；
∵，，
又∵，
∴点不是“理想点”；
∵，，
又∵，
∴点是“理想点”；
故答案为：和；
【分析】（1）利用“理想点”的定义及计算方法分析求解即可；
（2）利用“理想点”的定义及计算方法列出方程，再分析求解即可；
（3）利用“理想点”的定义及计算方法分析求解即可.
（1）解：∵，，
又∵，
∴点是“理想点”；
∵，，
又∵，
∴点不是“理想点”；
∵，，
又∵，
∴点是“理想点”；
故答案为：和；
（2）解：∵点是“理想点”，
∴，
∴，
解得；
（3）解：∵点是“理想点”，
∴，整理可得，
∴或，
当时，，
当时，．
综上所述，的值为0或．
20．（2024七下·虞城月考）如图，是一块体积为的立方体铁块．
（1）求这个铁块的棱长；
（2）现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个小立方体铁块，其中一个的体积为，求另一个小立方体铁块的棱长．
【答案】（1）解：∵这个铁块体积为
∴这个铁块的棱长为，
答：这个铁块的棱长为．
（2）解：设另一个小立方体铁块的棱长为，则．
∵，
∴．
答：另一个小立方体铁块的棱长为．
【知识点】立方根的实际应用
【解析】【分析】（1）根据铁块的体积，开立方，求得其棱长；
（2）先求出另一个小立方体铁块的体积，再求出其棱长．
（1）根据题意，得
铁块的棱长为，
答：这个铁块的棱长为．
（2）设另一个小立方体铁块的棱长为，
则．
∵，
∴．
答：另一个小立方体铁块的棱长为．
21．（2024七下·潜山期中） 阅读下面的文字，解答问题：
【阅读材料】现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以．
（1） ， ； ， ．
（2）如果，，求的立方根．
【答案】（1）1；；3；
（2）解：，，
，，
，
的立方根是2．
【知识点】定义新运算；开立方（求立方根）
【解析】【解答】（1）∵，
∴，，，，
故答案为：1；；3；.
【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法求解即可；
（2）先根据题干中的定义及计算方法求出，再利用立方根的计算方法分析求解即可.
22．（2023七下·淮北月考）请认真阅读下面的材料，再解答问题．
依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．
比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根．
（1）依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；
（2）81的四次方根为 ；-32的五次方根为 ；
（3）若有意义，则的取值范围是 ；若有意义，则的取值范围是 ；
（4）求的值：．
【答案】（1）解：五次方根的定义：若，则叫的五次方根；
（2）；
（3）；为任意实数
（4）解：，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或．
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：（2）；
故答案为：；
（3）解：∵是一个数的四次方，
∴，
∴；
∴若有意义，则的取值范围是；
∵中是一个数的五次方，
∴为任意实数．
故答案为：，为任意实数；
【分析】（1）根据阅读材料模仿直接下定义即可；
（2）根据四次方根、五次方根的定义直接求解即可；
（3）根据偶次方根被开方数为非负数，奇次方根被开方数为任意实数分别解答即可；
（4）利用四次方根的定义求解即可.
三、拓展创新
23．（2024七下·江阳期中）观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（ ）．
A． B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵，…，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根是；
故选：D．
【分析】观察已知等式，从中找出规律，再用n的式子表示出规律，然后利用规律求解求出的值，再进行求解即可．
24．（2024七下·荆州月考）【问题情境】数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律：
；；；…
（1）【实践探究】按照此规律，计算： ；
（2）计算：；
（3）【迁移应用】若符合上述规律，请直接写出x的值．
【答案】（1）
（2），
，
，
；
（3）解：x的值为
【知识点】探索数与式的规律；求算术平方根
【解析】【解答】解：（1）；
；
；
…；
∴，
∴．
故答案为：；
（3）∵符合，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）根据所给的过程总结规律，然后代入计算即可.
（2）根据规律进行化简求解即可.
（3）根据规律代入求解即可.
25．（2024七下·宁明月考） 【实践探究】
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根和立方根”的实践活动，同学们列出了表1中的算术平方根和表2中的立方根如下：
表1：
x … 0.0064 0.64 64 6400 640000 …
… 0.08 0.8 8 800 80 …
表2：
x … 0.000064 0.064 64 64000 64000000 …
… 0.04 0.4 4 40 400 …
（1）【探索发现】
根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根和立方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动 位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动 位；若被开方数的小数点向右或向左移动 位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动 位．
（2）【规律应用】
（Ⅰ）请运用上述规律，解答下列问题：
①已知，则 ， ；
②若，求a， b的值．
（参考数据：）
（Ⅱ）运用上述规律，你能根据的值求出的值吗？ 请说明理由．
【答案】（1）2；1；3；1
（2）（Ⅰ）①17.32，0.1442；
②∵，，
∴，，
∴，，
故答案为：200，0.8879；
（Ⅱ）∵，
∴，，
∴不能求出的值．
【知识点】探索数与式的规律；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：(1)由表格可得，若被开方数的小数点向右或向左移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位；
若被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位，
故答案为：2.1：3.1：
(2)（Ⅰ）①∵=1.732，=1.442，
∴ ≈17.32； = 0.1442.
故答案为：17.32，0.1442；
②∵=1.4142， =8.879，
∴=14.142，=0.8879
∴a=200，b=0.8879，
故答案为：200，0.8879.
【分析】(1)根据表格中的数据变化总结算术平方根和立方根的规律即可求解；
(2)（Ⅰ）①根据(1)中的算术平方根和立方根的规律求解即可；
②根据(1)中的算术平方根和立方根的规律可得=14.142，=0.8879，即可求解；
(Ⅱ)根据根据(1)中的算术平方根和立方根的规律求解即可.
26．（2023七下·贵州期中）据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了计算过程：
第一步：因为，，，所以．
第二步：因为59319的个位上的数是9，只有个位数字是9的数的立方的个位数字是9，所以的个位数字是9．
第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，所以，
所以，即的十位数字是3．
所以．
请根据上述材料解答下列问题：
（1）用上述方法确定4913的立方根的个位数字是 ．
（2）用上述方法确定50653的立方根是 ．
（3）求的值，要求写出计算过程．
【答案】（1）7
（2）37
（3）解：，，，
，
的个位上的数是2，只有个位数字是8的数的立方的个位数字是2，
的个位数字是8．
如果划去后面的三位592得到数110，而，，，
，
，即的十位数字是4．
，
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：（1）∵4913的个位上的数是3，只有个位数字是7的数的立方的个位数字是3，
∴4913的个位数字是7，
故答案为：7；
（2）∵103=1000，1003=1000000，1000<50653<1000000，
∴，
∵50653的个位上的数是3，只有个位数字是7的数的立方的个位数字是3，
∴的个位数字是7，
如果划去50653后面的三位653得到数50，而33=27，43=64，27<50<64，
∴30<<40，
∴30<<40，
即的十位数字是3.
∴，
故答案为：37.
【分析】（1）根据上述的方法计算求解即可；
（2）根据题意先求出，再求出的个位数字是7，的十位数字是3，最后求解即可；
（3）根据题意先求出 ， 再求出 的个位数字是8，的十位数字是4，最后求解即可。
1 / 1沪科版数学七年级下册6.1平方根、立方根分层练习
一、基础夯实
1．（2023七下·贡井月考）的平方根是（ ）
A．±2 B．4 C．±2 D．±8
2．（2025七下·涪城期末）下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七下·巧家期末）下列说法正确的是（ ）
A．4的算术平方根是 B．3的平方根是
C．27的立方根是 D．的平方根是
4．（2025七下·韶山月考）一个数值转换器原理如图所示，当输入时，输出的y的值是（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2025七下·海淀月考）已知，，那么 .
6．（2025七下·游仙期末）若一个正数的平方根是-a+2和2a-1，则a= ．
7． 用计算器求下列各式的值（结果保留小数点后两位）：
（1）
（2）
（3）
8．（2025七下·潮南期末） 计算：.
9．（2024七下·庄浪期末）已知的平方根是，的立方根是2，求的值．
10．（2025七下·浏阳期末）学方根之后，我们可以解一些简单的二次方程．以下是自信同学给出的解法示范，请你类比思路完成另外两题的解答．
例如：求x2＝0.01．
分析：要求x，也就是找出一个数，使得它的平方等于0.01．
解答：因为（±0.1）2＝0.01，所以这个数是±0.1，即．
题目：求下列各式中x的值．
（1）；
（2）4x2＝9．
二、能力提升
11．如果 那么(a+b)2023的值为( )
A．-1 B．1 C．32023 D．
12．（2024七下·东坡期末）若，，且，则的值为（ ）
A． B．或5 C．1或 D．或
13．（2024七下·凤凰期末）物体自由下落的高度h（单位：米）与下落时间t（单位：秒）的关系是．有一物体从米高的建筑物上自由落下，到达地面需要的时间为 秒．
14．（2024七下·广州期中）已知，则 ．
15．（2025七下·江城期中）直田七亩半，忘了长和短．记得立契时，长阔争一半．今问俊明公，此法如何算．意思是有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少．只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半．则田的宽是 步．（一亩=240平方步）
16．（2025七下·义乌开学考）如果为的算术平方根，为的立方根，求的平方根．
17．（2025七下·平武月考）已知关于x的一元一次方程
（1）求m的值；
（2）若是这个方程的解，
①求的值；
②若，求k的平方根．
18．（2025七下·来宾期末）端午前夕的劳动课上，由于制作香包的需要，小红想用一块面积为的正方形绸布，沿着边的方向裁剪出一块面积为的长方形绸布，使它的长宽比为．她不知道能否裁剪出来，正在发愁．小花见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的绸布裁剪出一块面积小的绸布．”你赞同小花的说法吗？小红能用这块面积为的正方形绸布载剪出符合要求的绸布吗？请给出理由，根据题意列出数量关系式并解答．
19．（2025七下·江城期中）定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”．
（1）点，，中，不是“理想点”的是_____．
（2）若点是“理想点”，求x的值．
（3）是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
20．（2024七下·虞城月考）如图，是一块体积为的立方体铁块．
（1）求这个铁块的棱长；
（2）现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个小立方体铁块，其中一个的体积为，求另一个小立方体铁块的棱长．
21．（2024七下·潜山期中） 阅读下面的文字，解答问题：
【阅读材料】现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以．
（1） ， ； ， ．
（2）如果，，求的立方根．
22．（2023七下·淮北月考）请认真阅读下面的材料，再解答问题．
依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．
比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根．
（1）依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；
（2）81的四次方根为 ；-32的五次方根为 ；
（3）若有意义，则的取值范围是 ；若有意义，则的取值范围是 ；
（4）求的值：．
三、拓展创新
23．（2024七下·江阳期中）观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（ ）．
A． B．4 C． D．
24．（2024七下·荆州月考）【问题情境】数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律：
；；；…
（1）【实践探究】按照此规律，计算： ；
（2）计算：；
（3）【迁移应用】若符合上述规律，请直接写出x的值．
25．（2024七下·宁明月考） 【实践探究】
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根和立方根”的实践活动，同学们列出了表1中的算术平方根和表2中的立方根如下：
表1：
x … 0.0064 0.64 64 6400 640000 …
… 0.08 0.8 8 800 80 …
表2：
x … 0.000064 0.064 64 64000 64000000 …
… 0.04 0.4 4 40 400 …
（1）【探索发现】
根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根和立方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动 位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动 位；若被开方数的小数点向右或向左移动 位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动 位．
（2）【规律应用】
（Ⅰ）请运用上述规律，解答下列问题：
①已知，则 ， ；
②若，求a， b的值．
（参考数据：）
（Ⅱ）运用上述规律，你能根据的值求出的值吗？ 请说明理由．
26．（2023七下·贵州期中）据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了计算过程：
第一步：因为，，，所以．
第二步：因为59319的个位上的数是9，只有个位数字是9的数的立方的个位数字是9，所以的个位数字是9．
第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，所以，
所以，即的十位数字是3．
所以．
请根据上述材料解答下列问题：
（1）用上述方法确定4913的立方根的个位数字是 ．
（2）用上述方法确定50653的立方根是 ．
（3）求的值，要求写出计算过程．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵=8，8的平方根为±2，
∴的平方根是±2，
故选：C．
【分析】由算术平方根的性质可得，，再根据平方根的性质求解即可．
2．【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；算术平方根的概念与表示；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A：，故A选项错误；
B：，故B选项错误；
C：，故C选项正确；
D：，故D选项错误；
故答案为：C.
【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根和立方根的定义，理解定义，对选项进行逐一判断，尤其要理解表示的是算术平方根，表示的是平方根，任何数只有一个立方根.
3．【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、4的算术平方根是，
∴此选项不符合题意；
B、3的平方根是，
∴此选项不符合题意；
C、∵，，
∴27的立方根是3，
∴此选项不符合题意；
D、，因为，则4的平方根为，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据算术平方根和立方根，根据平方根、立方根的概念依次判断即可求解.
4．【答案】D
【知识点】无理数的概念；有理数的概念；求算术平方根；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：输入，4的算术平方根是2，2是有理数，还需再求2的算术平方根，2的算术平方根是，是无理数，输出的y值是．
故答案为：D．
【分析】根据程序规定，可得出只有所求算术平方根为无理数时，才能成为输出值，故而得出答案为.
5．【答案】
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解∶ ∵，
==10×1.414=14.14，
故答案为∶．
【分析】
本题考查了算术平方根的概念，根据计算即可。
6．【答案】–1
【知识点】解一元一次方程；平方根的性质
【解析】【解答】解：正数有两个平方根，它们互为相反数
因此，(-a+2)+(2a-1)=0，解得a=-1
故答案为：-1.
【分析】根据正数平方根的特点可知，正数的两个平方根互为相反数，互为相反数的两数相加得零，即可解得a的值。
7．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】计算器在数的开方中的应用
【解析】【分析】根据利用计算器求解算术平方根的计算方法和步骤分析求解即可.
8．【答案】解：原式=4+(-3)×(-1)-2+2
=4+3-2+2
=7
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；求有理数的绝对值的方法；有理数乘法与乘方的互化；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先计算乘方得，.，再开方计算得，，再算绝对值，最后计算加减即可解答.
9．【答案】解：∵的平方根是，的立方根是2，∴，，
解得，，
∴．
【知识点】平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【分析】 已知一个数的平方根，求这个数的方法是，将其平方根进行平方运算；同理，已知一个数的立方根求这个数，方法是将其立方根进行立方运算，由此可求得a和b的值，代入计算即可.
10．【答案】（1）解：
x＝±
（2）解：4x2＝9，
x2＝，
x＝±．
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【分析】模仿示范，根据平方根的定义进行计算即可.
11．【答案】A
【知识点】有理数的乘方法则；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：因为
所以a+2=0，b-1=0，
解得a=-2，b=1，
所以(
故答案为：A.
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解.
12．【答案】D
【知识点】求有理数的绝对值的方法；有理数的加法法则；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，或，，
∴或，
故答案为：D．
【分析】根据绝对值的意义可得m=±3，由平方根的定义可得n=±2，由绝对值的非负性可得n≥m，于是可得m，n的值，再把m、n的值代入所求代数式计算即可求解．
13．【答案】5
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：把代入中可得：，则，
∵25的算术平方根为5，即，
∴到达地面需要的时间为5秒．
故答案为：5．
【分析】把代入求得t的值即可求出答案.
14．【答案】1
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵
∴，
解得，
∴，
∴．
故答案为：1．
【分析】由算术平方根的被开方数是非负数，得到x值，再求出y，然后代入计算即可．
15．【答案】30
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：设此矩形田的宽为步，
依据题意，可列方程为，
解得（负值舍去），
则田的宽为30步，
故答案为：30．
【分析】设此矩形田的宽为步，根据“ 面积为7.5亩（换算为平方步），且宽是长的一半 ”列出方程，再求解即可.
16．【答案】
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得，
∴，
∴的平方根是．
故答案为：.
【分析】根据算术平方根与立方根的定义，列出方程组求出、的值，进而求出2a-3b的平方根．
17．【答案】（1）解：∵关于x的一元一次方程，
∴，
解得；
（2）解：由（1）得，
∴
∵是这个方程的解，
∴，
∴，
①；
②．
∴k的平方根是．
【知识点】一元一次方程的概念；一元一次方程的解；开平方（求平方根）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）由一元一次方程的定义可得关于m的不等式和一元一次方程并求解即可；
（2）由方程解的概念可得，
①整体代入得即可；
②先利用乘方的概念求出的值，再求其平方根即可．
（1）解：∵关于x的一元一次方程，
∴，
解得，
（2）解：由（1）得，
∴
∵是这个方程的解，
∴，
∴，
①；
②．
∴k的平方根是．
18．【答案】解：设长方形绸布的长为，宽，
由面积公式，得，
化简，得，解得，
∴长方形绸布的长为，宽，
∵正方形绸布的边长为，而长方形绸布的长为，
又∵，
∴不赞同小花的说法；小红不能用这块面积为的正方形绸布裁剪出符合要求的绸布．
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【分析】本题围绕正方形与长方形的边长、面积关系展开，解题关键在于通过设未知数，利用长方形面积公式列出方程，求出长方形长和宽，再与正方形边长比较，判断能否裁剪，核心是算术平方根的计算与大小比较 .
19．【答案】（1）和
（2）解：∵点是“理想点”，
∴，
∴，
解得：.
（3）解：∵点是“理想点”，
∴，
整理可得，
∴或，
当时，，
当时，．
综上所述，的值为0或．
【知识点】算术平方根的实际应用；开立方（求立方根）
【解析】【解答】（1）解：∵，，
又∵，
∴点是“理想点”；
∵，，
又∵，
∴点不是“理想点”；
∵，，
又∵，
∴点是“理想点”；
故答案为：和；
【分析】（1）利用“理想点”的定义及计算方法分析求解即可；
（2）利用“理想点”的定义及计算方法列出方程，再分析求解即可；
（3）利用“理想点”的定义及计算方法分析求解即可.
（1）解：∵，，
又∵，
∴点是“理想点”；
∵，，
又∵，
∴点不是“理想点”；
∵，，
又∵，
∴点是“理想点”；
故答案为：和；
（2）解：∵点是“理想点”，
∴，
∴，
解得；
（3）解：∵点是“理想点”，
∴，整理可得，
∴或，
当时，，
当时，．
综上所述，的值为0或．
20．【答案】（1）解：∵这个铁块体积为
∴这个铁块的棱长为，
答：这个铁块的棱长为．
（2）解：设另一个小立方体铁块的棱长为，则．
∵，
∴．
答：另一个小立方体铁块的棱长为．
【知识点】立方根的实际应用
【解析】【分析】（1）根据铁块的体积，开立方，求得其棱长；
（2）先求出另一个小立方体铁块的体积，再求出其棱长．
（1）根据题意，得
铁块的棱长为，
答：这个铁块的棱长为．
（2）设另一个小立方体铁块的棱长为，
则．
∵，
∴．
答：另一个小立方体铁块的棱长为．
21．【答案】（1）1；；3；
（2）解：，，
，，
，
的立方根是2．
【知识点】定义新运算；开立方（求立方根）
【解析】【解答】（1）∵，
∴，，，，
故答案为：1；；3；.
【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法求解即可；
（2）先根据题干中的定义及计算方法求出，再利用立方根的计算方法分析求解即可.
22．【答案】（1）解：五次方根的定义：若，则叫的五次方根；
（2）；
（3）；为任意实数
（4）解：，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或．
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：（2）；
故答案为：；
（3）解：∵是一个数的四次方，
∴，
∴；
∴若有意义，则的取值范围是；
∵中是一个数的五次方，
∴为任意实数．
故答案为：，为任意实数；
【分析】（1）根据阅读材料模仿直接下定义即可；
（2）根据四次方根、五次方根的定义直接求解即可；
（3）根据偶次方根被开方数为非负数，奇次方根被开方数为任意实数分别解答即可；
（4）利用四次方根的定义求解即可.
23．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵，…，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根是；
故选：D．
【分析】观察已知等式，从中找出规律，再用n的式子表示出规律，然后利用规律求解求出的值，再进行求解即可．
24．【答案】（1）
（2），
，
，
；
（3）解：x的值为
【知识点】探索数与式的规律；求算术平方根
【解析】【解答】解：（1）；
；
；
…；
∴，
∴．
故答案为：；
（3）∵符合，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）根据所给的过程总结规律，然后代入计算即可.
（2）根据规律进行化简求解即可.
（3）根据规律代入求解即可.
25．【答案】（1）2；1；3；1
（2）（Ⅰ）①17.32，0.1442；
②∵，，
∴，，
∴，，
故答案为：200，0.8879；
（Ⅱ）∵，
∴，，
∴不能求出的值．
【知识点】探索数与式的规律；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：(1)由表格可得，若被开方数的小数点向右或向左移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位；
若被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位，
故答案为：2.1：3.1：
(2)（Ⅰ）①∵=1.732，=1.442，
∴ ≈17.32； = 0.1442.
故答案为：17.32，0.1442；
②∵=1.4142， =8.879，
∴=14.142，=0.8879
∴a=200，b=0.8879，
故答案为：200，0.8879.
【分析】(1)根据表格中的数据变化总结算术平方根和立方根的规律即可求解；
(2)（Ⅰ）①根据(1)中的算术平方根和立方根的规律求解即可；
②根据(1)中的算术平方根和立方根的规律可得=14.142，=0.8879，即可求解；
(Ⅱ)根据根据(1)中的算术平方根和立方根的规律求解即可.
26．【答案】（1）7
（2）37
（3）解：，，，
，
的个位上的数是2，只有个位数字是8的数的立方的个位数字是2，
的个位数字是8．
如果划去后面的三位592得到数110，而，，，
，
，即的十位数字是4．
，
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：（1）∵4913的个位上的数是3，只有个位数字是7的数的立方的个位数字是3，
∴4913的个位数字是7，
故答案为：7；
（2）∵103=1000，1003=1000000，1000<50653<1000000，
∴，
∵50653的个位上的数是3，只有个位数字是7的数的立方的个位数字是3，
∴的个位数字是7，
如果划去50653后面的三位653得到数50，而33=27，43=64，27<50<64，
∴30<<40，
∴30<<40，
即的十位数字是3.
∴，
故答案为：37.
【分析】（1）根据上述的方法计算求解即可；
（2）根据题意先求出，再求出的个位数字是7，的十位数字是3，最后求解即可；
（3）根据题意先求出 ， 再求出 的个位数字是8，的十位数字是4，最后求解即可。
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