沪科版数学七年级下册6.2无理数和实数分层练习
一、基础夯实
1．（2025七下·北京市期中）下列各数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025七下·封开期末） 与无理数最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2025七下·泸县月考）实数中，属于无理数的是 ．
4．（2025七下·来宾期末）比较两数的大小：4 （用“”或“”填空）．
5．（2025七下·长沙月考）实数，在数轴上的对应点可能是点 ．
6．（2025七下·珠海期中）如图，将半径为1的圆形纸片上的点A与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周点A到达了点B的位置，则线段的中点表示的数是 ．
7．（2025七下·浦北月考）定义：对于实数，我们规定：表示不小于的最小整数，例如，．若，则的取值范围为 ．
8．（2025七下·广州期中）小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．小明 将贺卡不折叠就放入此信封．（填能或不能）
9．（2024七下·商城期中）把下列各数的序号填在相应的横线上：
①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨，⑩（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1）.
整数集合：{______________________}；
分数集合：{______________________}；
无理数集合：{______________________}．
10．（2024七下·莒南期中）如图①，正方形网格中每个小正方形的边长都为，正方形的顶点都在格点上．
（1）正方形的面积是多少？边长是多少？
（2）正方形的边长是有理数还是无理数？它在哪两个整数之间？
（3）在图②中画一个与图①面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并写出它的边长．
11．（2025七下·花溪期中）根据表格回答问题：
3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4
9 9.61 10.24 10.89 11.56 12.25 12.96 13.69 14.44 15.21 16
（1）11.56的平方根是多少？
（2）___________．
（3）估计在哪两个整数之间．
12．（2025七下·北流月考）在数轴上表示下列各数，并用“＜”把它们连接起来.
-2.5， ， 0， ， ，
13．（2025七下·长沙期中）
（1）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值．
（2）已知的立方根是3，的算术平方根是4，求的平方根．
二、能力提升
14．（2025七下·游仙期末）无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数．若某矩形的长为、宽为，则这个矩形面积的值在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
15．（2024七下·临高期中）当式子取最小值时，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．（2025七下·湖南月考）设的整数部分是a，小数部分是b，则 ．
17．（2025七下·霞山期末） 对于任意一个实数，它的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数. 如3.15的整数部分为3，小数部分为. 如果的小数部分是m，的整数部分是n，那么的值为 .
18．（2024七下·太湖期中）如图，正方形和正方形的面积分别是7和9，以原点O为圆心，，为半径画弧，与数轴交于两点，这两点在数轴上对应的数字分别为a、b，则 ．
19．对于实数a，我们规定：用符号[]表示不大于 的最大整数，称[]为a 的根整数.例如，
（1）计算： ， .
（2）若 求满足题意的x的整数值.
（3）现我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止.例如，对10 连续求根整数 2 次，即 这时结果为1.
①对 100 连续求根整数，求几次之后结果为1；
②求只需进行 3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中的最大值.
20．（2025七下·龙湖期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：
∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请回答：
（1）的整数部分是______，小数部分是______．
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
（3）已知：，其中x是整数，且，求的相反数．
21．（2025七下·珠海期中）如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．
（1）这个魔方的棱长为________；
（2）图中四边形为正方形，求出此正方形的面积及其边长；
（3）如图2把正方形放到数轴上，使得与重合，那么在数轴上表示的数为________．
三、拓展创新
22．（2024七下·青秀期中）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
（1）图2中A、B两点表示的数分别为______，______；
（2）请你参照上面的方法
①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网（虚线表示）格中画出拼成的大正方形（实线表示），该正方形的边长______．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）
②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上用点M表示数a．
23．（2025七下·厦门期末）阅读下面的文字并解答问题：我们已经知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能被全部写出来．那么，将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分．因为的整数部分是2，所以用来表示的小数部分．数学兴趣小组的同学掌握了一种用几何图形求的近似值的方法，过程如下：
面积为5的正方形的边长是，且，
设，其中，画出示意图，如图把面积为5的正方形进行分割．根据示意图，可得图中正方形的面积
又
，即
由于的值很小，可以忽略不计．
，解得：
．
（1）的整数部分是_____，小数部分是____；
（2）仿照上述方法，探究的近似值（保留两位小数）．（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
24．（2025七下·广州期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题：
（1）的“青一区间”为______；的“青一区间”为______；
（2）实数，满足关系式：，求的“青一区间”．
（3）多选题：全部选对得满分，选对但不全的视正确答案数相应给分，有选错的得0分．
在（2）的条件下描述，正确的答案是（ ）
A．是有理数 B． C． D．
（4）若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、是有限小数，属于有理数，不符合题意；
B、是分数形式，属于有理数，不符合题意；
C、，是整数，属于有理数，不符合题意；
D、中9不是完全立方数，其立方根为无理数，符合题意；
故选：D
【分析】
根据无理数是指无限不循环小数，不能表示为分数形式的数，逐一分析各选项即可。
2．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：由题意得，即6＜＜7，且6最接近，
故答案为： C
【分析】根据题意估算无理数的大小得到6＜＜7，进而即可求解。
3．【答案】，，
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，属于有理数；
和是开方开不尽的数，属于无理数；
属于有理数；
含有，属于无理数；
故答案为：，，．
【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义，即无限不循环的小数是无理数，无理数的三种形式，即①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．然后逐个分析判断即可。
4．【答案】
【知识点】实数的大小比较；立方根的实际应用
【解析】【解答】解：，，
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查实数大小比较，关键是利用立方根的性质，将整数转化为立方根形式，再通过比较被开方数大小来确定立方根的大小，进而比较和的大小.
5．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的估值
6．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示
7．【答案】
【知识点】无理数的估值
8．【答案】不能
【知识点】无理数的估值；算术平方根的实际应用
9．【答案】⑤，⑥，⑦，⑧；①，③，④，⑨；②，⑩．
【知识点】实数的概念与分类；求算术平方根
10．【答案】（1）解：如图，设大正方形为，
∴．
∵，
∴正方形的面积是17，边长是．
（2）解：∵是无理数，∴正方形的边长是无理数，
∵，
∴，
∴在和之间．
（3）解：如图所示正方形即为所求，
∵小正方形的面积=，
∴小正方形的边长为．
【知识点】无理数的估值；无理数的概念；求算术平方根
【解析】【分析】（1）用大正方形面积减去四个三角形面积，求得正方形的面积，根据正方形面积公式，结合算术平方根的定义，求得正方形的边长，得到答案；
（2）根据无理数的定义，结合（1）中结论可得边长为无理数，利用“夹逼法”估算的取值范围，即可得到答案；
（3）利用网格画出正方形，结合小正方形的面积为5，进而求得小正方形的边长，得到答案.
（1）解：如图，设大正方形为，
∴．
∵，
∴正方形的面积是17，边长是．
（2）∵是无理数，
∴正方形的边长是无理数，
∵，
∴，
∴在和之间．
（3）如图所示正方形即为所求，
∵小正方形的面积=，
∴小正方形的边长为．
11．【答案】（1）
（2）38
（3）33和34之间
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）
12．【答案】解：
∴ －2.5＜＜0＜＜＜
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【分析】本题首先计算并化简 等于-2， =2，然后再数轴上标出各点的位置，最后从小到大排序即可。
13．【答案】（1）解：∵9＜11＜16，
∴，即，
∵的小数部分为
∴；
∵4＜7＜9，
∴，即，
∵的整数部分为
∴b=2，
∴，
∴；
（2）解：∵5a+2的立方根是3，
∴5a+2=27，
∴a=5；
∵3a+b-1的算术平方根是4，
∴3a+b-1=16，
∴3×5+b-1=16，
解得b=2
∴a+2b=5+2×2=9，
∴a+2b的平方根为±3.
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；算术平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据被开方数越大，其算术平方根就越大，估算出，，从而结合题意可得a、b的值，然后计算出a-b的值并判断出其正负，最后将a-b的值代入待求式子根据绝对值的代数意义化简后，再合并同类二次根式即可；
（2）根据立方根定义“如果一个数x的立方等于a，则x就是a的立方根”列出方程5a+2=27，求解得出a的值；根据算术平方根定义“如果一个正数x的平方等于a，则x就是a的算术平方根”列出方程3a+b-1=16，再举哀那个a的值代入可算出b的值，进而将a、b的值代入a+2b计算出结果，最后根据平方根定义“如果一个数x的平方等于a，则x就是a的平方根”求解即可.
14．【答案】B
【知识点】无理数的估值；无理数的混合运算
【解析】【解答】解：∵矩形的面积=长×宽
∴
因此，矩形的面积在3与4之间，B正确.
故选：B.
【分析】遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数（比计算结果要求的精确度多取一位）去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五入。
15．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵表示x到的距离加上x到的距离，
∴当表示x的点在和之间的线段上时，取最小值
∴x的取值范围为．
故答案为：A．
【分析】根据"的最小值"的意义是"x到的距离与到的距离之和最小"可知：x应在和之间的线段上即可求解．
16．【答案】
【知识点】无理数的估值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】先估算无理数求出和到，然后代入求差解答即可．
17．【答案】-5
【知识点】无理数的估值；解一元一次方程；无理数的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵的小数部分是m，的整数部分是n，
∴m=-9=-3+，n= 2，
∴ =-3+-2-=-5
故答案为：-5 .
【分析】先估算；再估算，，根据题干一个实数的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数，即可得m=-3+，n= 2，代值计算即可解答.
18．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；数轴上两点之间的距离；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：正方形和正方形的面积分别是7和9，
，
以原点O为圆心，，为半径画弧，
，
．
故答案为：．，
【分析】已知正方形的面积，由算术平方根可以分别求出两个正方形的边长为和3，则所画圆的半径即为和3，所以a=0+，b=0+3，带入即可求解.
19．【答案】（1）2；5
（2）解：因为 且 所以x=1，2，3.
（3）解：①第1次： 第2次： 第3次：
故对100连续求根整数3次之后结果为1.
②因为
所以对255只需进行3次连续求根整数运算后结果为1.
因为[
所以对256只需进行4次连续求根整数运算后结果为1，
所以只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中的最大值是255.
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：(1)因为 所以 所以 故答案为2，5.
【分析】（1）估算，，然后得到最大整数即可；
（2）根据题意得到x的取值范围，即可得到整数解.
20．【答案】（1），；
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，
∵，即，
∴的整数部分为，
∴
.
（3）解：，
∴的整数部分为，小数部分是，
∴，
∵，x是整数，且，
∴，，
∴，
∴，
∴的相反数为．
【知识点】无理数的估值；相反数的意义与性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】（1）解：∵，即，
∴的整数部分是，小数部分是，
故答案为：，.
【分析】（1）参照题干中的计算方法分析求解即可；
（2）先参照题干中的计算方法求出a、b的值，再将其代入计算即可；
（3）先参照题干中的计算方法求出x、y的值，再利用相反数的定义分析求解即可.
（1）解：∵，即，
∴的整数部分是，小数部分是，
故答案为：，；
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，
∵，即，
∴的整数部分为，
∴
；
（3）解：，
∴的整数部分为，小数部分是，
∴，
∵，x是整数，且，
∴，，
∴，
∴，
∴的相反数为．
21．【答案】（1）4
（2）正方形的面积是8，边长是；
（3）
【知识点】实数在数轴上表示；算术平方根的实际应用；立方根的实际应用
22．【答案】（1），
（2）解①：如图，
∴；
②：在数轴上用点M表示数a，如图5；
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：由题意知，，∴A、B两点表示的数分别为，，
故答案为：，；
【分析】（1）根据题意，由数轴，得到，进而得到A、B两点表示的数，得到对答案.
（2）①根据题意，利用勾股定理，得到，即可得到答案；
②在数轴上，取得点M，使得，即可得到点M表示数a，得到答案．
23．【答案】（1），；
（2）
【知识点】无理数的估值
24．【答案】（1），
（2）的“青一区间”为；
（3）BC
（4）或．
【知识点】无理数的估值；开立方（求立方根）
1 / 1沪科版数学七年级下册6.2无理数和实数分层练习
一、基础夯实
1．（2025七下·北京市期中）下列各数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、是有限小数，属于有理数，不符合题意；
B、是分数形式，属于有理数，不符合题意；
C、，是整数，属于有理数，不符合题意；
D、中9不是完全立方数，其立方根为无理数，符合题意；
故选：D
【分析】
根据无理数是指无限不循环小数，不能表示为分数形式的数，逐一分析各选项即可。
2．（2025七下·封开期末） 与无理数最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：由题意得，即6＜＜7，且6最接近，
故答案为： C
【分析】根据题意估算无理数的大小得到6＜＜7，进而即可求解。
3．（2025七下·泸县月考）实数中，属于无理数的是 ．
【答案】，，
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，属于有理数；
和是开方开不尽的数，属于无理数；
属于有理数；
含有，属于无理数；
故答案为：，，．
【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义，即无限不循环的小数是无理数，无理数的三种形式，即①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．然后逐个分析判断即可。
4．（2025七下·来宾期末）比较两数的大小：4 （用“”或“”填空）．
【答案】
【知识点】实数的大小比较；立方根的实际应用
【解析】【解答】解：，，
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查实数大小比较，关键是利用立方根的性质，将整数转化为立方根形式，再通过比较被开方数大小来确定立方根的大小，进而比较和的大小.
5．（2025七下·长沙月考）实数，在数轴上的对应点可能是点 ．
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的估值
6．（2025七下·珠海期中）如图，将半径为1的圆形纸片上的点A与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周点A到达了点B的位置，则线段的中点表示的数是 ．
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示
7．（2025七下·浦北月考）定义：对于实数，我们规定：表示不小于的最小整数，例如，．若，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】无理数的估值
8．（2025七下·广州期中）小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．小明 将贺卡不折叠就放入此信封．（填能或不能）
【答案】不能
【知识点】无理数的估值；算术平方根的实际应用
9．（2024七下·商城期中）把下列各数的序号填在相应的横线上：
①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨，⑩（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1）.
整数集合：{______________________}；
分数集合：{______________________}；
无理数集合：{______________________}．
【答案】⑤，⑥，⑦，⑧；①，③，④，⑨；②，⑩．
【知识点】实数的概念与分类；求算术平方根
10．（2024七下·莒南期中）如图①，正方形网格中每个小正方形的边长都为，正方形的顶点都在格点上．
（1）正方形的面积是多少？边长是多少？
（2）正方形的边长是有理数还是无理数？它在哪两个整数之间？
（3）在图②中画一个与图①面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并写出它的边长．
【答案】（1）解：如图，设大正方形为，
∴．
∵，
∴正方形的面积是17，边长是．
（2）解：∵是无理数，∴正方形的边长是无理数，
∵，
∴，
∴在和之间．
（3）解：如图所示正方形即为所求，
∵小正方形的面积=，
∴小正方形的边长为．
【知识点】无理数的估值；无理数的概念；求算术平方根
【解析】【分析】（1）用大正方形面积减去四个三角形面积，求得正方形的面积，根据正方形面积公式，结合算术平方根的定义，求得正方形的边长，得到答案；
（2）根据无理数的定义，结合（1）中结论可得边长为无理数，利用“夹逼法”估算的取值范围，即可得到答案；
（3）利用网格画出正方形，结合小正方形的面积为5，进而求得小正方形的边长，得到答案.
（1）解：如图，设大正方形为，
∴．
∵，
∴正方形的面积是17，边长是．
（2）∵是无理数，
∴正方形的边长是无理数，
∵，
∴，
∴在和之间．
（3）如图所示正方形即为所求，
∵小正方形的面积=，
∴小正方形的边长为．
11．（2025七下·花溪期中）根据表格回答问题：
3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4
9 9.61 10.24 10.89 11.56 12.25 12.96 13.69 14.44 15.21 16
（1）11.56的平方根是多少？
（2）___________．
（3）估计在哪两个整数之间．
【答案】（1）
（2）38
（3）33和34之间
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）
12．（2025七下·北流月考）在数轴上表示下列各数，并用“＜”把它们连接起来.
-2.5， ， 0， ， ，
【答案】解：
∴ －2.5＜＜0＜＜＜
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【分析】本题首先计算并化简 等于-2， =2，然后再数轴上标出各点的位置，最后从小到大排序即可。
13．（2025七下·长沙期中）
（1）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值．
（2）已知的立方根是3，的算术平方根是4，求的平方根．
【答案】（1）解：∵9＜11＜16，
∴，即，
∵的小数部分为
∴；
∵4＜7＜9，
∴，即，
∵的整数部分为
∴b=2，
∴，
∴；
（2）解：∵5a+2的立方根是3，
∴5a+2=27，
∴a=5；
∵3a+b-1的算术平方根是4，
∴3a+b-1=16，
∴3×5+b-1=16，
解得b=2
∴a+2b=5+2×2=9，
∴a+2b的平方根为±3.
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；算术平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据被开方数越大，其算术平方根就越大，估算出，，从而结合题意可得a、b的值，然后计算出a-b的值并判断出其正负，最后将a-b的值代入待求式子根据绝对值的代数意义化简后，再合并同类二次根式即可；
（2）根据立方根定义“如果一个数x的立方等于a，则x就是a的立方根”列出方程5a+2=27，求解得出a的值；根据算术平方根定义“如果一个正数x的平方等于a，则x就是a的算术平方根”列出方程3a+b-1=16，再举哀那个a的值代入可算出b的值，进而将a、b的值代入a+2b计算出结果，最后根据平方根定义“如果一个数x的平方等于a，则x就是a的平方根”求解即可.
二、能力提升
14．（2025七下·游仙期末）无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数．若某矩形的长为、宽为，则这个矩形面积的值在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值；无理数的混合运算
【解析】【解答】解：∵矩形的面积=长×宽
∴
因此，矩形的面积在3与4之间，B正确.
故选：B.
【分析】遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数（比计算结果要求的精确度多取一位）去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五入。
15．（2024七下·临高期中）当式子取最小值时，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵表示x到的距离加上x到的距离，
∴当表示x的点在和之间的线段上时，取最小值
∴x的取值范围为．
故答案为：A．
【分析】根据"的最小值"的意义是"x到的距离与到的距离之和最小"可知：x应在和之间的线段上即可求解．
16．（2025七下·湖南月考）设的整数部分是a，小数部分是b，则 ．
【答案】
【知识点】无理数的估值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】先估算无理数求出和到，然后代入求差解答即可．
17．（2025七下·霞山期末） 对于任意一个实数，它的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数. 如3.15的整数部分为3，小数部分为. 如果的小数部分是m，的整数部分是n，那么的值为 .
【答案】-5
【知识点】无理数的估值；解一元一次方程；无理数的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵的小数部分是m，的整数部分是n，
∴m=-9=-3+，n= 2，
∴ =-3+-2-=-5
故答案为：-5 .
【分析】先估算；再估算，，根据题干一个实数的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数，即可得m=-3+，n= 2，代值计算即可解答.
18．（2024七下·太湖期中）如图，正方形和正方形的面积分别是7和9，以原点O为圆心，，为半径画弧，与数轴交于两点，这两点在数轴上对应的数字分别为a、b，则 ．
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；数轴上两点之间的距离；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：正方形和正方形的面积分别是7和9，
，
以原点O为圆心，，为半径画弧，
，
．
故答案为：．，
【分析】已知正方形的面积，由算术平方根可以分别求出两个正方形的边长为和3，则所画圆的半径即为和3，所以a=0+，b=0+3，带入即可求解.
19．对于实数a，我们规定：用符号[]表示不大于 的最大整数，称[]为a 的根整数.例如，
（1）计算： ， .
（2）若 求满足题意的x的整数值.
（3）现我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止.例如，对10 连续求根整数 2 次，即 这时结果为1.
①对 100 连续求根整数，求几次之后结果为1；
②求只需进行 3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中的最大值.
【答案】（1）2；5
（2）解：因为 且 所以x=1，2，3.
（3）解：①第1次： 第2次： 第3次：
故对100连续求根整数3次之后结果为1.
②因为
所以对255只需进行3次连续求根整数运算后结果为1.
因为[
所以对256只需进行4次连续求根整数运算后结果为1，
所以只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中的最大值是255.
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：(1)因为 所以 所以 故答案为2，5.
【分析】（1）估算，，然后得到最大整数即可；
（2）根据题意得到x的取值范围，即可得到整数解.
20．（2025七下·龙湖期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：
∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请回答：
（1）的整数部分是______，小数部分是______．
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
（3）已知：，其中x是整数，且，求的相反数．
【答案】（1），；
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，
∵，即，
∴的整数部分为，
∴
.
（3）解：，
∴的整数部分为，小数部分是，
∴，
∵，x是整数，且，
∴，，
∴，
∴，
∴的相反数为．
【知识点】无理数的估值；相反数的意义与性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】（1）解：∵，即，
∴的整数部分是，小数部分是，
故答案为：，.
【分析】（1）参照题干中的计算方法分析求解即可；
（2）先参照题干中的计算方法求出a、b的值，再将其代入计算即可；
（3）先参照题干中的计算方法求出x、y的值，再利用相反数的定义分析求解即可.
（1）解：∵，即，
∴的整数部分是，小数部分是，
故答案为：，；
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，
∵，即，
∴的整数部分为，
∴
；
（3）解：，
∴的整数部分为，小数部分是，
∴，
∵，x是整数，且，
∴，，
∴，
∴，
∴的相反数为．
21．（2025七下·珠海期中）如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．
（1）这个魔方的棱长为________；
（2）图中四边形为正方形，求出此正方形的面积及其边长；
（3）如图2把正方形放到数轴上，使得与重合，那么在数轴上表示的数为________．
【答案】（1）4
（2）正方形的面积是8，边长是；
（3）
【知识点】实数在数轴上表示；算术平方根的实际应用；立方根的实际应用
三、拓展创新
22．（2024七下·青秀期中）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
（1）图2中A、B两点表示的数分别为______，______；
（2）请你参照上面的方法
①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网（虚线表示）格中画出拼成的大正方形（实线表示），该正方形的边长______．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）
②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上用点M表示数a．
【答案】（1），
（2）解①：如图，
∴；
②：在数轴上用点M表示数a，如图5；
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：由题意知，，∴A、B两点表示的数分别为，，
故答案为：，；
【分析】（1）根据题意，由数轴，得到，进而得到A、B两点表示的数，得到对答案.
（2）①根据题意，利用勾股定理，得到，即可得到答案；
②在数轴上，取得点M，使得，即可得到点M表示数a，得到答案．
23．（2025七下·厦门期末）阅读下面的文字并解答问题：我们已经知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能被全部写出来．那么，将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分．因为的整数部分是2，所以用来表示的小数部分．数学兴趣小组的同学掌握了一种用几何图形求的近似值的方法，过程如下：
面积为5的正方形的边长是，且，
设，其中，画出示意图，如图把面积为5的正方形进行分割．根据示意图，可得图中正方形的面积
又
，即
由于的值很小，可以忽略不计．
，解得：
．
（1）的整数部分是_____，小数部分是____；
（2）仿照上述方法，探究的近似值（保留两位小数）．（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【答案】（1），；
（2）
【知识点】无理数的估值
24．（2025七下·广州期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题：
（1）的“青一区间”为______；的“青一区间”为______；
（2）实数，满足关系式：，求的“青一区间”．
（3）多选题：全部选对得满分，选对但不全的视正确答案数相应给分，有选错的得0分．
在（2）的条件下描述，正确的答案是（ ）
A．是有理数 B． C． D．
（4）若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值．
【答案】（1），
（2）的“青一区间”为；
（3）BC
（4）或．
【知识点】无理数的估值；开立方（求立方根）
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