沪科版数学七年级下册8.1幂的运算分层练习
一、基础夯实
1．（2025七下·深圳期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·成都期中）月季是天津市的市花，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ）
A． B．；
C． D．
3． 填空：
( )÷(mn)=3m2；
（2）( )
( ) ·2x=-3x2+2x-7x3；
(4)（ ）
4．（2025七下·榕城期末） 计算：
5．（2024七下·苏州月考）根据已知条件求值．
（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
6．（2024七下·滨海月考）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题：
（1）求的值；
（2）若，，，求的值；
（3）若运算的结果为810，则t的值是多少？
7．（2025七下·南海月考）在数学中．我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题．
（1）已知，若，，请你也利用逆向思考的方法求的值；
（2）下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题．请你参考小贤的方法解答问题：
小贤的作业 计算：． 解：．
计算：．
二、能力提高
8．（2025七下·钱塘期末） 若，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022七下·茶陵期中）已知，，，，则这四个数从小到大排列顺序是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025七下·上城期末） 已知，，，下列计算结果正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
11．（2023七下·江北期末）已知，，则 ．
12．（2025七下·莲都期末） 规定：若实数满足（且），则记作．例如：，则．若，且，则的值是 ．
13．（2025七下·浙江期中）对实数a，b定义运算＂＂如下：，计算 .
14．（2025七下·慈溪期中） 我们知道下面的结论：若 且），则。利用这个结论解决下列问题：设 ，，。现给出 m，n，p 三者之间的三个关系式：
①，②，③。其中正确的是 .（填编号）
15．（2025七下·三水期中）按要求计算下面各题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，，求的值．
16．（2025七下·高州月考）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与，解：，∵，∴
（1）比较，的大小．
（2）比较，，的大小．
17．（2024七下·潍城期中）我们知道，一般的数学公式，法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：；
；；其中m，n为正整数．结合以上材料解决下列问题．
（1）已知，请把a，b，c用“”连接起来；
（2）若，求的值；
（3）化简：．
三、创新拓展
18．（2025七下·竞赛）我们定义：三角形=ab·ac，五角星=z·(xm·yn)；若=4，则= .
19．（2024七下·南海月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．
例如：因为，所以．
（1）根据上述规定，填空： ， ，（ ，）=-2．
（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：，小明给出了如下的证明：
设，则，即
所以，即，
所以．
试解决下列问题：
①计算
②请尝试运用这种方法证明．
20．（2024七下·揭西月考） 规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：
设，，则，，故，则，即．
（1）根据上述规定，填空：＝ ；（ ，16）＝4；
（2）计算＝ ，并说明理由；
（3）利用“雅对”定义说明：，对于任意非0整数n都成立．
21．比较两个数大小的方法有很多种， 比如：
（1）可以把它们的底数变成相同的数．
例如， 比较 与 的大小：
（2）也可以把它们的指数变成相同的数．
例如， 比较 与 的大小：
利用以上方法比较大小：
（3） 与 ．
（4） 与 ．
22．（2023七下·仪征期中）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．
东东的作业
计算：；
解：原式
（1）计算：
①；
②；
（2）若，请求出的值．
23．阅读材料：
求的值.
解：设，①将等式两边同时乘2，得
，②，②，得，
即，则.
请你仿照此法计算：
（1）.
（2）(其中为正整数).
24．（2024七下·滕州期中）阅读下列材料：
一般地，n个相同的因数a相乘，记为an． 如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即=3）．
一般地，若（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为（即=n）． 如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即=4）．
（1）计算以下各对数的值：=_________，=_________，=_________．
（2）写出（1）、、之间满足的关系式_________________________；
（3）由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：
=_________ ．（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、因为不是同类项，无法计算，故A不正确；
B、因为，所以B不正确；
C、， 所以C不正确；
D、所以D正确。
故答案为：D．
【分析】分别根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方的运算法则，分别进行运算，即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，当原数的绝对值时，是负整数，由此即可作答．
3．【答案】；；；
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；单项式乘多项式；单项式除以单项式；多项式除以单项式
【解析】【解答】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】（1）根据同底数幂相乘法则计算即可得出答案；
（2）根据同底数幂相除法则计算即可得出答案；
（3）根据多项式除以单项式的法则，进行计算即可得出答案；
（4）根据多项式乘以单项式法则计算即可得出答案.
4．【答案】解：原式=1+（-8）+2
=1+2-8
=-5；
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】首先根据零指数，负整数指数，绝对值的性质进行化简，然后再进行有理数加法运算即可。
5．【答案】（1）40
（2）8
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
6．【答案】（1）解：；
（2）解：当，，时，
；
（3）解：，∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
解得：．
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）根据新定义的计算法则解题即可；
（2）根据新定义的计算法则得到，然后整体代入计算解题；
（3）根据新定义的运算法则，列方程求出t值即可．
7．【答案】（1）解：∵，，∴，
∵，
，
．
（2）解：
．
【知识点】同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【分析】（1）根据同底数幂的除法逆运算法则，先利用逆向运算同底数幂除法运算法则，得到，进行计算，即可得到答案；
（2）根据逆用积的乘方运算法则，进行化简计算，即可得到答案．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
，
．
（2）解：
．
8．【答案】A
【知识点】分式的值；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：∵5a 3b=2025=452=52×34，
∴a=2，b=4，
∴．
故选：A．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方得到5a 3b=2025=52×34，确定a、b的值，代入分式中计算即可．灵活运用幂的乘方与积的乘方是解决问题的关键．
9．【答案】B
【知识点】幂的大小比较；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，
，
，
，
又∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】观察各个指数都是11的倍数，根据幂的乘方运算法则的逆用把a、b、c、d化为指数相同（指数都为11）的幂的形式，比较底数越小，其幂越小即可得出答案.
10．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
正确；
正确；
③由②可知 正确；
封
或 错误.
正确的①②③.
故答案为：A.
【分析】根据分式的加减运算、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方运算法则逐项分析判断即可.
11．【答案】10
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：10.
【分析】观察题目要求：让我们计算 多少，先看题中所给条件：已知 ， 我们发现 由此根据同底数幂的乘法运算法则可计算出10.
12．【答案】15
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：
故答案为：15.
【分析】根据新运算的定义及同底数幂的乘法运算法则计算即可.
13．【答案】2
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：由题意得：
=2-3÷（-2）-4 = 18÷116 =2
故答案为：2.
【分析】根据定义的运算规则，分别计算h和d的值，再进行除法运算.
14．【答案】①②③.
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，，，
将改写为，因此。
将改写为，因此。
①，
，则①正确；
②，
，
等式成立，故②正确；
③左边
，
与右边相等，故③正确；
综上所述，正确的有①②③，
故答案为：①②③.
【分析】根据同底数幂的乘法法则得到；，进而逐个代入计算验证即可.
15．【答案】（1）解：∵，
∴
（2）解：∵，
∴
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算；幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【分析】（1）把都改为底数为3的乘方，再利用同底数幂的乘法计算，由整体代入即可．
（2）先根据幂的乘方的法则分别求出和的值，然后根据同底数幂的乘除法法则求解．
（1）解：∵，
∴
（2）解：∵，
∴
16．【答案】（1）解：，，∵，
∴，
即；
（2）解：∵，，，又∵，，，
∴，
∴．
【知识点】幂的乘方运算；幂的大小比较；幂的乘方的逆运算
【解析】【分析】（1）根据幂的运算法则，转化为同底数幂，同底数幂相乘，原来的底数作底数，指数的和作指数，再比较指数，即可得到答案；
（2）根据幂的运算法则，转化为同指数，比较底数，即可得到答案．
（1）解：，，
∵，
∴，
即；
（2）解：∵，，，
又∵，，，
∴，
∴．
17．【答案】（1）解：∵
∴
（2）解：，∵，
∴原式；
（3）解：
．
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算；同底数幂乘法的逆用；积的乘方运算的逆用
【解析】【分析】（1）根据题意，利用逆用幂的乘方公式，将幂变为指数相同的幂，然后比较大小，即可得到答案；
（2）根据题意，利用逆用同底数幂和幂的乘方运算法则，化简得到进，将， 代入代数式，进行计算，即可求解；
（3）根据题意，利用逆用积的乘方运算法则，先计算乘方，结合乘法的结合律，进行计算，即可求解．
（1）解：∵
∴
（2）解：，
∵，
∴原式；
（3）解：
．
18．【答案】32
【知识点】幂的乘方运算；求代数式的值-整体代入求值；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：∵=4，
∴3x·32y=4
∴3x+2y=4
∴=2×(9x·81y)
=2×[(32)x·(34)y]
=2×(32x·34y)
=2×32x+4y
=2×32(x+2y)
=2×[3(x+2y)]2
=2×42
=2×16
=32
故答案为：32.
【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答.
19．【答案】（1）2；0；
（2）解：①
②设（2024，3）=x，（2024，5）=y，
则，
所以，
，
即：
【知识点】定义新运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：（1）∵42=16，
∴（4，16）=2；
∵80=1，
∴（8，1）=0；
∵（±3）-2=，
∴（3，）=-2，（-3，）=-2，
故答案为：2，0，±3.
【分析】（1）根据定义的新运算： 如果，那么，利用有理数的乘方法则极限竞速，可求出结果.
（2）①根据定义的新运算，将括号内的数字化为指数幂的形式，进而再化简，最后根据减法的运算规则计算即可；
②根据新定义设未知数，可得相应幂指数的值；根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得x+y的值即.
20．【答案】（1）3；±2
（2）
（3）解：设，，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
即，对于任意自然数n都成立．
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：（1）
∴
∵
∴
故答案为：3，±2；
（2）设
∴
∴
∵
∴
故答案为：；
【分析】（1）根据雅对的定义即可求解；
（2）设利用雅对的定义得到：进而即可求解；
（3）设，，利用雅对的定义得到：，，然后根据幂的乘方得到：，即可得到进而即可求证.
21．【答案】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：∵；
∵125<243<256，
∴；
∴.
【知识点】幂的乘方运算；幂的大小比较；幂的乘方的逆运算
【解析】【分析】（1）把它们的底数变成相同的数得到，通过比较指数的大小，进而即可得到答案；
（2）把它们的指数变成相同的数得到，通过比较底数的大小，进而即可得到答案；
（3）把它们的底数变成相同的数得到，通过比较指数的大小，进而即可得到答案；
（4）把它们的指数变成相同的数得到，通过比较底数的大小，进而即可得到答案.
22．【答案】（1）解：①
；
②
．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】同底数幂的乘法；有理数混合运算法则（含乘方）；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）①利用幂相同的两个数相乘，指数不变，把底数相乘，然后进行计算；②利用阅读材料将原式转化为，然后进行计算.
（2）将等式的右边转化为底数为3的幂，再根据底数不变，指数相加，可得到，据此可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
23．【答案】（1）解：设S1=① ，等式两边同时乘以2，可得：
2S1=②；
②-①，可得2S1-S1=-1；
即S1=-1；
∴；
（2）解：设S2=③，等式两边同时乘以3，可得：
3S2=④；
④-③，可得3S2-S2=2S2=；
∴S2=；
∴.
【知识点】同底数幂的乘法；探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据阅读材料提供的方法，设S1=，等式两边同时乘以2，得出新等式，再将两个等式相减即可得出答案；
（2）根据阅读材料提供的方法，设S2=，等式两边同时乘以3，得出新等式，再将两个等式相减后两边同时除以2即可得出答案.
24．【答案】（1）2；4；6
（2）
（3）
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】（1）根据对数的定义， 若），则n叫做以a为底b的对数，得到=n，进行计算求解，即可得到答案；
（2）由（1）中各个式子的值，找到规律：4×16＝64，进而得到，即可求解；
（3）由（2）中的计算规律，结合特殊到一般，得出结论：，即可求解．
（1）解：（1）∵22=4，24=16，26=64
∴，
故答案为：2，4，6；
（2）∵4×16＝64，＝2，＝4，＝6，
∴，
故答案为：；
（3）由（2）的结果可得，
故答案为：．
1 / 1沪科版数学七年级下册8.1幂的运算分层练习
一、基础夯实
1．（2025七下·深圳期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、因为不是同类项，无法计算，故A不正确；
B、因为，所以B不正确；
C、， 所以C不正确；
D、所以D正确。
故答案为：D．
【分析】分别根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方的运算法则，分别进行运算，即可得出答案。
2．（2025七下·成都期中）月季是天津市的市花，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ）
A． B．；
C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，当原数的绝对值时，是负整数，由此即可作答．
3． 填空：
( )÷(mn)=3m2；
（2）( )
( ) ·2x=-3x2+2x-7x3；
(4)（ ）
【答案】；；；
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；单项式乘多项式；单项式除以单项式；多项式除以单项式
【解析】【解答】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】（1）根据同底数幂相乘法则计算即可得出答案；
（2）根据同底数幂相除法则计算即可得出答案；
（3）根据多项式除以单项式的法则，进行计算即可得出答案；
（4）根据多项式乘以单项式法则计算即可得出答案.
4．（2025七下·榕城期末） 计算：
【答案】解：原式=1+（-8）+2
=1+2-8
=-5；
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】首先根据零指数，负整数指数，绝对值的性质进行化简，然后再进行有理数加法运算即可。
5．（2024七下·苏州月考）根据已知条件求值．
（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）40
（2）8
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
6．（2024七下·滨海月考）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题：
（1）求的值；
（2）若，，，求的值；
（3）若运算的结果为810，则t的值是多少？
【答案】（1）解：；
（2）解：当，，时，
；
（3）解：，∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
解得：．
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）根据新定义的计算法则解题即可；
（2）根据新定义的计算法则得到，然后整体代入计算解题；
（3）根据新定义的运算法则，列方程求出t值即可．
7．（2025七下·南海月考）在数学中．我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题．
（1）已知，若，，请你也利用逆向思考的方法求的值；
（2）下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题．请你参考小贤的方法解答问题：
小贤的作业 计算：． 解：．
计算：．
【答案】（1）解：∵，，∴，
∵，
，
．
（2）解：
．
【知识点】同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【分析】（1）根据同底数幂的除法逆运算法则，先利用逆向运算同底数幂除法运算法则，得到，进行计算，即可得到答案；
（2）根据逆用积的乘方运算法则，进行化简计算，即可得到答案．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
，
．
（2）解：
．
二、能力提高
8．（2025七下·钱塘期末） 若，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的值；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：∵5a 3b=2025=452=52×34，
∴a=2，b=4，
∴．
故选：A．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方得到5a 3b=2025=52×34，确定a、b的值，代入分式中计算即可．灵活运用幂的乘方与积的乘方是解决问题的关键．
9．（2022七下·茶陵期中）已知，，，，则这四个数从小到大排列顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】幂的大小比较；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，
，
，
，
又∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】观察各个指数都是11的倍数，根据幂的乘方运算法则的逆用把a、b、c、d化为指数相同（指数都为11）的幂的形式，比较底数越小，其幂越小即可得出答案.
10．（2025七下·上城期末） 已知，，，下列计算结果正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
正确；
正确；
③由②可知 正确；
封
或 错误.
正确的①②③.
故答案为：A.
【分析】根据分式的加减运算、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方运算法则逐项分析判断即可.
11．（2023七下·江北期末）已知，，则 ．
【答案】10
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：10.
【分析】观察题目要求：让我们计算 多少，先看题中所给条件：已知 ， 我们发现 由此根据同底数幂的乘法运算法则可计算出10.
12．（2025七下·莲都期末） 规定：若实数满足（且），则记作．例如：，则．若，且，则的值是 ．
【答案】15
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：
故答案为：15.
【分析】根据新运算的定义及同底数幂的乘法运算法则计算即可.
13．（2025七下·浙江期中）对实数a，b定义运算＂＂如下：，计算 .
【答案】2
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：由题意得：
=2-3÷（-2）-4 = 18÷116 =2
故答案为：2.
【分析】根据定义的运算规则，分别计算h和d的值，再进行除法运算.
14．（2025七下·慈溪期中） 我们知道下面的结论：若 且），则。利用这个结论解决下列问题：设 ，，。现给出 m，n，p 三者之间的三个关系式：
①，②，③。其中正确的是 .（填编号）
【答案】①②③.
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，，，
将改写为，因此。
将改写为，因此。
①，
，则①正确；
②，
，
等式成立，故②正确；
③左边
，
与右边相等，故③正确；
综上所述，正确的有①②③，
故答案为：①②③.
【分析】根据同底数幂的乘法法则得到；，进而逐个代入计算验证即可.
15．（2025七下·三水期中）按要求计算下面各题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴
（2）解：∵，
∴
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算；幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【分析】（1）把都改为底数为3的乘方，再利用同底数幂的乘法计算，由整体代入即可．
（2）先根据幂的乘方的法则分别求出和的值，然后根据同底数幂的乘除法法则求解．
（1）解：∵，
∴
（2）解：∵，
∴
16．（2025七下·高州月考）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与，解：，∵，∴
（1）比较，的大小．
（2）比较，，的大小．
【答案】（1）解：，，∵，
∴，
即；
（2）解：∵，，，又∵，，，
∴，
∴．
【知识点】幂的乘方运算；幂的大小比较；幂的乘方的逆运算
【解析】【分析】（1）根据幂的运算法则，转化为同底数幂，同底数幂相乘，原来的底数作底数，指数的和作指数，再比较指数，即可得到答案；
（2）根据幂的运算法则，转化为同指数，比较底数，即可得到答案．
（1）解：，，
∵，
∴，
即；
（2）解：∵，，，
又∵，，，
∴，
∴．
17．（2024七下·潍城期中）我们知道，一般的数学公式，法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：；
；；其中m，n为正整数．结合以上材料解决下列问题．
（1）已知，请把a，b，c用“”连接起来；
（2）若，求的值；
（3）化简：．
【答案】（1）解：∵
∴
（2）解：，∵，
∴原式；
（3）解：
．
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算；同底数幂乘法的逆用；积的乘方运算的逆用
【解析】【分析】（1）根据题意，利用逆用幂的乘方公式，将幂变为指数相同的幂，然后比较大小，即可得到答案；
（2）根据题意，利用逆用同底数幂和幂的乘方运算法则，化简得到进，将， 代入代数式，进行计算，即可求解；
（3）根据题意，利用逆用积的乘方运算法则，先计算乘方，结合乘法的结合律，进行计算，即可求解．
（1）解：∵
∴
（2）解：，
∵，
∴原式；
（3）解：
．
三、创新拓展
18．（2025七下·竞赛）我们定义：三角形=ab·ac，五角星=z·(xm·yn)；若=4，则= .
【答案】32
【知识点】幂的乘方运算；求代数式的值-整体代入求值；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：∵=4，
∴3x·32y=4
∴3x+2y=4
∴=2×(9x·81y)
=2×[(32)x·(34)y]
=2×(32x·34y)
=2×32x+4y
=2×32(x+2y)
=2×[3(x+2y)]2
=2×42
=2×16
=32
故答案为：32.
【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答.
19．（2024七下·南海月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．
例如：因为，所以．
（1）根据上述规定，填空： ， ，（ ，）=-2．
（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：，小明给出了如下的证明：
设，则，即
所以，即，
所以．
试解决下列问题：
①计算
②请尝试运用这种方法证明．
【答案】（1）2；0；
（2）解：①
②设（2024，3）=x，（2024，5）=y，
则，
所以，
，
即：
【知识点】定义新运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：（1）∵42=16，
∴（4，16）=2；
∵80=1，
∴（8，1）=0；
∵（±3）-2=，
∴（3，）=-2，（-3，）=-2，
故答案为：2，0，±3.
【分析】（1）根据定义的新运算： 如果，那么，利用有理数的乘方法则极限竞速，可求出结果.
（2）①根据定义的新运算，将括号内的数字化为指数幂的形式，进而再化简，最后根据减法的运算规则计算即可；
②根据新定义设未知数，可得相应幂指数的值；根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得x+y的值即.
20．（2024七下·揭西月考） 规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：
设，，则，，故，则，即．
（1）根据上述规定，填空：＝ ；（ ，16）＝4；
（2）计算＝ ，并说明理由；
（3）利用“雅对”定义说明：，对于任意非0整数n都成立．
【答案】（1）3；±2
（2）
（3）解：设，，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
即，对于任意自然数n都成立．
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：（1）
∴
∵
∴
故答案为：3，±2；
（2）设
∴
∴
∵
∴
故答案为：；
【分析】（1）根据雅对的定义即可求解；
（2）设利用雅对的定义得到：进而即可求解；
（3）设，，利用雅对的定义得到：，，然后根据幂的乘方得到：，即可得到进而即可求证.
21．比较两个数大小的方法有很多种， 比如：
（1）可以把它们的底数变成相同的数．
例如， 比较 与 的大小：
（2）也可以把它们的指数变成相同的数．
例如， 比较 与 的大小：
利用以上方法比较大小：
（3） 与 ．
（4） 与 ．
【答案】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：∵；
∵125<243<256，
∴；
∴.
【知识点】幂的乘方运算；幂的大小比较；幂的乘方的逆运算
【解析】【分析】（1）把它们的底数变成相同的数得到，通过比较指数的大小，进而即可得到答案；
（2）把它们的指数变成相同的数得到，通过比较底数的大小，进而即可得到答案；
（3）把它们的底数变成相同的数得到，通过比较指数的大小，进而即可得到答案；
（4）把它们的指数变成相同的数得到，通过比较底数的大小，进而即可得到答案.
22．（2023七下·仪征期中）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．
东东的作业
计算：；
解：原式
（1）计算：
①；
②；
（2）若，请求出的值．
【答案】（1）解：①
；
②
．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】同底数幂的乘法；有理数混合运算法则（含乘方）；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）①利用幂相同的两个数相乘，指数不变，把底数相乘，然后进行计算；②利用阅读材料将原式转化为，然后进行计算.
（2）将等式的右边转化为底数为3的幂，再根据底数不变，指数相加，可得到，据此可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
23．阅读材料：
求的值.
解：设，①将等式两边同时乘2，得
，②，②，得，
即，则.
请你仿照此法计算：
（1）.
（2）(其中为正整数).
【答案】（1）解：设S1=① ，等式两边同时乘以2，可得：
2S1=②；
②-①，可得2S1-S1=-1；
即S1=-1；
∴；
（2）解：设S2=③，等式两边同时乘以3，可得：
3S2=④；
④-③，可得3S2-S2=2S2=；
∴S2=；
∴.
【知识点】同底数幂的乘法；探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据阅读材料提供的方法，设S1=，等式两边同时乘以2，得出新等式，再将两个等式相减即可得出答案；
（2）根据阅读材料提供的方法，设S2=，等式两边同时乘以3，得出新等式，再将两个等式相减后两边同时除以2即可得出答案.
24．（2024七下·滕州期中）阅读下列材料：
一般地，n个相同的因数a相乘，记为an． 如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即=3）．
一般地，若（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为（即=n）． 如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即=4）．
（1）计算以下各对数的值：=_________，=_________，=_________．
（2）写出（1）、、之间满足的关系式_________________________；
（3）由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：
=_________ ．（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
【答案】（1）2；4；6
（2）
（3）
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】（1）根据对数的定义， 若），则n叫做以a为底b的对数，得到=n，进行计算求解，即可得到答案；
（2）由（1）中各个式子的值，找到规律：4×16＝64，进而得到，即可求解；
（3）由（2）中的计算规律，结合特殊到一般，得出结论：，即可求解．
（1）解：（1）∵22=4，24=16，26=64
∴，
故答案为：2，4，6；
（2）∵4×16＝64，＝2，＝4，＝6，
∴，
故答案为：；
（3）由（2）的结果可得，
故答案为：．
1 / 1
