沪科版数学七年级下册8.2整式乘法分层练习
一、基础夯实
1．（2023七下·大埔期中）如与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025七下·莲都期末） 若展开后不含的项，则m的值是（ ）
A． B．1 C．3 D．
3．（2024七下·裕华期中）观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则的值可能分别是（ ）
A．， B．，7 C．2， D．2，7
4．（2025七下·宁海期中） 已知 的展开式中不含 x 的一次项，则m的值为（ ）
A． B． C．2 D．-2
5．（2025七下·杭州期中）已知的乘积项中不含的一次项，则与的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．乘积为-1
6．（2024七下·成都期中）若多项式与多项式的乘积的展开式中不含项与x项，则 ．
7．（2025七下·深圳期中）一个儿童游乐区的平面图如图所示（单位：），现在需要把滑梯区和休闲区都铺上软垫，那么至少需要 的软垫（用含有、的式子表示）．
8．（2025七下·揭西期末）先化简，再求值：，其中
9．（2024七下·灞桥月考）如图，某居民小区为响应党的号召，开展全民健身活动，准备修建一块长为米，宽为米的长方形健身广场，广场内有一个边长为米的正方形活动场所，其余地方为绿化带．
（1）用含，的代数式表示绿化带的总面积．（结果写成最简形式）．
（2）若，，求出绿化带的总面积．
10．（2025七下·高州期中）若的计算结果中不含与x项．
（1）求m，n的值；
（2）求代数式的值．
11．（2024七下·济南期中）如图，学校操场主席台前计划修建一块凹字形花坛．（单位：米）
（1）用含，的整式表示花坛的面积；
（2）若，，工程费为500元/平方米，求建花坛的总工程费为多少元？
二、能力提高
12．（2024七下·邗江期末）如图，边长为a、b的长方形，它的周长为12，面积为7，则的值为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．20
13．（2025七下·杭州期中）若关于x，y的多项式的结果中不含项，则的值为（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．5
14．（2025七下·柯桥月考）如图，已知EF、GH把长方形ABCD分割成四个小长方形，若已知三角形ECG和三角形AHF的面积，则一定能求出（ ）
A．长方形AEMG与长方形MHCF的面积之和
B．长方形AEMG与长方形MHCF的面积之差
C．长方形EBHM与长方形GMF
D．长方形EBHM与长方形GMFD的面积之差
15．（2025七下·台州期中）如图①，现有边长为和的正方形纸片各一张，长和宽分别为、的长方形纸片一张，其中．把纸片I、III按图②所示的方式放入纸片II内，已知图②中阴影部分的面积满足，则，满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
16．（2025七下·台州期中）设，则M与N的大小关系为 ．
17．（2025七下·嘉兴月考）如图，在长方形中，点分别在，上，已知，若长方形的面积为，图中阴影部分的面积为 ．（用含的代数式表示）
18．（2024七下·印江期中）A同学准确计算出下列各式：
①；
②；
③；
请通过观察．猜想．计算判断以下结论：
①；
②（其中n为正整数，且）；
③；
④；
其中正确的有 （填序号）
19．（2023七下·宝安期中）如图所示，有一块长宽为米和米的长方形土地，现准备在这块土地上修建一个长为米，宽为米的游泳池，剩余部分修建成休息区域．
（1）请用含a和b的代数式表示休息区域的面积；（结果要化简）
（2）若，求休息区域的面积.
20．（2025七下·高州期中）已知，B是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，试求
（1）的值；
（2）的值．
21．如图，将两张边长分别为 a 和b(a>b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置在长方形内(图1，图2 中两张正方形纸片均有部分重叠)，未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边 AB，AD的长度分别为m，n。设图1中阴影部分面积为 S1，图2 中阴影部分面积为 S2。
（1）若a=4，b=3，m=8，n=6，求 S1 的值。
（2）从①a=4，②b=3，③m+n=12，④m-n=3中，选择其中2个条件，求 的值。
22．（2025七下·青羊月考）某校同学在社会实践的过程中，遇到一些各具特色的建筑，有在加拿大魁北克城举行的第32届世界遗产大会上正式被列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有新中式风格的传统民宿，同学们对于哪个建筑的占地面积更大展开了争论．
①组的同学们认为回字形福建土楼占地面积更大；
②组的同学们认为新中式民宿占地面积更大；
为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据的测量，数据如图所示．
（1）请你选择一组同学，帮助他们计算建筑物的占地面积为多少？
（2）村口王大叔告诉同学们，两栋建筑的占地面积均为，求a的值为多少？
三、创新拓展
23．（2025七下·义乌期中）如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．如第5行的5个数是1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中的各项系数．利用上述规律计算关于x的多项式中x6项的系数为（ ）
A．80 B．60 C．40 D．20
24．（2024七下·四川月考）如图，将两张边长分别为和的正方形纸片分别按图和图两种方式放置在长方形内（图和图中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边，的长度分别为，；设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为，当时，的值为 ．
25．（2025七下·冷水滩期中）好学的小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为：，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：，即一次项为．
请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．
（1）计算所得多项式的一次项系数为______．
（2）若计算所得多项式不含一次项，求的值；
（3）若，则______．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式，
由结果不含的一次项，得到，
解得：，
故选：B．
【分析】
由平方差公式知，的结果不含x的一次项，即．
2．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵多项式 不含 项，
解得
故答案为： D.
【分析】先把多项式展开后合并，然后令 项系数等于0，再解方程即可.
3．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由题意得，，，
，，
，或，，
a，b的值可能分别是，．
故选：A．
【分析】观察多项式的乘法得出规律“两个多项式相乘，两个多项式的一次项相乘得出运算结果的二次项，两个多项式的常数项相加得出运算结果的一次项的系数，两个多项式的常数项相乘得到运算结果的常数项”，然后解答即可．
4．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解： .
由于展开式中不含x的一次项，所以有2m-4=0.
解得m=2.
故答案为：C.
【分析】根据多项式与多项式的乘法法则先将原式展开，根据题目条件“不含x的一次项”，即含x项的系数必然为0，即可得到关于m的方程，求解即可.
5．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，而已知的乘积项中不含的一次项，
∴p+q=0.
∴a与q的关系是互为相反数.
故答案为：B.
【分析】先展开（x+p）（x+q）合并同类项，可知一次项系数为p+q，而已知的乘积项中不含的一次项，所以可知p+q=0.进而可以得到a与q的关系.
6．【答案】5
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-直接代入求值
7．【答案】
【知识点】单项式乘多项式
8．【答案】解：原式=
=(3xy-3y2)÷（3y)
=x-y
当x=1，y=时，x-y=1-(-)=
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【分析】先对括号内的算式利用多项式乘法计算和完全平方公式进行计算化简后再运用除法计算即可。
9．【答案】（1）解：根据题意，广场上绿化带的总面积是
．
答：广场上绿化带的总面积是平方米．
（2）解：把代入，得
（平方米）
答：广场上绿化带的总面积是600平方米．
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】1.面积关系：利用 “整体 - 部分” 思想，绿化带面积 = 广场面积 - 活动场所面积.
2.整式运算：通过多项式乘法展开、合并同类项化简代数式.
3.代数式求值：代入具体数值，按运算顺序计算结果.
10．【答案】（1），；
（2）1
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算
11．【答案】（1）解：由图可知：
花坛面积
平方米．
答：花坛的面积为平方米．
（2）解：当，时：
（平方米），
∴建花坛的总工程费为（元），
答：建花坛的总工程费为57500元．
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算；有理数混合运算的实际应用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】（1）根据长方形与正方形的面积公式，利用割补法，结合花坛面积等于一个大长方形的面积减去一个小长方形的面积，列式计算，即可得到答案；
（2）将，代入（1）中的代数式，求得花坛的面积，进而求得工程费，即可得到答案．
12．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
13．【答案】D
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：x·(x2-mx+3)+x2·(4mx2+3x+5)
=x3-mx2+3x+4mx4+3x3+5x2
=4x3-mx2+3x-4mx4+5x2
=4x3+(5-m)x2+3x-4mx4
∵结果中不含x2项，
∴-(5-m)=0，
∴m=5，
故答案为：D.
【分析】先根据单项式乘多项式的运算法则计算，然后根据结果中不含x2项，即可求出m的值.
14．【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法；等积变换
【解析】【解答】解：将左边图形连接CM、BM、DM。分割出由三角形组合的图形。
S△EMC =S△EMB，S△GMC = S△GMD，
S△EGC =S长方形AEMG 十S长方形GMFD+S长方形EBHM
将右图连接AM、BM、DM，分割出由三角形组合的图形。
S△AHM=S△BHM，S△AFM = S△DFM，
S△AHF =S长方形MHCF+S长方形EMHB+S长方形DFMG，
根据两个式子相减，可得
S△EGC-S△AHFS=S长方形AEMG-S长方形MHCF，含有公共的分式，提取公因式后可得
S△EGC-S△AHF=(S长方形AEMG-S长方形MHCF)，
根据题意已知S△EGC和S△AHF可得长方形AEMG和长方形MHCF的面积之差是三角形ECG和三角形AHF面积之差的2倍。
故答案为：B .
【分析】本题主要考查矩形的面积、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的变形等知识。
首先将三角形的面积分别表示出来，然后作差之后得到公式S△EGC-S△AHFS=S长方形AEMG-S长方形MHCF，此时提起公因数之后，即可得出答案。
15．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意可得：S1=(a+b) 2-b2-a2=2ab，S2=(b-a)a=ab-a2，
∵，
∴2ab=8(ab-a2)，
∴2ab=8ab-8a2
∴b=4b-4a
∴4a=3b，
故答案为：A．
【分析】用含a，b的代数式表示出S1，S2，代入已知的等式S1=8S2整理即可求解．
16．【答案】
【知识点】多项式乘多项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴
，
∴，
故答案为：．
【分析】用作差法并结合多项式乘多项式法则“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加”和合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”计算求出的值即可判断求解．
17．【答案】
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算
【解析】【解答】解：设，
∵，，
∴，，
∴，，
，
∴，
由图可得：
，
；
故答案为：．
【分析】本题考查多项式乘以多项式与长方形、三角形的面积，设，表示出AD、AB得长，进而求出的长，求出长方形ABCD的面积和4个直角三角形的面积和即可．
18．【答案】①②④
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：通过观察，总结规律得
（其中n为正整数，且），
故②正确；
∴，故①正确；
，故③错误，④正确；
故答案为：①②④．
【分析】观察前三个式子的特点，总结出规律，然后再逐一判断即可.
19．【答案】（1）解：由题意可得：
休息区域的面积是：，
即休息区域的面积是：平方米；
（2）解：当，时，
（平方米），
即若，，则休息区域的面积是平方米。
【知识点】多项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】
（1）结合图形，根据长方形的面积计算公式，可得出休息区域的面积=；
（2）根据（1）计算的结果，将，代入式子进行计算，即可得出答案。
（1）解：由题意可得，
休息区域的面积是：，
即休息区域的面积是：平方米；
（2）解：当，时，
（平方米），
即若，，则休息区域的面积是平方米；
20．【答案】（1）
（2）
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式；多项式除以单项式
21．【答案】（1）解：如图1，
当a=4，b=3，m=8，n=6时，
（2）解：选择②b=3，④m-n=3，
如图2，
(答案不唯一)。
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】(1)根据图形可求出， 再把a、b、n、m的值代入计算即可；
(2)根据平移的知识和面积的定义，可得 b，列出算式 即可.
22．【答案】（1）回字形福建土楼占地面积为，新中式民宿占地面积为
（2）6
【知识点】多项式乘多项式；算术平方根的实际应用
23．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律；探索规律-系数规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】根据“杨辉三角”的规律得：
，
，
，，
项的系数为：．
故答案为：B．
【分析】根据“杨辉三角”的规律得，再由多项式乘多项式法则求出项的系数即可求解．
24．【答案】
【知识点】多项式乘多项式
25．【答案】（1）-11；（2）；（3）2021．
【知识点】多项式乘多项式
1 / 1沪科版数学七年级下册8.2整式乘法分层练习
一、基础夯实
1．（2023七下·大埔期中）如与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式，
由结果不含的一次项，得到，
解得：，
故选：B．
【分析】
由平方差公式知，的结果不含x的一次项，即．
2．（2025七下·莲都期末） 若展开后不含的项，则m的值是（ ）
A． B．1 C．3 D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵多项式 不含 项，
解得
故答案为： D.
【分析】先把多项式展开后合并，然后令 项系数等于0，再解方程即可.
3．（2024七下·裕华期中）观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则的值可能分别是（ ）
A．， B．，7 C．2， D．2，7
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由题意得，，，
，，
，或，，
a，b的值可能分别是，．
故选：A．
【分析】观察多项式的乘法得出规律“两个多项式相乘，两个多项式的一次项相乘得出运算结果的二次项，两个多项式的常数项相加得出运算结果的一次项的系数，两个多项式的常数项相乘得到运算结果的常数项”，然后解答即可．
4．（2025七下·宁海期中） 已知 的展开式中不含 x 的一次项，则m的值为（ ）
A． B． C．2 D．-2
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解： .
由于展开式中不含x的一次项，所以有2m-4=0.
解得m=2.
故答案为：C.
【分析】根据多项式与多项式的乘法法则先将原式展开，根据题目条件“不含x的一次项”，即含x项的系数必然为0，即可得到关于m的方程，求解即可.
5．（2025七下·杭州期中）已知的乘积项中不含的一次项，则与的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．乘积为-1
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，而已知的乘积项中不含的一次项，
∴p+q=0.
∴a与q的关系是互为相反数.
故答案为：B.
【分析】先展开（x+p）（x+q）合并同类项，可知一次项系数为p+q，而已知的乘积项中不含的一次项，所以可知p+q=0.进而可以得到a与q的关系.
6．（2024七下·成都期中）若多项式与多项式的乘积的展开式中不含项与x项，则 ．
【答案】5
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-直接代入求值
7．（2025七下·深圳期中）一个儿童游乐区的平面图如图所示（单位：），现在需要把滑梯区和休闲区都铺上软垫，那么至少需要 的软垫（用含有、的式子表示）．
【答案】
【知识点】单项式乘多项式
8．（2025七下·揭西期末）先化简，再求值：，其中
【答案】解：原式=
=(3xy-3y2)÷（3y)
=x-y
当x=1，y=时，x-y=1-(-)=
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【分析】先对括号内的算式利用多项式乘法计算和完全平方公式进行计算化简后再运用除法计算即可。
9．（2024七下·灞桥月考）如图，某居民小区为响应党的号召，开展全民健身活动，准备修建一块长为米，宽为米的长方形健身广场，广场内有一个边长为米的正方形活动场所，其余地方为绿化带．
（1）用含，的代数式表示绿化带的总面积．（结果写成最简形式）．
（2）若，，求出绿化带的总面积．
【答案】（1）解：根据题意，广场上绿化带的总面积是
．
答：广场上绿化带的总面积是平方米．
（2）解：把代入，得
（平方米）
答：广场上绿化带的总面积是600平方米．
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】1.面积关系：利用 “整体 - 部分” 思想，绿化带面积 = 广场面积 - 活动场所面积.
2.整式运算：通过多项式乘法展开、合并同类项化简代数式.
3.代数式求值：代入具体数值，按运算顺序计算结果.
10．（2025七下·高州期中）若的计算结果中不含与x项．
（1）求m，n的值；
（2）求代数式的值．
【答案】（1），；
（2）1
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算
11．（2024七下·济南期中）如图，学校操场主席台前计划修建一块凹字形花坛．（单位：米）
（1）用含，的整式表示花坛的面积；
（2）若，，工程费为500元/平方米，求建花坛的总工程费为多少元？
【答案】（1）解：由图可知：
花坛面积
平方米．
答：花坛的面积为平方米．
（2）解：当，时：
（平方米），
∴建花坛的总工程费为（元），
答：建花坛的总工程费为57500元．
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算；有理数混合运算的实际应用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】（1）根据长方形与正方形的面积公式，利用割补法，结合花坛面积等于一个大长方形的面积减去一个小长方形的面积，列式计算，即可得到答案；
（2）将，代入（1）中的代数式，求得花坛的面积，进而求得工程费，即可得到答案．
二、能力提高
12．（2024七下·邗江期末）如图，边长为a、b的长方形，它的周长为12，面积为7，则的值为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．20
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
13．（2025七下·杭州期中）若关于x，y的多项式的结果中不含项，则的值为（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．5
【答案】D
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：x·(x2-mx+3)+x2·(4mx2+3x+5)
=x3-mx2+3x+4mx4+3x3+5x2
=4x3-mx2+3x-4mx4+5x2
=4x3+(5-m)x2+3x-4mx4
∵结果中不含x2项，
∴-(5-m)=0，
∴m=5，
故答案为：D.
【分析】先根据单项式乘多项式的运算法则计算，然后根据结果中不含x2项，即可求出m的值.
14．（2025七下·柯桥月考）如图，已知EF、GH把长方形ABCD分割成四个小长方形，若已知三角形ECG和三角形AHF的面积，则一定能求出（ ）
A．长方形AEMG与长方形MHCF的面积之和
B．长方形AEMG与长方形MHCF的面积之差
C．长方形EBHM与长方形GMF
D．长方形EBHM与长方形GMFD的面积之差
【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法；等积变换
【解析】【解答】解：将左边图形连接CM、BM、DM。分割出由三角形组合的图形。
S△EMC =S△EMB，S△GMC = S△GMD，
S△EGC =S长方形AEMG 十S长方形GMFD+S长方形EBHM
将右图连接AM、BM、DM，分割出由三角形组合的图形。
S△AHM=S△BHM，S△AFM = S△DFM，
S△AHF =S长方形MHCF+S长方形EMHB+S长方形DFMG，
根据两个式子相减，可得
S△EGC-S△AHFS=S长方形AEMG-S长方形MHCF，含有公共的分式，提取公因式后可得
S△EGC-S△AHF=(S长方形AEMG-S长方形MHCF)，
根据题意已知S△EGC和S△AHF可得长方形AEMG和长方形MHCF的面积之差是三角形ECG和三角形AHF面积之差的2倍。
故答案为：B .
【分析】本题主要考查矩形的面积、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的变形等知识。
首先将三角形的面积分别表示出来，然后作差之后得到公式S△EGC-S△AHFS=S长方形AEMG-S长方形MHCF，此时提起公因数之后，即可得出答案。
15．（2025七下·台州期中）如图①，现有边长为和的正方形纸片各一张，长和宽分别为、的长方形纸片一张，其中．把纸片I、III按图②所示的方式放入纸片II内，已知图②中阴影部分的面积满足，则，满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意可得：S1=(a+b) 2-b2-a2=2ab，S2=(b-a)a=ab-a2，
∵，
∴2ab=8(ab-a2)，
∴2ab=8ab-8a2
∴b=4b-4a
∴4a=3b，
故答案为：A．
【分析】用含a，b的代数式表示出S1，S2，代入已知的等式S1=8S2整理即可求解．
16．（2025七下·台州期中）设，则M与N的大小关系为 ．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴
，
∴，
故答案为：．
【分析】用作差法并结合多项式乘多项式法则“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加”和合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”计算求出的值即可判断求解．
17．（2025七下·嘉兴月考）如图，在长方形中，点分别在，上，已知，若长方形的面积为，图中阴影部分的面积为 ．（用含的代数式表示）
【答案】
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算
【解析】【解答】解：设，
∵，，
∴，，
∴，，
，
∴，
由图可得：
，
；
故答案为：．
【分析】本题考查多项式乘以多项式与长方形、三角形的面积，设，表示出AD、AB得长，进而求出的长，求出长方形ABCD的面积和4个直角三角形的面积和即可．
18．（2024七下·印江期中）A同学准确计算出下列各式：
①；
②；
③；
请通过观察．猜想．计算判断以下结论：
①；
②（其中n为正整数，且）；
③；
④；
其中正确的有 （填序号）
【答案】①②④
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：通过观察，总结规律得
（其中n为正整数，且），
故②正确；
∴，故①正确；
，故③错误，④正确；
故答案为：①②④．
【分析】观察前三个式子的特点，总结出规律，然后再逐一判断即可.
19．（2023七下·宝安期中）如图所示，有一块长宽为米和米的长方形土地，现准备在这块土地上修建一个长为米，宽为米的游泳池，剩余部分修建成休息区域．
（1）请用含a和b的代数式表示休息区域的面积；（结果要化简）
（2）若，求休息区域的面积.
【答案】（1）解：由题意可得：
休息区域的面积是：，
即休息区域的面积是：平方米；
（2）解：当，时，
（平方米），
即若，，则休息区域的面积是平方米。
【知识点】多项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】
（1）结合图形，根据长方形的面积计算公式，可得出休息区域的面积=；
（2）根据（1）计算的结果，将，代入式子进行计算，即可得出答案。
（1）解：由题意可得，
休息区域的面积是：，
即休息区域的面积是：平方米；
（2）解：当，时，
（平方米），
即若，，则休息区域的面积是平方米；
20．（2025七下·高州期中）已知，B是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，试求
（1）的值；
（2）的值．
【答案】（1）
（2）
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式；多项式除以单项式
21．如图，将两张边长分别为 a 和b(a>b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置在长方形内(图1，图2 中两张正方形纸片均有部分重叠)，未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边 AB，AD的长度分别为m，n。设图1中阴影部分面积为 S1，图2 中阴影部分面积为 S2。
（1）若a=4，b=3，m=8，n=6，求 S1 的值。
（2）从①a=4，②b=3，③m+n=12，④m-n=3中，选择其中2个条件，求 的值。
【答案】（1）解：如图1，
当a=4，b=3，m=8，n=6时，
（2）解：选择②b=3，④m-n=3，
如图2，
(答案不唯一)。
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】(1)根据图形可求出， 再把a、b、n、m的值代入计算即可；
(2)根据平移的知识和面积的定义，可得 b，列出算式 即可.
22．（2025七下·青羊月考）某校同学在社会实践的过程中，遇到一些各具特色的建筑，有在加拿大魁北克城举行的第32届世界遗产大会上正式被列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有新中式风格的传统民宿，同学们对于哪个建筑的占地面积更大展开了争论．
①组的同学们认为回字形福建土楼占地面积更大；
②组的同学们认为新中式民宿占地面积更大；
为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据的测量，数据如图所示．
（1）请你选择一组同学，帮助他们计算建筑物的占地面积为多少？
（2）村口王大叔告诉同学们，两栋建筑的占地面积均为，求a的值为多少？
【答案】（1）回字形福建土楼占地面积为，新中式民宿占地面积为
（2）6
【知识点】多项式乘多项式；算术平方根的实际应用
三、创新拓展
23．（2025七下·义乌期中）如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．如第5行的5个数是1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中的各项系数．利用上述规律计算关于x的多项式中x6项的系数为（ ）
A．80 B．60 C．40 D．20
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律；探索规律-系数规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】根据“杨辉三角”的规律得：
，
，
，，
项的系数为：．
故答案为：B．
【分析】根据“杨辉三角”的规律得，再由多项式乘多项式法则求出项的系数即可求解．
24．（2024七下·四川月考）如图，将两张边长分别为和的正方形纸片分别按图和图两种方式放置在长方形内（图和图中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边，的长度分别为，；设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为，当时，的值为 ．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式
25．（2025七下·冷水滩期中）好学的小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为：，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：，即一次项为．
请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．
（1）计算所得多项式的一次项系数为______．
（2）若计算所得多项式不含一次项，求的值；
（3）若，则______．
【答案】（1）-11；（2）；（3）2021．
【知识点】多项式乘多项式
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