1.3 乘法公式 课时练-北师大版数学七年级下册
一、选择题
1．（2025七下·榕城期末）设一个正方形的边长为 a cm。若其边长增加了4cm，则新正方形的面积增加了( )
A．(8a+16) cm2 B． C． D．
2．（2024七下·宿迁期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025七下·揭西期末）下列各式中，可以运用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024七下·左权月考）已知，，则的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
5．（2025七下·龙港期中） 若a满足，则（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
6．（2025七下·龙港期中） 如图，从图甲到图乙的变换过程中，能表示两个图形面积关系的等式是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025七下·坪山期末） 如图，坪山中心广场拟开发一块新花坛，花坛如阴影部分所示。点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是和，已知，图中阴影部分面积为6。则（ ）
A．20 B．35 C．40 D．50
8．（2025七下·钱塘期末） “数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2025七下·罗湖期末） 若 ，则m的值是 .
10．（2024七下·滨江期末）利用可求某些整式的最值．例如，，由知，当时，多项式有最小值1．对于多项式，当 时，有最小值是 ．
11．（2024七下·榆次月考）(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)的个位数字是 ．
12．（2025七下·钱塘期末） 将边长分别为m，的两个正方形按如图所示方式摆放，其中点B，C，E在同一条直线上，点G在上，记阴影部分面积为S．若，，则的值为 ．
13．（2025七下·金华期末） 已知，则的值为 .
三、解答题
14．（2025七下·杭州期中）计算：
（1）（2a+b）（-2a+b）
（2）（a-2）（a2+2a+4）
（3）（6a2b-6a2b2-3a2）÷（-3a2）
（4）（2a-3） 2-（1-2a） 2
15．（2024七下·印江期中）计算：
（1）已知，，求的值；
（2）已知，，求：的值．
16．（2024七下·杭州期中）如图，边长为a、b的正方形紧贴摆放．设阴影面积为S．
（1）如图1，S的值是否与a有关？请说明理由；
（2）如图2，若，求S的值；
（3）如图3，若，求的值．
17．（2023七下·深圳期末）如图，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个如图所示的长方形．
（1）上述操作能验证的等式是 ；填序号
；；．
（2）根据(1)中的等式，完成下列各题：
已知，，求的值；
计算：．
18．（2025七下·郴州期中）知识生成：在数学课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A纸片是边长为a的正方形，B纸片是边长为b的正方形，C纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A纸片一张，B纸片一张，C纸片两张拼成如图2所示的大正方形．由图2所示我们可以得到一个熟悉的数学公式：，经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
直接应用：（1）若，，直接写出的值为______．
类比应用：（2）①若，则______；
②若a满足，求的值．
知识迁移：（3）如图3，在长方形中，，E，F是边，上的点，，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为45，求图中阴影部分的面积．
19．（2025七下·台州期中）如图是用一些小长方形和小正方形拼成的一个大正方形．
（1）请用两种不同的方式表示图①的面积
方法1：______，
方法2：______，
（2）根据面积的两种不同表示方法可得到等式_____________；
（3）如果，，试求图②中阴影部分的面积．
20．（2025七下·浦江月考）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形（m>n），沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形.
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 .
（2）利用你得到的结论解决：m+n=7，mn=12. 求m2+n2，m-n的值.
（3）如果（2020-m）2+（m-2021）2=7. 求（2020-m）（m-2021） 的值
21．（2024七下·南海期末）通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．现有如图1所示边长为a的正方形纸片，边长为b的正方形纸片，长宽分别为a、b的长方形纸片若干， 取部分纸片摆成如图2所示的一个长方形，根据这个长方形的面积可以得到的等式是：；
（1）请利用若干图1所示纸片，摆出图形来说明：当a，b都不为0时，（画图并写出过程）
（2）小明同学用图1中边长为a的正方形纸片x张，边长为b的正方形纸片y张，长宽分别为a、b的长方形纸片z张，拼出一个面积为的长方形，则 ， ， ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解： 设一个正方形的边长为 a cm，若其边长增加4cm，
∴增加后的边长为：(a+4)cm，
∴ 新正方形的面积为：（a+4)2cm2，
又原正方形的面积为：a2cm2，
∴新正方形的面积增加了：（a+4)2cm2-a2cm2= (8a+16) cm2
故答案为：A。
【分析】分别表示出来原正方形和新正方形的面积，再求他们的差即可。
2．【答案】D
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并(所含字母相同且相同字母指数也相同的项才是同类项)故不符合题意
B、根据完全平方公式，，故不符合题意
C、根据积的乘方，，故不符合题意
D、根据单项式乘多项式法则，，故符合题意.
故选：D．
【分析】本题考查合并同类项，完全平方公式，积的乘方，单项式乘多项式的运算规则.需要根据各运算的定义和公式，逐一分析选项，判断运算是否正确.
3．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：平方差公式的一般形式是(a+b)(a-b)=a2-b2
A：(-a+c)(a-c)可以看作是-(a-c)2的形式，这实际上是完全平方公式。A不符合题意；
B：(x-2y)(2x+y)是两个多项式相乘，不适用平方差公式。B不符合题意；
C： (-x-y)(x+y)可以看作是-(x+y）2的形式，这同样是完全平方公式，因此不适用平方差公式。C不符合题意；
D：(-a-1)(-a+1)可以看作是(-a)2-12的形式，这符合平方差公式的形式。D符合题意。
故答案为：D.
【分析】对四个选项观察变形，结合平方差公式的一般形式进行判断即可。
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】
根据完全平方公式，把的两边平方，化简后把代入即可求出的值．
5．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵（a-1）（2-a）=-1，
∴2a-a2-2+a=-1，
∴a2-3a=-1，
∴（a-1）2+（2-a）2=a2-2a+1+4-4a+a2=2a2-6a+3=2（a2-3a）+5=2×（-1）+5=3.
故答案为：D.
【分析】先把（a-1）（2-a）=-1利用多项式乘多项式的法则展开，合并后变形为：a2-3a=-1，
再把（a-1）2+（2-a）2展开变形为2（a2-3a）+5，然后把a2-3a=-1整体代入求出代数式的值即可.
6．【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：如图
∵左边长方形面积=（a+b）（a-b），右边图形中阴影部分的面积=a2-b2，
而右边阴影图形是左边图形的两个长方形重新摆放而来的，面积没有改变。
∴（a+b）（a-b）=a2-b2.
故答案为：D.
【分析】根据长方形面积计算公式和图形的重新摆放、拼接，面积不发生改变可得.
7．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设 ，，则 ，， ，
阴影面积为，即 ，所以.
故答案为：.
【分析】设边长为、，利用和与积的关系，结合完全平方公式，代入已知条件计算，关键是将面积和转化为和与积的形式.
8．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（a+b）2-（a-b）2=4ab表示边长为（a+b）的大正方形与边长为（a-b）的小正方形的面积差，等于4个长宽分别为a、b的长方形的面积和．
选项A：根据面积关系可得，（a+b）2=a2+2ab+b2，不符合题意，故A错误；
选项B：根据面积关系可得，，不符合题意，故B错误；
选项C：根据面积关系可得，，即，不符合题意，故C错误；
选项D：大正方形边长（a+b）、小正方形边长（a-b），根据面积关系可得，，符合题意，故D正确.
故选：D．
【分析】通过图形的面积计算，利用面积相等，帮助理解代数关系．熟练掌握完全平方公式，运用数形结合思想是解题的关键.
9．【答案】3
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：因为，已知，所以，则.
故答案为：3.
【分析】先对因式分解（平方差公式 ），再与对比，确定的值.
10．【答案】；
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
．
由，
当时，多项式有最小值．
故答案为：，．
【分析】将多项式化为完全平方式，根据偶次方为非负数求出最值即可．
11．【答案】5．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】原式=（2-1）(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)
=(22﹣1)(22+1)(24+1)…(232+1)
=(24﹣1)(24+1)…(232+1)
=
=264﹣1．
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，
∴得个位数字是以2、4、8、6依次循环，
∵64÷4=16
∴264的末位数字是6，
∴264﹣1的末位数字是5．
故答案为：5．
【分析】原式乘以（2-1），再依次根据平方差公式进行计算，再根据的个位数字的规律，即可判断最后结果的个位数字.
12．【答案】200
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵（m+n）2=m2+n2+2mn，m+n=10，m2+n2=54，
∴102=54+2mn，
∴mn=23，
∴（m-n）2=（m+n）2-4mn=100-92=8，
S=S△ADG+S△DFG=
=
=
∴，
∵m+n=10，（m-n）2=8，
∴.
故答案为：200．
【分析】计算阴影部分面积可得S=S△ADG+S△DFG=，则，根据（m-n）2=（m+n）2-4mn，求出 （m-n）2 的值是解题的关键.
13．【答案】13
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵∴
∴
∴
故答案为：13.
【分析】先将进行化简得，由所求的 的形式联系完全平方公式即可得到所求式子的值。
14．【答案】（1）解：原式=（2a）2-b2
=4a2-b2
（2）解：原式=a3+2a2+4a-2a2-4a-8
=a3-8
（3）解：原式= 6a2b ÷（-3a2） -6a2b2 ÷（-3a2） -3a2 ÷（-3a2）
=-2b+2b2+a
（4）解：原式=4a2 - 12a+9-1+4a-4a2
=-8a+8
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】(1)利用平方差公式计算；
（2）利用多项式乘以多项式法则计算；
（3）利用多项式除以单项式计算；
（4）利用完全平方公式计算，再合并同类项.
15．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式将原式转化为，再将和，整体代入计算即可.
（2）利用提公因式法转化为，再将，，整体代入计算即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
16．【答案】（1）解：S的值与a无关，理由如下：
连接AC，如图所示：
由题意得：∠ACB=∠GEC=45°，
∴AC//GE，
∴，
∴S的值与a无关．
（2）解：连接BG，如图所示：
∴
∵，
∴
（3）解：观察图形可得：
，
∴，
，
，
，
，
∴．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】(1)连接AC，可得AC//GE，根据平行线之间的距离处处相等可得，即可得到结论；
(2)连接BG，根据图形得，把整体代入S的代数式求得数值即可；
(3)首先表示出，将S进行平方，然后根据完全平方公式得出各式的值代入即可得出答案．
（1）解：S的值与a无关，理由如下：由题意知：
，
∴S的值与a无关．
（2）（2）∵，
∴
（3）解：，
∴，
，
，
，
，
∴．
17．【答案】（1）②
（2）解：，
，
，
所以的值为；
②，
，
，
，
．
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图①中阴影部分的面积为（a2-b2），图②图形的面积为（a+b)(a-b)，由题意可知，图②是图①中阴影部分拼成，所以两者面积相等，即-=（a+b)(a-b)，所以答案为②.
故答案为：②；
【分析】（1）平方差公式即a2-b2=（a+b)(a-b).根据平方差公式的几何运用，先求出图①的阴影部分面积，再求出图②阴影部分的面积，两者的面积相等，即可解题.
（2）①根据平方差公式将原式化分，然后将x+2y=4的值代入即可解题.
②1==，=，所以（1-）=（-），
根据平方差公式可得（1-）=（1+)(1-).所以先将原式化分，先求出每个小括号内的和或者差，再根据分式乘法分子分母可以约分的性质，即可解题.
18．【答案】解：（1）15；
（2）①13；
②
（3）设正方形和的边长分别为、，则，，
∴，
∵长方形的面积为45，
∴，
∴阴影部分的面积为：
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴
∴ab=15；
（2）①；
【分析】（1）利用即可求得的值 ；
（2）①，将 代入计算即可；
②，将 代入计算即可；
（3）设正方形和的边长分别为、，根据题意得出，，阴影部分的面积为：
，将a+b=16，ab=45代入计算即可．
19．【答案】（1），；
（2）＝；
（3）解：∵，，
∴图②中阴影部分的面积为两个三角形面积的和，
即：a×2b＋ab
＝ab＋ab
＝
＝
＝
＝
＝3．
∴图②中阴影部分的面积为3．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】
（1）
解：图①中大正方形的边长为（a＋2b），面积为；
还可以表示为：边长为a的正方形的面积加上4个长为a宽为b的长方形的面积，再加4个边长为b的正方形的面积，即，
故答案为：，；
（2）
解：由（1）中面积的两种不同表示方法可得到等式为：
＝，
故答案为：＝；
【分析】
（1）图①分别看成一个大正方形的面积和边长为a的正方形的面积加上4个长为a宽为b的长方形的面积，再加4个边长为b的正方形的面积，即可求解；
（2）由（1）中的表示方法即可求解；
（3）先求出图②中阴影部分的面积表示为，再把已知条件代入计算即可求解．
（1）解：图①中大正方形的边长为（a＋2b），面积为；
还可以表示为：边长为a的正方形的面积加上4个长为a宽为b的长方形的面积，再加4个边长为b的正方形的面积，即，
故答案为：，；
（2）解：由（1）中面积的两种不同表示方法可得到等式为：
＝，
故答案为：＝；
（3）解：∵，，
∴图②中阴影部分的面积为两个三角形面积的和，即：
a×2b＋ab
＝ab＋ab
＝
＝
＝
＝
＝3．
故图②中阴影部分的面积为3．
20．【答案】（1）m-n
（2）解：
（3）解：令
即 （2020-m）（m-2021） ＝－3.
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）直接观察图形可得；
（2）先对完全平方公式变形即可求出两数的平方和，再利用完全平方和与完全平方差公式的相互关系即可，即；
（3）利用整体换元法结合完全平方公式的恒等变形即可.
21．【答案】（1）解：如图所示，
图形的面积为：，
∴当都不为0时，；
（2）
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（2）
，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据题意，画出图形，结合正方形的面积公式，运用整式运算法则，即可求解；
（2）根据整式的运算法则，展开合并同类项，得到，结合几何图形面积的特点，得到的值，即可得到答案.
（1）解：如图所示，
图形的面积为：，
∴当都不为0时，；
（2）解：
，
∴，
故答案为：．
1 / 11.3 乘法公式 课时练-北师大版数学七年级下册
一、选择题
1．（2025七下·榕城期末）设一个正方形的边长为 a cm。若其边长增加了4cm，则新正方形的面积增加了( )
A．(8a+16) cm2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解： 设一个正方形的边长为 a cm，若其边长增加4cm，
∴增加后的边长为：(a+4)cm，
∴ 新正方形的面积为：（a+4)2cm2，
又原正方形的面积为：a2cm2，
∴新正方形的面积增加了：（a+4)2cm2-a2cm2= (8a+16) cm2
故答案为：A。
【分析】分别表示出来原正方形和新正方形的面积，再求他们的差即可。
2．（2024七下·宿迁期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并(所含字母相同且相同字母指数也相同的项才是同类项)故不符合题意
B、根据完全平方公式，，故不符合题意
C、根据积的乘方，，故不符合题意
D、根据单项式乘多项式法则，，故符合题意.
故选：D．
【分析】本题考查合并同类项，完全平方公式，积的乘方，单项式乘多项式的运算规则.需要根据各运算的定义和公式，逐一分析选项，判断运算是否正确.
3．（2025七下·揭西期末）下列各式中，可以运用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：平方差公式的一般形式是(a+b)(a-b)=a2-b2
A：(-a+c)(a-c)可以看作是-(a-c)2的形式，这实际上是完全平方公式。A不符合题意；
B：(x-2y)(2x+y)是两个多项式相乘，不适用平方差公式。B不符合题意；
C： (-x-y)(x+y)可以看作是-(x+y）2的形式，这同样是完全平方公式，因此不适用平方差公式。C不符合题意；
D：(-a-1)(-a+1)可以看作是(-a)2-12的形式，这符合平方差公式的形式。D符合题意。
故答案为：D.
【分析】对四个选项观察变形，结合平方差公式的一般形式进行判断即可。
4．（2024七下·左权月考）已知，，则的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】
根据完全平方公式，把的两边平方，化简后把代入即可求出的值．
5．（2025七下·龙港期中） 若a满足，则（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵（a-1）（2-a）=-1，
∴2a-a2-2+a=-1，
∴a2-3a=-1，
∴（a-1）2+（2-a）2=a2-2a+1+4-4a+a2=2a2-6a+3=2（a2-3a）+5=2×（-1）+5=3.
故答案为：D.
【分析】先把（a-1）（2-a）=-1利用多项式乘多项式的法则展开，合并后变形为：a2-3a=-1，
再把（a-1）2+（2-a）2展开变形为2（a2-3a）+5，然后把a2-3a=-1整体代入求出代数式的值即可.
6．（2025七下·龙港期中） 如图，从图甲到图乙的变换过程中，能表示两个图形面积关系的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：如图
∵左边长方形面积=（a+b）（a-b），右边图形中阴影部分的面积=a2-b2，
而右边阴影图形是左边图形的两个长方形重新摆放而来的，面积没有改变。
∴（a+b）（a-b）=a2-b2.
故答案为：D.
【分析】根据长方形面积计算公式和图形的重新摆放、拼接，面积不发生改变可得.
7．（2025七下·坪山期末） 如图，坪山中心广场拟开发一块新花坛，花坛如阴影部分所示。点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是和，已知，图中阴影部分面积为6。则（ ）
A．20 B．35 C．40 D．50
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设 ，，则 ，， ，
阴影面积为，即 ，所以.
故答案为：.
【分析】设边长为、，利用和与积的关系，结合完全平方公式，代入已知条件计算，关键是将面积和转化为和与积的形式.
8．（2025七下·钱塘期末） “数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（a+b）2-（a-b）2=4ab表示边长为（a+b）的大正方形与边长为（a-b）的小正方形的面积差，等于4个长宽分别为a、b的长方形的面积和．
选项A：根据面积关系可得，（a+b）2=a2+2ab+b2，不符合题意，故A错误；
选项B：根据面积关系可得，，不符合题意，故B错误；
选项C：根据面积关系可得，，即，不符合题意，故C错误；
选项D：大正方形边长（a+b）、小正方形边长（a-b），根据面积关系可得，，符合题意，故D正确.
故选：D．
【分析】通过图形的面积计算，利用面积相等，帮助理解代数关系．熟练掌握完全平方公式，运用数形结合思想是解题的关键.
二、填空题
9．（2025七下·罗湖期末） 若 ，则m的值是 .
【答案】3
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：因为，已知，所以，则.
故答案为：3.
【分析】先对因式分解（平方差公式 ），再与对比，确定的值.
10．（2024七下·滨江期末）利用可求某些整式的最值．例如，，由知，当时，多项式有最小值1．对于多项式，当 时，有最小值是 ．
【答案】；
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
．
由，
当时，多项式有最小值．
故答案为：，．
【分析】将多项式化为完全平方式，根据偶次方为非负数求出最值即可．
11．（2024七下·榆次月考）(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)的个位数字是 ．
【答案】5．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】原式=（2-1）(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)
=(22﹣1)(22+1)(24+1)…(232+1)
=(24﹣1)(24+1)…(232+1)
=
=264﹣1．
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，
∴得个位数字是以2、4、8、6依次循环，
∵64÷4=16
∴264的末位数字是6，
∴264﹣1的末位数字是5．
故答案为：5．
【分析】原式乘以（2-1），再依次根据平方差公式进行计算，再根据的个位数字的规律，即可判断最后结果的个位数字.
12．（2025七下·钱塘期末） 将边长分别为m，的两个正方形按如图所示方式摆放，其中点B，C，E在同一条直线上，点G在上，记阴影部分面积为S．若，，则的值为 ．
【答案】200
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵（m+n）2=m2+n2+2mn，m+n=10，m2+n2=54，
∴102=54+2mn，
∴mn=23，
∴（m-n）2=（m+n）2-4mn=100-92=8，
S=S△ADG+S△DFG=
=
=
∴，
∵m+n=10，（m-n）2=8，
∴.
故答案为：200．
【分析】计算阴影部分面积可得S=S△ADG+S△DFG=，则，根据（m-n）2=（m+n）2-4mn，求出 （m-n）2 的值是解题的关键.
13．（2025七下·金华期末） 已知，则的值为 .
【答案】13
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵∴
∴
∴
故答案为：13.
【分析】先将进行化简得，由所求的 的形式联系完全平方公式即可得到所求式子的值。
三、解答题
14．（2025七下·杭州期中）计算：
（1）（2a+b）（-2a+b）
（2）（a-2）（a2+2a+4）
（3）（6a2b-6a2b2-3a2）÷（-3a2）
（4）（2a-3） 2-（1-2a） 2
【答案】（1）解：原式=（2a）2-b2
=4a2-b2
（2）解：原式=a3+2a2+4a-2a2-4a-8
=a3-8
（3）解：原式= 6a2b ÷（-3a2） -6a2b2 ÷（-3a2） -3a2 ÷（-3a2）
=-2b+2b2+a
（4）解：原式=4a2 - 12a+9-1+4a-4a2
=-8a+8
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】(1)利用平方差公式计算；
（2）利用多项式乘以多项式法则计算；
（3）利用多项式除以单项式计算；
（4）利用完全平方公式计算，再合并同类项.
15．（2024七下·印江期中）计算：
（1）已知，，求的值；
（2）已知，，求：的值．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式将原式转化为，再将和，整体代入计算即可.
（2）利用提公因式法转化为，再将，，整体代入计算即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
16．（2024七下·杭州期中）如图，边长为a、b的正方形紧贴摆放．设阴影面积为S．
（1）如图1，S的值是否与a有关？请说明理由；
（2）如图2，若，求S的值；
（3）如图3，若，求的值．
【答案】（1）解：S的值与a无关，理由如下：
连接AC，如图所示：
由题意得：∠ACB=∠GEC=45°，
∴AC//GE，
∴，
∴S的值与a无关．
（2）解：连接BG，如图所示：
∴
∵，
∴
（3）解：观察图形可得：
，
∴，
，
，
，
，
∴．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】(1)连接AC，可得AC//GE，根据平行线之间的距离处处相等可得，即可得到结论；
(2)连接BG，根据图形得，把整体代入S的代数式求得数值即可；
(3)首先表示出，将S进行平方，然后根据完全平方公式得出各式的值代入即可得出答案．
（1）解：S的值与a无关，理由如下：由题意知：
，
∴S的值与a无关．
（2）（2）∵，
∴
（3）解：，
∴，
，
，
，
，
∴．
17．（2023七下·深圳期末）如图，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个如图所示的长方形．
（1）上述操作能验证的等式是 ；填序号
；；．
（2）根据(1)中的等式，完成下列各题：
已知，，求的值；
计算：．
【答案】（1）②
（2）解：，
，
，
所以的值为；
②，
，
，
，
．
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图①中阴影部分的面积为（a2-b2），图②图形的面积为（a+b)(a-b)，由题意可知，图②是图①中阴影部分拼成，所以两者面积相等，即-=（a+b)(a-b)，所以答案为②.
故答案为：②；
【分析】（1）平方差公式即a2-b2=（a+b)(a-b).根据平方差公式的几何运用，先求出图①的阴影部分面积，再求出图②阴影部分的面积，两者的面积相等，即可解题.
（2）①根据平方差公式将原式化分，然后将x+2y=4的值代入即可解题.
②1==，=，所以（1-）=（-），
根据平方差公式可得（1-）=（1+)(1-).所以先将原式化分，先求出每个小括号内的和或者差，再根据分式乘法分子分母可以约分的性质，即可解题.
18．（2025七下·郴州期中）知识生成：在数学课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A纸片是边长为a的正方形，B纸片是边长为b的正方形，C纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A纸片一张，B纸片一张，C纸片两张拼成如图2所示的大正方形．由图2所示我们可以得到一个熟悉的数学公式：，经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
直接应用：（1）若，，直接写出的值为______．
类比应用：（2）①若，则______；
②若a满足，求的值．
知识迁移：（3）如图3，在长方形中，，E，F是边，上的点，，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为45，求图中阴影部分的面积．
【答案】解：（1）15；
（2）①13；
②
（3）设正方形和的边长分别为、，则，，
∴，
∵长方形的面积为45，
∴，
∴阴影部分的面积为：
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴
∴ab=15；
（2）①；
【分析】（1）利用即可求得的值 ；
（2）①，将 代入计算即可；
②，将 代入计算即可；
（3）设正方形和的边长分别为、，根据题意得出，，阴影部分的面积为：
，将a+b=16，ab=45代入计算即可．
19．（2025七下·台州期中）如图是用一些小长方形和小正方形拼成的一个大正方形．
（1）请用两种不同的方式表示图①的面积
方法1：______，
方法2：______，
（2）根据面积的两种不同表示方法可得到等式_____________；
（3）如果，，试求图②中阴影部分的面积．
【答案】（1），；
（2）＝；
（3）解：∵，，
∴图②中阴影部分的面积为两个三角形面积的和，
即：a×2b＋ab
＝ab＋ab
＝
＝
＝
＝
＝3．
∴图②中阴影部分的面积为3．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】
（1）
解：图①中大正方形的边长为（a＋2b），面积为；
还可以表示为：边长为a的正方形的面积加上4个长为a宽为b的长方形的面积，再加4个边长为b的正方形的面积，即，
故答案为：，；
（2）
解：由（1）中面积的两种不同表示方法可得到等式为：
＝，
故答案为：＝；
【分析】
（1）图①分别看成一个大正方形的面积和边长为a的正方形的面积加上4个长为a宽为b的长方形的面积，再加4个边长为b的正方形的面积，即可求解；
（2）由（1）中的表示方法即可求解；
（3）先求出图②中阴影部分的面积表示为，再把已知条件代入计算即可求解．
（1）解：图①中大正方形的边长为（a＋2b），面积为；
还可以表示为：边长为a的正方形的面积加上4个长为a宽为b的长方形的面积，再加4个边长为b的正方形的面积，即，
故答案为：，；
（2）解：由（1）中面积的两种不同表示方法可得到等式为：
＝，
故答案为：＝；
（3）解：∵，，
∴图②中阴影部分的面积为两个三角形面积的和，即：
a×2b＋ab
＝ab＋ab
＝
＝
＝
＝
＝3．
故图②中阴影部分的面积为3．
20．（2025七下·浦江月考）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形（m>n），沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形.
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 .
（2）利用你得到的结论解决：m+n=7，mn=12. 求m2+n2，m-n的值.
（3）如果（2020-m）2+（m-2021）2=7. 求（2020-m）（m-2021） 的值
【答案】（1）m-n
（2）解：
（3）解：令
即 （2020-m）（m-2021） ＝－3.
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）直接观察图形可得；
（2）先对完全平方公式变形即可求出两数的平方和，再利用完全平方和与完全平方差公式的相互关系即可，即；
（3）利用整体换元法结合完全平方公式的恒等变形即可.
21．（2024七下·南海期末）通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．现有如图1所示边长为a的正方形纸片，边长为b的正方形纸片，长宽分别为a、b的长方形纸片若干， 取部分纸片摆成如图2所示的一个长方形，根据这个长方形的面积可以得到的等式是：；
（1）请利用若干图1所示纸片，摆出图形来说明：当a，b都不为0时，（画图并写出过程）
（2）小明同学用图1中边长为a的正方形纸片x张，边长为b的正方形纸片y张，长宽分别为a、b的长方形纸片z张，拼出一个面积为的长方形，则 ， ， ．
【答案】（1）解：如图所示，
图形的面积为：，
∴当都不为0时，；
（2）
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（2）
，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据题意，画出图形，结合正方形的面积公式，运用整式运算法则，即可求解；
（2）根据整式的运算法则，展开合并同类项，得到，结合几何图形面积的特点，得到的值，即可得到答案.
（1）解：如图所示，
图形的面积为：，
∴当都不为0时，；
（2）解：
，
∴，
故答案为：．
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