2.2 探索直线平行的条件 课时练-北师大版数学七年级下册
一、选择题
1．（2025七下·新昌期末） 如图，直线a，b，c两两相交.和是一对（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
2．（2025七下·北仑期中）如图，给出下列条件，其中不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·北川期末）如图，添加下列一个条件后，不能判定BC∥AD的是（ ）
A．∠1=∠2+∠3 B．∠2=∠4
C．∠3=∠5 D．∠D+∠4+∠5=180°
4．（2025七下·福田期末） 图1 是视觉错觉艺术风格的作品，这种设计利用背景线条、图案的干扰，制造出视觉认知偏差的冲突，具有很强的趣味性与迷惑性.如图2，现将其中的一组背景线条与直线a，b抽象出来，下列说法能判断出的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025七下·潮南期末） 如图是篱笆围栏抽象出几何图形的一部分，则下列条件中能判断直线的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025七下·新昌期末） 下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段在直线外一点与垂线上所有线段中，垂线段最短；③相交的两个角是对顶角.④经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①②④
7．（2025七下·杭州期中）下列图形中，与不是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023七下·邹平期末）在同一平面内，是直线，下列关于它们位置关系的说法中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、填空题
9．如图，直线l截直线a，b所得的同位角有 对，它们是 ；内错角有 对，它们是 ；同旁内角有 对，它们是 ；对顶角有 对，它们是 .
10．（2025七下·绍兴期末） 学行线后，小明想出了过直线外一点画这条直线的平行线的方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知小明画平行线的依据可以是 .（把所有正确的序号填上）
①同位角相等，两直线平行；
②两直线平行，内错角相等；
③同旁内角互补，两直线平行；
④如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行.
11．（2025七下·浙江月考）如图，已知BE平分，且，当 时，.
12．（2025七下·兴宁月考）如图，下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是 （填序号）．
13．（2023七下·安次期中）如图，下列条件：①；②；③；④，能判断的是 ．
三、解答题
14．（2024七下·保定期中）如图，点P是∠BAC边AB上一点．
（1）在AB的左侧作∠APD＝∠BAC；（在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）根据上面所作的图形，你认为PD和AC一定平行吗？请说明理由．
15．如图，AB⊥AC，垂足为A，∠1=30°，∠B=60°。
（1）AD与BC平行吗 为什么
（2）根据题中的条件，能判断AB与CD平行吗 如果能，请说明理由；如果不能，添加一个条件，使它们平行。
16．（2025七下·杭州月考）如图，台球运动中母球击中桌边上的点，经桌边反弹后击中相邻桌边上的点，再次反弹后击中球提示：，
（1）若，求的度数；
（2）已知，母球经过的路线与一定平行吗？请说明理由．
17．（2025七下·瑞安期中）如图，直线 CD，EF 交于点 O，OA，OB 分别平分 和 ，且 .
（1） 请判定直线 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由；
（2） 若 ，求 的度数.
18．（2024七下·潮安期末）如图，直线，，被直线所截，量得．
（1）从可以得出哪两条直线平行？根据是什么？
（2）从可以得出哪两条直线平行？根据是什么？
（3）直线，，互相平行吗？根据是什么？
19．（2024七下·连平期中）如图，已知，试探究AB与EF的位置关系，并说明理由.
20．（2024七下·江门月考）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接．
（1）求证：；
（2）若与互余，求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同旁内角的概念
【解析】【解答】解：直线a，b，c两两相交，∠1和∠2是一对同旁内角，
故答案为：C.
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断.
2．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解： ∵∠1=∠4，
∴a∥b，
故A不符合题意；
由∠2=∠3，不能判定a∥b，
故B符合题意；
∵∠1+∠5=180°，∠4+∠5=180°，
∴∠1=∠4，
∴a∥b，
故C不符合题意；
∵∠2+∠4=180°，
∴a∥b，
故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 根据平行线的判定定理判断求解，即同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行.
3．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A：∵∠1＝∠2＋∠3，∴AD∥BC，故A不符合题意；
B：∵∠2＝∠4，∴AB∥CD，故B符合题意；
C：∵∠3＝∠5，∴AD∥BC，故C不符合题意；
D：∵∠D＋∠4＋∠5＝180°，∴AD∥BC，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平行线判定的条件，对各个选项逐一判断，即可解答．
4．【答案】A
【知识点】平行线的判定；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解： 、与是同位角，同位角相等，两直线平行，可判断，A正确.
、与是对顶角，对顶角相等不能判定，B错误.
、与是邻补角，和为是必然，不能判定，C错误.
、与无直接平行判定关系，D错误.
故答案为：A .
【分析】根据平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 ），逐一分析选项中角的关系是否符合判定条件.
5．【答案】A
【知识点】内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵
∴ （内错角相等，两直线平行）
故答案为：A .
【分析】属于内错角，可根据平行线的判定，内错角相等，两直线平行，即可解答.
6．【答案】C
【知识点】垂线的概念；垂线段最短及其应用；对顶角及其性质；平行公理
【解析】【解答】解：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①不符合题意；
②垂线段在直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确，故②符合题意；
③相等的两个角不一定是对顶角，故③不符合题意；
④经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确，故④符合题意；
其中正确的是②④，
故答案为：C.
【分析】由垂线的性质，垂线段最短，对顶角的定义，平行公理，即可判断.
7．【答案】B
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】 解：∵A、C、D都是两条直线被第三条直线所截得到的同位角，而B选项中是四条直线，∠1和∠2没有一条边在同一条直线上，不是同位角.
故答案为：B.
【分析】根据同位角的定义分析、判断即可得出结论.
8．【答案】D
【知识点】平行线的判定；平行公理的推论
【解析】【解答】解：若，则，故A错误，不符合题意；
若，则，故B错误，不符合题意；
若，则，故C错误，不符合题意；
若，则，故D正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平行线的判定和平行线的传递性逐项分析判断即可.
9．【答案】4；∠1与∠5，∠4与∠6，∠2与∠8，∠3与∠7；2；∠4与∠8，∠3与∠5；2；∠4与∠5，∠3与∠8；4；∠1与∠3，∠4与∠2，∠6与∠8，∠5与∠7
【知识点】对顶角及其性质；同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解： 直线l截直线a，b所得的同位角有4对，它们是∠1与∠5，∠4与∠6，∠2与∠8，∠3与∠7；
直线l截直线a，b所得的内错角有2对，它们是∠4与∠8，∠3与∠5；
直线l截直线a，b所得的同旁内角有2对，它们是∠4与∠5，∠3与∠8；
直线l截直线a，b所得的对顶角有4对，它们是∠1与∠3，∠4与∠2，∠6与∠8，∠5与∠7.
故答案为：4，∠1与∠5，∠4与∠6，∠2与∠8，∠3与∠7；2，∠4与∠8，∠3与∠5；2，∠4与∠5，∠3与∠8；4，∠1与∠3，∠4与∠2，∠6与∠8，∠5与∠7.
【分析】两条直线被第三条直线所截，形成的8个角中，在被截直线的同侧，且在截线同旁的两个角就是同位角；两条直线被第三条直线所截，形成的8个角中，在被截直线之间，且在截线异侧的两个角就是内错角；两条直线被第三条直线所截，形成的8个角中，在被截直线之间，且在截线同旁的两个角就是同旁内角；两条直线相交形成的4个角中，两边互为反向延长线的一对角就是对顶角，据此逐个判断得出答案.
10．【答案】①③
【知识点】同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：如图。
第一次折叠后，得到的折痕AB与直线a之间的位置关系是垂直。
将正方形纸展开，再进行第二次折叠如图（4）所示，得到的折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直。
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：①③ .
【分析】根据折叠可直接得到折痕AB与直线a之间的位置关系是垂直，折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直，然后根据平行线的判定条件求解即可。
11．【答案】50°
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：如图：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠CBE=2∠ABE，
∵∠CDB=∠DBA时，AB//CD，∠CDB=25°，
∴当∠DBA=25°时，AB//CD，
此时∠ABC=2∠DBA=50°.
故答案为：50°.
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠CBE=2∠ABE，再根据平行线的判定定理可得∠DBA的度数，继而可得∠ABC的度数.
12．【答案】①②
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴（内错角相等，两直线平行）；故①符合题意，
∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行）；故②符合题意，
，不能判定，故③不符合题意，
∵，
∴（内错角相等，两直线平行）；不能判定，故④不符合题意，
故答案为：①②．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
13．【答案】①③④
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：①，根据内错角相等，两直线平行，可判断；
②，根据同位角相等，两直线平行，可判断；
③，根据同旁内角互补，两直线平行，可判断；
④，
，根据同旁内角互补，两直线平行，可判断；
综上，能判断的是①③④，
故答案为：①③④．
【分析】依据平行线的判定定理（ 内错角相等、同旁内角互补时两直线平行 ），逐一分析每个条件中角的关系，判断是否能推出.
14．【答案】（1）解：方向延长射线AC，在延长线上任取一点P，然后作 ∠APD＝∠BAC 即可；如下图所示：
（2）平行
∵∠BAC＝∠APD
：． PD//AC （内错角相等，两直线平行）
【知识点】平行线的判定；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）在原图上按要求画图即可；
（2）根据内错角相等，两直线平行即可得出PD∥AC。
15．【答案】（1）AD与BC平行。因为，所以。
因为，
所以（同旁内角互补，两直线平行）。
（2）不能。当时，（答案不唯一）。
【知识点】垂线的概念；平行线的判定
【解析】【分析】根据平行线的判定定理，即可得出结论.
16．【答案】（1）解：，
；
（2）解：，理由：
，，
∴ ∠PAB=180°-2∠2，∠ABC=180°-2∠3，
∴ ∠PAB+∠ABC=360°-2（∠2+∠3），
∵ ∠2+∠3=90°，
，
．
【知识点】角的运算；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】（1）利用平角减去∠1与∠2，即可求得；
（2）先求出∠PAB=180°-2∠2，∠ABC=180°-2∠3，再根据∠2+∠3=90°化简可得∠PAB+∠ABC=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，即可证明.
17．【答案】（1）解： ，理由如下：
分别平分和，
，
，
，
，
，
.
（2）解：平分，
，
，
∵设，则，，
∴.
∵，
∴，
∴.
【知识点】角的运算；角平分线的概念；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】(1)根据角平分线平分角，结合平角的定义推出 推出 即可得出结论；
(2)根据角平分线平分角，得到 结合平角的定义和. 进行求解即可.
18．【答案】（1）解：从可以得出；
由，根据“同位角相等，两直线平行”，可得；
（2）解：从可以得出；
由，根据“内错角相等，两直线平行”，可得；
（3）解：，，互相平行，
由，，根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，
可得，从而，，互相平行．
【知识点】平行线的判定；平行公理的推论；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定即可求解；
（2）根据平行线的判定即可求解；
（3）根据平行公理及其推论结合题意即可求解.
19．【答案】解：AB∥EF
理由：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，
∵∠3+∠4=180°，
∴CD∥EF，
∴AB∥EF.
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定
【解析】【分析】根据同位角相等，两直线平行可得AB∥CD，根据同旁内角互补，两直线平行可得CD∥EF，根据平行于同一直线的两直线平行即可得出AB∥EF.
20．【答案】（1）证明：∵OC平分，OD平分，
∴，
∴
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵与互余，
∴，
∴，
∴．
【知识点】余角、补角及其性质；垂线的概念；平行线的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠COF=∠AOF，∠DOF=∠BOF，进而根据∠COD=∠COF+∠DOF，由等量代换及邻补角定义可求出∠COD=90°，从而根据垂直的定义可得答案；
（2）由平角的定义可得∠1+∠BOD=90°，从而由同角的余角相等得∠D=∠BOD，最后根据内错角相等，两直线平行得出ED∥AB.
1 / 12.2 探索直线平行的条件 课时练-北师大版数学七年级下册
一、选择题
1．（2025七下·新昌期末） 如图，直线a，b，c两两相交.和是一对（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
【答案】C
【知识点】同旁内角的概念
【解析】【解答】解：直线a，b，c两两相交，∠1和∠2是一对同旁内角，
故答案为：C.
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断.
2．（2025七下·北仑期中）如图，给出下列条件，其中不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解： ∵∠1=∠4，
∴a∥b，
故A不符合题意；
由∠2=∠3，不能判定a∥b，
故B符合题意；
∵∠1+∠5=180°，∠4+∠5=180°，
∴∠1=∠4，
∴a∥b，
故C不符合题意；
∵∠2+∠4=180°，
∴a∥b，
故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 根据平行线的判定定理判断求解，即同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行.
3．（2025七下·北川期末）如图，添加下列一个条件后，不能判定BC∥AD的是（ ）
A．∠1=∠2+∠3 B．∠2=∠4
C．∠3=∠5 D．∠D+∠4+∠5=180°
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A：∵∠1＝∠2＋∠3，∴AD∥BC，故A不符合题意；
B：∵∠2＝∠4，∴AB∥CD，故B符合题意；
C：∵∠3＝∠5，∴AD∥BC，故C不符合题意；
D：∵∠D＋∠4＋∠5＝180°，∴AD∥BC，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平行线判定的条件，对各个选项逐一判断，即可解答．
4．（2025七下·福田期末） 图1 是视觉错觉艺术风格的作品，这种设计利用背景线条、图案的干扰，制造出视觉认知偏差的冲突，具有很强的趣味性与迷惑性.如图2，现将其中的一组背景线条与直线a，b抽象出来，下列说法能判断出的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解： 、与是同位角，同位角相等，两直线平行，可判断，A正确.
、与是对顶角，对顶角相等不能判定，B错误.
、与是邻补角，和为是必然，不能判定，C错误.
、与无直接平行判定关系，D错误.
故答案为：A .
【分析】根据平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 ），逐一分析选项中角的关系是否符合判定条件.
5．（2025七下·潮南期末） 如图是篱笆围栏抽象出几何图形的一部分，则下列条件中能判断直线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵
∴ （内错角相等，两直线平行）
故答案为：A .
【分析】属于内错角，可根据平行线的判定，内错角相等，两直线平行，即可解答.
6．（2025七下·新昌期末） 下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段在直线外一点与垂线上所有线段中，垂线段最短；③相交的两个角是对顶角.④经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①②④
【答案】C
【知识点】垂线的概念；垂线段最短及其应用；对顶角及其性质；平行公理
【解析】【解答】解：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①不符合题意；
②垂线段在直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确，故②符合题意；
③相等的两个角不一定是对顶角，故③不符合题意；
④经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确，故④符合题意；
其中正确的是②④，
故答案为：C.
【分析】由垂线的性质，垂线段最短，对顶角的定义，平行公理，即可判断.
7．（2025七下·杭州期中）下列图形中，与不是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】 解：∵A、C、D都是两条直线被第三条直线所截得到的同位角，而B选项中是四条直线，∠1和∠2没有一条边在同一条直线上，不是同位角.
故答案为：B.
【分析】根据同位角的定义分析、判断即可得出结论.
8．（2023七下·邹平期末）在同一平面内，是直线，下列关于它们位置关系的说法中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】平行线的判定；平行公理的推论
【解析】【解答】解：若，则，故A错误，不符合题意；
若，则，故B错误，不符合题意；
若，则，故C错误，不符合题意；
若，则，故D正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平行线的判定和平行线的传递性逐项分析判断即可.
二、填空题
9．如图，直线l截直线a，b所得的同位角有 对，它们是 ；内错角有 对，它们是 ；同旁内角有 对，它们是 ；对顶角有 对，它们是 .
【答案】4；∠1与∠5，∠4与∠6，∠2与∠8，∠3与∠7；2；∠4与∠8，∠3与∠5；2；∠4与∠5，∠3与∠8；4；∠1与∠3，∠4与∠2，∠6与∠8，∠5与∠7
【知识点】对顶角及其性质；同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解： 直线l截直线a，b所得的同位角有4对，它们是∠1与∠5，∠4与∠6，∠2与∠8，∠3与∠7；
直线l截直线a，b所得的内错角有2对，它们是∠4与∠8，∠3与∠5；
直线l截直线a，b所得的同旁内角有2对，它们是∠4与∠5，∠3与∠8；
直线l截直线a，b所得的对顶角有4对，它们是∠1与∠3，∠4与∠2，∠6与∠8，∠5与∠7.
故答案为：4，∠1与∠5，∠4与∠6，∠2与∠8，∠3与∠7；2，∠4与∠8，∠3与∠5；2，∠4与∠5，∠3与∠8；4，∠1与∠3，∠4与∠2，∠6与∠8，∠5与∠7.
【分析】两条直线被第三条直线所截，形成的8个角中，在被截直线的同侧，且在截线同旁的两个角就是同位角；两条直线被第三条直线所截，形成的8个角中，在被截直线之间，且在截线异侧的两个角就是内错角；两条直线被第三条直线所截，形成的8个角中，在被截直线之间，且在截线同旁的两个角就是同旁内角；两条直线相交形成的4个角中，两边互为反向延长线的一对角就是对顶角，据此逐个判断得出答案.
10．（2025七下·绍兴期末） 学行线后，小明想出了过直线外一点画这条直线的平行线的方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知小明画平行线的依据可以是 .（把所有正确的序号填上）
①同位角相等，两直线平行；
②两直线平行，内错角相等；
③同旁内角互补，两直线平行；
④如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行.
【答案】①③
【知识点】同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：如图。
第一次折叠后，得到的折痕AB与直线a之间的位置关系是垂直。
将正方形纸展开，再进行第二次折叠如图（4）所示，得到的折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直。
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：①③ .
【分析】根据折叠可直接得到折痕AB与直线a之间的位置关系是垂直，折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直，然后根据平行线的判定条件求解即可。
11．（2025七下·浙江月考）如图，已知BE平分，且，当 时，.
【答案】50°
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：如图：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠CBE=2∠ABE，
∵∠CDB=∠DBA时，AB//CD，∠CDB=25°，
∴当∠DBA=25°时，AB//CD，
此时∠ABC=2∠DBA=50°.
故答案为：50°.
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠CBE=2∠ABE，再根据平行线的判定定理可得∠DBA的度数，继而可得∠ABC的度数.
12．（2025七下·兴宁月考）如图，下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是 （填序号）．
【答案】①②
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴（内错角相等，两直线平行）；故①符合题意，
∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行）；故②符合题意，
，不能判定，故③不符合题意，
∵，
∴（内错角相等，两直线平行）；不能判定，故④不符合题意，
故答案为：①②．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
13．（2023七下·安次期中）如图，下列条件：①；②；③；④，能判断的是 ．
【答案】①③④
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：①，根据内错角相等，两直线平行，可判断；
②，根据同位角相等，两直线平行，可判断；
③，根据同旁内角互补，两直线平行，可判断；
④，
，根据同旁内角互补，两直线平行，可判断；
综上，能判断的是①③④，
故答案为：①③④．
【分析】依据平行线的判定定理（ 内错角相等、同旁内角互补时两直线平行 ），逐一分析每个条件中角的关系，判断是否能推出.
三、解答题
14．（2024七下·保定期中）如图，点P是∠BAC边AB上一点．
（1）在AB的左侧作∠APD＝∠BAC；（在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）根据上面所作的图形，你认为PD和AC一定平行吗？请说明理由．
【答案】（1）解：方向延长射线AC，在延长线上任取一点P，然后作 ∠APD＝∠BAC 即可；如下图所示：
（2）平行
∵∠BAC＝∠APD
：． PD//AC （内错角相等，两直线平行）
【知识点】平行线的判定；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）在原图上按要求画图即可；
（2）根据内错角相等，两直线平行即可得出PD∥AC。
15．如图，AB⊥AC，垂足为A，∠1=30°，∠B=60°。
（1）AD与BC平行吗 为什么
（2）根据题中的条件，能判断AB与CD平行吗 如果能，请说明理由；如果不能，添加一个条件，使它们平行。
【答案】（1）AD与BC平行。因为，所以。
因为，
所以（同旁内角互补，两直线平行）。
（2）不能。当时，（答案不唯一）。
【知识点】垂线的概念；平行线的判定
【解析】【分析】根据平行线的判定定理，即可得出结论.
16．（2025七下·杭州月考）如图，台球运动中母球击中桌边上的点，经桌边反弹后击中相邻桌边上的点，再次反弹后击中球提示：，
（1）若，求的度数；
（2）已知，母球经过的路线与一定平行吗？请说明理由．
【答案】（1）解：，
；
（2）解：，理由：
，，
∴ ∠PAB=180°-2∠2，∠ABC=180°-2∠3，
∴ ∠PAB+∠ABC=360°-2（∠2+∠3），
∵ ∠2+∠3=90°，
，
．
【知识点】角的运算；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】（1）利用平角减去∠1与∠2，即可求得；
（2）先求出∠PAB=180°-2∠2，∠ABC=180°-2∠3，再根据∠2+∠3=90°化简可得∠PAB+∠ABC=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，即可证明.
17．（2025七下·瑞安期中）如图，直线 CD，EF 交于点 O，OA，OB 分别平分 和 ，且 .
（1） 请判定直线 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由；
（2） 若 ，求 的度数.
【答案】（1）解： ，理由如下：
分别平分和，
，
，
，
，
，
.
（2）解：平分，
，
，
∵设，则，，
∴.
∵，
∴，
∴.
【知识点】角的运算；角平分线的概念；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】(1)根据角平分线平分角，结合平角的定义推出 推出 即可得出结论；
(2)根据角平分线平分角，得到 结合平角的定义和. 进行求解即可.
18．（2024七下·潮安期末）如图，直线，，被直线所截，量得．
（1）从可以得出哪两条直线平行？根据是什么？
（2）从可以得出哪两条直线平行？根据是什么？
（3）直线，，互相平行吗？根据是什么？
【答案】（1）解：从可以得出；
由，根据“同位角相等，两直线平行”，可得；
（2）解：从可以得出；
由，根据“内错角相等，两直线平行”，可得；
（3）解：，，互相平行，
由，，根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，
可得，从而，，互相平行．
【知识点】平行线的判定；平行公理的推论；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定即可求解；
（2）根据平行线的判定即可求解；
（3）根据平行公理及其推论结合题意即可求解.
19．（2024七下·连平期中）如图，已知，试探究AB与EF的位置关系，并说明理由.
【答案】解：AB∥EF
理由：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，
∵∠3+∠4=180°，
∴CD∥EF，
∴AB∥EF.
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定
【解析】【分析】根据同位角相等，两直线平行可得AB∥CD，根据同旁内角互补，两直线平行可得CD∥EF，根据平行于同一直线的两直线平行即可得出AB∥EF.
20．（2024七下·江门月考）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接．
（1）求证：；
（2）若与互余，求证：．
【答案】（1）证明：∵OC平分，OD平分，
∴，
∴
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵与互余，
∴，
∴，
∴．
【知识点】余角、补角及其性质；垂线的概念；平行线的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠COF=∠AOF，∠DOF=∠BOF，进而根据∠COD=∠COF+∠DOF，由等量代换及邻补角定义可求出∠COD=90°，从而根据垂直的定义可得答案；
（2）由平角的定义可得∠1+∠BOD=90°，从而由同角的余角相等得∠D=∠BOD，最后根据内错角相等，两直线平行得出ED∥AB.
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